9.2.4 总体离散程度的估计 课件-2025-2026学年高一下学期人教A版数学必修第二册

该高中数学课件聚焦总体离散程度的估计，通过射击运动员成绩分析案例导入，从集中趋势指标无法区分差异的问题出发，逐步引入极差、方差、标准差及分层随机抽样方差的计算，搭建从问题到度量方法的学习支架。 其亮点在于以真实情境（如射击成绩、水稻产量）驱动教学，通过数据分析与推理培养数学思维，结合实际问题（如运动员选拔、农作物稳定性评估）体现数学语言表达，帮助学生理解数据意义，教师可借此提升教学效率与学生应用能力。

9.2.4总体离散程度的估计 仅知道一组数据集中趋势的信息， 有时还不能使我们做出有效决策。 有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下： 甲：7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 乙：9 5 7 8 7 6 8 6 7 7 如果你是教练，你如何对两位运动员的射击情况做出评价？ 如果这是一次选拔性考核，你应当如何作出选择？ 4 4 5 7 7 7 8 9 9 10 5 6 6 7 7 7 7 8 8 9 从数据看，甲、乙射击成绩的平均数、众数、中位数均为7. 从统计图看，甲的成绩比较分散，波动较大； 乙的成绩比较集中，比较稳定. 无差异 有差异 如何度量？ 甲：7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 乙：9 5 7 8 7 6 8 6 7 7 4 4 5 7 7 7 8 9 9 10 5 6 6 7 7 7 7 8 8 9 一种简单的度量数据离散程度的方法就是用极差. 甲命中环数的极差=10－4=6，乙命中环数的极差=9－5=4 可以发现甲的成绩波动范围比乙的大. 极差在一定程度上刻画了数据的离散程度.但因为极差只使用了数据中最大、最小两个值的信息，对其他数据的取值情况没有涉及，所以极差所含的信息量很少. 如果射击成绩很稳定，那么大多数的射击成绩离平均成绩不会太远； 如果射击的成绩波动幅度很大，那么大多数的射击成绩离平均成绩会比较远. 因此，我们可以通过这两组射击成绩与它们的平均成绩的“平均距离”来度量 成绩的波动幅度. 如何定义？ 新知1：方差和标准差的意义 有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下： 甲：7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 乙：9 5 7 8 7 6 8 6 7 7 如果你是教练，你如何对两位运动员的射击情况做出评价？ 如果这是一次选拔性考核，你应当如何作出选择？ 可根据标准差来判断两名运动员的成绩的离散程度， 计算可得 由可知,____的成绩离散程度大. 由此可以估计,____比____的射击成绩稳定. 如果要从这两名选手中选择一名参加比赛，要看他们的平均成绩在所有参赛选手中的位置.如果两人都排在前面，就选______________选手； 如果两人都排在后面，就选____选手. 甲 甲 乙 成绩稳定的乙 甲 新知2：样本和总体的方差和标准差 样本标准差刻画了样本数据离平均数波动的幅度大小， 平均数和标准差一起能反映数据取值的信息. 例如，根据9.2.1节中100户居民用户的月均用水量数据， 可以计算出样本平均数，样本标准差. 巩固：方差和标准差的意义 [练习3]样本数均为9的四组数据，它们的平均数都是5，条形图如图所示，则标准差最大的一组是(　　) A．第一组　　　B．第二组 C．第三组 D．第四组 D [练习4]为评估一种农作物的种植效果，选了块地做实验田. 这块地的亩产量(单位：kg)分别为，，…，，下面给出的指标中可用来评估这种农作物 亩产量稳定程度的是（ ）. A.，，…，的平均数 B.，，…，的标准差 C.，，…，的最大值 D.，，…，的中位数 B 新知3：分层随机抽样的方差和标准差 分层随机抽样的方差计算： 设样本容量为，平均数为，其中两层的个体数量分别为，， 两层的平均数分别为，，方差分别为，， 则这个样本的方差为：. 1．农场种植的甲、乙两种水稻，在面积相等的两块稻田中连续6年的产 量如下： 品种 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年 第6年 甲/kg 900 920 900 850 910 920 乙/kg 890 960 950 850 860 890 哪种水稻的产量比较稳定？ 甲、乙两种水稻 6 年产量的平均数都是900，但甲种水稻产量的标准差约等于23.8， 乙种水稻产量的标准差约等于41. 6，所以甲种水稻的产量比较稳定． 练习 2．某学校有高中学生500人，其中男生320人，女生180人．有人为了获得该校全体高中学生的身高信息，采用分层抽样的方法抽取样本，并观测样本的指标值（单位：cm），计算得男生样本的均值为173．5，方差为17，女生样本的均值为163.83，方差为30.03． （1）根据以上信息，能够计算出总样本的均值和方差吗？为什么？ （2）如果已知男、女样本量按比例分配，你能计算出总样本的均值和方 差各为多少吗？ (1) 不能．因为男生和女生的样本量未知． 习题9. 2（第214页） 1．棉花的纤维长度是棉花质量的重要指标．在一批棉花中随机抽测了 60根棉花的纤维长度（单位：mm），按从小到大排序结果如下： 25 28 33 50 52 58 59 60 61 62 82 86 113 115 140 143 146 170 175 195 202 206 233 236 238 255 260 263 264 265 293 293 294 296 301 302 303 305 305 306 321 323 325 326 328 340 343 346 348 350 352 355 357 357 358 360 370 380 383 385 （1）请你选择合适的组距，作出这个样本的频率分布直方图，分析这批 棉花纤维长度分布的特征； （2）请你估计这批棉花的第5，95百分位数． 2．甲乙两台机床同时生产一种零件，在10天中，两台机床每天生产的次品数分别为： 甲 0 1 0 2 2 0 3 1 2 4 乙 2 3 1 1 0 2 1 1 0 1 分别计算这两组数据的平均数和标准差，从计算结果看，哪台机床的性能更好? 甲机床每天生产次品数的平均数为1.5，标准差为1.284 5；乙机床每天生产次品数的平均数为1.2，标准差为0.8718． 从计算结果看，乙机床每天生产次品数的平均数和标准差都比甲机床小，说明乙机床生产出的次品比甲机床少，而且更为稳定，说明乙机床的性能更好． 3．在去年的足球联赛上，一队每场比赛平均失球数是1.5，全年比赛失球个数的标准差为1.1，二队每场比赛平均失球数是2.1，全年失球个数的标准差是0.43．你认为下列说法中哪一种是正确的，为什么？ （1）平均说来一队比二队防守技术好； （2）二队比一队技术水平更稳定； （3）一队有时表现很差，有时表现又非常好； （4）二队很少不失球． （1）正确．从平均失球数的角度，一队的平均失球数1.5小于二队的平均失球数2.1． （2）正确．标准差越小，发挥越稳定，二队失球数的标准差0.4小于一队失球数的标准差 1.1，所以说二队的技术水平更稳定． 3．在去年的足球联赛上，一队每场比赛平均失球数是1.5，全年比赛失球个数的标准差为1.1，二队每场比赛平均失球数是2.1，全年失球个数的标准差是0.43．你认为下列说法中哪一种是正确的，为什么？ （1）平均说来一队比二队防守技术好； （2）二队比一队技术水平更稳定； （3）一队有时表现很差，有时表现又非常好； （4）二队很少不失球． （3）正确．从标准差的角度考虑，一队失球数的标准差为1.1，均值为1.5，说明一队在防守中表现好时失球很少，表现差时失球较多． （4）正确．综合平均数和标准差两个指标考虑，平均数大且标准差小，说明失球数多为1，2，3． 6．以往的招生统计数据显示，某所大学录取的新生高考总分的中位数基本上稳定在550分．你的一位高中校友在今年的高考中得了520分，你是立即劝阻他报考这所大学，还是先进一步查阅一下这所大学以往招生的其他统计信息？解释一下你的选择． 该高中校友最关心的是自己能否被录取，即他的分数是否在当年录取的最低录取分数之上．根据已有信息，只知道他的分数位于以往分数的中位数之下，这不能判断他被录取的可能性大小．应该进一步查阅这所大学以往招生的其他统计信息，例如以往录取分数的分布情况、平均分数、最低分数等信息．如果知道该校以往录取的平均分数和标准差，且他的分数大于平均分减去标准差的值，那么他被录取的可能性就比较大，可以建议他报考该校；如果知道以往录取分数的分布情况，且他的分数大于第20百分位数，他被录取的可能性也比较大，可以建议他报考该校；如果知道以往录取的最低分数线，且他的分数低于以往最低录取分数线，那么不建议他报考该校；等等． 7．甲、乙两个班级，一次数学考试的分数排序如下： 甲班 　 　 　 51 54 59 60 64 68 68 68 70 71 72 72 74 76 77 78 79 79 80 80 82 85 85 86 86 87 87 87 88 89 90 90 91 96 97 98 98 98 100 100 乙班 　 　 　 61 63 63 66 70 71 71 73 75 75 76 79 79 80 80 80 81 81 82 82 83 83 83 84 84 84 85 85 85 85 85 85 86 87 87 88 90 91 94 98 请你就这次考试成绩，对两个班级的数学学习情况进行评价． 甲班的平均分为80.5，标准差为12.72，最低分为51，最高分为100，极差为49；乙班的平均分为80.5，标准差为8.18，最低分为61，最高分为98，极差为37． 可以发现，甲班和乙班学生的平均分相同，甲班的标准差、极差比乙班的大．这说明甲班学生的成绩比较分散，相互差别较大，数据上看既有成绩不及格的，也有成绩为满分的，相对而言乙班的成绩较为集中，相互差别较小． 8．有一种鱼的身体吸收汞，一定量身体中汞的含量超过其体重的1.00ppm(百万分之一)的鱼被人食用后，就会对人体产生危害．在30条鱼 的样本中发现的汞含量（单位：ppm）如下： 0.07 0.24 0.95 0.98 1.02 0.98 1.37 1.40 0.39 1.02 1.44 1.58 0.54 1.08 0.61 0.72 1.20 1.14 1.62 1.68 1.85 1.20 0.81 0.82 0.84 1.29 1.26 2.10 0.91 1.31 (1)请用合适的统计图描述上述数据，并分析这30条鱼的汞含量的分布特点； (2)求出上述样本数据的平均数和标准差； (3)从实际情况看，许多鱼的汞含量超标的原因是这些鱼在出售之前没有被检测过.你认为每批这种鱼的平均汞含量都比1. 00 ppm大吗？ (4)在上述样本中，有多少条鱼的汞含量在以平均数为中心、2倍标准差的范围内？ 9．在一次人才招聘会上，有一家公司的招聘员告诉你，“我们公司的收入水平很高”“去年，在 50名员工中，最高年收入达到了200万，员工年收入的平均数是10万”，而你的预期是获得9万元年薪． （2）如果招聘员继续告诉你，“员工年收入的变化范围是从3万到200万”，这个信息是否足以使你作出自己是否受聘的决定？为什么？ （2）不能. 因为已知有一个极端值，其对均值的影响很大，中位数不受极端值的影响，判断是否受聘还要看中位数的大小，但由“员工年收人的变化范围是从3万到 200万”不能估计中位数的大小． （3）如果招聘员继续给你提供了如下信息，员工收入的第一四分位数为4.5万，第三四分位数为9.5万，你又该如何使用这条信息来作出是否受聘的决定？ （4）根据（3）中招聘员提供的信息，你能估计出这家公司员工收入的中位数是多少吗？为什么平均数比估计出的中位数高很多？ （3）能．由第一和第三四分位数知，有75%的员工工资在9.5万元以下，其中25%的员工工资在4.5万元以下，所以在该公司获得 9 万元的年薪是有难度的． （4）由第一和第三四分位数，可以估计中位数在7万元左右．因为有年收入200万这个极端值的影响，得年平均收入比中位数高许多． 10．有20种不同的零食，每100 g可食部分包含的能量（单位：kJ）如下： 110 120 123 165 432 190 174 235 428 318 249 280 162 146 210 120 123 120 150 140 （1）以上述20个数据组成总体，求总体平均数与总体标准差． （2）设计恰当的随机抽样方法，从总体中抽取一个容量为7的样本，求样本的平均数与标准差． （1）总体平均数为199.75，总体标准差为95.26． （2）计算过程略．可以使用抽签法进行抽样。样本平均数和标准差的 计算结果和抽取到的样本有关． 10．有20种不同的零食，每100 g可食部分包含的能量（单位：kJ）如下： 110 120 123 165 432 190 174 235 428 318 249 280 162 146 210 120 123 120 150 140 （3）利用上面的抽样方法，再抽取容量为7的样本，计算样本的平均数和标准差.这个样本的平均数和标准差与（2）中的结果一样吗？为什么？ （4）利用（2）中的随机抽样方法，分别从总体中抽取一个容量为10, 13, 16, 19的样本，求样本的平均数与标准差．分析样本容量与样本的平均数和标准差对总体的估计效果之间有什么关系． （3）计算过程略．不一定一样．因为随机性，每一次所抽取的样本可 能不同，所以平均数和标准差可能不同． （4）计算过程略．一般地，样本量越大对总体的估计越接近，但是由于样本的随机性，也有例外情况． $