专题01 因式分解压轴问题（压轴题专项训练）数学新教材湘教版八年级上册

**基本信息** 以“结构识别-恒等变形-代数求值”为核心，通过通法提炼、题型模版构建与压轴挑战，系统培养因式分解压轴问题的解题思维与迁移能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1核心解法|明确“恒等变形、分解彻底”底线原则，提炼三大核心能力|从代数变形本质出发，构建因式分解压轴问题的底层逻辑| |题型归纳|3题型（各含1典例+3变式）|规律题四步拆解法、新定义转化四步法、最值配方四步法，附易错提醒|按“基础规律→创新定义→综合应用”递进，形成“方法-题型-变式”闭环| |压轴挑战|17道综合题|融合多模块方法，强调跨题型迁移与复杂情境转化|对接中考命题趋势，实现从方法掌握到思维突破的能力跃升|

专题01 因式分解压轴问题 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、因式分解中的规律性问题 题型二、因式分解中的新定义问题 题型三、利用因式分解求最值 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 因式分解压轴问题是初中数学代数板块的核心重难点，所有题型均围绕“结构识别、恒等变形、代数求值”三大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是变形前后代数式恒等，二是运算结果必须分解彻底。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、因式分解中的规律性问题 典例1 有一种用“因式分解”法产生的密码，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式因式分解的结果是，当时，各个因式的值是：，于是就可以把“0832”作为一个密码，我们把上述密码中的“0”、“8”、“32”分别叫做这串密码的第一位因式码、第二位因式码、第三位因式码．类似地，多项式因式分解的结果是，当它的第一位因式码的值和第二位因式码的值构成的数是“128”时，它的第三位因式码的值是_____． 题型模版 一、 题型特征 题干呈现多组因式分解算式或结果，要求归纳第n项通式、计算特定项或推导一般规律。核心特征为“多组并列、结构相似、递进变化”，需从系数、指数、符号、项数四个维度识别变量与不变量。 二、 解题方法 拆解前3-4组：分别提取系数规律、指数变化、符号交替、项数增减，用n表示变量部分。 推导第n项通式：结合拆解规律，写出含n的通式，注意符号与系数的对应关系。 代入验证：将n=1,2,3代入通式，与题干前3组结果逐项比对，确保完全一致。 计算目标项：将题目要求的n值代入验证后的通式，完成最终计算。 三、 易错提醒 归纳偏差：仅看前2组就下结论，忽略符号交替或系数倍数变化，必须验证至少3组。 通式错误：变量与不变量混淆，如将固定系数误写为含n的表达式，拆解时需标注“不变量”。 验证缺失：推导通式后未代入验证，导致规律归纳错误，验证是必做步骤。 符号遗漏：忽略符号交替规律，如奇偶项符号不同，通式中需明确符号表达式。 变式1-1分解因式：，，． （1）观察上述三个多项式的系数，有，，，于是小金猜测：若多项式是完全平方式，那么系数、、之间一定存在某种关系．请你用等式表示小金的猜想：______； （2）若多项式和都是完全平方式，利用（1）中的规律求______． 变式1-2如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为智慧数.例如，，，；因此3，5，7这三个数都是“智慧数”．如果将智慧数从小到大进行排列，那么第5个智慧数是______，第2026个智慧数是______． 变式1-3定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”，例如，，就是一个“智慧优数”，可以利用进行研究．若将“智慧优数”从小到大排列，则第个“智慧优数”是___． 类型二、因式分解中的新定义问题 典例2 对于x，y定义一种新运算T，规定：（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：． (1)已知，， ①求a、b的值； ②若关于m的不等式组恰好有4个整数解，求有理数p的取值范围； (2) 若对任意有理数x，y都成立，则a、b应满足怎样的关系式？ 题型模版 一、 题型特征 题干给出全新的运算符号、概念定义或函数性质，要求结合因式分解知识求解。核心特征为“定义陌生、规则明确、依赖转化”，需严格遵循题干定义，将新运算转化为常规代数式，再通过因式分解解决问题，严禁脱离定义套用已有公式。 二、 解题方法 精准翻译定义：逐字拆解新定义中的运算规则、取值范围、限制条件，用常规代数式准确表达，标注关键变量与约束。 转化可分解结构：将翻译后的代数式变形为平方差、完全平方、分组分解等可因式分解的形式，保留定义中的运算符号与约束条件。 按规则分解求解：严格依据新定义完成因式分解，不得自行增减运算步骤或忽略定义限制，分解后需回代验证是否符合定义。 合规检验结果：将分解结果代入原定义运算，验证是否等于题干代数式，同时检查是否满足定义中的取值范围与限制条件。 三、 易错提醒 定义混淆：将新定义与常规运算混淆，如把自定义⊕当作加法，翻译时必须逐字对照定义，不得主观臆断。 转化错误：变形时改变原式值或忽略定义约束，如擅自约分、移项，转化后需代入特殊值验证恒等性。 分解越界：分解时脱离定义自行套用公式，或忽略定义中的运算符号，分解过程必须严格遵循题干规则。 验证缺失：分解后未回代验证是否符合定义，或忽略取值范围限制，验证是解题的必要步骤，不得省略。 变式2-1定义：若一个正整数能表示成两个正整数的平方差，则称这个数为“智慧数”．例如，，所以13是“智慧数”，则下列说法不正确的是（     ） A．12是智慧数 B．将智慧数从小到大进行排列，第4个智慧数是9 C．所有大于1的奇数都是智慧数 D．若一个智慧数是两个奇数的平方差，则这个智慧数能被8整除 变式2-2对任意一个三位正整数m，若m的各个数位上的数字都不为零，将m的百位数字放到末两位数字的后面，得到一个新的三位数，记．若为整数，则称m为“五行数”．例如：，，则是整数，所以214是“五行数”；，，则不是整数，所以113不是“五行数”．计算_________；s是一个“五行数”，也是一个偶数，且s的百位数字比十位数字大5，求符合条件的s的最大值与最小值的差是_________． 变式2-3阅读下列材料： 若一个正整数能表示成（，是正整数，且）的形式，则称这个数为“求知求真数”，与是的一个平方差分解．例如：因为，所以5是“求知求真数”，3与2是5的一个平方差分解，再例如：（，是正整数），所以是“求知求真数”，与是的一个平方差分解． (1)判断：9____________“求知求真数”（填“是”或“不是”）； (2)已知与是的一个平方差分解，请用含，的代数式表示； (3)已知（，是正整数，是常数，且），要使是“求知求真数”，试求出符合条件的一个的值，并说明理由． 