第22章 相似形 单元测试 2026-2027学年沪科版九年级数学上册

**基本信息** 沪科版九年级数学上册第22章《相似形》单元检测卷，全卷3大题24小题120分，立足相似形核心知识，通过生活实践（如影长测量、河宽估计）、跨学科情境（黄金比、折叠问题）设计，梯度培养数学眼光、思维与语言。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|比例线段、相似判定、投影应用|数轴作图（几何直观）、黄金比估算（数学审美）| |填空题|6/18|成比例线段、位似变换、动点相似|河宽测量模型（模型意识）、折叠问题（空间观念）| |解答题|8/72|相似性质应用、探究性问题|矩形零件面积最值（应用意识）、正方形旋转变换（创新意识）|

第22章《相似形》单元检测2026-2027学年上学期沪科版九年级数学上册（解析版） 全卷共三大题，24小题，满分为120分． 第一部分 选择题 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题只有一项是符合题目要求的． 1．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了比例的性质，设，，代入所求分式计算即可． 【详解】解：∵， ∴设，（）， ∴． 故选：C． 2． 如图是某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图的方法，图中的虚线相互平行， 若，则的长为（    ） A． B．2 C．3 D．5 【答案】C 【详解】解：由图可得，． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 3． 如图，周末阳光正好，小丽和爸爸外出游园．爸爸身高m，此刻他在地面上的影长为m， 经测量小丽在地面上的影长是m，则小丽的身高为（    ） A．m B．m C．m D．m 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形在测量高度时的应用，设小芳的身高为，再根据同一时刻物高与影长成正比即可求出的值即可，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立数学模型来解决问题． 【详解】设小芳的身高为米， ∵同一时刻物高与影长成正比， ∴， 解得， 故选：． 4. 大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶也蕴含着“美学”． 如图，枫叶的叶柄和主叶脉的比值接近黄金比．估计的值应在（    ） A．0到0.5之间 B．0.5到1之间 C．1到1.5之间 D．1.5到2之间 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的估算．由题意知，，即，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∴，则， ∴， 故选：B． 5. 如图，在三角形纸片中，，，， 则下列选项阴影部分的三角形与△ABC相似的是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据相似三角形的判定分别进行判断即可得出答案． 【详解】解：三角形纸片中，，，， A、，，对应边，则阴影部分的三角形与不相似，故此选项错误； B、，，对应边，则阴影部分的三角形与不相似，故此选项错误； C、，，对应边，则阴影部分的三角形与不相似，故此选项错误； 、，，对应边，则阴影部分的三角形与相似，故此选项正确； 故选：D． 6. 如图，小树AB在路灯O的照射下形成投影BC．若树高AB=2m，树影BC=3m， 树与路灯的水平距离BP=4.5m．则路灯的高度OP为（    ） A．3m B．4m C．4.5m D．5m 【答案】D 【分析】根据在同一灯光照射下任何物体的高度与其影子的比值不变建立等量关系即可求解． 【详解】解：在同一灯光照射下任何物体的高度与其影子的比值不变： ∵当树高AB=2m，树影BC=3m，且BP=4.5m ∴ ，代入得： ∴m 故选：D 7. 如图，在中，点在边上，连接交于点，若， 则的面积与的面积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形相似的判定和性质，利用平行线判定，结合计算选择即可． 【详解】．∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 8. 图1是装满红酒的高脚杯示意图，装酒的杯体可看作一个三角形，液面宽度为6cm， 其它数据如图所示，喝掉一部分后的数据如图2所示，此时液面宽度为（    ） cm．      A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的应用．过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据，得出，再根据相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：如图，过点作，垂足为，过点作，垂足为， ∵， ， ， ，， ， 解得：， 故选：C． 