5.4.3正切函数的性质与图象课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

5.4.3 正切函数的性质与图象 学习目标 1.能画出正切函数的图象 2.借助图像理解掌握正切函数的性质 3、能够利用正切函数图象和性质简单地应用 4、体会数学思想：数形结合和类比思想 问题1：根据研究正、余弦函数的经验？你认为该如何研究正切函数的图象和性质？ 性质 概念 图象 背景 应用 问题2：你能用不同的方法研究正切函数吗？ 先正切函数的性质，再画它的图象. 课堂探究 01 定义域 O 思考，角是任意角吗？ 角α的终边不在y轴上 定义域： 课堂探究 02 周期性 思考：正切函数是否具有周期？若有，周期是多少？ 诱导公式： 正切函数是周期函数，周期是kπ ,最小正周期是 思考：除此之外，我们还学习了哪些有关正切函数的诱导公式？ 课堂探究 03 奇偶性 思考：除此之外，我们还学习了哪些有关正切函数的诱导公式？ 正切函数是奇函数 函数关于原点对称 课堂探究 04 图象 如何画出函数 上的图象？ 课堂探究 04 图象 课堂探究 问题探究 正切函数的图象 把y=tanx，x∈ (-π/2,π/2)图象向左或者向右平移，每次平移π个单 位长度就得到y=tanx x∈R,且x≠π/2+kπ,k∈Z 的图象。 O y x 1 -1 观察图象 3、被相互平行的直线 x=π/2+kπ,k∈Z 所隔开的无穷多支曲线组成的。 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 问题：结合图象，正切函数的对称中心有哪些？对称轴呢？ 观察正切函数的图象，探究其单调性，值域是什么？ 对称中心. 无对称轴. 单增区间： . 无减区间. 值域：R 课堂探究 O π/2 -π/2 -3π/2 3π/2 π -π y x -π/4 π/4 1 -1 正切曲线在(-π/2,π/2)的简图的画法： “三点两线法” 请看三点两线在图中的位置。 课堂探究 例：求函数的定义域、周期和单调区间. 解 自变量x的取值应满足x++kπ,k∈Z,即x≠+2k,k∈Z. 所以,函数的定义域是. 设z=x+,又tan(z+π)=tan z, 所以tan[(x+)+π]=tan(x+), 即tan[(x+2)+]=tan(x+). 因为∀x∈, 都有tan[(x+2)+]=tan(x+), 所以,函数的周期为2. 由-+kπ<x++kπ,k∈Z,解得-+2k<x<+2k,k∈Z.因此,函数的单调递增区间为(-+2k,+2k),k∈Z. 课堂探究 例： 求函数， 的图象的对称中心？ 解：由函数可得，， ， 解得 ，， 即的图象的对称中心是 ， ， . 课堂探究 x y o 课堂探究 你有什么 收获呢？ 正切函数图象 周期性 1.正切线平移 2.正切函数的性质 定义域 值域 周期性 奇偶性 单调性 3.数学思想： 类比法、 整体代换 数形结合、 课堂小结 对称性 课堂探究 评价反馈 课堂探究 课堂探究 课堂探究 课堂探究 课堂探究 课堂探究 课本练习 解： 题型分类讲解 1.下列图形分别是； ； ；在 内的大致图象，那 么由到 对应的函数关系式应是( ) D A.①②③④ B.①③④② C.③②④① D.①②④③ 题型1 图象的理解 解析 在上是单调递减的, 只有图象符合,即 对应③.故选D. 2.函数 在一个周期内的图象是( ) A A. B. C. D. 解析 当时,,排除C,D；当时, ,排除B.故选A. 3.函数在上的最大值为7，最小值为3，则 为( ) B A. B. C. D. 题型2 定义域、值域 解析 ,, , 又 函数在上的最大值为7,最小值为3,,即 . 根据正切函数在,上单调递增,得在 上单调递减, ,,则 , ,,, ,故选B. 31 4. 的定义域为_____________________________. 解析 令， ， 函数的定义域为 ， 函数的定义域为，则，即 , ， 所以的定义域为 . 32 5.函数与函数的最小正周期相同，则 ( ) A A. B.1 C. D.2 题型3 奇偶性、对称性、周期性 解析 因为函数与函数的最小正周期相同,所以 , 所以 .故选A. 33 6.（多选）已知函数的最小正周期为 ，则( ) CD A. B.的图象的对称中心为 C.在 上单调递增 D. 是奇函数 解析 A： ，故A错误； B：令,，则 ,，所以图象的对称中心为 ， 故B错误； C：由选项A知 ，当时，,在 上单调递增，故C正确； D：设函数，则，显然 的定义域关于原点对称，故 是奇函数，故D正确.故选 . 规律方法 （1）奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为或 的形式，而偶 函数一般可化为 的形式. （2）周期的计算方法：利用函数，的周期为 ，函 数的周期为 求解. （3）对称轴、对称中心的求法：对于可化为（或 形 式的函数，如果求图象的对称轴，只需令 （或令 ，求即可；如果求 图象的对称中心的横坐标，只需令 或令，求即可.对于可化为 形 式的函数，如果求图象的对称中心的横坐标，只需令，求 即可. 35 7.［湖北武汉六中2025高一月考］函数 图象的对称中心为_________ ______________. 解析 令,，解得, ， 所以函数图象的对称中心为 . 36 8.（多选）下列不等关系成立的是( ) ABD A. B. C. D. 题型4 单调性 解析 对于A,,故, ,故 ,A正确； 对于B,,则,, , 则 ,B正确； 对于C, ,故,, , 故 ,C错误； 对于D,,则,, , 故,D正确.故选 . 37 9.若函数在 上单调递增，则 的取值范围是( ) D A. B. C. D. 