题型三、利用因式分解求最值 典例3 自然数与均为两位数，它们的十位数字相同，个位上的数字之和为，且与的乘积为三位数，的最小值为________；当时，存在正整数，使得，则所有满足条件的的值之和为________． 题型模版 一、 题型特征 题干给出含参代数式或带约束条件的表达式，要求利用因式分解求最值。核心特征为“式子可配方、结果含非负项、最值由常数决定”，需通过配方法将代数式转化为“完全平方式+常数”的结构，利用平方非负性确定最值，严禁脱离非负性直接代入特殊值或求导。 二、 解题方法 配方转化：将代数式通过配方法变形为完全平方式与常数的和/差，如将x²+4x+5转化为(x+2)²+1，确保变形前后代数式恒等。 分解定结构：将配方结果分解为“非负项+常数”的形式，明确非负项的取值范围（≥0）与常数的符号。 确定最值：根据非负项最小值为0，确定代数式的最值，如(x+2)²≥0，则(x+2)²+1≥1，最小值为1。 验证取等条件：将求得的最值代入原代数式，验证是否满足“非负项=0”的条件，确保最值可取到。 三、 易错提醒 配方错误：配方时符号错误或漏项，如将x²-4x+5错配为(x-2)²+1（正确应为(x-2)²+1，但需注意常数项计算），变形后需代入特殊值验证恒等性。 忽略非负性：未考虑非负项的取值范围，如将(x+2)²+1的最小值误判为0，必须明确非负项≥0的约束。 取等条件缺失：求得最值后未验证取等条件，如未检查(x+2)²=0时x=-2是否在定义域内，导致最值不可取。 约束条件遗漏：题干带约束条件（如x>0）时，未结合约束判断最值是否有效，需将取等条件与约束条件联立验证。 变式3-1．已知a，b，c都是整数，且，，求的最大值和最小值分别是多少？ 变式3-2代数推理是指依据代数知识（公式、法则、等式或不等式的性质等）进行运算或证明．请用代数推理解决如下问题： (1)已知：，求证：； (2)已知：是一个三位数，各数位上数字a、b、c为三个连续整数且，求证：能被整除； (3)已知：，，，且，求t的最大值和t的最小值． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．若一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，则称这个数是“公正数”，例如：，，则16，24均为“公正数”，那么所有不超过2026的公正数之和为（     ） A．257048 B．257068 C．255054 D．255024 2．密码学中常用因式分解生成简易密码，先将多项式分解因式，再对因式赋值生成因式码，将因式码按从大到小的顺序排列就可以形成密码．例如多项式．将其分解因式为，若取，，则有，，，其中26，19，25分别为因式码，将这三个因式码从大到小的顺序排列就形成密码262519．已知多项式，当a，b分别取正整数时，用上述方法生成密码，若密码的后两个因式码为8，4，则该多项式生成的密码为（）． A．4184 B．4084 C．4284 D．4384 3．对于任意一个正整数，我们规定：对进行运算，得到整数＝个位数字的1次方＋十位数字的2次方＋百位数字的3次方＋千位数字的4次方＋……，即对于从右开始的第位上的数字，其指数为．例如：．且规定两位数用表示，三位数用，…… 根据以上材料，解决下列问题． （1）计算：______． （2）若一个三位数满足（，，，为整数），且，则满足条件的三位数之和为______． 4．若（x，y为实数），则W的最小值为_________ ． 5．一个三位数，三个数位上的数字各不相同，用百位数字与十位数字和的平方减去十位数字与个位数字和的平方，若结果的绝对值能够被5整除，则称这个三位数为“完全数”．例如930是一个“完全数”．根据定义回答：最小的“完全数”是_______，将这些“完全数”从小到大进行排列，则第23个“完全数”为_______． 6．在小学的除法里，我们认识了“余数”的概念：比如，表示9减去余数1之后，就能被4整除．同样的，多项式中也有类似“余数”的概念：对于一个关于的多项式，如果它减去常数后，能因式分解，并且含有因式，我们就称该多项式除以的余数为．特别地，当余数时，我们称该多项式能被整除．根据上面的定义，下列说法正确的有：_________．（填写序号） ①多项式除以后的余数为4； ②多项式能被整除； ③若多项式能被整除，则； ④若多项式除以后的余数为1，除以后的余数为3，则． 7．综合与实践 【项目主题】探究正多边形单位点数的个数． 【项目探究】将正边形（）不断向外扩展，每扩展一个正边形每条边上的单位点数的个数就增加一个，那么个正边形的单位点数总共有多少个？接下来从最简单的正多边形入手，根据特殊到一般思想，归纳单位点数规律，再由规律解决特殊问题． 【探究一】 (1)个正三角形的单位点数总共有多少个？ 如图1-1，1个正三角形的单位点数总共有个； 如图1-2，2个正三角形的单位点数总共有个； 如图1-3，3个正三角形的单位点数总共有个； 如图1-4，4个正三角形的单位点数总共有（ ）个； …… 个正三角形的单位点数总共有：（ ）个． 【探究二】 个正方形的单位点数总共有多少个？ 如图2-1，1个正方形的单位点数总共有个； 如图2-2，2个正方形的单位点数总共有个； 如图2-3，3个正方形的单位点数总共有个； 如图2-4，4个正方形的单位点数总共有个； …… 个正方形的单位点数总共有：个． 【探究三】 (2)个正五边形的单位点数总共有多少个？ 如图3-1，1个正五边形的单位点数总共有5个，即； 如图3-2，连接，，得到三个三角形，每个三角形都有6个点，就是（个）点，因为每两个三角形有3个点重合，所以，2个正五边形的单位点数总共有：（个），即； 如图3-3，连接，，得到三个三角形．每个三角形都有10个点，就是（个）点，因为每两个三角形有4个点重合，所以，3个正五边形的单位点数总共有：（个），即； 如图3-4，连接，，得到三个三角形，每个三角形都有15个点，就是（个）点，因为每两个三角形有5个点重合，所以，4个正五边形的单位点数总共有：（个），即…… 个正五边形的单位点数总共有：（ ）个； 【探究四】 (3)个正六边形的点数总共有（ ）个．（用含的代数式表示） 【项目归纳】 (4)个正边形的单位点数总共有： ]个； 【项目实施】 (5)若19个正边形的单位点数总共有3820个，则的值为 ． 8．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： (1)上述分解因式的方法是______，共应用了______次； (2)若分解，则需应用上述方法______次，结果是______； (3)分解因式：（n为正整数），结果是______． (4)请利用以上规律计算：． 9．·【较难】阅读理解： 对于二次三项式 ，能直接用公式法进行因式分解，得到 ，但对于二次三项式，就不能直接用公式法了． 我们可以采用这样的方法：在二次三项式中先加上一项 ，使其成为完全平方式，再减去 这项，使整个式子的值不变，于是： 像这样把二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法． (1)问题解决：请用上述方法将二次三项式 分解因式． (2)拓展应用：二次三项式有最小值或是最大值吗？如果有，请你求出来并说明理由． 10．阅读与思考 下面是小敏同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． k阶和倍数定义：对于一个两位自然数，若它的个位数字，十位数字均不为0，且这个自然数等于其各位数字之和的k倍，则称这个两位数为“k阶和倍数”． 例如：两位数18，各位数字和，，则18为“2阶和倍数”． 若一个“k阶和倍数”的十位数字为a，个位数字为b（，且a，b为整数）由定义可得：， 我们可以利用这个式子解决相关问题…… 任务： (1)45是“k阶和倍数”，则______； (2)若一个两位数是“k阶和倍数”，交换十位数字和个位数字得到的两位数是“m阶和倍数”，求的值； (3)若一个两位自然数p是“7阶和倍数”，求证：一定是42的倍数． 11．运动会开幕式需要各代表队排成一个正方形方阵入场展示，如下图所示，方阵一般有实心方阵和空心方阵两种形式． (1)求7列2层空心方阵的人数． (2)若某代表队既可以排成列1层空心方阵，也可以排成列2层空心方阵，且比多1，求该代表队的人数． (3)若某代表队48人全员参加，请设计出所有的正方形方阵（直接写出方阵的排列方式）． 12．如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．例如：，，，因此，，都是“和谐数”． (1)特例感知： “和谐数”， “和谐数”．（填“是”或“不是”） (2)规律探究：根据“和谐数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中是正整数，那么“和谐数”都能被整除吗？如果能，说明理由；如果不能，举例说明． (3)，为正整数，且，若是“和谐数”． 求的值； 若是“和谐数”，请说明是“和谐数”． 13．我们在研究数字规律时发现了一类特殊的数． 定义：如果一个正整数可以写成的形式（为正整数），那么称为“奇异数”，称为的层级．例如：当时，，所以8为“奇异数”，它的层级是1． (1)下列各数为“奇异数”的是_________；（填序号） ①16；②21；③32． (2)请说明：任意一个“奇异数”都能被8整除； (3)已知两个“奇异数”，，它们的层级分别为，（，为正整数，）． ①若，，求的值； ②若，请直接写出所有符合条件的和的值． 14．用表示不超过x的最大整数（如)，设实数x不为整数，且，求x的值． 15．代数推理指设定一定的条件下，依据代数的定义、公式、运算法则、等式与不等式的性质等证明已知结论． 【提出问题】如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．小华和小明对“智慧数”进行了深入的研究． (1)【特例感知】小明的方法是从小到大逐一列举： 3 则小明列举的第8个“智慧数”是 ． (2)【推理证明】小华在小明列举的基础上发现：除1外，所有的正奇数都是“智慧数”，并进行了如下证明： 证明：设k是正整数， 又∵k是正整数，∴为大于或等于3的奇数． ∴除1外，所有的正奇数都是“智慧数”． 她还发现：除4外，所有能被4整除的正整数都是“智慧数”，请参考上面的方法进行证明． (3)【综合应用】用含有k的式子表示除1、2、4外的其它非“智慧数”：___________（k是正整数），将所有的“智慧数”从小到大排列，第2025个“智慧数”是___________． 16．【课本再现】如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，两个正整数为它的“智慧分解”．例如，因为，所以16就是一个智慧数，而5和3则是16的智慧分解．那么究竟哪些数为智慧数？为此，小明和小颖展开了如下探究． 小颖的方法是通过计算，一个个罗列出来：，，，，，… 小明认为小颖的方法太麻烦，他想到：设两个数分别为，，其中，且为整数．则． (1)根据上述探究，可以得出：除1外，所有______________数都是智慧数，13的智慧分解为_____________． (2)继续探究，他们发现，，…所以8、12、16等均是智慧数，由此，他们猜想：除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数，请证明他们的猜想． (3)根据以上所有探究，如果将智慧数从小到大进行排列为3，5，7，8，9，11，12，13，15，16，17，19，……，根据你发现的规律，请直接写出第100个智慧数，以及它的一种智慧分解． 17．分子为1的真分数叫单位分数（如，）．任何一个单位分数都可拆分为两个不同的单位分数的和．例如：，，，…．设（a，m，n均为正整数），我们定义：当取最小值时，称为的最优分解，比如的最优分解为；的最优分解为_____；的最优分解为（m，n均为正整数且），则_____． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 因式分解压轴问题 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、因式分解中的规律性问题 题型二、因式分解中的新定义问题 题型三、利用因式分解求最值 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 因式分解压轴问题是初中数学代数板块的核心重难点，所有题型均围绕“结构识别、恒等变形、代数求值”三大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是变形前后代数式恒等，二是运算结果必须分解彻底。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、因式分解中的规律性问题 典例1 有一种用“因式分解”法产生的密码，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式因式分解的结果是，当时，各个因式的值是：，于是就可以把“0832”作为一个密码，我们把上述密码中的“0”、“8”、“32”分别叫做这串密码的第一位因式码、第二位因式码、第三位因式码．类似地，多项式因式分解的结果是，当它的第一位因式码的值和第二位因式码的值构成的数是“128”时，它的第三位因式码的值是_____． 【答案】或781 【分析】根据密码的构成规则，由第一位因式码和第二位因式码构成的数为，可得，或， ，再将所求第三位因式码利用完全平方公式变形，代入求值即可． 【详解】解： ， ∵第一位因式码和第二位因式码构成的数是， ∴，或， 当，时，原式， 当，时，原式， 综上所述，的值为28或781． 题型模版 一、 题型特征 题干呈现多组因式分解算式或结果，要求归纳第n项通式、计算特定项或推导一般规律。核心特征为“多组并列、结构相似、递进变化”，需从系数、指数、符号、项数四个维度识别变量与不变量。 二、 解题方法 拆解前3-4组：分别提取系数规律、指数变化、符号交替、项数增减，用n表示变量部分。 推导第n项通式：结合拆解规律，写出含n的通式，注意符号与系数的对应关系。 代入验证：将n=1,2,3代入通式，与题干前3组结果逐项比对，确保完全一致。 计算目标项：将题目要求的n值代入验证后的通式，完成最终计算。 三、 易错提醒 归纳偏差：仅看前2组就下结论，忽略符号交替或系数倍数变化，必须验证至少3组。 通式错误：变量与不变量混淆，如将固定系数误写为含n的表达式，拆解时需标注“不变量”。 验证缺失：推导通式后未代入验证，导致规律归纳错误，验证是必做步骤。 符号遗漏：忽略符号交替规律，如奇偶项符号不同，通式中需明确符号表达式。 变式1-1分解因式：，，． （1）观察上述三个多项式的系数，有，，，于是小金猜测：若多项式是完全平方式，那么系数、、之间一定存在某种关系．请你用等式表示小金的猜想：______； （2）若多项式和都是完全平方式，利用（1）中的规律求______． 【答案】 【分析】（1）根据题中给出的三个式子，结合多项式，由，，的形式即可猜想出答案； （2）由（1）中的猜想，根据多项式是完全平方式，得到①，多项式是完全平方式，得到②，从而两式相乘即可得到的值． 【详解】解：（1），对比多项式有， 由可知； 同理，对于，， 由，，均可得到； 用数学式子表示小金的猜想：， 答案为：； （2）由（1）中猜想，当多项式是完全平方式，得到①， 当多项式是完全平方式，得到②， ， 和都是完全平方式， ， 两边同时除以得，． 变式1-2如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为智慧数.例如，，，；因此3，5，7这三个数都是“智慧数”．如果将智慧数从小到大进行排列，那么第5个智慧数是______，第2026个智慧数是______． 【答案】 【分析】先根据定义推导不同正整数是否为智慧数，总结智慧数的分布规律，再根据规律计算指定序号的智慧数． 【详解】解：设正整数为智慧数，则存在正整数，使得，由平方差公式得： 因为与同奇偶， 因此只能为奇数或的倍数， 若为形如的正整数，为偶数但不是的倍数，因此一定不是智慧数； 对任意大于的奇数，有，因此所有大于的奇数都是智慧数； 对任意大于的的倍数，有，因此所有大于的的倍数都是智慧数； 因此可得规律：将正整数从开始每个分为一组，第一组仅有个智慧数，其余每组都有个智慧数； 从小到大列举智慧数得：第个是，第个是，第个是，第个是，第个是； 计算第个智慧数，第一组有个，剩余需要个，每组有个，因此需要组， 即第个智慧数是第组的最后一个数，为． 变式1-3定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”，例如，，就是一个“智慧优数”，可以利用进行研究．若将“智慧优数”从小到大排列，则第个“智慧优数”是___． 【答案】 【分析】利用平方差公式将“智慧优数”转化为两数之积，通过变量代换确定两因数需同奇偶且 ，再按奇偶分类枚举、排序得到第个“智慧优数”． 【详解】解：设， 令，，则， 可得， 解得， ，为正整数， ，为同奇偶的整数， ，， ，即， ， ， 解得， ， 当，为偶数： 若，，则， 若，，则， 当，为奇数： 若，，则， 将得到的“智慧优数”从小到大排序为，，， 故第个“智慧优数”为． 类型二、因式分解中的新定义问题 典例2 对于x，y定义一种新运算T，规定：（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：． (1)已知，， ①求a、b的值； ②若关于m的不等式组恰好有4个整数解，求有理数p的取值范围； (2)若对任意有理数x，y都成立，则a、b应满足怎样的关系式？ 【答案】(1) ① ，；② (2) 【分析】（1）①根据新定义得到；，解方程组即可得到答案；②根据新定义得到不等式组，求出不等式组的解集，再由不等式组恰好有4个整数解进行求解即可； （2）根据新定义得到，进而得到，据此可得答案． 【详解】（1）解：①根据题意得： ；， 联立得方程组， 解得：， ②根据题意得： 由①得：， 由②得： ， ∵关于m的不等式组恰好有4个整数解，整数解为 ， ∴ ∴； （2）解：∵对任意有理数x，y都成立， ∴， ∴， ∴， ∴，即． 题型模版 一、 题型特征 题干给出全新的运算符号、概念定义或函数性质，要求结合因式分解知识求解。核心特征为“定义陌生、规则明确、依赖转化”，需严格遵循题干定义，将新运算转化为常规代数式，再通过因式分解解决问题，严禁脱离定义套用已有公式。 二、 解题方法 精准翻译定义：逐字拆解新定义中的运算规则、取值范围、限制条件，用常规代数式准确表达，标注关键变量与约束。 转化可分解结构：将翻译后的代数式变形为平方差、完全平方、分组分解等可因式分解的形式，保留定义中的运算符号与约束条件。 按规则分解求解：严格依据新定义完成因式分解，不得自行增减运算步骤或忽略定义限制，分解后需回代验证是否符合定义。 合规检验结果：将分解结果代入原定义运算，验证是否等于题干代数式，同时检查是否满足定义中的取值范围与限制条件。 三、 易错提醒 定义混淆：将新定义与常规运算混淆，如把自定义⊕当作加法，翻译时必须逐字对照定义，不得主观臆断。 转化错误：变形时改变原式值或忽略定义约束，如擅自约分、移项，转化后需代入特殊值验证恒等性。 分解越界：分解时脱离定义自行套用公式，或忽略定义中的运算符号，分解过程必须严格遵循题干规则。 验证缺失：分解后未回代验证是否符合定义，或忽略取值范围限制，验证是解题的必要步骤，不得省略。 变式2-1定义：若一个正整数能表示成两个正整数的平方差，则称这个数为“智慧数”．例如，，所以13是“智慧数”，则下列说法不正确的是（     ） A．12是智慧数 B．将智慧数从小到大进行排列，第4个智慧数是9 C．所有大于1的奇数都是智慧数 D．若一个智慧数是两个奇数的平方差，则这个智慧数能被8整除 【答案】B 【分析】根据“智慧数”的定义，即正整数能表示为两个正整数的平方差，将变形为，其中、为正整数，，再逐一判断各选项即可． 【详解】解：选项A：，符合智慧数定义，是智慧数，A正确； 选项B：从小到大枚举可得，前4个智慧数依次为：3，5，7，8，因此第4个智慧数是8，不是9，B说法错误； 选项C：设大于1的奇数为，其中为正整数，，且和都是正整数， 所有大于1的奇数都是智慧数，C正确； 选项D：设两个奇数分别为，，其中、为非负整数，， 计算平方差得： 连续两个整数的乘积为偶数， 和都是偶数， 是偶数， 即原式等于乘正整数，即这个智慧数能被整除，D正确； 综上，说法不正确的是B． 变式2-2对任意一个三位正整数m，若m的各个数位上的数字都不为零，将m的百位数字放到末两位数字的后面，得到一个新的三位数，记．若为整数，则称m为“五行数”．例如：，，则是整数，所以214是“五行数”；，，则不是整数，所以113不是“五行数”．计算_________；s是一个“五行数”，也是一个偶数，且s的百位数字比十位数字大5，求符合条件的s的最大值与最小值的差是_________． 【答案】 【分析】先按照定义计算，再设出s各数位的数字，结合s是偶数、百位比十位大5、各数位不为零的条件，列出表达式，根据五行数”要求为整数，找出所有符合条件的s，最后计算最大值与最小值的差即可． 