9. 如图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点P处与地面的距离为1.6米， 车头近似看成一个矩形，且满足，若盲区的长度是6米， 则车宽的长度为（    ）米． A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查视点、视角、盲区的意义，此类问题可以转化为相似三角形的知识进行解答． 通过作高，利用相似三角形的对应高的比等于相似比，列方程求解即可． 【详解】解：如图，过点P作，垂足为M，交于点N， 则， 设米，由得，， ∵四边形是矩形， ， ， ， 即， ， ， ， 解得，， 故选：B． 10. 如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接DF，分析下列四个结论： ①△AEF∽△CAB；②CF＝2AF；③FC＝DC；④CD:AD＝:2．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】①证明∠EAC=∠ACB，∠ABC=∠AFE=90°即可得到； ②由AD∥BC，推出△AEF∽△CBF，得到 ，由AE=AD=BC，得到，即CF=2AF； ③作DM∥EB交BC于M，交AC于N，证明DM垂直平分CF，即可证明； ④设AE=a，AB=b，则AD=2a，根据△BAE∽△ADC，得到，即b=a，CD:AD＝:2． 【详解】解：①如图，过D作DM∥BE交AC于N， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，∠ABC=90°，AD=BC， ∵BE⊥AC于点F， ∴∠EAC=∠ACB，∠ABC=∠AFE=90°， ∴△AEF∽△CAB，故①正确； ②∵AD∥BC， ∴△AEF∽△CBF， ∴， ∵AE=AD=BC， ∴，即CF=2AF， ∴CF=2AF，故②正确； ③作DM∥EB交BC于M，交AC于N， ∵DE∥BM，BE∥DM， ∴四边形BMDE是平行四边形， ∴BM=DE=BC， ∴BM=CM， ∴CN=NF， ∵BE⊥AC于点F，DM∥BE， ∴DN⊥CF， ∴DM垂直平分CF， ∴DF=DC， 而FC≠DC故③错误； ④设AE=a，AB=b，则AD=2a， 由△BAE∽△ADC， ∴，即b=a，CD:AD =，故④正确， 综上所述正确的是①②④， 故选C． 第二部分 非选择题 二、填空题：本大题共6个小题．每小题3分，共18分．把答案填在答题卡的横线上． 11．若a、b、c、d是成比例线段，其中，，，求线段d的长是_____． 【答案】 【分析】本题考查了比例线段：对于四条线段、、、，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如（即，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．利用比例线段的定理得到，然后利用比例的性质求即可． 【详解】解：根据题意得，即， 所以． 故答案为：． 12． 为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标作为点A．再在河的这一边选定点B和C， 使，然后再选定点E，使，用视线确定与交于点D． 此时，测得，，，则两岸间的距离是 ． 【答案】/米 【分析】根据垂直定义可得，然后证明8字模型相似三角形，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 13． 图①是伸缩折叠不锈钢晾衣架的实物图，图②是它的侧面示意图， 和相交于点O，点A、B之间的距离为米，， 根据图②中的数据可得C、D之间的距离为 米． 【答案】 【分析】根据相似三角形对应高的比等于相似比，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，解得：， 故答案为：． 14 .如图，在中，点为边上的一点，选择下列条件： ①；②；③；④中的一个， 能得出和相似的是： （填序号）． 【答案】①②③ 【分析】根据相似三角形的判定定理可得结论． 【详解】解：①，时，，故①符合题意； ②，时，，故②符合题意； ③，时， ，故③符合题意； ④，时，不能推出，故④不符合题意， 故答案为：①②③． 15． 如图，在钝角中，，，点D从A点出发沿以的速度向B点移动， 点E从C点出发沿以的速度向A点移动，如果两点同时移动， 经过______秒时，与相似． 【答案】3或 【分析】解答时，分和两种情况解答即可．本题考查了三角形相似的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】解：设经过，与相似． ∵，，点D从A点出发沿以的速度向B点移动，点E从C点出发沿以的速度向A点移动， ∴，，， 当时，则即， 解得； 当时，则即， 解得； 故答案为：3或． 16． 如图所示，将矩形分别沿，，翻折，翻折后点A，点D，点C都落在点H上， 若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，翻折的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．