9.2.4 总体离散程度的估计-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学必修第二册同步辅导与测试(人教A版)

题点二 9.2.4总体离散程度的估计 典例解(1)甲群市民年龄的平均数为0×(13十13十14+15+必备知识·自主梳理 15十15十15十16十17十17)=15（岁），中位数为15岁，众数为15 西1一√分红 岁，平均数、中位数和众数相等，因此它们都能较好地反映甲群市民！ t=1 n i=1 的年龄特征 2.a)2y- N=1 v应2)2f(Y-23.】2( ni= (2)乙群布民年龄的平均数为0×(54+3十4十4十5+5+6+6十6 十57)=15（岁），中位数为5.5岁，众数为6岁由于乙群市民大多1 一)√F4离撒程度波动幅度大小5，丹[分十（国 数是儿童，所以中位数和众数能较好地反映乙群市民的年龄特征，{ x）)]+[+(x,-x)2] 而平均数的可靠性较差 71 对点训练 即时小练 :1.(1)/(2)×(3)/ 解(1)在这10天中，该公司用水量的平均数是工=0×(22+38+2.D所给图是成绩分布图，平均分是75分，在图1中，集中在75分 40+2×41+2×44+50+2×95)=51(t). 附近的数据最多，图3中从50分到100分均匀分布，所有成绩不集 每天用水童的中位数是4144=42.5(0. 中在任何一个数据附近，图2介于两者之间.由标准差的意义可得 53>2>1· 2)于均数安数据中的极瑞值化个5)影响较大：使手均数在估计3.B[:样本容量n=5,“=号×(1十2+3十4十5)=3，“- 总体时可靠性降低，10天的用水量有8天都在平均值以下，故用中 位数描述每天的用水量更合适. 题点三 号[1-3)+(2-3)+(3-3)+(4-3》+(5-3》门=2，则 典例解(1)众数是颜率分布直方图中最高小矩形底边中点的横坐：s=√2.] 标，所以众数为n=75.0. :关键能力·合作探究 前3个小矩形面积和为0.01×10十0.015×10十0.015×10=题点一 0.40.5, 前4个小矩形面积和为0.4十0.03×10=0.7>0.5，所以中位数= 典例解(1)z。=言×(99+100+98+100+100+103)=10， 70+0.5-0.4≈73.3. 0.03 x=合×(9+100+102+99+100+100)=10. (2)依题意，60及60以上的分数在第三、四、五、六组，颜率和为： (0.015十0.03+0.025+0.005)×10=0.75，所以估计这次考试的 =6×[(99-100)2+(100-100)2+(98-100)y2+(100-100)2+ 物理成绩的及格率是75%. 利用组中值估算抽样学生的平均分为45×0.1十55×0.15十65×1 100-100)2+(103-100)]=3, 0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71. 估计这次考试物理成绩的平均分是71分 ; 2=6×[(99-100)+(100-100)2+(102-100)2+(99-100)2+ 对点训练 (100-100)+(100-100)2=1. 解(1)因为分值在[90,100]的人数为12， (2)两台机床所加工零件的直径的平均数相同，又吃，所以乙 所以90,100的频率为=0.1，所以c=0=0.01. 机床加工零件的质量更稳定. ·对点训练 因为a+c=2b,又(a十c+b十0.005+0.035)×10=1， (1)BD[对于选项A:设，3，x,马的平均数为m,x1,,…,x的平 所以a十c十b=0.06, 解得b=0.02,a=0.03. 均数为，则n-m=十5十西十十西十西-互十西十十西 (2)这组数据的平均数为55×0.05+65×0.2+75×0.35+85×0.3+ 95×0.1=77>75. 