9.2.4 总体离散程度的估计 课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学课件聚焦“总体离散程度的估计”，涵盖极差、方差、标准差及总体与样本方差、分层抽样方差计算等核心知识点。课堂导入通过复习集中趋势指标和初中方差定义，搭建新旧知识联系的学习支架，引导学生从已知过渡到未知。 其亮点在于以问题驱动构建新知，通过射击成绩折线图比较、两班成绩合并计算等典例，培养学生数学思维（推理能力）和数学语言（数据观念）。采用讲练结合的教学方法，帮助学生直观理解离散程度概念，教师可借助清晰的知识脉络提升教学效率。

人教A版必修第二册 9.2.4 总体离散程度的估计 日期：2026年6月 第九章 统计 1 1 复习 请回忆并阐述刻画一组数据的集中趋势的常用指标，及如何根据频率分布直方图估计. 2 一、创设情境，引入新知 3 复习 作为刻画一组数据的“离散程度”的三个常用指标，即极差、方差、标准差，请问它们的区别是什么？ 离散程度 极差 一组数据中最大值与最小值的差. 极差在一定程度上刻画了数据的离散程度，但因为只涉及最大值和最小值，所以所含信息量很少. 方差 标准差 在实际应用中，方差常被理解为稳定性，它描述了一组数据围绕平均数波动的大小 . 方差小意味着成绩稳定，离散程度小. 方差的算术平方根. 3 一、创设情境，引入新知 4 复习 初中阶段， 方差是如何定义的？ 4 一、创设情境，引入新知 5 复习 初中阶段， 方差是如何定义的？ 方差 5 二、问题驱动，构建新知 6 方差和标准差 假设一组数据是，用表示这组数据的平均数，则称为这组数据的方差. 有时，为了计算方便，还把方程写成以下形式： 即 6 二、问题驱动，构建新知 7 推导 . 分析 = 求和性质 不难看出，求和符号具有以下性质： （1） （2） （3） 7 二、问题驱动，构建新知 8 总体方差和标准差 如果总体中所有个体的变量值分别为，用表示这组数据的平均数，则称 为总体方差. 为总体标准差. 8 二、问题驱动，构建新知 9 问题 如果总体中的数据有重复呢？比如总体的个变量值中，不同的值共有个，不妨记为，其中出现的频数为则总体方差是多少？ 分析 9 二、问题驱动，构建新知 10 样本方差和标准差 如果一个样本中个体的变量值分别为，用表示这组数据的平均数，则称 为样本方差. 为样本标准差. 10 二、问题驱动，构建新知 11 问题 总体方差和标准差与样本方程和标准差有什么关系？ 分析 在实际问题中，总体平均数和总体标准差都是未知的. 就像用样本平均数估计总体平均数一样，通常我们也用样本方差去估计总体方差，用样本标准差去估计总体标准差. 在随机抽样中，样本标准差别依赖于样本的选取，具有随机性. 11 三、典例分析，感受新知 12 例1 如图是小王与小张两人参加某射击比赛预赛的五次测试成绩的折线图，设小王与小张成绩的样本平均数分别为和，方差分别为和，则（ ） A.<，> B.<，< C.>，> D.>，< 总结 在刻画数据的分散程度上，方差和标准差是一样的. 在解决实际问题中，一般多采用标准差（单位一致）. 标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小. 12 三、典例分析，感受新知 13 例2 甲、乙两班参加了同一学科的考试，其中甲班50人，乙班40人. 甲班的平均成绩为80.5分，方差为500；乙班的平均成绩为85分，方差为360. 那么甲、乙两班全部90名学生的平均成绩和方差分别是多少？ 分析 设甲班50名学生的成绩分别是，那么甲班的平均成绩、权重和方差分别为 ），， 设乙班40名学生的成绩分别是，那么乙班的平均成绩、权重和方差分别为 ），， 13 三、典例分析，感受新知 14 例2 甲、乙两班参加了同一学科的考试，其中甲班50人，乙班40人. 甲班的平均成绩为80.5分，方差为500；乙班的平均成绩为85分，方差为360. 那么甲、乙两班全部90名学生的平均成绩和方差分别是多少？ 分析 则全部90名学生的平均成绩为 （分）. ∴90名学生的方差为 14 三、典例分析，感受新知 15 例2 甲、乙两班参加了同一学科的考试，其中甲班50人，乙班40人. 甲班的平均成绩为80.5分，方差为500；乙班的平均成绩为85分，方差为360. 那么甲、乙两班全部90名学生的平均成绩和方差分别是多少？ 分析 ∵ . 15 三、典例分析，感受新知 16 例2 甲、乙两班参加了同一学科的考试，其中甲班50人，乙班40人. 甲班的平均成绩为80.5分，方差为500；乙班的平均成绩为85分，方差为360. 那么甲、乙两班全部90名学生的平均成绩和方差分别是多少？ 分析 同理 . ∴90名学生的方差为 16 三、典例分析，感受新知 17 分层随机抽样的方差 总体分为2层，按比例分配的分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为n1，，，n2，，.记总样本的平均数为，样本方差为s2， s2={n1[+(-)2]+n2[+(-)2]}. 你能推导一下吗？ 17 四、课堂练习，巩固新知 18 练习 坐位体前屈是中小学体质健康测试项目，主要测试学生躯干、腰、髋等部位关节韧带和肌肉的伸展性、弹性及身体柔韧性.在对某高中1 500名高三年级学生的坐位体前屈成绩的调查中，采用按学生性别比例分配的分层随机抽样的方法抽取100人，已知这1 500名高三年级学生中男生有900人，且抽取的样本中男生的平均数和方差分别为13.2 cm和13.36，女生的平均数和方差分别为15.2 cm和17.56. (1)求抽取的总样本的平均数； (2)试估计高三年级全体学生的坐位体前屈成绩的方差. 参考公式：总体分为2层，按比例分配的分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为n1，，，n2，，.记总样本的平均数为，样本方差为s2，s2={n1[+(-)2]+n2[+(-)2]}. 18 设在男生、女生中分别抽取n1名和n2名，则==， 解得n1=60，n2=40. 记抽取的总样本的平均数为，根据按比例分配的分层随机抽样的总样本平均数与各层样本平均数的关系， 可得=×13.2+×15.2=14(cm). 所以抽取的总样本的平均数为14 cm. 19 男生样本的平均数为=13.2 cm， 样本方差为=13.36； 女生样本的平均数为=15.2 cm， 样本方差为=17.56. 由(1)知，总样本的平均数为=14 cm. 记总样本方差为s2， 则s2={60×[13.36+(13.2-14)2]+40×[17.56+(15.2-14)2]}=16. 所以估计高三年级全体学生的坐位体前屈成绩的方差为16. 20 01 复习巩固 课本习题 02 综合应用 资料这一节 03 课后作业 21 谢谢大家！ 22 $