【详解】解：当时，将百位数字放到末两位后，得， ∴； 设s的十位数字为，百位数字为，个位数字为， 根据题意得s各数位数字不为零，且s是偶数，因此，是不为零的偶数，即， ，， ∴， 又为整数，1005能被5整除，因此能被5整除， 化简得是5的倍数， 依次讨论得：当时，是5的倍数，得，此时； 当时，是5的倍数，得，此时； 当时，是5的倍数，得，此时； 当时，是5的倍数，得，此时； 所有符合条件的s中，最小值是612，最大值是948，差为． 变式2-3阅读下列材料： 若一个正整数能表示成（，是正整数，且）的形式，则称这个数为“求知求真数”，与是的一个平方差分解．例如：因为，所以5是“求知求真数”，3与2是5的一个平方差分解，再例如：（，是正整数），所以是“求知求真数”，与是的一个平方差分解． (1)判断：9____________“求知求真数”（填“是”或“不是”）； (2)已知与是的一个平方差分解，请用含，的代数式表示； (3)已知（，是正整数，是常数，且），要使是“求知求真数”，试求出符合条件的一个的值，并说明理由． 【答案】(1)是 (2) (3)（符合条件即可） 【分析】（1）将9分解为两个正整数的平方差即可判断． （2）根据平方差分解的定义，利用平方差公式展开化简即可得到P． （3）通过配方将N整理为平方差加常数的形式，令常数项为0，即可得到符合条件的k值． 【详解】（1）解：，且，为正整数，， 是“求知求真数”． （2）∵， ∴， ∵与是的一个平方差分解， ∴． （3） ． 要使是“求知求真数”，只需令常数项， 解得， 此时， ，是正整数，且， ，和都是正整数，符合“求知求真数”的定义， 因此符合条件． 题型三、利用因式分解求最值 典例3 自然数与均为两位数，它们的十位数字相同，个位上的数字之和为，且与的乘积为三位数，的最小值为________；当时，存在正整数，使得，则所有满足条件的的值之和为________． 【答案】 【分析】设两个自然数的十位数字为（，且为整数），自然数的个位数字为（，且为整数），则的个位数字为，表示出和，根据与的关系，结合乘积为三位数的条件求出的最小值，再将变形，枚举所有可能的和，找出符合条件的，计算所有的和即可． 【详解】解：设两个自然数的十位数字为（，且为整数），自然数的个位数字为（，且为整数），则自然数的个位数字为， ，， ， ， 要使最小，需最小， 当时，， 的最大值为，符合乘积为三位数的条件， 因此的最小值为， 当时，， 解得， ，且为整数， ， ， 且， 对分类讨论如下： ①当时，，， ， 时，，不是完全平方数； 时，，不是完全平方数； 时，，不符合，舍去； ②当时，，， ， 时，，不是完全平方数； 时，，不是完全平方数； 时，，不符合，舍去； ③当时，，， ， 时，，正整数，符合条件； 时，，正整数，符合条件； 时，，不符合，舍去； ④当时，，， ， 时，，正整数，符合条件； 时，，不是完全平方数； 时，，不符合，舍去； 综上，满足条件的所有的值为，它们的和为． 题型模版 一、 题型特征 题干给出含参代数式或带约束条件的表达式，要求利用因式分解求最值。核心特征为“式子可配方、结果含非负项、最值由常数决定”，需通过配方法将代数式转化为“完全平方式+常数”的结构，利用平方非负性确定最值，严禁脱离非负性直接代入特殊值或求导。 二、 解题方法 配方转化：将代数式通过配方法变形为完全平方式与常数的和/差，如将x²+4x+5转化为(x+2)²+1，确保变形前后代数式恒等。 分解定结构：将配方结果分解为“非负项+常数”的形式，明确非负项的取值范围（≥0）与常数的符号。 确定最值：根据非负项最小值为0，确定代数式的最值，如(x+2)²≥0，则(x+2)²+1≥1，最小值为1。 验证取等条件：将求得的最值代入原代数式，验证是否满足“非负项=0”的条件，确保最值可取到。 三、 易错提醒 配方错误：配方时符号错误或漏项，如将x²-4x+5错配为(x-2)²+1（正确应为(x-2)²+1，但需注意常数项计算），变形后需代入特殊值验证恒等性。 忽略非负性：未考虑非负项的取值范围，如将(x+2)²+1的最小值误判为0，必须明确非负项≥0的约束。 取等条件缺失：求得最值后未验证取等条件，如未检查(x+2)²=0时x=-2是否在定义域内，导致最值不可取。 约束条件遗漏：题干带约束条件（如x>0）时，未结合约束判断最值是否有效，需将取等条件与约束条件联立验证。 变式3-1．已知a，b，c都是整数，且，，求的最大值和最小值分别是多少？ 【答案】最大值，最小值． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵a，b，c都是整数， ∴都是整数， ∵， 不妨令， ∴，，，，，， ，，，，，， ∴最大值，最小值． 变式3-2代数推理是指依据代数知识（公式、法则、等式或不等式的性质等）进行运算或证明．请用代数推理解决如下问题： (1)已知：，求证：； (2)已知：是一个三位数，各数位上数字a、b、c为三个连续整数且，求证：能被整除； (3)已知：，，，且，求t的最大值和t的最小值． 【答案】(1)证明：， ，， ， ， ； (2)证明：a、b、c为三个连续整数且， ，， ， ， 能被整除； (3)的最大值为，最小值为． 【分析】（1）由可得出，与的大小关系，进而可得到与的大小关系，利用平方差公式可得证； （2）由题目条件用表示出和，再把表示成关于的式子，这个式子提出公因数就可得证； （3）利用，这两个条件用表示出和，从而可用表示出，再利用求出的取值范围，用这个范围可以求出的取值范围，从而得到的最大值和最小值． 【详解】（1）略； （2）略； （3）解：设，， 则得，解得， 得，解得， ， ， ，化简得，解得， ，化简得，解得， ， ，， ， 的最大值为，最小值为． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．若一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，则称这个数是“公正数”，例如：，，则16，24均为“公正数”，那么所有不超过2026的公正数之和为（     ） A．257048 B．257068 C．255054 D．255024 【答案】A 【分析】先根据定义，利用平方差公式推导“公正数”的特征，再找出不超过2026的最大公正数对应的奇数，最后利用裂项相消法计算所有公正数的和． 【详解】解：设两个连续奇数分别为和（为正整数）， 。 要求公正数不超过2026，即， 得， 最大取，此时最大的奇数为， 所有不超过2026的公正数之和为： ． 2．密码学中常用因式分解生成简易密码，先将多项式分解因式，再对因式赋值生成因式码，将因式码按从大到小的顺序排列就可以形成密码．例如多项式．将其分解因式为，若取，，则有，，，其中26，19，25分别为因式码，将这三个因式码从大到小的顺序排列就形成密码262519．已知多项式，当a，b分别取正整数时，用上述方法生成密码，若密码的后两个因式码为8，4，则该多项式生成的密码为（）． A．4184 B．4084 C．4284 D．4384 【答案】B 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，多项式分解因式为，因式码为这三个因式的值.