2(十)-（十十十，因为没有确定2（工十），x十4十 2 这组数据的中位数m满足10×0.005+10×0.02+(n-70)×, 0.035=0.5, x十x的大小关系，所以无法判断m,n的大小，例如：1,2,3,4,5,6， 可得n一n=3.5;例如1,1,1,1,1,7，可得n=1,n=2:例如1,2,2， 解得m≈77.1>75 11 所以该学校老师思想道德良好， 2,2,2,可得m=2,n=6:故A错误，对于选项B:不妨设西≤≤ 素养演练·提升技能 西≤工≤≤，可知，西，西的中位数等于工，的中位 1.D[把题中数据按从小到大排列为11,13,15,15,16,16,17,18，· 18,18,平均数为a=0×(1+13+15+15+16+16+17+18+18 数均为凸西，故B正确：对于选项C:因为西是最小值，是最大值， 2 则西，x3,x,x的波动性不大于x1,x2,·,x的波动性，即x2,x3,x,x +18)=15=15.7,中位数为16，众数为18，则6=16，c=18,所以c 10 的标准差不大于无1，x%,…,的标准差，例如：2,4,6,8,10,12，则平均数 >b>a.1 n= 吉(2+4+6+8十10+12)=7，标准差等 2.ABD[因为在体操比赛的评分中使用的是平均分，计分过程中采， 用“去掉一个最高分，去掉一个最低分”的方法，就是为了防止个别 √7[(2-7P+(4-7+(6-7P+(8-7)2+10-7P+(12-7] 裁判的人为因素给出过高或过低的分数对远手的得分造成较大的 影响，从而降低误差，尽量公平， √105 3 46,810,则平均数m=子(4十6十8十10》=7，标准差= 3.ABC[这16日空气重度污泰的颜率为=0.5，故A正确：12日， 13日，14日，15日连续4天空气重度污染，故B正确：中位数为： √4-)+6-y+8-+(10-]=5,显然> 3 之X(192+214)=203,故C正确：z=200十16×[14+75+43+ √5，即1>5：故C错误；对于选项D:不妨设x1≤≤x≤x≤ (-43)十(-120)+(-48)+60+(-117)+(-40)+(-21)+ ≤x6,则x6一x1≥x一2，当且仅当x1=x2,x5=x6时，等号成立， 故D正确：故选BD.] (-62)+14十21十63+23+(-8)]<200（也可根据题图判断，8个 数据大于200,8个数据小于200，小于200的8个数据整体与200： (2)解(1)xp=10×(25+41+40+37+22+14+19+39+21+ 相差较大)，故D不正确，] 4.(1)13(2)62.5(3)64[(1)(0.04×10+0.025×10)×20=13. 42)=30,同理可计算得x元=31，∴xp<r元，即乙种玉米苗长得高. (2)因为0.2十0.4>0.5，所以中位数一定在[55,65]之间，设中位数 (2),=0×[(25-30)2+(41-30)2+(40-30)+(37-30)2+ 为x,则0.2+(x-55)×0.04-0.5,x=62.5. (3)平均数为0.2×50+0.4×60+0.25×70+0.1×80+0.05×90： (22-30)2+(14-30)2+(19-30)2+(39-30)2+(21-30)2+ =64. (42-30)2门=104.2，同理可计算得吃=128.8，s<吃，∴.甲种 5.解(1)由题千图知众数为70,80=75， 玉米苗长得齐， 2 !题点二 则这80名学生的数学成绩的众数约为75分 :典例解设男生的平均体重为，方差为s, (2)由直方图知，前三个矩形面积之和为0.4，第四个矩形面积为 0.3,0.3+0.4>0.5. 别5-15，男生古的比树为器-号， 因此中位数位于第四个矩形内，设为x,得0.1=0.03×(x一70)，所： 设女生的平均体重为y,方差为s, 以x≈73.3. 故这80名学生的数学成绩的中位数约为73.3分， 则=455=20，女生占的比例为器=号 273 所以总样本的平均数=号×5+号×45=5， =6×0.2+0.32+02+0.2+0.1r+0.2+0+0.1+ 总样本的方差 0.22+0.32)=0.036, 2=是+-51]+号+(g-5为 号=10×(0.2+0.12+0.2+0.32+0.22+02+0.32+0.2+ =是×15+4)+号×[20+(-60门=41. 0.12+0.22)=0.04. (2)y-x=10.3-10=0.3, 对点训练 解依题意xA=130,s-115,xg=110,s始=215， +=2 10 30 210 /0.036+0.04=2√0.0076， 10 六1=10十30X130十10十30×10=115，心金体学生的平均成绩为 .y-E=0.3=2×0.15=2×√0.15=2×√0.0225>2× 115分. 