第1章 图形的相似（高效培优单元自测·提升卷）数学新教材湘教版九年级上册

**基本信息** 《图形的相似》单元提升卷，以文化传承与现实应用为情境，覆盖比例性质、相似三角形判定与性质等核心知识，适配初中数学单元复习，提升综合应用与创新思维能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|比例性质（题1）、相似三角形周长比（题2）、位似面积比（题3）|结合《西游记》相似变换（题4）、《孙子算经》古算题（题7），渗透文化传承| |填空题|6/18|成比例线段（题11）、平行线分线段成比例（题12）|无人机测绘相似应用（题14），体现数学眼光观察现实世界| |解答题|8/72|相似证明（题17）、实际测量（题22）、动态探究（题24）|遮阳棚问题（题23）综合相似与三角函数，培养模型意识与推理能力|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第1章图形的相似（高效培优单元自测·提升卷） (考试时间：120分钟试卷满分：120分) 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B 0 D D D D C B 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分.） 8 11.3 20 12.3 13.7.2 14.1025 15.1 16.5 三、解答题（本题共8小题，第17-18题每题6分，第19-20题每题8分，第21-22题每题10分，第23-24 题每题12分，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.(I)证明：：在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高. =1 ACxBC=CD×AB :Sc=2 2 .AC·BC=CD·AB. (2)解：AC、CD、AB、BC是成比例线段，理由如下： AC·BC=CD·AB ACAB ·CDBC :.AC、CD、AB、BC是成比例线段. 18.(1)证明见详解 (2)6 【详解】(1)证明：，CD=CE, 1/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠CDE=∠CED '∠ADB=180°-∠CDE,∠AEC=180°-∠CED, .∠ADB=∠AEC, .∠DAC=∠B .△ACE∽△BAD (2)解：△ACE∽△BAD」 ·CED,则AD=BD,CE AE BD AE CE=5,BD=8,AE=4, AD=BD-CE_8x5 10 AE 4 ∴.ED=AD-AE=10-4=6」 19.(1) A 的 (2) C B 20.(1)18 g25 2/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 I∠BAD=∠C 【详解】(I)解：在△ABD和△CBA中， ∠B=∠B ·.△ABDACBA, AB BD ”CBBA· .·BD=12,CD=15 .'BC=BD+CD=27, ,AB12 ·27BA: ∴.AB=18: (2)解：∠BAD=∠C,∠ADE=∠C, ∠BAD=∠ADE, AB∥DE, DE CD AB CB' AB=18,CD=15,BC=27, DE 15 1827 .DE=10 如图1，作EH⊥BC,垂足为点H, 图1 .AB∥DE .∠EDH=∠B=60°， 在RtEDH中， EH=DE·sin/EDH=5V5 ∴.SEDc= 0D-R-空5 21.(1)证明见解析； 3/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (②25-2 【详解】(1)证明：ABCD, .ADI‖BC,AD=BC. .CE=DF, .'AF=BE, ADI BC,AF BE, .四边形ABEF是平行四边形， .ADI BC, .∠FAE=∠BEA, ,AE平分∠BAD .∠BAE=∠FAE, ∴.∠BAE=∠BEA, ∴AB=BE, .口ABEF是菱形， AE⊥BF: (2),四边形ABEF是菱形， .'AB=EF=BE=AF=4. :ADI‖BC,CE=DF, ∴，四边形CEFD是平行四边形， .EF =CD=4. ,四边形ABCD与四边形CEFD相似， AB BC …CEEF' 4_4+CE :CE 4 .CE2+4CE-16=0, 解得： CE=25-2或CE=-25-2（不符合恩意，合去)， :CE的长为 2W5-2 4/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 22.雕像的高度为5.5米、 【详解】解：DE⊥AE,BA⊥AE, .∠BAC=∠DEC=90°」 :在△BAC和△DEC中， ∠BCA=∠DCE |∠BAC=∠DEC, ,△BACr△DEC, AB AC DEEC· DE=1.6,EC=3.2,AC=11 AB 11 1.63.2,即AB=5.5 ∴.雕像的高度为5.5米。 23.(1)①1，②DE=0.75 (2)会，计算见解析 【详解】(I)解：①如图，过点B作BH⊥DH于点H, 太阳 光线 B H 图1 由题意，得∠CDH=∠DCB=∠BHD=90°， ∴四边形CDHB是矩形 又：CB=CD, ∴.四边形CDHB是正方形， ∠BDH=45°， .m=tan∠BDH=1: ②如图，过点B作BM⊥DE于点M, 5/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 太阳 光线 B D E M 图2 .CD=BM=1.5 BC=DM=1.5 在RtBEM中，an∠BEM=BM EM' 1.5 即2=EM,解得EM=0.,75, .DE=DM-EM=1.5-0.75=0.75: (2)解：如图，过点B作BF⊥AC于点F,过点B作BM⊥DE于点M, Fh--B 则BF=DM=1.2, .CF=VBC2-BF2=V1.52-1.22=0.9 BM=DF=CD-CF=1.5-0.9=0.6, .14时点E最靠近墙角， :在RtBEM中，tan∠BEM=BM =1.25 EM 125=0.6 EM,解得EM=0.48' DE=DM-EM=12-0.48=0.72, DE7-1 作EG⊥DM交BC于点G,交BF于点H,则四边形DEHF和MEHB是矩形， .BH=EM=0.48, 6/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 GHIICF, ∴.△BGH∽△BCF, GH BH GH0.48 ·CF=BF,即0.9=1.2 解得GH=0.36, .EG=0.36+0.6=0.96<1.1. ,他在绿萝摆放处站直时头顶会碰到摇臂CB 24.(1)24°： (2)见详解： 9-3V5 (3)8· 【详解】(1)解：：AD平分∠BAC, .∠BAD=∠CAD .∠ADC:∠BAD=3:2,∠ACB=60°」 设∠ADC=3x,∠BAD=∠CAD=2x, 在△ACD中，∠CAD+∠ADC+∠ACB=180°， 即2x+3x+60°=180° 解得x=24°， 又：∠ADC=∠BAD+∠B, ,∠B=∠ADC-∠BAD=3x-2x=x=24°： (2)证明：：AD=AC,∠ACB=60°， .△ACD是等边三角形， ∴.AC=AD=CD,∠CAD=60°， 由旋转得AE=AB,∠BAE=120°， .∠EAC+∠BAD=∠BAE-∠CAD=60°， 又∠ADC是△ABD的外角， ∴.∠ADC=60°=∠B+∠BAD, .∠EAC=∠B 7/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 过点E作EG‖BC交AC于点G, 4I少G F C D 则∠1=∠C=60°， ∴.∠2=180°-∠1=120° 又∠3=180°-∠ADC=120°， .∠3=∠2， 在△AEG和△BAD中， [∠2=∠3 ∠EAG=∠B AE=AB △AEG≌△BAD(ASA) .AG=BD,EG=AD, AC=AD=CD, ..EG=CD, 在△FEG和△FDC中， [∠1=∠C ∠4=∠5， GE=CD ∴.△FEG≌△FDC(AAS) 1 FG-CF-CG .BD=BC-CD=BC-AD,AG=AC-CG=AD-2CF, .AD-2CF BC-AD 整理得AD=2CF+BD: (3)解：连接MN,过点Q作QO‖AR,交AB于O, 8/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0 D M B R ∠BAC=90°，AB=AC=3, :△MBC是等腰直角三角形，∠ABC=∠ACB=45,BC=VAB+AC=3V2 ,M是BC的中点，N是AB的中点， BM-CM-BC-AN-BNA3 2, 2 2,MN是△ABC的中位线， .MN II AC ,将△ACD沿AD所在直线翻折到△ARD, 由翻折性质得：AR=AC=3,∠DAR=∠DAC,即R在以A为圆心，3为半径的圆上. NO 1 :RQ=20N,即NR3, 20 NONO 1 ARAN-NR3 00-写4R=1,wo-{4W={.001 3 =2,Q0OB2: ∴点O在以O为圆心、1为半径的圆上，OB=BN+NO=2, NO 00 1 又：∠Q0N=∠B00:00OB2' .aOQN∽aOBQ」 :0N-3B0, 9/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :MO+BQ-MQ+ON 由两点之间线段最短，当M、O、N三点共线时，取最小值，此时Q在MW上， AB⊥AC,MN∥AB, .MN⊥AB ·.∠B=∠BMN=∠KMR=45° 在RAON2中，0N=5:O0=1, ∴.由勾股定理得 N=J00-ON3 ， R2:QN=2:1, R0=20N=5,Rw=Rg+ON=3 ， :cos∠Aw=RWV5 AR 2, .∠ARN=30°」 ∠CAR=30°，AD平分∠CAR, ∠DAR=∠DAC, ∴.∠CAD=15°， 在△ACD中，∠CAD=15°，∠ACD=45°， ∴.∠ADC=∠ADR=120°，∠ADB=∠C+∠DAC=60°， .∠MDR=∠ADR-∠ADB=60°， 过R作RK⊥BC于K, 10/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0 M B R ∴.∠KMR=∠KRM=45o .KR=KM 设CD=DR=x, 在RIADKR中，DK=DR-cos∠MDR= 2 在RtAMKR中， KM=KR=DR-sin∠MDR=5, CD+DK+KM-* 2 术=CM=3v2 1,5 2, 3W2-V6 解得=2 11+5x5x=3+52 .S.mp-7x2 xx- -X= 2 8 8w336-w)-3e5 8, 9-3√3 即△RMD的面积为8· 11/11 第1章 图形的相似（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1、 选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．已知，则下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查比例的基本性质，掌握比例的基本性质是解题关键，可通过比例交叉相乘或等式变形验证各选项是否与已知条件一致． 【详解】∵， ∴B选项：根据比例的基本性质，将等式转化为比例式可得（交叉相乘后结果为，与已知条件完全一致），故B选项成立； 对其余选项分析： A选项：若，交叉相乘得，与矛盾，故A选项不成立； C选项：若，变形得，即，交叉相乘得，与矛盾，故C选项不成立； D选项：若，变形得，即，交叉相乘得，与矛盾，故D选项不成立； 故选：B． 2．已知，，若的周长是，则的周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，利用相似三角形的周长比等于相似比的性质直接计算，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，且， ∴相似比为， ∴周长比为， ∵的周长是， ∴的周长是， 故选：． 3．如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上．若，则和的面积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先得到，然后得到，然后利用相似三角形的性质求解． 【详解】解：∵， ， ∵和是以点为位似中心的位似图形， ，， ∴， ， ． 4．《西游记》中大闹天宫的美猴王，是不畏强权、勇敢反抗精神的中华经典文化符号．如图，用放大镜将美猴王的手绘图片放大，放大前后两个图形之间属于（   ） A．轴对称变换 B．平移变换 C．相似变换 D．旋转变换 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似变换，解题的关键是掌握相似的定义． 根据相似变换进行求解即可． 【详解】解：放大前后两个图形之间属于相似变换， 故选：C． 5．如图1是花架实物图，图2是其对应的侧面示意图，已知，，，则的长为(     ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线分线段成比例可求出，再由线段的和差即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 6．如图，若雕像的上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全身的高度比，可增强视觉美感．按照这一比例，若雕像的总高度为2米，则雕像下部的高度为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设雕像的下部的高度为，由黄金分割的定义得，即可求解． 【详解】解：设雕像的下部的高度为， ∵雕像的上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全身的高度比， ∴， 解得：， 即雕像的下部的高度为． 7．