给定密码后两个因式码为8和4，即排序后中间的值和最小的值分别为8和4.通过分析因式关系，确定和，解得，计算，排序因式码为40、8、4，形成密码4084. 【详解】解：∵， 设因式码为，，，且（确保因式码为正）， 给定密码后两个因式码为8和4，即排序后中值为8、最小值为4， ∵，为正整数且， ∴ 又， ∵， ∴，， ∴ 故三个因式码从小到大依次为，， ∵， ∴可能情况为，， 则 解得： 此时， 因式码排序为40、8、4，密码为4084， 其他情况（如或）均无正整数解， ∴密码为4084， 故选：B． 3．对于任意一个正整数，我们规定：对进行运算，得到整数＝个位数字的1次方＋十位数字的2次方＋百位数字的3次方＋千位数字的4次方＋……，即对于从右开始的第位上的数字，其指数为．例如：．且规定两位数用表示，三位数用，…… 根据以上材料，解决下列问题． （1）计算：______． （2）若一个三位数满足（，，，为整数），且，则满足条件的三位数之和为______． 【答案】 【分析】（1）根据定义进行求解即可； （2）由题意易得，则有，然后可得，则有，进而问题可求解． 【详解】解：（1）； （2）由题意得：， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴当时，则，此时这个三位数是；当时，则，此时这个三位数是； ∴满足条件的三位数之和为． 4．若（x，y为实数），则W的最小值为_________ ． 【答案】 【分析】本题通过分组对多项式进行配方，利用平方的非负性即可求出的最小值. 【详解】解： ； ∵， ∴， ∴W的最小值为. 5．一个三位数，三个数位上的数字各不相同，用百位数字与十位数字和的平方减去十位数字与个位数字和的平方，若结果的绝对值能够被5整除，则称这个三位数为“完全数”．例如930是一个“完全数”．根据定义回答：最小的“完全数”是_______，将这些“完全数”从小到大进行排列，则第23个“完全数”为_______． 【答案】 【分析】先利用平方差公式化简原式，得到乘积能被整除的条件：要么百位数字与个位数字的差是的倍数，要么百位数字加倍十位数字加个位数字是的倍数，再从小到大枚举得到结果． 【详解】解：设一个三位数百位数字为，十位数字为，个位数字为， ∴，，， ∵这个三位数为“完全数”， ∴能被整除，且三个数字各不相同， ∵，且5是质数， ∴乘积能被整除等价于：是的倍数，或是的倍数． 若“完全数” 最小，则先取，再取最小的，此时不能为和， 从小到大验证： 若，则，不能被整除； 若，则，不能被整除； 若，，能被整除，且三个数字各不相同，因此最小的“完全数”是． 找第个“完全数”： 从小到大枚举百位为的“完全数”，去掉数字重复的情况，累计共得到个“完全数”， 分别为：， 接下来从小到大枚举百位为的“完全数”，前三个依次为（第个），（第个），（第个）， 因此第个“完全数”是． 6．在小学的除法里，我们认识了“余数”的概念：比如，表示9减去余数1之后，就能被4整除．同样的，多项式中也有类似“余数”的概念：对于一个关于的多项式，如果它减去常数后，能因式分解，并且含有因式，我们就称该多项式除以的余数为．特别地，当余数时，我们称该多项式能被整除．根据上面的定义，下列说法正确的有：_________．（填写序号） ①多项式除以后的余数为4； ②多项式能被整除； ③若多项式能被整除，则； ④若多项式除以后的余数为1，除以后的余数为3，则． 【答案】①②③ 【详解】解：①∵， ∴多项式除以后的余数为4，故①正确； ②∵， ∴多项式能被整除，故②正确； ③若能被整除，则能因式分解，且含有因式， ∴当时，整个多项式为0， 即时，多项式的值为0， 则，故③正确； ④除以后的余数为1，说明含有因式， 令，多项式的值为0，则； 同理，含有因式， 令，多项式的值为0， 则， 解得，故④错误； 综上所述，说法正确的是①②③． 7．综合与实践 【项目主题】探究正多边形单位点数的个数． 【项目探究】将正边形（）不断向外扩展，每扩展一个正边形每条边上的单位点数的个数就增加一个，那么个正边形的单位点数总共有多少个？接下来从最简单的正多边形入手，根据特殊到一般思想，归纳单位点数规律，再由规律解决特殊问题． 【探究一】 (1)个正三角形的单位点数总共有多少个？ 如图1-1，1个正三角形的单位点数总共有个； 如图1-2，2个正三角形的单位点数总共有个； 如图1-3，3个正三角形的单位点数总共有个； 如图1-4，4个正三角形的单位点数总共有（ ）个； …… 个正三角形的单位点数总共有：（ ）个． 【探究二】 个正方形的单位点数总共有多少个？ 如图2-1，1个正方形的单位点数总共有个； 如图2-2，2个正方形的单位点数总共有个； 如图2-3，3个正方形的单位点数总共有个； 如图2-4，4个正方形的单位点数总共有个； …… 个正方形的单位点数总共有：个． 【探究三】 (2)个正五边形的单位点数总共有多少个？ 如图3-1，1个正五边形的单位点数总共有5个，即； 如图3-2，连接，，得到三个三角形，每个三角形都有6个点，就是（个）点，因为每两个三角形有3个点重合，所以，2个正五边形的单位点数总共有：（个），即； 如图3-3，连接，，得到三个三角形．每个三角形都有10个点，就是（个）点，因为每两个三角形有4个点重合，所以，3个正五边形的单位点数总共有：（个），即； 如图3-4，连接，，得到三个三角形，每个三角形都有15个点，就是（个）点，因为每两个三角形有5个点重合，所以，4个正五边形的单位点数总共有：（个），即…… 个正五边形的单位点数总共有：（ ）个； 【探究四】 (3)个正六边形的点数总共有（ ）个．（用含的代数式表示） 【项目归纳】 (4)个正边形的单位点数总共有： ]个； 【项目实施】 (5)若19个正边形的单位点数总共有3820个，则的值为 ． 【答案】(1)5， (2) (3) (4) (5)22 【分析】（1）n个正三角形的点数总个数是前个数的和； （2）规律得：n个正五边形的点数总共有：个； （3）分别连接，，，仿照探究三得出规律，即可得出结论； （4）根据以上规律可得结论； （5）将代入（4）中的结论，可得关于m的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：如图1-1，1个正三角形的单位点数总共有个； 如图1-2，2个正三角形的单位点数总共有个； 如图1-3，3个正三角形的单位点数总共有个； 如图1-4，4个正三角形的单位点数总共有（）个； …… 个正三角形的单位点数总共有：个； （2）解：由题意可得：个正五边形的单位点数总共有：个； （3）解：如图4-1，连接，，， 得到四个三角形，每个三角形都有3个点，就是（个）点， 因为每两个三角形有2个点重合， 所以，1个正六边形的单位点数总共有：（个）； 如图4-2，连接，，， 得到四个三角形，每个三角形都有6个点，就是（个）点， 因为每两个三角形有3个点重合， 所以，2个正六边形的单位点数总共有：（个）； 如图4-3，连接，，， 得到四个三角形，每个三角形都有10个点，就是（个）点， 因为每两个三角形有4个点重合， 所以，3个正六边形的单位点数总共有：（个）； …… 个正六边形的点数总共有： 个； （4）解：个正三角形的单位点数总共有：个； 个正方形的单位点数总共有：个； 个正五边形的单位点数总共有：个； 个正六边形的点数总共有：个；…… 个正边形的单位点数总共有：个； （5）解：根据题意，知当时，得， 解得． 8．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： (1)上述分解因式的方法是______，共应用了______次； (2)若分解，则需应用上述方法______次，结果是______； (3)分解因式：（n为正整数），结果是______． (4)请利用以上规律计算：． 【答案】(1)提公因式法，2； (2)，； (3) (4) 【分析】（1）根据阅读因式分解的过程即可得结论； （2）结合（1）和阅读材料即可得结论； （3）根据阅读材料的计算过程进行解答即可； （4）利用规律进而得出答案即可． 【详解】（1）阅读因式分解的过程可知： 上述分解因式的方法是提公因式法，共应用了2次， （2）原式，则需应用上述方法次，结果是， 故答案为：，； （3） ． （4） 9．·【较难】阅读理解： 对于二次三项式 ，能直接用公式法进行因式分解，得到 ，但对于二次三项式，就不能直接用公式法了． 我们可以采用这样的方法：在二次三项式中先加上一项 ，使其成为完全平方式，再减去 这项，使整个式子的值不变，于是： 像这样把二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法． (1)问题解决：请用上述方法将二次三项式 分解因式． (2)拓展应用：二次三项式有最小值或是最大值吗？如果有，请你求出来并说明理由． 【答案】(1) (2)有最小值1，理由见解析 【分析】（1）将添加，再减去，凑出一个完全平方式，再利用平方差公式分解因式； （2）将添加4，再减去4，凑成完全平方式，得，而，因此当时，有最小值，为． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ∵， ∴ ， ∴当时，有最小值，为． 10．阅读与思考 下面是小敏同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． k阶和倍数定义：对于一个两位自然数，若它的个位数字，十位数字均不为0，且这个自然数等于其各位数字之和的k倍，则称这个两位数为“k阶和倍数”． 例如：两位数18，各位数字和，，则18为“2阶和倍数”． 若一个“k阶和倍数”的十位数字为a，个位数字为b（，且a，b为整数）由定义可得：， 我们可以利用这个式子解决相关问题…… 任务： (1)45是“k阶和倍数”，则______； (2)若一个两位数是“k阶和倍数”，交换十位数字和个位数字得到的两位数是“m阶和倍数”，求的值； (3)若一个两位自然数p是“7阶和倍数”，求证：一定是42的倍数． 【答案】(1)5 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据“k阶和倍数”的定义求解即可； （2）设原数为，则新数是，根据“k阶和倍数”的定义得到，据此化简即可求解； （3）设两位自然数的十位数字为，个位数字为，根据“7阶和倍数”的定义可得 ，化简得，故；要证明 是42的倍数，即证明 是42的倍数，只需证明 是2的倍数即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴45是“k阶和倍数”，则； （2）解：设原两位数的十位为a，个位为b（，且a，b为整数），则 原数：①． 交换十位数字和个位数字得到的新数是：②， 将：， ∴， ∵， ∴． 两边同时除以，得： ； （3）解：设两位自然数p的十位数字为a，个位数字为b（，且a，b为整数）， 由p是“7阶和倍数”，得：， 整理得： ，化简得， 因此 ， 对因式分解：代入 ，得：， 可知 是21的倍数， 又∵和 是两个连续整数， ∴它们的乘积一定是偶数，即 也是2的倍数， ∵2和21互质， ∴ 一定是的倍数， ∴一定能被42整除．即一定是42的倍数． 11．运动会开幕式需要各代表队排成一个正方形方阵入场展示，如下图所示，方阵一般有实心方阵和空心方阵两种形式． (1)求7列2层空心方阵的人数． (2)若某代表队既可以排成列1层空心方阵，也可以排成列2层空心方阵，且比多1，求该代表队的人数． (3)若某代表队48人全员参加，请设计出所有的正方形方阵（直接写出方阵的排列方式）． 【答案】(1)40人 (2)16人 (3)13列1层空心方阵、8列2层空心方阵、7列3层空心方阵 【分析】（1）根据图形列式计算即可； （2）根据题意列方程组求解即可； （3）设外圈列数为，层数为，（，为正整数，且），根据题意可得方程，化简得，最后分情况求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，7列2层空心方阵的人数为：（人）． 答：7列2层空心方阵的人数为40人． （2）解：由题意得，， 解得，， ． 答：该代表队的人数为16人． （3）解：设外圈列数为，层数为，（，为正整数，且）， 则由题意得，， 化简得，． ，为正整数，且， 当时，，解得，，即可以排成13列1层空心方阵； 当时，，解得，，即可以排成8列2层空心方阵； 当时，，解得，，即可以排成7列3层空心方阵． 答：所有的正方形方阵排列方式为：13列1层空心方阵、8列2层空心方阵、7列3层空心方阵． 12．如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．例如：，，，因此，，都是“和谐数”． (1)特例感知： “和谐数”， “和谐数”．（填“是”或“不是”） (2)规律探究：根据“和谐数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中是正整数，那么“和谐数”都能被整除吗？如果能，说明理由；如果不能，举例说明． (3)，为正整数，且，若是“和谐数”． 求的值； 若是“和谐数”，请说明是“和谐数”． 【答案】(1)是，不是 (2)能，理由如下： 设两个正奇数分别是和， ， “和谐数”能被整除； (3)； 是“和谐数”， （为正整数）， 由知，， ， ， ， ， ， ， 是“和谐数”． 【分析】（1）根据“和谐数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中是正整数，进而表示出，再将和分别代入求解，据此判断即可； （2）根据“和谐数”的定义及完全平方公式进行说明即可； （3）先利用平方差公式化简的表达式，再利用“和谐数”的定义求解即可；利用中的结论将、转化为关于的表达式，再利用“和谐数”的定义判断即可． 【详解】（1）解：根据“和谐数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中是正整数， ， 令，解得，是正整数， 即， 是和谐数； 令， 解得，不是正整数， 不是和谐数； （2）略； （3）解：根据题意得：， 是“和谐数”， ； 略． 13．我们在研究数字规律时发现了一类特殊的数． 定义：如果一个正整数可以写成的形式（为正整数），那么称为“奇异数”，称为的层级．