好+s 全体学生成绩的方差为=[十（元A一x)]十[s后十（行B-x)2]= 0.0016,满足y-≥2√10， 0 30 10+30×(15+225)+1030×(215+25)=85+180=265. ∴新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高· 章末复习提升 题点三 二、把握重点·常考题型集训 典例解(1)甲高中学生一周内平均每天课外学习数学的时间的中！题型一 位数mp=20+0.5-0.+0.2X10≈26.67（分钟）. 1.B[由1000×200-1200+1000=80，得n=192.] 1 0.3 (2)xpx,s>2 !2.D[远项A、B不是简单随机抽样，因为抽取的个体间的间隔是同 xm=5×0.1十15×0.2+25×0.3+35×0.2+45×0.15+55× 定的：远项C不是简单随机抽样，因为总体的个体有明显的层次：选 0.05=27.5(分钟)， 项D是简单随机抽样.] s=(5-27.5)2×0.1+(15-27.5)2×0.2+(25-27.5)2×0.3+ (35-27.5)2×0.2+(45-27.5)2×0.15+(55-27.5)2×0.05= 3.D[因为抽样比为品-品，所以各层中依次抽取的人教分别是 178.75(分钟). 对点训练 -8=16-10，=6] 解(1)A班成绩的平均数为 !4.800[设C产品的样本数量为n,则A产品的样本数量为n十10，由 玉=×0X1+1X3+2X5+3X1+4X6+5×8+6×6+7X4+8X 题意知”+(n+10)+130。,130 3000 1300,解得n=80.故C产品的数量为 3+9×2)≈4.53（分）. 130 所以A班成绩的方差为 80÷1300=80.] =×[0-)户+3X1-A)+5×(2-正4+7X(3-A)+题型月 1.B「根据颜率分布直方图的特点可知，低于60分的颜率是(0.005十 6×(4-元A)2+8X(5-元A)2+6×(6-A)2+4×(7-A)2+3×(8-: xA)2+2X(9-x4)2]≈4.96. Q0D×20=Q3,所以该班的学生人数是5-50] B班成绩的平均数为 :2.B[根据领率分布直方图的性质，得10×(m十0.020十0.016十 =言×1X3+2X3+3X8+4X18+5×10+6X3381分， 0.016+0.011十0.006)-1，解得m=0.031,故①正确：因为不低于 110 所以B班成绩的方差为 140分的频率为0.011X10=0.11,所以n=0.1=1000,故②错 误：由100分以下的颜率为0.006×10=0.06，所以100分以下的人 元=店×[3X(1-B)°+3X2-B)+8X3-a)2+18X(4- 数为1000×0.06=60，故③正确：分数在区间[120,140)上的人数 xB)2+10X(5-xB)2+3×(6-xg)2]≈1.51. 占0.031×10十0.016×10一0.47，占小半，故④错误.所以说法正确 的是①③.1 因为>虽，即B班成绩的方差较小，所以B班的成绩较为稳定. :3.解(1)颜率分布表如下： (2)由图表可知，两个班级得9分的学生共有2人，8分以上（含8 分)的学生共有5人，7分以上（含7分）的学生共有9人，6分以上· 分组 颜数 颜率 累积颜率 (含6分)的学生共有18人，5分以上（含5分）的学生共有36人，41 分以上（含4分）的学生共有60人. [107,109) 3 0.03 0.03 因为两个班级及格的总人数为60人，而4分以上（含4分）的学生共： [109,111) 9 0.09 0.12 有60人，所以参加者最少获得4分才能及格. 素养演练·提升技能 [111,113) 13 0.13 0.25 1.CD[设工x2,…,工n的平均数、中位数、标准差和极差分别为工， m,5,山，则M,必，…，y的平均数为十十十中十工土C- [113,115) 16 0.16 0.41 十十十十=工十c,中位数为m十6.由标准差和极差的性 [115,117) 26 0.26 0.67 [117,119) 20 0.20 0.87 质可知y,y,,y的标准差为s,极差为1.故选C、D.] 2.ABC[甲、乙两班学生成绩的平均数都是135，故两班成簧的平均！ [119,121) 7 0.07 0.94 数相同，所以A正确；s品=191>110=s号，所以甲班成绩不如乙班 稳定，即甲班的成绩波动较大，所以B正确；甲，乙两班人数相同，但！ [121,123) 4 0.04 0.98 甲班的中位数为149，乙班的中位数为151，从而易知乙班每分钟输 入汉字数不少于150个的人数要多于甲班，所以C正确；由题表看： [123,125] 2 0.02 1.00 不出两班学生成绩的众数，所以D错误.] 合计 100 1.00 33[由题唐得，该组数据的中位数为号×(2十x)=1十受，众数为 (2)领率分布直方图如下： 2,∴1十受=2X号，x=4,…孩组数据的平均数元=号×(1十 4颖率/组距 2+2+4+5+10)=4,方差=合×[1-4+(2-402+2-40 十(4-4)2十(5-4)2+(10-4)2门=9，∴.该组数据的标准差为3.] 43[由题意可得，1.96=200×[1+2.7-3门十0×[2+ 0107109111311511719121123125树苗高度/m (3)由上述图表可知数据落在[109,121)范围内的颜率为0.94一 81-3门+20×[+(8.3-3]，解得后=3] 0.03一0.91，即数据落在[109,121)范图内的可能性是91%. !题型三 5解z-品×(9.8+10.3+10.0+10.2+9.9十9，.8+10.0+1.Λ[这组数据的众数为92，中位数为号×(92+92)=92.] 10.1十10.2+9.7)=10， y=0×(10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+ 2.B[z=10+40+80+60+10=3,=0×(20×2+10× 100 10.4+10.5)=10.3, +30x1+10x2)-168号2] 5 274第九章统计 +频率/组距 (1)求这次测试数学成绩的众数； 0.040 0.035 (2)求这次测试数学成绩的中位数. 0.030 0.025 0.020 0.015 0.010 0.005 06455565758595产品数量 则：(1)这20名工人中一天生产该产品的数量在 [55,75)的人数是 (2)这20名工人中一天生产该产品的数量的中 位数为 (3)这20名工人中一天生产该产品的数量的平 均数为 5.某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽 出80名学生，其数学成绩（均为整数）的频率分 布直方图如图所示. +频率/组距 0.030 0.02 Q.020 0.015 0.005 温馨提示 请做课时分层检测（三十七） 0405060708090100分数/分 9.2.4总体离散程度的估计 明学习目标 知结构体系 1.结合实例，能用样本估计总体的离散程度参数 课标 (标准差、方差、极差) 反映 极差 一组数据中的最大值与最小值的差 要求 2.理解离散程度参数的统计含义， 数据 离散 方差 g2-红+动2+…+任，2 n 在学习和应用标准差、方差和极差的过程中，通过 程度 素养 的量 进行运算，对数据进行分析，发展数学运算素养和 标准差 (x1x)2+(x2x)2+…+(x。x)2 要求 n 数据分析素养 必备知识·自主梳理 预习新知夯实基础 1.一组数据x1,x2,…,xn的方差和标准差 3.样本方差和标准差 数据x1,x2,…,xn的方差为 如果一个样本中个体的变量值分别为y1y2,…, ,标准差为 yn,样本平均数为y,则称s2= 2.总体方差和标准差 为样本方差，5 为样本标准差、 (1)总体方差和标准差：如果总体中所有个体的4.标准差的意义 变量值分别为Y1,Y2,…,YN,总体的平均数为 标准差刻画了数据的 或 ,标准 Y,则称S2= 为总体方差，S= 差越大，数据的离散程度越 ；标准差越 为总体标准差。 小，数据的离散程度越 (2)总体方差的加权形式：如果总体的N个变量：5.分层随机抽样的方差 值中，不同的值共有(k≤N)个，不妨记为Y1,: 设样本容量为n,平均数为x,其中两层的个体数量 Y2,…,Yk,其中Y;出现的频数为f;(i=1,2,…, 分别为n1,2,两层的平均数分别为c1c2,方差分 k),则总体方差为S2= 别为，，则这个样本的方差为2= 121 数学必修第二册 即时小练 分，，52,53分别表示甲、乙、丙三个班数学测试 成绩的标准差，则有 1.判断正误 ↑f(x) 1f(x) ↑fx) (1)若一组数据的值大小相等，没有波动变化，则： 标准差为0. () 050 75100元05075100元05075100元 (2)标准差越大，表明各个样本数据在样本平均 图1 图2 图3 数周围越集中；标准差越小，表明各个样本数据 A.S3>s1>s2 B.$2>81>S3 在样本平均数周围越分散. () C.51>52>53 D.53>s2>S1 (3)在实际问题中要做出有效决策时，主要参照3.已知一个样本中的数据为1,2,3,4,5，则该样本 样本数据的平均数和标准差或方差. ( ) 的标准差为 2.在教学调查中，甲、乙、丙三个班的数学测试成绩 A.1 B.2 C.3 D.2 分布如图1,2,3，假设三个班的平均分都是75： 关键能力·合作探究 讲练设计探究重点 题点一方差、标准差的计算与应用 对点训练 [典例]甲、乙两机床同时加工直径为100cm的 (1)(多选)(2023·新课标I卷)有一组样本数据 零件，为检验质量，从中各抽取6件测量，数据为 x1x2,…,x6,其中x1是最小值，x6是最大值，则 甲：9910098100100103 () 乙：9910010299100100 A.x2,x3,x4,x5的平均数等于x1,x2,…,x6的平 (1)分别计算两组数据的平均数及方差； 均数 (2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量： B.x2,x3,x4,x5的中位数等于x1,x2,…,x6的中 更稳定 位数 C.x2,x3,x4,x5的标准差不小于x1,x2,…,x6的 标准差 D.x2,x3,x4,x5的极差不大于x1,x2,…,x6的 极差 (2)从甲、乙两种玉米苗中各抽取10株，分别测 得它们的株高（单位：cm)如下： 甲25414037221419392142 乙27164427441640401640 求：(1)哪种玉米苗长得高？ (2)哪种玉米苗长得齐？ …/方法技巧/ 1.平均数反映了数据取值的平均水平，而方差、 标准差描述了一组数据围绕平均数波动的大 小，标准差、方差越大，数据离散程度越大，越不 稳定；标准差、方差越小，数据的离散程度越小， 越稳定 2.在随机抽样中，往往用样本的离散程度估计 总体的离散程度： 122 第九章统计 题点二分层随机抽样的方差 、 题点三方差、标准差与统计图表的综合应用 [典例]在对某中学高一学生体重的调查中，采取[典例]为调查某市高中生对数学学习的喜好程 按样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道 度，从甲、乙两所高中各随机抽取了40名学生， 样本数据，只知道抽取了男生30人，其平均数和 记录他们在一周内平均每天课外学习数学的时 方差分别为55和15，抽取了女生20人，其平均 间（单位：分钟），并将其分成了6个区间：(0， 数和方差分别为45和20.你能由这些数据计算： 10],(10,20],(20,30],(30,40],(40,50],(50, 出总样本的平均数和方差吗？若能，则求出，不 60],整理得到如下频率直方图. 能，说明理由. +频率/组距 频率/组距 0.030 0.035 0.020 0.025 0.015 0.020 0.010 0.015 0.005 0 102030405060时间/分钟 0.0050 0 102030405060时间/分钟 甲高中 乙高中 (1)试估计甲高中学生一周内平均每天课外学习 数学的时间的中位数m甲（精确到0.01）； (2)判断从甲、乙两所高中各自随机抽取的40名 学生一周内平均每天课外学习数学的时间的平 均值x甲与x乙及方差与2的大小关系（只 /方法技巧/ 需写出结论)，并计算其中的x甲、s屏（同一组中的 分层随机抽样的方差 数据用该组区间的中点值作代表). 设样本中不同层的平均数分别为x1,x2,…, xm,方差分别为s子，s,…,s品，相应的权重分别 为01,2，…，n,则这个样本的方差为s2= ∑，：[s号十(x;一x)2](x为样本的平均数). 对点训练 某培训机构在假期招收了A,B两个数学补习： 班，A班10人，B班30人，经过一周的补习后进 行了一次测试，在该测试中，A班的平均成绩为 130分，方差为115，B班的平均成绩为110分， 方差为215.求在这次测试中全体学生的平均成： 绩和方差。 …/方法技巧/… 数据分析的要点 (1)要正确处理此类问题，首先要抓住问题中的 关键词语，全方位地进行必要的计算、分析，而 不能习惯性地仅从样本方差的大小去决定哪 组的成绩好，像这样的实际问题还得从实际的 角度去分析 (2)在进行数据分析时，不同的标准没有对和错 的问题，也不存在唯一解的问题，而是根据需要 来选择“好”的决策，至于决策的好坏，是根据提 出的标准而定的 123 数学必修第二册 对点训练 (1)你认为哪个班级的成绩比较稳定？ (2)若两班共有60人及格，则参加者最少获得多 现有A,B两个班级，每个班级各有45名学生参！ 少分才能及格？ 加测验，参加的每名学生可获得0分、1分、2分、 3分、4分、5分、6分、7分、8分、9分这几种不同 分值中的一种，A班的测试结果如下表所示： 分数/分 9 人数/名 B班的成绩如图所示 人数/名 18 10 0123456789分数分 素养演练·提升技能 达标训练素养提高 1.（多选)有一组样本数据x1,x2,…,xn,由这组数 其中高一、高二、高三学生每天读书时间的平均 据得到新样本数据y1y2,…y,其中y:=x;十c 数分别为x1=2.7,x2=3.1,x3=3.3,又已知高 (i=1,2,…,n),c为非零常数，则 ( ) 一、高二学生每天读书时间的方差分别为=1， A.两组样本数据的样本平均数相同 号=2，则高三学生每天读书时间的方差s号= B.两组样本数据的样本中位数相同 C.两组样本数据的样本标准差相同 :5.某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新 D.两组样本数据的样本极差相同 设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设 2.(多选)甲、乙两班举行电脑汉字录入比赛，参赛： 备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件 学生每分钟录人汉字的个数经统计计算后填入 产品该项指标数据如下： 下表： 1旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7 班级 参加人数 中位数 方差 平均数 新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5 甲 55 149 191 135 旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均 乙 55 151 110 135 数分别记为x和y,样本方差分别记为子和. (1)求x,y,s号，s吃 某同学根据表中数据分析得出的结论正确的是 (2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧 ( A.甲、乙两班学生成绩的平均数相同 设备是查有显著提高如果y之之竹↓，那 B.甲班的成绩波动比乙班的成绩波动大 么认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧 C.乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数（每分钟： 输入汉字数≥150为优秀) 设备有显著提高，否则不认为有显著提高). D.甲班成绩的众数小于乙班成绩的众数 3.一组数据按从小到大的顺序排列为1,2,2，x,5, 10,其中x≠5，已知该组数据的中位数是众数的： 多倍，则该组数据的标准老为 4.某学校共有学生2000人，其中高一800人，高： 二、高三各600人，学校对学生在暑假期间每天： 的读书时间做了调查统计，全体学生每天的读书 时间的平均数为x=3小时，方差为2=1.966，温馨提示 请做课时分层检测（三十八） 124