《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其中记载着这样一道题：今有树，不知其高，去树五十步，立表高五尺，人却退七步，望表末，与树末参直，人目高四尺，问树高几何？大致意思是：为求树高，在距离树50步的地方，竖立一根5尺长的标杆，再向后退7步，此时眼睛、标杆顶端、树顶端在一条直线上，眼睛离地面的高为4尺，则树高为（   ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【答案】D 【分析】将实际问题转化为几何模型，过C作，分别交标杆、树于点、，证明，利用相似三角形对应边成比例的性质列方程求解即可． 【详解】解：设树高为尺， 如图，过C作，分别交标杆、树于点、， ∵， ∴， ∴， ∴， 由题意可知（尺），步，（步），尺， ∴， 解得， 故树高为尺． 8．凸透镜成像的原理如图所示，若蜡烛（）到焦点（）的距离与焦点（）到凸透镜的中心线的距离之比为，蜡烛的高度为，则放大的实像（）的高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，从实际问题中找到相似三角形并利用相似三角形的性质进行求解是解题的关键．依题意四边形为矩形，得到，再根据，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵，四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即, 故选：D． 9．如图，是的边上一点，连接，下列条件中，能使的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】已知两个三角形有一组公共角，若要使两个三角形相似，只需夹这组公共角的两边对应成比例即可． 【详解】解：∵， ∴要证明需要满足， ∴，故C符合题意； A、B、D中的条件结合现有条件无法证明． 10．如图，在中，，的平分线交于点，交的延长线于点．若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平行四边形性质和角平分线性质证得为等腰三角形，求出其面积；再利用相似三角形性质得出与的关系，从而建立平行四边形面积与面积的联系求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 如图，连接， 可知， 在中，， ， ， ， ， 为中点，即， 设平行四边形中边上的高为， 则， 又， ． 2、 填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．已知为成比例线段，其中，，，则_______ ． 【答案】 【分析】本题考查成比例线段的定义，若按顺序为成比例线段，则满足，代入已知线段长度即可求解． 【详解】解：是成比例线段， ， 将，，代入得， 交叉相乘得， 解得． 12．如图，，直线a，b相交于点A且分别与，相交于点B，C，D，E．若，，，则的长为________． 【答案】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理；根据平行线分线段成比例定理，对应线段成比例即可求解． 【详解】解：∵，直线a，b相交于点A且分别与，相交于点B，C，D，E， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 故答案为：． 13．如图，在矩形中，点在边上，连接，过点作，垂足为点F．若，，，则________． 【答案】 【分析】先利用矩形性质得到平行线与直角，推出一组等角，结合垂直得到另一组直角相等，证出与相似；再在直角三角形中用勾股定理算出斜边，最后根据相似三角形对应边成比例列等式，代入已知边长求出的长度． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∵，，， ∴， ∴． 14．为调查某住宅区的实际占地情况，技术人员使用无人机进行航拍测绘（如图1）．其基本原理是：无人机从空中拍摄地面物体，所生成的数字模型（如图2）与地面实际物体（如图3）构成相似图形．在本次测绘中，设定数字模型上的代表实际距离．技术人员在数字模型上测得住宅区边界构成的四边形各边长度分别为 ，，， ，则该住宅区实际边界四边形的周长是_______． 【答案】 【分析】根据相似图形的性质，相似多边形的周长比等于相似比，先计算数字模型中四边形的周长，再结合比例尺代表进行计算即可． 【详解】解：由题意可知，数字模型上的四边形与实际边界四边形相似， 数字模型上四边形的周长， 因为数字模型上的代表实际距离，所以实际边界四边形的周长为：． 15．如图，在菱形中，对角线与相交于点，点在线段上，，点为的中点，点在线段上，且，则的长为___________． 