例如：当时，，所以8为“奇异数”，它的层级是1． (1)下列各数为“奇异数”的是_________；（填序号） ①16；②21；③32． (2)请说明：任意一个“奇异数”都能被8整除； (3)已知两个“奇异数”，，它们的层级分别为，（，为正整数，）． ①若，，求的值； ②若，请直接写出所有符合条件的和的值． 【答案】(1)①③ (2)证明：， ， ∵为正整数， ∴是8的倍数，即任意一个“奇异数”都能被8整除． (3)①4；②或 【分析】（1）根据题中所给关系式逐一判断即可； （2）先对进行因式分解，再结合为正整数，即可证明； （3）①先根据题中所给条件求出，再结合求得，进而求解； ②根据和，得出，再因式分解得，分情况讨论进而求解． 【详解】（1）解：①∵， ∴16是“奇异数”； ②∵不能写成的形式， ∴21不是“奇异数”； ③∵， ∴32是“奇异数”． （2）略． （3）解：由题意得：，， ①∵， ∴， ∵， ∴， 解得， 又∵ ， ∴， ， ∴． ②∵，，， ∴，即， ∴，即， ∵，为正整数，， ∴，且是16的正、负整数因数， 若， ，解得，， ，解得，， ，解得，舍去， 若， ，解得，舍去， ，解得，舍去， ，解得，舍去． 综上，或． 14．用表示不超过x的最大整数（如)，设实数x不为整数，且，求x的值． 【答案】 【分析】将原方程化为，再根据题意可得，即，根据，求得的值即可解答． 【详解】解： ， ， x不是整数， ， ， ， 表示不超过x的最大整数， ， 当时， 可得， 为整数，且， 在中没有符合题意的值； 当时， 可得； 为整数，且， 在中只有符合条件， ，． 15．代数推理指设定一定的条件下，依据代数的定义、公式、运算法则、等式与不等式的性质等证明已知结论． 【提出问题】如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．小华和小明对“智慧数”进行了深入的研究． (1)【特例感知】小明的方法是从小到大逐一列举： 3 则小明列举的第8个“智慧数”是 ． (2)【推理证明】小华在小明列举的基础上发现：除1外，所有的正奇数都是“智慧数”，并进行了如下证明： 证明：设k是正整数， 又∵k是正整数，∴为大于或等于3的奇数． ∴除1外，所有的正奇数都是“智慧数”． 她还发现：除4外，所有能被4整除的正整数都是“智慧数”，请参考上面的方法进行证明． (3)【综合应用】用含有k的式子表示除1、2、4外的其它非“智慧数”：___________（k是正整数），将所有的“智慧数”从小到大排列，第2025个“智慧数”是___________． 【答案】(1)13 (2)证明：设n是大于1的正整数， 则 ， ∵n是大于1的正整数， ∴和都是正整数， ∴是“智慧数”， 又∵能被4整除， ∴除4外，所有能被4整除的正整数都是“智慧数”． (3)；2703 【分析】（1）根据规律即可解答； （2）仿照题中的证明，即可解答； （3）根据探究，前四个正整数只有3是“智慧数”，后面的正整数每连续四个中就有三个是“智慧数”，由此可得第2025个“智慧数”，进而可得答案． 【详解】（1）解：第7个“智慧数”是； 第8个“智慧数”是； （2）略 （3）解：由（2）可知除1外的所有奇数是“智慧数”，除4外的所有能被4整除的正整数都是“智慧数”， ∴除1，2，4外的非“智慧数”一定是偶数且不能被4整除， ∴除1，2，4外的非“智慧数”除以4的余数一定为2， ∴除1，2，4外的非“智慧数”可以表示为； 观察可知，从1开始的正整数中，前四个正整数中只有3为“智慧数”，此后每连续四个正整数中有三个“智慧数”， 将智慧数分为3个一组，在第2组开始，每组的第一个数为的组数倍， ∴第n组的第一个数为（，且n为正整数）． ∵， ∴第2025个智慧数是第675组中的第3个数， ∴第2023个智慧数是2700，第2024个智慧数是2701，第2025个智慧数是2703． 16．【课本再现】如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，两个正整数为它的“智慧分解”．例如，因为，所以16就是一个智慧数，而5和3则是16的智慧分解．那么究竟哪些数为智慧数？为此，小明和小颖展开了如下探究． 小颖的方法是通过计算，一个个罗列出来：，，，，，… 小明认为小颖的方法太麻烦，他想到：设两个数分别为，，其中，且为整数．则． (1)根据上述探究，可以得出：除1外，所有______________数都是智慧数，13的智慧分解为_____________． (2)继续探究，他们发现，，…所以8、12、16等均是智慧数，由此，他们猜想：除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数，请证明他们的猜想． (3)根据以上所有探究，如果将智慧数从小到大进行排列为3，5，7，8，9，11，12，13，15，16，17，19，……，根据你发现的规律，请直接写出第100个智慧数，以及它的一种智慧分解． 【答案】(1)奇；7和6 (2)证明：设两个数分别为，，其中，且k为整数． 则， ， ． ， 除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数． (3)136；136的智慧分解：35和33或19和15 【分析】（1）根据智慧分解的定义得到答案； （2）类比奇数的证明过程，结合条件证明能被4整除的偶数都是智慧数； （3）根据列举出的这些数寻找规律，根据规律再进一步求解得到答案． 【详解】（1）解：∵是偶数，∴是奇数； ∵， 解得， ∴， 即13的智慧分解为7和6（写成这样：或者也给分）； （2）略 （3）解：将智慧数从小到大进行排列为3，5，7，8，9，11，12，13，15，16，17，19，……，发现的规律：第4，7，10个数都是4的倍数， 其中；；；……， 而， ∴第100个智慧数也是4的倍数， ∵第4个数，第7个数，第10个数， ∴第100个智慧数是， 由（2）知，，解得， ∴136的智慧分解：和，（或）； ∵也满足智慧数的定义， ∴136的智慧分解为19和15，（或）． 17．分子为1的真分数叫单位分数（如，）．任何一个单位分数都可拆分为两个不同的单位分数的和．例如：，，，…．设（a，m，n均为正整数），我们定义：当取最小值时，称为的最优分解，比如的最优分解为；的最优分解为_____；的最优分解为（m，n均为正整数且），则_____． 【答案】 【分析】根据定义运算，整理方程并分解因数，得到差值最小的因数即可． 【详解】解：（1）设（，、为正整数），通分可得， 即， 整理得， 两边同时加36得． 36的正因数对有：、、、． 对应的分别为、、、． 计算：，，，． 其中最小的是5，此时，，所以的最优分解为． （2）设(,、为正整数)，通分可得， 即， 整理得， 两边同时加得． 要使最小，即最小，也就是和这两个因数的差最小． 因为的因数中，最接近的两个因数是其平方根附近的数， 分解质因数为（是质数）， 所以． 其因数中，最接近的两个不同因数为，， 则． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $