5.4.2正弦函数、余弦函数的性质(一)课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性，通过观察函数图象重复间隔、结合诱导公式分析特征、辨析周期成立条件，再观察曲线对称性引出奇偶性，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以问题链驱动探究，借助直观想象（正余弦曲线对称性观察）和数学抽象（周期函数定义构建），通过典例多解法（如定义法、公式法求周期）及类题通法总结（判断奇偶性步骤），助力学生培养数学思维，教师可利用系统探究框架提升教学效率。

5.4.2　正弦函数、余弦函数的性质(一) 素养目标 思维导图 1.了解三角函数的周期性(数学抽象). 2.借助图象理解正弦函数、余弦函数的奇偶性(直观想象). 课前自主学习 问题1.观察函数f(x)的部分图象,思考下列问题: (1)观察图形, 函数图象每相隔多少个单位重复出现? 提示:每相隔1个单位重复出现. (2)由诱导公式一:k∈Z,结合正(余)弦曲线,可以看出正(余)弦 函数怎样的特征?图象变化趋势是怎样的? 提示:自变量x增加2π的整数倍时,函数值重复出现,图象发生“周而复始”的变化. (3)对于函数y=sin x,当x=时,sin (x+=sin x是否成立?如果成立,那么是不是y= sin x的周期?为什么? 提示:当x=时,sin ()=sin =sin =,成立,但不是y=sin x的周期, 因为sin(x+)=sin x不恒成立,例如取x=0,则sin =≠sin 0=0,所以不是y=sin x的周期. 问题2.观察正弦曲线和余弦曲线,回答下面的问题. 正弦曲线 余弦曲线 (1)观察正弦曲线和余弦曲线具有怎样的对称性? 提示:y=sin x,x∈R的图象关于原点对称,y=cos x,x∈R的图象关于y轴对称. (2)上述特征反映出正、余弦函数的什么性质? 提示:反映出正弦函数y=sin x是奇函数,余弦函数y=cos x是偶函数. 【核心概念】 1.周期函数 对于函数f(x),如果存在一个______常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有 ___________,那么函数f(x)就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期. 2.最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个______的正数,那么这个______正数称 为函数f(x)的最小正周期. 非零 f(x+T)=f(x) 最小 最小 3.正弦、余弦函数的周期性 正弦函数y=sin x(x∈R)和余弦函数y=cos x(x∈R)都是周期函数,_____(k∈Z,且k≠0) 都是它们的周期.最小正周期为____. 4.奇偶性 正弦函数是____函数;余弦函数是____函数. 2kπ 2π 奇 偶 课堂合作探究 探究点一　三角函数的周期性 【典例1】求下列函数的最小正周期. (1)(一题多解) f(x)=sin(2x+)(x∈R). (2)y=. 【思维导引】根据诱导公式一,因为sin(2π+z)=sin z,所以f(2π+z)=f(z),推导函数的周期. 【解析】(1)方法一(定义法):令z=2x+, 因为x∈R,所以z∈R. 函数f(x)=sin z的最小正周期是2π, 即变量z只要且至少要增加到z+2π, 函数f(x)=sin z(z∈R)的值才能重复取得. 而z+2π=2x++2π=2(x+π)+, 所以自变量x只要且至少要增加到x+π,函数值才能重复取得, 所以函数f(x)=sin(2x+)(x∈R)的最小正周期是π. 方法二(公式法):f(x)=sin(2x+)的最小正周期为=π. (2)图象法:因为函数y=cos(2x+)的最小正周期为π,而函数y=的图象是将函数y=cos(2x+)的图象在x轴下方的部分对折到x轴上方,并且保留在x轴及上方的图象而得到的,由此可知所求函数的最小正周期为. 【类题通法】求函数周期的方法 1.公式法:对形如y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)(其中A,ω,φ是常数,且A≠0,ω>0),可利用T=来求. 2.定义法:利用周期函数的定义求函数的周期. 3.图象法:画出三角函数图象,分析图象特征判断周期. 【定向训练】 1.若函数y=2sin()的最小正周期T∈(,),则正整数k的值为　　　　.  【解析】因为T==∈(,),即<<,<<, 故8π<k<9π,k∈Z,故k=26,27或28. 答案:26,27或28 2.求下列三角函数的最小正周期: (1)y=cos 4x;(2)y=3sin(x+);(3)y=2cos(2x-). 【解析】(1)由y=cos 4x,得T===. (2)由y=3sin(x+),得T===4π. (3)由y=2cos(2x-),得T===π. 探究点二　三角函数奇偶性的判断 【典例2】判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=2cos(x+); (2)f(x)=cos x-x3sin x. 【思维导引】先求函数的定义域,判断函数定义域是否关于原点对称,再判断f(-x)与f(x)的关系,最终确定奇偶性. 【解析】(1)f(x)的定义域为R,关于原点对称, 因为f(x)=2cos(x+)=2cos(x+)=-2sinx, 又f(-x)=-2sin(-x)=2sinx=-f(x). 所以f(x)为奇函数. (2)f(x)的定义域为R,关于原点对称, 因为f(-x)=cos(-x)-(-x)3sin(-x)=cos x-x3sin x=f(x),所以f(x)为偶函数. 【类题通法】判断函数奇偶性的思路 【定向训练】 1.与图中曲线对应的函数可能是 (　　) A.y= B.y=sin C.y=- D.y=-sin 【解析】选D.对于A,当0<x<π时,y=>0,A不满足条件; 对于B,当0<x<π时,0<<π,y=sin >0,B不满足条件; 对于C,当π<x<2π时,y=-<0,C不满足条件; 对于D,令f(x)=-sin ,该函数的定义域为R,f(-x)=-sin =-sin =f(x),故函数y =-sin |x|为偶函数,当0<x<π时,f(x)=-sin <0,D满足条件. 【题后反思】识别图象关键是判断选项中函数在区间(0,π)或(π,2π)上的函数值符号以及奇偶性. 2.判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)=sin xcos x; (2)f(x)=. 【解析】(1)函数的定义域为R,关于原点对称. 因为f(-x)=sin(-x)cos(-x)=-sin xcos x=-f(x), 所以f(x)=sin xcos x为奇函数. (2)由得cos x=1, 所以函数的定义域为{x|x=2kπ,k∈Z},定义域关于原点对称. 当cos x=1时,f(-x)=0,f(x)=±f(-x). 所以f(x)=既是奇函数又是偶函数. 探究点三　三角函数的奇偶性与周期性的综合应用 【典例3】定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数,若f(x)的最小正周期是π,且当x∈[0,]时,f(x)=sin x,求f()的值. 【思维导引】利用周期性与奇偶性将化到[0,]内再求值. 【解析】因为f(x)的最小正周期是π,所以f()=f(-2π)=f(-). 又因为f(x)是R上的偶函数,所以f(-)=f()=sin=.所以f()=. 【类题通法】 1.利用周期性和奇偶性解决求值问题的方法 利用函数的周期性,可以把x+nT(n∈Z)的函数值转化为x的函数值.利用奇偶性,可以找到-x与x的函数值的关系,从而解决求值问题. 2.判断y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)是否具有奇偶性的关键 判断函数y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)是否具备奇偶性,关键是看它能否通过诱导公式转化为y=Asin ωx(Aω≠0)或y=Acos ωx(Aω≠0)其中一个. 【定向训练】 1.函数y=cos(x+)是 (　　) A.最小正周期为π的奇函数 B.最小正周期为π的偶函数 C.最小正周期为2π的奇函数 D.最小正周期为2π的偶函数 【解析】选C.因为y=cos(x+)=-sin x, 所以T==2π,所以函数的最小正周期为2π. 又因为-sin(-x)=sin x,所以函数y=cos(x+)是奇函数. 故函数y=cos(x+)是最小正周期为2π的奇函数. 2.已知函数f(x)=. (1)求函数f(x)的定义域并判断函数的奇偶性; (2)求函数f(x)的最小正周期. 【解析】(1)由cos x+1≠0,得x≠2kπ+π,k∈Z, 所以函数f(x)的定义域为{x|x≠2kπ+π,x∈R,k∈Z},f(x)== =2-cos x. 因为f(-x)=f(x),且函数f(x)的定义域关于坐标原点对称,故函数f(x)为偶函数. (2)因为f(x)=2-cos x(x≠2kπ+π,k∈Z), 所以f(x)的最小正周期为T==2π. 课堂练习 1.三角函数y=sin是 (　　) A.周期为4π的奇函数 B.周期为的奇函数 C.周期为π的偶函数 D.周期为2π的偶函数 【解析】选A.三角函数y=sin是奇函数,它的周期为=4π. √ 2.函数f(x)=sin(-x)的奇偶性是 (　　) A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数 【解析】选A.由于x∈R,且f(-x)=sin x=-sin(-x)=-f(x), 所以f(x)为奇函数. √ 3.对于任意的x∈R都有f(x+2)=f(x),则f(x)的一个周期为　　　　.  【解析】由周期函数的定义知f(x)的一个周期为2. 答案:2(答案不唯一) 4.函数y=cos(3x+φ)的图象关于原点成中心对称,则φ=　　　　.  【解析】由题意,得y=cos(3x+φ)是奇函数,故φ=kπ+(k∈Z). 答案:kπ+(k∈Z) 5.已知f(x)为奇函数,且周期为,若f( ) =-1,则f( ) =　　　　　.  【解析】因为T=,又f(x)为奇函数,所以f()=f(8×)=f(-)=-f()=-(-1)=1. 答案:1 谢 谢 $