【答案】1 【分析】先根据菱形的性质和勾股定理求得，从而求得，然后根据平行线分线段成比例可得，据此求得，进而根据线段的和差求得． 【详解】解：∵在菱形中，对角线与相交于点，， ∴，，， ∴， ∴， ∵，且点为的中点，即， ∴， ∴， ∴， ∴． 16．如图，在中，，，，点P从点O出发以1个单位长度/秒的速度向终点A运动，同时点Q从点A出发以个长度单位/秒的速度向终点C运动，运动时间为t秒，当的平分线恰好经过的中点时，t的值为_______ 【答案】 【分析】如图，过点C作交的延长线于点F，记的中点为过点M作于点连接，可证明，，利用对应边成比例即可求解． 【详解】解：如图，过点C作交的延长线于点F，记的中点为过点M作于点连接， ， ， 在中，， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ∵平分， ， ∵， ∴，     ∵， ∴， ∴， ∴平分， ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ， ， ， ∴当的平分线恰好经过的中点时，． 三、解答题（本题共8小题，第17-18题每题6分，第19-20题每题8分，第21-22题每题10分，第23-24题每题12分，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．如图，在中，是斜边上的高． (1)求证：； (2)是成比例线段吗？为什么？ 【答案】(1)证明：∵在中，是斜边上的高． ∴ ∴； (2)解：是成比例线段，理由如下： ∵ ∴ ∴是成比例线段． 【分析】（1）利用等面积法求解即可； （2）将乘积式化为比例式即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 18．如图，在中，D为上一点，E为上一点，如果，． (1)求证：． (2)若，，，求的长． 【答案】(1)证明见详解 (2)6 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质． （1）根据，可得，即有，结合，可得； （2）根据，可得，即，代入已知条件即可得解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵， ∴，则， ∵，，， ∴， ∴． 19．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点和均为格点（网格线的交点）．已知点和的坐标分别为和． (1)在所给的网格图中利用网格和无刻度直尺描出边上一点，使得； (2)以点为位似中心，将放大得到，使得点的对应点为，请在所给的网格图中画出． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）取格点D，连接交于点P即可，根据相似三角形的判定和性质可知； （2）根据位似图形的定义作图即可． 【详解】（1）略； （2）略． 20．如图，在中，点、分别在边、上，，，且． (1)求线段的长； (2)当时，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）证明，得到，然后代入求值即可； （2）先证明，然后判定，得到，求得，作，垂足为点，在中，通过求得，最后通过求得答案． 【详解】（1）解： 在和中，， ， ， ， ∴， ， ∴； （2）解：， ， ， ， ∵，，， ∴， ∴． 如图1，作，垂足为点， ， ， 在中，， ． 【点睛】本题考查了三角形相似的判定与性质，解直角三角形的相关计算，平行线分线段成比例，平行线的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 21．如图，在中，点分别在边上，连接，平分，． (1)求证：； (2)若，四边形与四边形相似，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（1）先运用性质结合证明四边形是平行四边形，再根据平分，，推出，证明是菱形，即可求解； （2）先运用菱形性质推出，再根据相似性质推出，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴，． ∵， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴是菱形， ∴； （2）∵四边形是菱形， ∴． ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形与四边形相似， ∴， ∴， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴的长为． 22．天府艺术公园美术馆门口的《行走的人》雕像别具一格，为了测量雕像高度，点为雕像顶端，地面上点在点正下方．小明同学采取了如下方法：在地面上点处水平放置一面平面镜子，并在镜子上做一个标记，然后人退到点处，恰好看到点在镜子中的像与镜子上的标记重合（如图所示）．其中，，三点在同一条直线上．小明的眼睛点距离地面的高度的长约为米，和的长分别为米和米，求雕像的高度（即的长）．（说明：图中，，） 【答案】雕像的高度为米． 【分析】本题主要考查相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 先证明，再结合条件求出的长即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴． ∵，，， ∴，即， ∴雕像的高度为米． 23．【阅读材料】 素材一：某款遮阳棚（图1），图2、图3、图4是它在不同情况下的侧面示意图，，为墙壁上的固定点，摇臂绕点旋转的过程中长度保持不变，遮阳棚可自由伸缩，棚面始终保持平整，且米． 素材二：该地区某天不同时刻太阳光线与地面的夹角的正切值． 时刻/时 12 13 14 15 角的正切值 5 2 1.25 【问题解决】 (1)当时． ①如图2，这天15时太阳光线刚好照射到墙角处，则此时刻角的正切值_________； ②如图3，这天13时在点位置摆放的绿萝刚好不被阳光照射到，求绿萝摆放位置与墙壁的距离； (2)如图4，旋转摇臂，使得点与墙壁的距离为1.2米，为使绿萝在这天14时不被阳光照射到，身高1.1米的小明将绿萝搬至14时刚好不被阳光照射到的地方，请通过计算判断他在绿萝摆放处站直时头顶是否会碰到摇臂？ 【答案】(1)①，② (2)会，计算见解析 【分析】（1）①过点作于点，四边形是正方形，由此利用锐角三角函数即可求解；②过点作于点，在中解直角三角形即可； （2）过点作于点，过点作于点，则四边形为矩形，得出，由表中数据得，14时点最靠近墙角，通过解直角三角形和相似三角形的判定和性质即可得解． 【详解】（1）解：①如图，过点作于点， 由题意，得， 四边形是矩形. 又， 四边形是正方形， ， ； ②如图，过点作于点， ，， 在中，， 即，解得， ； （2）解：如图，过点作于点，过点作于点， 则， ， ， 14时点最靠近墙角， 在中，， ，解得， ， 作交于点，交于点，则四边形和是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∴他在绿萝摆放处站直时头顶会碰到摇臂． 24．在中，是所在平面内一点，连接． (1)如图1，若点在边上，平分，求的度数； (2)如图2，若点在边上，，将线段绕点顺时针旋转得到，连接交边于点．求证：； (3)如图3，若是的中点，是的中点，将沿所在直线翻折到，连接，在上取一点，使得，连接，，当取最小值时，请直接写出的面积． 【答案】(1)； (2)见详解； (3)． 【分析】（1）由角平分线的性质得，根据题意设根据三角形的内角和求出，再根据三角形外角的性质即可求解； （2）先证明是等边三角形，得出，，由旋转得，，证明，过点E作交于点G，证明，得出，，，证明，得出，结合，，即可证明； （3）先利用等腰直角三角形和中点性质得到线段的平行与垂直关系，结合翻折性质确定R的轨迹，再由通过平行线分线段成比例确定Q的轨迹，利用相似三角形将转化为，把转化为，根据两点之间线段最短确定Q的位置，接着通过三角函数求出相关角度，设并根据线段和列方程求解x，最后计算的面积． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵， 设 在中，， 即， 解得， 又∵， ∴； （2）证明：∵， ∴是等边三角形， ∴，， 由旋转得，， ∴， 又是的外角， ， ， 过点E作交于点G， 则， ∴ 又， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ， ，， ， 整理得； （3）解：连接，过点Q作，交于O， ∵ ∴是等腰直角三角形，，， ∵是的中点，是的中点， ∴，，是的中位线， ∴， ∵将沿所在直线翻折到， 由翻折性质得：，，即R在以A为圆心，3为半径的圆上． ∵，即， ∴， ∴，，， ∴点Q在以O为圆心、1为半径的圆上，， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 由两点之间线段最短，当M、Q、N三点共线时，取最小值，此时Q在上， ∵，， ∴， ， 在中，，， ∴由勾股定理得， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，平分， ∵， ∴， 在中，，， ∴，， ∴， 过R作于K， ， ， 设， 在中，， 在中，， ∵， 解得， ， ， 即的面积为． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第1章图形的相似（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟试卷满分：120分) 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。) 1.已知2x=3y,则下列各式成立的是() C.x-Y_1 D.+y=5 AB 3 2.已知△4BC∽△DEF,DE2,若AABC的周长是6，则ADEF的周长是() A.3 B.4 c.5 D.6 3.如图，△ABC和△A'B'C是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段OA'上.若OA:AA=1:2,则 △ABC,△A'B'C 和 的面积之比为() A.1:2 B.1:4 C.1:3 D.1:9 4.《西游记》中大闹天宫的美猴王，是不畏强权、勇敢反抗精神的中华经典文化符号.如图，用放大镜 将美猴王的手绘图片放大，放大前后两个图形之间属于() A.轴对称变换B.平移变换 C.相似变换 D.旋转变换 AC 4 5.如图1是花架实物图，图2是其对应的侧面示意图，已知AB /CD.∥EF,CE5,DF=40cm,则 BF的长为() 118 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 0 R G H 图1 图2 A.32 cm B.40cm C.50cm D.72cm 6.如图，若雕像的上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全身的高度比，可增强 视觉美感.按照这一比例，若雕像的总高度为2米，则雕像下部的高度为() A.Im B,V5m c.(N5+1m p.(5-1)m 7.《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其中记载着这样一道题：今有树，不知其高，去树五十步， 立表高五尺，人却退七步，望表末，与树末参直，人目高四尺，问树高几何？大致意思是：为求树高，在 距离树50步的地方，竖立一根5尺长的标杆，再向后退7步，此时眼睛、标杆顶端、树顶端在一条直线上， 眼睛离地面的高为4尺，则树高为() 树 摩丁标杆 50 78 85 A.7尺 B.号尺 57 C.7尺 D.7尺 F 8.凸透镜成像的原理如图所示， AD∥I∥BC 若蜡烛(4H)到焦点()的距离与焦点()到凸透 镜的中心线DB的距离之比为2：5，蜡烛的高度为6Cm,则放大的实像(CG)的高度为() 218 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 放大 焦点F2的实像G 焦点F A.12cm B.13cm C.14cm D.15cm 9.如图，D是△ABC的边BC上一点，连接AD,下列条件中，能使△ABCDBA的是() D A.AC BC=AD BD B.AB2=CD.BC C.AB2=BD.BC D.AC BC=AB AD l0.如图，在ABCD中，AB=3,∠ABC的平分线交CD于点E,交AD的延长线于点F.若 BE=EF=2,则口ABCD的面积为() B A V5 B.2V5 C.6 D.12 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分.) 11.己知a,b,c,d为成比例线段，其中a=3cm,b=2cm,c=4cm,则d=一 cm 12.如图， I,直线a,6相交于点A且分别与，相交于点B,C,D,五，若4B=3,BC=5, 42 AD=4,则DE的长为一 318 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a B D E 13.如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，连接AE,过点D作DF⊥AE,垂足为点F.若AB=6, BE=8,AD=12,则DF= D B E 14.为调查某住宅区的实际lm占地情况，技术人员使用无人机进行航拍测绘（如图1）·其基本原理是： 无人机从空中拍摄地面物体，所生成的数字模型（如图2）与地面实际物体（如图3）构成相似图形.在本 次测绘中，设定数字模型上的lm代表实际距离50m.技术人员在数字模型上测得住宅区边界构成的四边 形ABCD各边长度分别为AB=4cm,BC=5cm,CD=7cm,DA=4.5cm,则该住宅区实际边界四边形 ABCD 的周长是 m C D D B 图1 图2 图3 15.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,AC=8,BD=12,点E在线段OA上， DE=2而，点F为BE的中点，点C在线段OC上，且FG∥BC,则OC的长为 D E G B 418 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 16.如图，在Rt△AOC中，∠AOC=90°，A0=8,OC=6,点P从点O出发以1个单位长度/秒的速度向 5 终点A运动，同时点Q从点A出发以4个长度单位/秒的速度向终点C运动，运动时间为t秒，当∠OPQ的 平分线恰好经过OC的中点时，t的值为 三、解答题（本题共8小题，第17-18题每题6分，第19-20题每题8分，第21-22题每题10分，第23-24 题每题12分，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) I7.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高. B (I)求证：AC·BC=CD·AB (②)AC、CD、AB、BC是成比例线段吗？为什么？ 18.如图，在△ABC中，D为BC上一点，E为AD上一点，如果∠DAC=∠B,CD=CE. D (I)求证：△ACE∽△BAD (2)若CE=5,BD=8,AE=4,求ED的长. 19.如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xO少，△ABC的顶点和 4均为格点《网格线的交点).已知点4和4的坐标分别为21)和4-2列 518 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B ● (I)在所给的网格图中利用网格和无刻度直尺描出边AB上一点P,使得PA:PB=1:3； (②以点O为位似中心，将△ABC 放大得到△4 9,使得点A的对应点为”，请在所给的网格图中画出 A △4B,C 20.如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，BD=12,CD=15,且∠BAD=∠C (I)求线段AB的长： (2)当∠ADE=∠C,∠B=60°时，求△EDC的面积. 21.如图，在ABCD中，点E,F分别在边BC,AD上，连接AE,BF,AE平分∠BAD,CE=DF. (I)求证：AE⊥BF: (2)若AF=4,四边形ABCD与四边形CEFD相似，求CE的长 22.天府艺术公园美术馆门口的《行走的人》雕像别具一格，为了测量雕像高度，点B为雕像顶端，地面 上点A在点B正下方.小明同学采取了如下方法：在地面上点C处水平放置一面平面镜子，并在镜子上做 一个标记，然后人退到点E处，恰好看到点B在镜子中的像与镜子上的标记重合（如图所示），其中E, 6/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C,A三点在同一条直线上.小明的眼睛点D距离地面的高度DE的长约为1.6米，EC和AC的长分别为 2米和米，求雕像的高度（即B的长）.（说明：图中DELAE,BALE,∠DCE=∠BC4) 3.2 B B D E 23.【阅读材料】 素材一：某款遮阳棚（图1），图2、图3、图4是它在不同情况下的侧面示意图，A,C为墙壁上的固定 点，摇臂CB绕点C旋转的过程中长度保持不变，遮阳棚AB可自由伸缩，棚面始终保持平整，且 CA=CB=CD=1.5米 A 太阳 太阳 光线 光线 D E D 图1 图2 图3 图4 素材二：该地区某天不同时刻太阳光线与地面的夹角α的正切值. 时刻时 12 13 14 15 角的正切值 J 2 1.25 m 【问题解决】 (1)当∠ACB=90°时. ①如图2，这天15时太阳光线刚好照射到墙角D处，则此时刻角a的正切值m= ②如图3，这天13时在点E位置摆放的绿萝刚好不被阳光照射到，求绿萝摆放位置与墙壁的距离DE: (2)如图4，旋转摇臂CB,使得点B与墙壁的距离为1.2米，为使绿萝在这天14时不被阳光照射到，身高 1.1米的小明将绿萝搬至14时刚好不被阳光照射到的地方，请通过计算判断他在绿萝摆放处站直时头顶是 否会碰到摇臂CB? 24.在△ABC中，D是△ABC所在平面内一点，连接AD. 718 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C R 图1 图2 图3 (I)如图1，若点D在边BC上，AD平分∠BAC,∠ADC:∠BAD=3:2,∠ACB=60°，求∠B的度数： (2)如图2，若点D在边BC上，AD=AC,∠ACB=60°，将线段AB绕点A顺时针旋转120°得到AE,连接 DE交边AC于点F.求证：AD=2CF+BD: (3)如图3，若∠BAC=90°，AB=AC=3,M是BC的中点，N是AB的中点，将△ACD沿AD所在直线翻折 到△D:连接RN,在RN上取一点Q,使得R0=2QN,连接BO,M0,当M0+)B0取最小值时， 请直接写出△RMD的面积. 818