解析 函数在 上单调递增， 根据正切函数的性质，可得 ， 当时，,，则，解得 .故选D. 38 10.不等式 的解集是___________________________. 解析 因为在 , 上单调递增, 所以由,得 , , 解得 , , 即不等式的解集是 . 39 谢谢大家 思考：对应于正余弦函数的“五点法”作图，类似地能画出正切函数y＝tanx，x∈(-5π/2 , 5π/2)的简图吗？怎样画？ 正切函数的图象和性质 解析式 y＝tanx 图象 定义域 {x|x∈R且x≠kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z} 值域 R 周期 π 奇偶性 奇函数 对称性 关于点 单调性 在开区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)内都是增函数 渐近线 【答案】　B 1．函数y＝tan xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)≤x≤\f(π,4)且x≠0))的值域是(　　) A．[－1,1]　　　　　　 B．[－1,0)∪(0,1] C．(－∞，1] D．[－1，＋∞) 【解析】　根据函数的单调性可得． 【答案】　eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(x≠kπ＋\f(π,3)，k∈Z))))　eq \r(3) 2．函数f(x)＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))的定义域是________，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝________. 【解析】　由题意知x＋eq \f(π,6)≠kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，即x≠eq \f(π,3)＋kπ(k∈Z)． 故定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(x≠kπ＋\f(π,3)，k∈Z))))，且feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋\f(π,6)))＝eq \r(3). 【答案】　eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋kπ，\f(π,2)＋kπ))(k∈Z) 3．函数y＝－tan x的单调递减区间是________． 【解析】　因为y＝tan x与y＝－tan x的单调性相反，所以y＝－tan x的单调递减区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋kπ，\f(π,2)＋kπ))(k∈Z)． 【答案】　π 4．函数y＝|tan x|的最小正周期为________． 【解析】　作出y＝|tan x|的图象，如图所示． 由图可知，函数y＝|tan x|的最小正周期是π. 5．(1)求函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,4)))的单调区间； (2)比较taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13π,4)))与taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(12π,5)))的大小． 【解】　(1)由kπ－eq \f(π,2)<eq \f(1,2)x－eq \f(π,4)<kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z) ，得 2kπ－eq \f(π,2)<x<2kπ＋eq \f(3π,2)(k∈Z)， 所以函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,4)))的单调递增区间是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(3π,2)))(k∈Z)． (2)由于taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13π,4)))＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4π＋\f(3π,4)))＝tan eq \f(3π,4)＝－tan eq \f(π,4)， taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(12π,5)))＝－taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π＋\f(2π,5)))＝－tan eq \f(2π,5)， 又0<eq \f(π,4)<eq \f(2π,5)<eq \f(π,2)， 而y＝tan x在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上单调递增，所以tan eq \f(π,4)<tan eq \f(2π,5)，－tan eq \f(π,4)>－tan eq \f(2π,5)， 即taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13π,4)))>taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(12π,5))). $