利用矩形的性质和翻折的性质，得到，，，可得，从而证明，得到的长，同理可得，即可求得的长． 【详解】四边形是矩形， ，， 将矩形分别沿，翻折后点A，点C都落在点H上， ∴， ， ，， ， ， ， ， ， ， 即， 解得或（舍去）， 同理可得， ， 即， 解得， 即． 故答案为：． 三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．如图，相交于点P，连接，且，若，求的长度． 【答案】6 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质．根据8字型模型证明两个三角形相似即可解答． 【详解】解：， ， ∴， ， ∴， ． 18. 如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置， 设法使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上， 已知纸板的两条直角边，，测得边离地面的高度，， 求树高． 【答案】树高 【分析】本题考查了相似三角形的应用，先判定和相似，然后根据相似三角形对应边成比例列式求出的长，再加上即可得解． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∴，即， 解得， ∵， ∴，即树高． 19．如图，，相交于点O，，，． (1) 求证：； (2) 求的长度． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∴； (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质等知识点， （1）由，易得，则可证得：； （2）由，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得的长度； 熟练掌握相似三角形的判定是解决此题的关键． 【详解】（1）略 （2）∵， ∴， ∵， ∴， 解得：． 20．如图，在中，点是的边上的一点． (1) 请判断三人的对错：小星______，小红_______，小亮______．（填“对”“错”） (2) 选择一种正确的方法求证：． 【答案】(1)小星和小红对，小亮错 (2)见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解题的关键． （1）有两角对应相等的两个三角形相似，据此可得小星的结果；有两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似，据此可得小红的结果；有两边对应成比例，且一组角对应相等（不是成比例的两边的夹角）的两个三角形不一定相似，据此可得小亮的结果； （2）见解析（1）． 【详解】（1）解：小星和小红对，小亮错，证明如下： 小星的证明： ∵， ∴； 小红的证明： ∵， ∴； 小亮的证明：由不能证明， ∴小星和小红对，小亮错； （2）证明：小星的证明： ∵， ∴； 小红的证明： ∵， ∴． 21．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、．    (1) 画出将向左平移3个单位，再向上平移1个单位后的； (2) 以原点为位似中心，位似比为，在轴的左侧，画出将放大后的； (3) 判断与，能否是关于某一点为位似中心的位似图形，若是，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)是，Q点的坐标为 【分析】（1）根据平移规律，画图即可． （2）根据位似的性质，确定坐标，后画图即可． （3）根据位似的性质，确定坐标，解答即可． 本题考查了平移作图，位似作图，待定系数法，熟练掌握作图的基本步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，的顶点坐标分别为、、． 将向左平移3个单位，再向上平移1个单位后的坐标分别为、、．画图如下：    则即为所求． （2）解：由、、．以原点为位似中心，位似比为，在轴的左侧，将放大后的坐标分别为、、．画图如下：    则即为所求． （3）解：∵、、，、、． ∴直线为， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴， ∴， 解得 故Q点的坐标为． 故与，是关于某一点为位似中心的位似图形，且位似中心为Q点的坐标为． 22. 一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120mm，高AD＝80mm，把它加工成正方形零件， 如图①，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上． (1) 求证：△AEF∽△ABC； (2) 如果把它加工成矩形零件，如图②，当EG为多少时，矩形EGHF有最大面积？最大面积是多少？ 【答案】(1)证明见解析； (2)当时，矩形EGHF的面积最大，最大面积是． 【分析】（1）根据矩形的对边平行得到BC∥EF，利用“平行于三角形的一边的直线截其他两边或其他两边的延长线，得到的三角形与原三角形相似”判定即可． （2）根据矩形面积公式得到关于a的二次函数，根据二次函数求出矩形的最大值． 【详解】（1）解：（1）∵正方形EGHF， ∴EF∥BC， ， ∴△AEF∽△ABC； （2）设EG＝a， ∵矩形EGHF， ∴EF∥BC， ∴△AEF∽△ABC， ∴， ∴， ∴EF＝120a， ∴矩形面积S＝a（120a）a2+120a（a﹣40）2+2400， 当a＝40时，此时矩形面积最大，最大面积是2400mm2， 即：当EG＝40时，此时矩形面积最大，最大面积是2400mm2． 23. 在平面直角坐标系中，已知OA＝10cm，OB＝5cm，点P从点O开始沿OA边向点A以2cm/s的速度移动； 点Q从点B开始沿BO边向点O以1cm/s的速度移动． 如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0≤t≤5）， (1) 用含t的代数式表示：线段PO＝ cm；OQ＝ cm． (2) 当t为何值时△POQ的面积为6cm2？ (3) 当△POQ与△AOB相似时，求出t的值． 【答案】(1)2t，（5﹣t） (2)当t=2或3时，三角形POQ的面积为6cm2； (3)当t=或1时，△POQ与△AOB相似． 【分析】（1）由运动知，OP=2t cm，OQ=（5-t）cm，得出结论； （2）根据△POQ的面积为6cm2，建立方程6=×2t×（5-t），解方程即可求出答案； （3）分△POQ∽△AOB或△POQ∽△BOA两种情况，得出比例式，建立方程求解，即可求出答案． 【详解】（1）解：由题意知，OP=2t cm，BQ=t cm， ∴OQ=（5-t）cm， 故答案为：2t，（5-t）； （2）解：由（1）知，OP=2t cm，OQ=（5-t）cm， ∵△POQ的面积为6cm2， ∴6=×2t×（5-t）， ∴t=2或3， ∴当t=2或3时，三角形POQ的面积为6cm2； （3）（3）∵△POQ与△AOB相似，∠POQ=∠AOB=90°， ∴△POQ∽△AOB或△POQ∽△BOA， ∴或， 当，则， ∴t=； 当时，则， ∴t=1， ∴当t=或1时，△POQ与△AOB相似． ∴． 24．某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究： (1) 问题发现： 如图1，在等边中，点P是边上任意一点，连接AP，以为边作等边， 连接，与的数量关系是 ； (2) 变式探究： 如图2，在等腰中，，点P是边上任意一点，以为腰作等腰， 使，，连接，判断和的数量关系，并说明理由； (3) 解决问题： 如图3，在正方形中，点P是边上一点，以为边作正方形， Q是正方形的中心，连接．若正方形的边长为5，，求正方形的边长． 【答案】(1) (2) ， 理由如下：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (3)4 【分析】本题考查的是正方形的性质、三角形全等的判定和性质、三角形相似的判定和性质、勾股定理的应用，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、正方形的性质是解题的关键． （1）利用定理证明，根据全等三角形的性质解答； （2）先证明，得到，再证明，根据相似三角形的性质解答即可； （3）连接、，根据相似三角形的性质求出，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案． 【详解】（1）问题发现：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：； （2）变式探究：略 （3）解决问题：如图3，连接、， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵Q是正方形的中心， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则 ， 在中，，即， 解得，（舍去），， ∴正方形的边长为：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第22章《相似形》单元检测2026-2027学年上学期沪科版九年级数学上册 全卷共三大题，24小题，满分为120分． 第一部分 选择题 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题只有一项是符合题目要求的． 1．已知，则（    ） A． B． C． D． 2． 如图是某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图的方法，图中的虚线相互平行， 若，则的长为（    ） A． B．2 C．3 D．5 3． 如图，周末阳光正好，小丽和爸爸外出游园．爸爸身高m，此刻他在地面上的影长为m， 经测量小丽在地面上的影长是m，则小丽的身高为（    ） A．m B．m C．m D．m 4. 大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶也蕴含着“美学”． 如图，枫叶的叶柄和主叶脉的比值接近黄金比．估计的值应在（    ） A．0到0.5之间 B．0.5到1之间 C．1到1.5之间 D．1.5到2之间 5. 如图，在三角形纸片中，，，， 则下列选项阴影部分的三角形与△ABC相似的是（    ）    A．   B．   C．   D．   6. 如图，小树AB在路灯O的照射下形成投影BC．若树高AB=2m，树影BC=3m， 树与路灯的水平距离BP=4.5m．则路灯的高度OP为（    ） A．3m B．4m C．4.5m D．5m 7. 如图，在中，点在边上，连接交于点，若， 则的面积与的面积之比为（    ） A． B． C． D． 8. 图1是装满红酒的高脚杯示意图，装酒的杯体可看作一个三角形，液面宽度为6cm， 其它数据如图所示，喝掉一部分后的数据如图2所示，此时液面宽度为（    ） cm．      A．1 B．2 C．3 D．4 9. 如图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点P处与地面的距离为1.6米， 车头近似看成一个矩形，且满足，若盲区的长度是6米， 则车宽的长度为（    ）米． A． B． C． D．2 10. 如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接DF，分析下列四个结论： ①△AEF∽△CAB；②CF＝2AF；③FC＝DC；④CD:AD＝:2．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第二部分 非选择题 二、填空题：本大题共6个小题．每小题3分，共18分．把答案填在答题卡的横线上． 11．若a、b、c、d是成比例线段，其中，，，求线段d的长是_____． 12． 为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标作为点A．再在河的这一边选定点B和C， 使，然后再选定点E，使，用视线确定与交于点D． 此时，测得，，，则两岸间的距离是 ． 13． 图①是伸缩折叠不锈钢晾衣架的实物图，图②是它的侧面示意图， 和相交于点O，点A、B之间的距离为米，， 根据图②中的数据可得C、D之间的距离为 米． 14 .如图，在中，点为边上的一点，选择下列条件： ①；②；③；④中的一个， 能得出和相似的是： （填序号）． 15． 如图，在钝角中，，，点D从A点出发沿以的速度向B点移动， 点E从C点出发沿以的速度向A点移动，如果两点同时移动， 经过______秒时，与相似． 16． 如图所示，将矩形分别沿，，翻折，翻折后点A，点D，点C都落在点H上， 若，则 ． 三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．如图，相交于点P，连接，且，若，求的长度． 18. 如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置， 设法使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上， 已知纸板的两条直角边，，测得边离地面的高度，， 求树高． 19．如图，，相交于点O，，，． (1) 求证：； (2) 求的长度． 20．如图，在中，点是的边上的一点． (1) 请判断三人的对错：小星______，小红_______，小亮______．（填“对”“错”） (2) 选择一种正确的方法求证：． 21．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、．    (1) 画出将向左平移3个单位，再向上平移1个单位后的； (2) 以原点为位似中心，位似比为，在轴的左侧，画出将放大后的； (3) 判断与，能否是关于某一点为位似中心的位似图形，若是，请直接写出点的坐标． 22. 一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120mm，高AD＝80mm，把它加工成正方形零件， 如图①，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上． (1) 求证：△AEF∽△ABC； (2) 如果把它加工成矩形零件，如图②，当EG为多少时，矩形EGHF有最大面积？最大面积是多少？ 23. 在平面直角坐标系中，已知OA＝10cm，OB＝5cm，点P从点O开始沿OA边向点A以2cm/s的速度移动； 点Q从点B开始沿BO边向点O以1cm/s的速度移动． 如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0≤t≤5）， (1) 用含t的代数式表示：线段PO＝ cm；OQ＝ cm． (2) 当t为何值时△POQ的面积为6cm2？ (3) 当△POQ与△AOB相似时，求出t的值． 24．某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究： (1) 问题发现： 如图1，在等边中，点P是边上任意一点，连接AP，以为边作等边， 连接，与的数量关系是 ； (2) 变式探究： 如图2，在等腰中，，点P是边上任意一点，以为腰作等腰， 使，，连接，判断和的数量关系，并说明理由； (3) 解决问题： 如图3，在正方形中，点P是边上一点，以为边作正方形， Q是正方形的中心，连接．若正方形的边长为5，，求正方形的边长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $