第1章 图形的相似（单元分层自测·基础通关卷）数学新教材湘教版九年级上册

**基本信息** 聚焦“图形的相似”单元，以基础通关为目标，融合中考真题改编（如2026山西中考题）与实际情境（城楼测量），全面覆盖相似判定、比例线段、位似等核心知识，体现数学眼光（几何直观）、思维（推理）与语言（模型应用）。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|比例线段、相似图形判定、相似比|基础巩固，如第3题等边三角形相似判定| |填空题|6/18|相似应用（梯子安全绳）、黄金螺线|结合文化（黄金矩形），如第16题黄金螺线计算| |解答题|9/72|实际测量（城楼高度）、动点综合|分层设计，如24题模型应用，25题动点与相似探究|

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第一章 图形的相似·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．已知，那么下列等式中，不一定正确的是(    ) A. B. C. D. 2．下列四条线段能成比例线段的是(    ) A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 3.下列说法正确的是(    ) A. 矩形都是相似图形 B. 各角对应相等的两个五边形相似 C. 等边三角形都是相似三角形 D. 等腰三角形都是相似三角形 4．如果两个相似多边形一组对应边的长分别为，，那么它们的相似比为(    ) A. B. C. D. 5．如图，，若，则的长为(    ) A. B. C. D. 6.（2026山西中考）如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点将线段AD沿射线AB方向平移，点A，D的对应点分别为点E，F，线段EF分别与OA，OD交于点G，当点G是OA的中点时，的值为(    ) A. B. C. D. 7．如图，在网格图中，每个小正方形的边长均为，则关于三角形、有四个说法，其中正确的是(    ) A. 一定不相似 B. 一定位似 C. 一定相似，且相似比为 D. 一定相似，且相似比为 8．如图，将矩形沿直线折叠，顶点恰好落在边上的点处．已知，，则为（ ） A.5:1 B.4:1 C.3:1 D.2:1 9．如图，在平面直角坐标系中，矩形与矩形是以点为位似中心的位似图形，点的坐标为若，则的长是 A. B. C. D. 10．（2025山东威海中考）如图，△ABC的中线BE，CD交于点F，连接DE．下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．如图是一架梯子的示意图，其中，且．为使其更稳固，在，间加绑一条安全绳线段量得，则            12．如果把两条直角边长分别为，的直角三角形按相似比进行缩小，那么得到的直角三角形的面积是          ． 13．如图，，，则图中相似的三角形有          对． 14．如图，在矩形中，，点，分别在，边上，且若矩形∽矩形，且相似比为，则的长是          ． 15．如图所示，在中，，有一内接正方形，连接交于点，，，则的长是          ． 16．如图，黄金矩形中，以宽为边在其内部作正方形，得到四边形是黄金矩形，依此作法，四边形，四边形也是黄金矩形依次以点，，为圆心作，，，曲线叫作“黄金螺线”若，则“黄金螺线”的长为          结果用表示． 三、解答题（共9小题，共72分） 17．（6分）已知线段，，求线段，的比例中项． 已知：：，求的值． 18．（6分）如图所示的两个四边形是相似图形，根据图中数据，试分别确定，，的值． 19．（6分）如图，某地四个乡镇，，，之间建有公路，已知千米，千米，千米，千米，千米，问公路与平行吗？说出你的理由．  20．（6分）如图，菱形的边长为，，菱形的边长为，，这两个菱形相似吗？试说明理由． 21．（8分）如图，在网格图中，与是位似图形． 若在网格上建立平面直角坐标系，使得点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为          ； 以点为位似中心，在网格图中作，使和位似，且位似比为：； 在图上标出与的位似中心，并写出点的坐标为__________，计算四边形的周长． 22．（8分）如图，，，，． 求的值 求证：． 23．（8分）如图，正方形中，为上一点，是的中点，，垂足为，交的延长线于点，交于点 求证：∽ 若，，求的长． 24．（12分）周末小明和小亮去某影视基地游玩，小明站在地面上给站在城楼上的小亮照相时发现：他的眼睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上如图已知小明的眼睛离地面，凉亭顶端离地面，小明到凉亭的距离为，凉亭离城楼底部的距离为，小亮身高请根据以上数据求出城楼的高度． 25．（12分）如图，在中，，，点从点出发，沿折线向终点运动，在上以每秒个单位长度的速度运动，在上以每秒个单位长度的速度运动点从点出发，沿方向以每秒个单位长度的速度运动，两点同时出发，当点停止时，点也随之停止设点运动的时间为秒． 求线段的长用含的代数式表示 当与的一边平行时，求的值． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第一章 图形的相似·基础通关（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C D C A C A C B B B 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．  12．9 13．6 14．10 15．2.4 16．  三、解答题（共9小题，共72分） 17．（6分） 【解析】解：设线段是线段，的比例中项， ，， ：， ， 负值舍去． 线段，的比例中项是．（3分） ：：， 设，， ． （6分） 18．（6分） 【解析】解：四边形与四边形相似， ，，， 即． ，（2分） ，（4分） ．（6分）  19．（6分） 【解析】解：公路与平行．（1分） 理由如下：，，， ∽（4分） （5分） ，即公路与平行．（6分） 20．（6分） 【解析】解：相似．（1分） 理由如下：四边形是菱形，， ，， 四边形是菱形，， ，， ，，，（3分） 又，（5分） 这两个菱形相似． （6分） 21．（8分） 【解析】(1)  （2分） (2)如图，为所作； （5分） （3）如图，点P为所作，P点坐标为（1，2），（6分） ，， ，， 所以四边形ABCP的周长．（8分） ​​​​​​​ 22．（8分） 【解析】解：， ． 又，，  ， 解得． ．（4分） 证明： ，， ． ．（8分） 23．（8分） 【解析】(1)解:证明:∵四边形ABCD是正方形, ∴∠B=90°,AD // BC, ∴∠AMB=∠EAF. 又∵EF⊥AM, ∴∠AFE=90°, ∴∠B=∠AFE, ∴△ABM∽△EFA.（4分） (2)∵∠B=90°,AB=12,BM=5, ∴AM==13,AD=12. ∵F是AM的中点, ∴AF=AM=6.5. ∵△ABM∽△EFA, ∴=,即=, ∴AE=16.9, ∴DE=AE-AD=4.9.（8分） 24．（12分） 【解析】如图，过点A作BF的垂线，垂足为G，交CD与H（2分） H G 易知AH=BD=2m，HG=DF=40m ∴AG=AH+AG=42m ∵CD垂直地面，EF垂直地面 ∴CD∥EF ∴△AHC∽△AGE（6分） ∴（8分） 即 ∴KG=7.35m（10分） ∴EF=1.65+7.35=9m ∴城楼的高度为9-1.7=7.3m（12分） 25．（12分） 【解析】解：在中， ，，， ， ， （4分） 当点在上，时， ，即． 解得．（8分） 当点在上，时， ，即． 解得． 综上所述，的值为或．（12分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第一章 图形的相似·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．已知，那么下列等式中，不一定正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】：， ， ， 这个结论不一定正确； 故选C 2．下列四条线段能成比例线段的是(    ) A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 【答案】D 【解析】解：、，故选项不符合题意； B、，故选项不符合题意； C、，故选项不符合题意． D、，故选项符合题意； 故选D． 3.下列说法正确的是(    ) A. 矩形都是相似图形 B. 各角对应相等的两个五边形相似 C. 等边三角形都是相似三角形 D. 等腰三角形都是相似三角形 【答案】C  【解析】矩形对应角相等，对应边不一定成比例，所以不一定是相似图形，故本选项错误； B. 各角对应相等的两个五边形相似，对应边不一定成比例，故本选项错误； C. 等边三角形对应角相等，对应边成比例，所以是相似三角形，故本选项正确； D. 等腰三角形的对应角不一定相等，故本选项错误； 故选：． 4．如果两个相似多边形一组对应边的长分别为，，那么它们的相似比为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】相似比为相似多边形对应边的比，为3:4.5=2:3， 故选A 5．如图，，若，则的长为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】∵ ∴ 所以AC==4， 故选C 6.（2026山西中考）如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点将线段AD沿射线AB方向平移，点A，D的对应点分别为点E，F，线段EF分别与OA，OD交于点G，当点G是OA的中点时，的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：四边形ABCD是正方形，  ，  由平移的性质得：，  ，  点G是OA的中点，  ，，  ，  ∽，  ，    故选： 7．如图，在网格图中，每个小正方形的边长均为，则关于三角形、有四个说法，其中正确的是(    ) A. 一定不相似 B. 一定位似 C. 一定相似，且相似比为 D. 一定相似，且相似比为 【答案】C  【解析】的三边长分别为 的三边长分别为 所以，三角形、三边对应成比例， 所以，关于三角形、一定相似，且相似比为：． 故选：． 8．如图，将矩形沿直线折叠，顶点恰好落在边上的点处．已知，，则为（ ） A.5:1 B.4:1 C.3:1 D.2:1 【答案】B 【解析】由折叠知，又，，，又，∽，．故答案为B。 9．如图，在平面直角坐标系中，矩形与矩形是以点为位似中心的位似图形，点的坐标为若，则的长是 A. B. C. D. 【答案】B  【解析】点的坐标为，，点的纵坐标为，则矩形与矩形的位似比为， 点的横坐标为， ． 10．（2025山东威海中考）如图，△ABC的中线BE，CD交于点F，连接DE．下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵△ABC的中线BE，CD交于点F， ∴DE= BC，DE∥BC，， ∴△ADE∽△ABC，，故D选项结论正确； ∴，， ∴，，，故A、C选项结论正确，B选项结论错误； 故选：B. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．如图是一架梯子的示意图，其中，且．为使其更稳固，在，间加绑一条安全绳线段量得，则            【答案】  【解析】∵， ∴= ∴=3AE=1.2m 12．如果把两条直角边长分别为，的直角三角形按相似比进行缩小，那么得到的直角三角形的面积是          ． 【答案】  【解析】原直角三角形的面积为:5×10÷2=25 缩小后的两条直角边长分别为: 5×=3，10×=6 缩小后的直角三角形面积为:3×6÷2=9 故得到的直角三角形的面积是9。 13．如图，，，则图中相似的三角形有          对． 【答案】  【解析】，， ． 又， ∽． ，， ． 又， ∽； ，， ∽； ，， ∽， ∽； ∽． 故答案是：． 14．如图，在矩形中，，点，分别在，边上，且若矩形∽矩形，且相似比为，则的长是          ． 【答案】10 【解析】解：矩形∽矩形，且相似比为， ， 四边形为矩形， ， ， ，， ．  15．如图所示，在中，，有一内接正方形，连接交于点，，，则的长是          ． 【答案】2.4 【解析】设正方形的边长为． 四边形是正方形，， ∽，． ，，正方形的边长为， ，解得，． 又由得∽， ，即，解得， ． 16．如图，黄金矩形中，以宽为边在其内部作正方形，得到四边形是黄金矩形，依此作法，四边形，四边形也是黄金矩形依次以点，，为圆心作，，，曲线叫作“黄金螺线”若，则“黄金螺线”的长为          结果用表示． 【答案】  【解析】， AB= 形 CF=AD-BF=2-（）=3- 四边形是黄金矩形 CH=CF=3- ∵CD=AB=, ∴HD=CD一CH=(一1)-(3一)=2一4. ∵四边形LKDH是正方形， ∴LH=HD=2-4, ∴“黄金螺线”AFHK的长为 =π(AE+GH+LH)=π(AE+ED+LH） =π(AD+LH)=π(2+2一4) =(一1)π. 三、解答题（共9小题，共72分） 17．（6分）已知线段，，求线段，的比例中项． 已知：：，求的值． 【解析】解：设线段是线段，的比例中项， ，， ：， ， 负值舍去． 线段，的比例中项是． ：：， 设，， ．  18．（6分）如图所示的两个四边形是相似图形，根据图中数据，试分别确定，，的值． 【解析】解：四边形与四边形相似， ，，， 即． ，，．  19．（6分）如图，某地四个乡镇，，，之间建有公路，已知千米，千米，千米，千米，千米，问公路与平行吗？说出你的理由． 【解析】解：公路与平行． 理由如下：，，， ∽ ，即公路与平行．  20．（6分）如图，菱形的边长为，，菱形的边长为，，这两个菱形相似吗？试说明理由． 【解析】解：相似． 理由如下：四边形是菱形，， ，， 四边形是菱形，， ，， ，，， 又， 这两个菱形相似．  21．（8分）如图，在网格图中，与是位似图形． 若在网格上建立平面直角坐标系，使得点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为          ； 以点为位似中心，在网格图中作，使和位似，且位似比为：； 在图上标出与的位似中心，并写出点的坐标为___________，计算四边形的周长． 【解析】(1)  (2)如图，为所作；  （3）如图，点P为所作，P点坐标为（1，2）， ，， ，， 所以四边形ABCP的周长． ​​​​​​​ 22．（8分）如图，，，，． 求的值 求证：． 【解析】解：， ． 又，，  ， 解得． ． 证明： ，， ． ． 23．（8分）如图，正方形中，为上一点，是的中点，，垂足为，交的延长线于点，交于点 求证：∽ 若，，求的长． 【解析】(1)解:证明:∵四边形ABCD是正方形, ∴∠B=90°,AD // BC, ∴∠AMB=∠EAF. 又∵EF⊥AM, ∴∠AFE=90°, ∴∠B=∠AFE, ∴△ABM∽△EFA. (2)∵∠B=90°,AB=12,BM=5, ∴AM==13,AD=12. ∵F是AM的中点, ∴AF=AM=6.5. ∵△ABM∽△EFA, ∴=,即=, ∴AE=16.9, ∴DE=AE-AD=4.9. 24．（12分）周末小明和小亮去某影视基地游玩，小明站在地面上给站在城楼上的小亮照相时发现：他的眼睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上如图已知小明的眼睛离地面，凉亭顶端离地面，小明到凉亭的距离为，凉亭离城楼底部的距离为，小亮身高请根据以上数据求出城楼的高度． 【解析】如图，过点A作BF的垂线，垂足为G，交CD与H H G 易知AH=BD=2m，HG=DF=40m ∴AG=AH+AG=42m ∵CD垂直地面，EF垂直地面 ∴CD∥EF ∴△AHC∽△AGE ∴ 即 ∴KG=7.35m ∴EF=1.65+7.35=9m ∴城楼的高度为9-1.7=7.3m 25．（12分）如图，在中，，，点从点出发，沿折线向终点运动，在上以每秒个单位长度的速度运动，在上以每秒个单位长度的速度运动点从点出发，沿方向以每秒个单位长度的速度运动，两点同时出发，当点停止时，点也随之停止设点运动的时间为秒． 求线段的长用含的代数式表示 当与的一边平行时，求的值． 【解析】解：在中， ，，， ， ， 当点在上，时， ，即． 解得． 当点在上，时， ，即． 解得． 综上所述，的值为或． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第一章 图形的相似·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．已知，那么下列等式中，不一定正确的是(    ) A. B. C. D. 2．下列四条线段能成比例线段的是(    ) A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 3.下列说法正确的是(    ) A. 矩形都是相似图形 B. 各角对应相等的两个五边形相似 C. 等边三角形都是相似三角形 D. 等腰三角形都是相似三角形 4．如果两个相似多边形一组对应边的长分别为，，那么它们的相似比为(    ) A. B. C. D. 5．如图，，若，则的长为(    ) A. B. C. D. 6.（2026山西中考）如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点将线段AD沿射线AB方向平移，点A，D的对应点分别为点E，F，线段EF分别与OA，OD交于点G，当点G是OA的中点时，的值为(    ) A. B. C. D. 7．如图，在网格图中，每个小正方形的边长均为，则关于三角形、有四个说法，其中正确的是(    ) A. 一定不相似 B. 一定位似 C. 一定相似，且相似比为 D. 一定相似，且相似比为 8．如图，将矩形沿直线折叠，顶点恰好落在边上的点处．已知，，则为（ ） A.5:1 B.4:1 C.3:1 D.2:1 9．如图，在平面直角坐标系中，矩形与矩形是以点为位似中心的位似图形，点的坐标为若，则的长是 A. B. C. D. 10．（2025山东威海中考）如图，△ABC的中线BE，CD交于点F，连接DE．下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．如图是一架梯子的示意图，其中，且．为使其更稳固，在，间加绑一条安全绳线段量得，则            12．如果把两条直角边长分别为，的直角三角形按相似比进行缩小，那么得到的直角三角形的面积是          ． 13．如图，，，则图中相似的三角形有          对． 14．如图，在矩形中，，点，分别在，边上，且若矩形∽矩形，且相似比为，则的长是          ． 15．如图所示，在中，，有一内接正方形，连接交于点，，，则的长是          ． 16．如图，黄金矩形中，以宽为边在其内部作正方形，得到四边形是黄金矩形，依此作法，四边形，四边形也是黄金矩形依次以点，，为圆心作，，，曲线叫作“黄金螺线”若，则“黄金螺线”的长为          结果用表示． 三、解答题（共9小题，共72分） 17．（6分）已知线段，，求线段，的比例中项． 已知：：，求的值． 18．（6分）如图所示的两个四边形是相似图形，根据图中数据，试分别确定，，的值． 19．（6分）如图，某地四个乡镇，，，之间建有公路，已知千米，千米，千米，千米，千米，问公路与平行吗？说出你的理由．  20．（6分）如图，菱形的边长为，，菱形的边长为，，这两个菱形相似吗？试说明理由． 21．（8分）如图，在网格图中，与是位似图形． 若在网格上建立平面直角坐标系，使得点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为          ； 以点为位似中心，在网格图中作，使和位似，且位似比为：； 在图上标出与的位似中心，并写出点的坐标为__________，计算四边形的周长． 22．（8分）如图，，，，． 求的值 求证：． 23．（8分）如图，正方形中，为上一点，是的中点，，垂足为，交的延长线于点，交于点 求证：∽ 若，，求的长． 24．（12分）周末小明和小亮去某影视基地游玩，小明站在地面上给站在城楼上的小亮照相时发现：他的眼睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上如图已知小明的眼睛离地面，凉亭顶端离地面，小明到凉亭的距离为，凉亭离城楼底部的距离为，小亮身高请根据以上数据求出城楼的高度． 25．（12分）如图，在中，，，点从点出发，沿折线向终点运动，在上以每秒个单位长度的速度运动，在上以每秒个单位长度的速度运动点从点出发，沿方向以每秒个单位长度的速度运动，两点同时出发，当点停止时，点也随之停止设点运动的时间为秒． 求线段的长用含的代数式表示 当与的一边平行时，求的值． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $