5.3　诱导公式(二)课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦诱导公式五~六，通过复习诱导公式一~四导入，结合单位圆图形展示角的终边对称关系，以表格对比公式、终边关系与图形表示，搭建从旧知到新知的学习支架，帮助学生掌握推导过程。 其亮点在于以直观想象为基础，通过逻辑推理（公式推导、恒等式证明）和数学运算（化简求值）深化应用，设置“明辨是非”辨析题纠正误区，“解题有招”总结策略。学生能提升推理与运算能力，教师可直接使用结构化资源提高教学效率。

5.3　诱导公式(二) 【学习目标】 1.在诱导公式二~四的基础上,掌握诱导公式五~六的推导过程.(直观想象、逻辑推理) 2.能够运用诱导公式一~六解决与三角函数有关的求值、化简、证明问题.(逻辑推理、数学运算) 诱导公式五~六 1.公式五 诱导公式 图形表示 终边关系 sin (-α)=cos α 角-α与角α的终边关于直线y=x对称 cos (-α)=sin α 2.公式六 诱导公式 图形表示 终边关系 sin (+α)=cos α 角-α与角α的终边关于直线y=x对称;+α与-α的终边关于y轴对称 cos (+α)=-sin α [点睛] 1.公式五、六记忆口诀“函数名改变,符号看象限”. 2.对形如“k·±α”(k=0,1,2,3)的诱导公式,当k=0,2时函数名不变,当k=1,3时函数名改变;统一的记忆口诀“奇变偶不变,符号看象限”. [思考] 借助单位圆,还可以建立角的终边之间的哪些特殊位置关系?由此还能得到三角函数值之间的哪些恒等关系? 提示:设角α和-α的终边与单位圆分别交于点P,Q,根据三角函数定义可知:P(cos α,sin α),Q(cos(-α),sin(-α)),而射线OP,OQ关于直线y=-x对称,因此有sin(-α)=-cos α,cos(-α)=-sin α成立. 【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)诱导公式五、六中的角α只能是锐角.( ) 提示:诱导公式五、六中的角α是任意角,故错误. (2)sin(α-)=cos α.( ) 提示:sin(α-)=-sin(-α)=-cos α,故错误. × × (3)若α为第二象限角,则sin(+α)=cos α.( ) (4)对任意角α,sin(-α)=sin α都不成立.( ) 提示:当α=时,sin(-α)=sin α成立,故错误. √ × 类型1 利用诱导公式化简、求值(重点讲解) 【典例1】(1)已知cos (α+)=-,α∈(0,),则cos (-α)=(　　) A.-　 B.-　 C.　 D. 【解析】选D.因为α∈(0,),所以α+∈(,),则由cos (α+)=-, 可得sin (α+)=,故cos (-α)=cos [-(α+)]=sin (α+)=. √ (2)(2026·驻马店高一检测)在平面直角坐标系中,已知角α的顶点为坐标原点,始边与x轴非负半轴重合,终边经过点P(3,λ),且sin α=. ①求实数λ及相应cos α的值; ②当λ>0时,化简并求值. 【解析】①根据三角函数的定义得sin α=,解得λ=0或λ=±4, 当λ=0时,P(3,0),cos α=1,当λ=±4时,cos α=. ②由λ>0可知λ=4,此时sin α=,cos α=, 原式====-=-=-. 【解题有招】 解决化简、求值问题的策略 (1)遵循诱导公式先行的原则,将三角函数式化简,达到角的统一,再进行切化弦,以保证三角函数名最少. (2)将角看成整体,观察要求的角与已知角的和、差关系,是否具有互余、互补等特殊关系,再利用诱导公式转化求值. 【即学即练】 1.(2025·平凉高一检测)已知角α的顶点为坐标原点,始边为x轴的非负半轴,终边过点P(3,-6),则sin(α+)=(　　) A.　 B. C.-　 D.- 【解析】选A.因为角α的终边过点P(3,-6),所以cos α= ,所以sin(α+)=sin(α+)=cos α=. √ 2.-=(　　) A. B. C. D. 【解析】选A.-=- =-+2sin θ=. √ 类型2 证明恒等式(逻辑推理) 【典例2】求证:=. 【证明】左边===, 右边=,所以原等式成立. 【解题有招】 利用诱导公式证明恒等式 (1)方法:从左向右推导或左右归一. (2)注意:化简要遵循一定的原则,如先负化正,再大化小,先不变名称变形,再变名称变形等. 【即学即练】 求证:=-tan θ. 【证明】左边===-tan θ=右边. 所以原等式成立. 类型3 综合应用(数学运算) 【典例3】已知f(θ)=. (1)若f(θ)=,求tan θ的值; (2)若f(-θ)=,求f(+θ)的值. 【解析】(1)f(θ)==cos θ, 由f(θ)=,得sin θ=±=±,所以tan θ=±2; (2)由f(-θ)=,得cos (-θ)=,则f(+θ)=cos (+θ)=cos [π-(-θ)]=-cos (-θ)=-. 【解题有招】 利用诱导公式解决综合类问题 (1)综合应用诱导公式一~六,结合同角三角函数的基本关系解题; (2)解题的过程中注意运用弦切互化、“1”的代换、公式变形等方法解题. 【即学即练】 已知圆O是单位圆,锐角α的终边与圆O相交于点P(,m),将射线OP绕点O按逆时针方向旋转θ后与单位圆相交于点B. (1)求m的值; (2)求cos(-α)-cos (-α)+3sin(π-α)的值; (3)记点B的横坐标为f(θ),若f(θ)=,求sin (θ-)+cos (θ+)的值. 【解析】(1)因为圆O是单位圆,锐角α的终边与圆O相交于点P(,m), 所以cos α=.所以m=sin α=. (2)原式=cos α-sin α+3sin α=-+. (3)由(1)知,sin α=,且α为锐角,所以α=,f(θ)=cos (θ+)=. 所以sin (θ-)+cos (θ+)=sin (θ+-)+cos (θ++π) =-cos (θ+)-cos (θ+)=-2cos (θ+)=-. $