第二十二章 相似形 单元测试卷 2026-2027学年沪科版九年级数学上册

**基本信息** 本卷为初中数学相似形单元复习卷，以核心素养为导向，覆盖相似图形判定、比例线段、位似等知识点，通过现实情境与文化素材设计问题，适配单元复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|相似图形判断、黄金分割、位似面积比|结合盆景黄金比（题4）、手电筒投影（题10）考查几何直观| |填空题|6/18|比例性质、动点相似、位似坐标|以平行线分线段（题12）、旋转与相似（题13）体现推理意识| |解答题|8/72|相似证明、河宽测量、位似作图|融合《海岛算经》测望法（题23）、正方形网格相似判断（题20），发展应用意识与创新意识|

第二十二章相似形单元测试卷 一、单选题（每题3分，共30分） 1.下列图形一定相似的是() A两个矩形 B.两个等腰直角三角形 C.有一个角是50°的两个等腰三角形 D.两个菱形 2.如图，下列三个矩形相似的是（) 16cm 9cm 12cm 12cm 甲 8cm 乙 12cm 丙 A.甲和乙 B.甲和丙 C.乙和丙 D.甲、乙、丙 3.已知线段a、b、c的长度分别为3、6、9，再选取一条线段d,使得这四条线段成比例， 这条线段的长度不能是() A.2 B.4.5 C.18 D.8 4,大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比.如图， 点B为AC的黄金分割点(AB>BC),若AC=50,则BC长为() A.75-255 B.50W5-50 c.25V5-25 D.25V5+25 5.图①是小明家摆放绿植的花架，它的侧面可抽象成如图②所示的图形，其中 BD 4 AB∥CD∥EF,已知CE=45cm,DF5,则AC的长度是(）cm 试卷第1页，共3页 E 图① 图② A.30 B.36 C.45 D.56.25 6.如图，D是△ABC的边BC上一点，连接AD,下列条件中，能使△ABC∽aDBA的是 () A.AC BC=AD BD B.AB2=CD·BC C.AB2=BD.BC D.AC BC=AB AD 7.已知如图1,2中各有两个三角形，其边长和角的度数如图上标注，则对图1,2中的两 个三角形，下列说法正确的是() E D 6 36 80°76 △80° 图1 图2 A.都相似 B.都不相似 C.只有图1相似D.只有图2相似 8.为了测量某条河流的宽度，小佳分别在河岸两边选定点A,B,C,并且分别在AB,AC的 延长线上取点D,E,使得DE∥BC,经测量，BC=6m,DE=9m,且点E到河岸BC的 距离为5m,则河宽AF为() 试卷第2页，共3页 A A.10m B.9m C 6m D.5m 9.如图，在正方形ABCD中，AB=4,点M在AB边上，且AM=3BM,连接DM,点E 是DM的中点，过点E作AB的平行线，交BC于点F,则EF的长为() D E A.2 B.2 c.2 D.5 10.如图，三角板（△ABC)在手电筒（点O)发出的光源的照射下形成了投影，三角板 与其投影的三角形（△AB'C')是位似图形，若OC:CC'=4:5,则三角板的面积与其投影 的三角形的面积比是()· B C A.45 B.4:9 C.16:25 D.16:81 二、填空题（每题3分，共18分） a-b4b 11.己知2a+b13,则。的值是 12.如图，已知BMCD∥EF,它们依次交直线、4于点4，D、F和点，C,B,如 试卷第3页，共3页 果AD:DF=3:1,BE=12,那么CE等于 A 13.如图，△ABC中，AB=AC=5,BC=6,点D是BC中点，点E在AC上且 CE=2AE,将线段DE绕点D顺时针旋转9O°得到线段DF,连接AF,则AF的长为 14.如图，DE∥BC,AD:DB=1:3Sa达形DCE=8 ,则 15.如图，在锐角三角形ABC中，AB=6cm,AC=12cm,动点D从点A出发到点B停 止，动点E从点C出发到点A停止，点D运动的速度为lcm/s,点E运动的速度为2cm/s, 如果两点同时开始运动： (1)当DE∥BC时，运动时间为」 秒； (2)以点A,D,E为顶点的三角形与△ABC相似，且DE与BC不平行时的运动时间为 秒 试卷第4页，共3页 16.如图，在平面直角坐标系中，已 知4(2,2）)，B(4,0,以原点0为位似中心，将0MB 缩小为原来的2，得到△OAB',则点A的对应点A的坐标为 2 -2-10 1234x 2 三、解答题（每题9分，共72分） 17.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高. D B (I)求证：AC·BC=CD·AB: (2)AC、CD、AB、BC是成比例线段吗？为什么？ 18.己知：如图，在△ABC中，DE∥BC,点F为AD上的一点，且AD2=AB·AF. 求证：EF∥CD B 19如图在BC中，D为4C边上一有，D 2,CD=2,BC=3.求证： △CDBACBA 试卷第5页，共3页 20.如图所示，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的 顶点上.请判断△ABC与△DEF是否相似？并证明你的结论. 21.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D是边BC的中点，连接AD,作BE⊥AD,垂 足为E,连接CE (I)求证：△DBEP△DAB: SADCE=1 (2)若S△Mc5,CE=2,求AC的长. 22.·如图，在平面直角坐标系中，△4BC的三个顶点坐标分别 A3,0)B(4,2） C(1,3) 请解答下列问题： 试卷第6页，共3页 (I)以原点O为位似中心，在第一象限内画出与△ABC位似的图形△4BC,使△4BC与 △ABC的相似比为2：1； (②)直接写出S点坐标：若线段4B上点D的坐标为 a,b) 则其对应点的坐标： (3)求△4BC的面积. 23.受刘徽《海岛算经》中的“测望法”启发，某兴趣小组设计如下方法测量河宽AB 如图，从B处沿与AB垂直的直线方向走45m到达C处，插一根标杆，然后沿同方向继续 走20m到达D处，再右转90°走到E处，使点A,C,E恰好在同一条直线上，此时量得 DE=32m】 D (I)求证：△ABC∽△EDC (2)求河宽AB的长， 24.在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点称为整点，如图，△ABC,△4BG的 顶点均为整点， 试卷第7页，共3页 V C B (I)△ABC可经过 (填“平移”、“轴对称”、“旋转”、“位似”其中一种)的 AC 图形变化方式得到△4BC,直接写出AC的值； (2)在图中画出 48G关于原点对称的△M8C:若卫B分别为4C,4C的中点，连接 OP OP,PP,直接写出PB的值. 试卷第8页，共3页 第二十二章相似形单元测试卷 一、单选题（每题3分，共30分） 1．下列图形一定相似的是（    ） A．两个矩形 B．两个等腰直角三角形 C．有一个角是的两个等腰三角形 D．两个菱形 【答案】B 【分析】根据相似图形的定义，即对应角相等、对应边成比例的图形相似，结合各类图形的性质，逐个判断选项即可． 【详解】解：选项A：∵两个矩形对应角相等，但对应边不一定成比例，∴两个矩形不一定相似，A不符合题意． 选项B：∵等腰直角三角形的三个内角固定为，，，对应角一定相等，且对应边一定成比例，∴两个等腰直角三角形一定相似，B符合题意． 选项C：∵的角可能是等腰三角形的顶角，也可能是底角，会导致两个三角形对应角不一定相等，∴两个三角形不一定相似，C不符合题意． 选项D：∵两个菱形的对应角不一定相等，∴两个菱形不一定相似，D不符合题意． 2．如图，下列三个矩形相似的是（     ） A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．甲、乙、丙 【答案】B 【分析】根据相似图形对应边成比例即可解答． 【详解】解：∵， ∴甲和乙不相似； ∵，且甲和丙都是矩形，四个角都相等， ∴甲和丙相似； ∵， ∴乙和丙不相似； 故选：B． 3．已知线段a、b、c的长度分别为3、6、9，再选取一条线段d，使得这四条线段成比例，这条线段的长度不能是（     ） A．2 B．4.5 C．18 D．8 【答案】D 【分析】根据比例基本性质，两内项之积等于两外项之积，分三种情况计算出线段d的所有可能值，即可判断出不可能的取值． 【详解】解：情况1：若，则，解得，对应选项C，可能； 情况2：若，则，解得，对应选项B，可能； 情况3：若，则，解得，对应选项A，可能； ∴d的可能取值为2，4.5，18，不可能为8，故D不可能． 4．大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比．如图，点为的黄金分割点（），若，则长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据黄金分割点的定义：将一条线段分成两部分，使较长部分与全长的比等于较短部分与较长部分的比，比值为 ,根据题意计算即可． 【详解】解：根据黄金分割点的定义，当点为的黄金分割点（）时， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 5．图①是小明家摆放绿植的花架，它的侧面可抽象成如图②所示的图形，其中，已知，，则的长度是（     ）． A．30 B．36 C．45 D．56.25 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 6．如图，是的边上一点，连接，下列条件中，能使的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】已知两个三角形有一组公共角，若要使两个三角形相似，只需夹这组公共角的两边对应成比例即可． 【详解】解：∵， ∴要证明需要满足， ∴，故C符合题意； A、B、D中的条件结合现有条件无法证明． 7．已知如图1，2中各有两个三角形，其边长和角的度数如图上标注，则对图1，2中的两个三角形，下列说法正确的是（     ） A．都相似 B．都不相似 C．只有图1相似 D．只有图2相似 【答案】D 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，根据相似三角形的判定定理分别判断即可． 【详解】解：在图1中，三角形内角和为， ∴左三角形的第三个角：， ∴三个角为； 右三角形的第三个角：， ∴三个角为； 两个三角形只有一个角相等，三个角不对应相等， ∴图1的两个三角形不相似； 图2中和，和是对顶角， ∴； 夹对应角的边满足：，， 即， ∴图2的两个三角形相似． 8．为了测量某条河流的宽度，小佳分别在河岸两边选定点，并且分别在的延长线上取点，使得，经测量，，，且点到河岸的距离为，则河宽为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，可得，根据相似三角形对应高的比等于相似比即可求解． 【详解】解：如图，延长交延长线于点， 由题意得为的边上高，则为的边上高，， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得， ∴． 9．如图，在正方形中，，点M在边上，且，连接，点E是的中点，过点E作的平行线，交于点F，则的长为（     ） A． B．2 C． D．5 【答案】C 【分析】延长交于点G，首先求出，然后证明出，得到，求出，证明出四边形是矩形，得到，进而求解即可． 【详解】解：如图，延长交于点G， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵四边形是正方形，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． 10．如图，三角板（）在手电筒（点）发出的光源的照射下形成了投影，三角板与其投影的三角形（）是位似图形，若，则三角板的面积与其投影的三角形的面积比是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据位似图形的性质可知，位似比等于对应点到位似中心的距离之比，相似三角形的面积比等于相似比的平方，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵三角板与其投影的三角形是位似图形， ∴，且相似比为， ∴三角板的面积与其投影的三角形的面积比是． 二、填空题（每题3分，共18分） 11．已知，则的值是____________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ， ， ∴． 12．如图，已知，它们依次交直线、于点A、D、F和点B、C、E，如果，，那么CE等于______． 【答案】3 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算得到答案． 【详解】解：， ， ， ， 即， 解得：， 故答案为：3． 13．如图，中，，，点是中点，点在上且，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则的长为__________． 【答案】 【分析】 连接并延长，过点E作交于点G，过点F作交延长线于点H，得到，平分，，求出，然后证明出，得到，代数求出，，，然后证明出，得到，，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，连接并延长，过点E作交于点G，过点F作交延长线于点H， ∵中，，，点是中点， ∴，平分，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 14．如图，，，，则_______． 【答案】 【分析】由得到，再由证明，得到，所以，即可求出的面积． 【详解】解：∵ ∴ ∵， ∴， ∴， ∵，且四边形的面积为， ∴， ∴． 15．如图，在锐角三角形中，，，动点D从点A出发到点B停止，动点E从点C出发到点A停止，点D运动的速度为，点E运动的速度为，如果两点同时开始运动： （1）当时，运动时间为__________ 秒； （2）以点A，D，E为顶点的三角形与相似，且与不平行时的运动时间为__________ 秒． 【答案】 3 【分析】本题考查了三角形相似的判定及性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）当时，即当时，又因为，则，代入数值到进行计算，即可作答． （2）因为与不平行，则当时，结合，证明，再代入数值到，进行计算，即可作答． 【详解】解：（1）∵， ∴ ∵， ， ， ， 解得：， 故答案为：； （2）设经过后，以点A，D，E为顶点的三角形与相似，且与不平行，且 ，， 即 ， ， ， 解得：； 故答案为：； 16．如图，在平面直角坐标系中，已知，，以原点为位似中心，将缩小为原来的，得到，则点的对应点的坐标为________． 【答案】或 【分析】根据题意可得位似比为或，用点A的横纵坐标乘以对应的位似比即可求出点的坐标． 【详解】解：∵，以原点为位似中心，将缩小为原来的，得到， ∴位似比为或， 当位似比为时，则点的对应点的坐标为，即， 当位似比为时，则点的对应点的坐标为，即， 综上所述，点的对应点的坐标为或． 三、解答题（每题9分，共72分） 17．如图，在中，是斜边上的高． (1)求证：； (2)是成比例线段吗？为什么？ 【答案】(1)证明：∵在中，是斜边上的高． ∴ ∴； (2)解：是成比例线段，理由如下： ∵ ∴ ∴是成比例线段． 【分析】（1）利用等面积法求解即可； （2）将乘积式化为比例式即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 18．已知：如图，在中，，点为上的一点，且． 求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. 【分析】利用平行线分线段成比例可得，由已知条件变形可得，进而可得，即可证明，推出，即得结论. 【详解】解：略. 19．如图，在中，D为边上一点，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键． 求出两组对应边的比例，利用两边对应成比例且其夹角相等的判定方法证明相似． 【详解】证明：∵在中，D为边上一点，，，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 20．如图所示，在的正方形方格中，和的顶点都在边长为的小正方形的顶点上．请判断与是否相似？并证明你的结论． 【答案】 相似，证明如下： 在中，； 在中，； ， 即， ． 【分析】在网格中，利用勾股定理求出和的各条边长，计算，看比值是否相等即可判断与是否相似，利用两个三角形对应三边成比例判定即可证明结论． 【详解】略 【点睛】结合相似判定定理，在求两个三角形边的比值时，一定要根据图中两个三角形的边长，保证大边比大边、小边比小边计算． 21．如图，在中，，是边的中点，连接，作，垂足为E，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． (2) 【分析】（1）得出，根据两角分别相等的两个三角形相似即可得证； （2）先证出，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】（1）证明：略． （2）解：∵是边的中点， ∴， 由（1）已证：， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，，即， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）． 22．．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．请解答下列问题： (1)以原点O为位似中心，在第一象限内画出与位似的图形，使与的相似比为； (2)直接写出点坐标 ；若线段上点D的坐标为，则其对应点的坐标 ； (3)求的面积． 【答案】(1)如图，即为所求． (2)； (3)14 【分析】（1）连接、、，并将其延长到原来的2倍，进而连接即可得到； （2）由图即可得点的坐标，根据位似的性质，结合点D的坐标即可得到点的坐标； （3）利用割补法即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由图可得，点坐标为， 由位似的性质可得，线段上点的对应点的坐标为． （3）解：的面积为． 23．受刘徽《海岛算经》中的“测望法”启发，某兴趣小组设计如下方法测量河宽．如图，从B处沿与垂直的直线方向走到达C处，插一根标杆，然后沿同方向继续走到达D处，再右转走到E处，使点A，C，E恰好在同一条直线上，此时量得． (1)求证：． (2)求河宽的长． 【答案】(1)证明：由题可知，， (2) 【分析】（1）根据题意，利用“两个角对应相等的两个三角形相似”，即可求证； （2）根据相似三角形的性质，可得，代入即可求解． 【详解】（1）证明略 （2）解：由题可知，，，， ， ，即， ， 答：河宽为． 24．在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点称为整点，如图，，的顶点均为整点． (1)可经过________（填“平移”、“轴对称”、“旋转”、“位似”其中一种）的图形变化方式得到，直接写出的值； (2)在图中画出关于原点对称的；若P，分别为AC，的中点，连接，，直接写出的值． 【答案】(1)位似， (2)作图见解析， 【分析】（1）观察到与对应顶点连线交于一点，且对应边互相平行，符合“位似变换”的特征．利用勾股定理分别计算和的长度，再求其比值． （2）根据关于原点对称的点的坐标特征，分别找到、、关于原点的对称点、、，依次连接即可；利用中心对称性质，得出中点、和O三点共线．然后利用相似比的性质即可解答． 【详解】（1）如图，与中，连线、、交于一点，且对应边与，与，与互相平行，符合位似变换的特征． 设每个小方格边长为1，利用勾股定理计算： 因此，． （2）解：如图即为所求； ∵关于原点对称的， ∴， ∵与位似，位似中心为O， ∴与位似，位似中心为O， ∴， ∵P是中点，是中点， ∴P，在过原点O的同一条直线上 ∴ ∵， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $