6.3.3 余角和补角（几何图形初步）（分层作业·练题型）数学新教材人教版七年级上册

**基本信息** 初中数学余角和补角同步练，通过A/B/C组+中考拓展的分层设计，实现从基础概念到综合应用的梯度巩固，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组巩固过关|求余角/补角、基础计算|6大基础题型，如直接计算余角（题型01）、补角（题型02），夯实概念理解| |B组能力进阶|综合解答、角平分线结合|含推理题（如题型04证余角关系），提升逻辑推理能力| |C组思维拔高|动态探究、三角板综合|如题型05旋转三角板求角度，培养空间观念与创新意识| |拓展链接中考|中考真题适配|对接中考题型（如方位角应用），强化应用意识|

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 6.3.3余角和补角 目录 A组巩固过关 基础常考6大题型 题型01求一个角的余角 题型04余角和补角综合解答 题型02求一个角的补角 题型05余角和补角与三角板的综合 题型03利用余角和补角求解 题型06余角和补角的实际应用 B组能力进阶 C组思维拔高 拓展链接中考 A组 巩固过关 题型01 求一个角的余角 1.(25-26七年级上河南郑州期末)一个角的补角是125°，则这个角的余角为 2.(25-26七年级上山西吕梁期末)一个角的补角是140°50，则这个角的余角的度数是 3.(25-26七年级下.四川成都期中)若∠1与∠2互为余角，且∠1=21°，则∠2= 4. (25-26六年级下·黑龙江哈尔滨阶段检测)已知∠Qα与∠β互余，且∠c=61°35，则∠B=。 ▣ 5.(25-26七年级下四川成都期中)如图，在长方形的台球桌面上，∠1与∠3互为余角，∠2=∠3， 若∠2=67°，则∠1的度数为 1/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6.(25-26七年级上·甘肃白银期末)如图，将一副三角板的两直角顶点重合放置，已知∠ACE=150°， 则∠ACD的余角的度数为 B D 颗型02 求一个角的补角 7.（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨期中)如图，一个零件每个内角都相等，小美使用直尺与量角器测量， 如图直尺经过量角器底边中点，并与60°线相贴，请问这个零件的内角为° 30 0 8.(25-26七年级上江苏准安阶段检测)已知∠a与∠B互补，若∠a=20°1548，则∠B= 9.(25-26七年级上山东德州-期末)已知∠Q的余角是2240，∠B的补角是112°40，则∠a 2B（填“>”，“<”或“-”) 10.(25-26七年级上·福建泉州阶段检测)工人师傅想测量一个六边形螺母的角∠AOB的度数，小敏同 学帮忙想到如图所示的方法，他测得∠AOC=60°，则∠AOB的度数为， 2/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型03 利用余角和补角求解 11. (25-26七年级下，宁夏银川期中)一个角的余角的3倍比它的补角的2倍少120°，求这个角的度数. 12.(25-26七年级下山东济南期中)已知一个角的补角比这个角大32°，求这个角 13. (25-26六年级下山东泰安期中)小明在学习“余角和补角”这一小节的内容时，发现了一些有趣的 结论和问题： 【规律探索】 (1)锐角∠a的补角与∠α的余角之差为_。 2如果锐角Lu的补角为∠B.那么∠B-∠a是∠a的余角.诗你说明理由. 【问题思考】 (3)一个锐角的补角是它的余角的4倍，求这个角的大小. 14.(25-26七年级上.四川自贡.期末)已知∠α与∠B互为补角，且∠β比∠a的一半大15，求∠β的余 角 15.（25-26七年级上陕西西安期末)已知一个角的余角比这个角的补角的5小18.75°，先求出这个角的 度数，再用度、分、秒的形式表示. 16. (25-26七年级上江西宜春期末)若一个角的补角的一半比这个角的余角多20°，求这个角的度数 题型04 余角和补角综合解答 17.(25-26七年级上·全国期末)如图，已知∠AOB=140°，∠COE与∠EOD互余，OE平分 ∠AOD. D (1)若∠COE=40°，求∠DOE和∠BOD: 3/16 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)设∠COE=Q,∠BOD=B,试探究a与B之间的数量关系. 18.(25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中)如图所示，直线AB与直线DF相交于点O,OC是∠AOD的 平分线，OE在∠BOD内，且∠DOE=∠AOD,∠COE=78°. D B (1)求∠EOB的度数： (2)写出∠DOE的所有补角. 19.(25-26七年级下.云南昆明期中)如图，点0在直线AB上，射线OC、OD、OE都在直线AB的上 方，射线OF在直线AB的下方.CO⊥D0,垂足为点O,OE在∠COD的内部，∠COE=35°， (1)求证：∠AOC与∠BOD互为余角： (2)若∠AOC=25°，∠COE与∠BOF互为余角，求∠DOF的度数. 20.(25-26六年级下山东烟台期中)如图，点O是直线AB上一点，∠AOE=∠FOD=90°，OB平分 ∠COD. (1)请直接写出图中所有与∠EOF相等的角： (2)写出图中与∠DOE互补的一个角，并说明理由. 21.(25-26七年级下.陕西渭南期中)如图，点O在直线AB上，∠BOC=72°，射线OM,ON在直线 AB两侧，OM平分∠AOC. 4/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B (1)若∠AON=30°，求∠MON的度数： (2)若∠BON=4∠AON,ON与OM垂直吗？请说明理由. 22.(25-26七年级下河北保定阶段检测)如图，∠AO℃和∠BOD均为直角. (1)若∠AOB=28°，求∠COD的度数： (2)若∠AOB逐渐增大，∠AOD将如何变化？请你给出结论并说明理由. 23.(25-26七年级下甘肃武威开学考试)如图，已知∠AOE与∠EOB互为余角，且∠BOC=40°， OE平分∠AOC,OF平分∠BOC. A (1)求∠EOF的度数： (2)如果已知∠AOB=50°，其他条件不变，求∠EOF的度数： (3)从以上求∠EOF的过程中，你得出的结论是 24.(25-26七年级上广西河池期末)如图，点0在直线AB上，∠C0D=90°. 5/16 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A B (四∠AOC+∠BOD=—: (2)若OD平分∠BOE,∠COE=55°，求∠AOD的度数并说明OC平分∠AOE. 题型05 余角和补角与三角板的综合 25. (24-25七年级上河北石家庄·期末)将三角板COD的直角顶点O∠COD=90°按如图1中的方式放 置在直线AB上. 图1 图2 (1)当∠AOC=50时，∠B0C=_:∠BOD=_; (2)如图2，作射线OE平分∠BOC,射线OF平分∠BOD. ①若∠AOC=50°的条件不变，求∠EOF的度数： ②若设∠AOC=α0°<a<90,直接写出∠EOF的大小为_， 26.(25-26六年级下山东烟台期中)如图所示，以直线AB上的一点O为端点，在直线AB的上方作射线 OP,使∠BOP=68°，将一块直角三角尺∠MON=90°的直角顶点放在点O处，且直角三角尺在直线 AB的上方.设∠BOM=n|0<n<90. B (1)当n=30时，求∠PON的大小： (2)若0<n<68时，求∠AON-∠POM的值. 27.(25-26六年级下山东烟台期中)如图，将一副直角三角板的直角顶点C叠放在一起. 6/16 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图(1)》 图(2) (1)试判断图(1)中∠ACE与∠BCD的大小关系，并说明理由； (2)在图(1)中若∠DCE=40°，求∠ACB的度数； (3)在图(1)中猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由； (4)若改变其中一个三角板的位置，如图(2)，则第(3)小题的结论还成立吗？并说明理由. 28.(25-26七年级上河南驻马店期末)以直线AB上一点O为端点作射线0C,使∠BOC=42°，将一 个直角三角板的直角顶点放在点O处，即∠DOE=90°. D AE O A 图1 图2 (1)如图1，若直角三角板DOE的一边OE放在射线OA上，则∠COD的度数为_： (2)如图2，将直角三角板DOE绕点O顺时针转动到某个位置， ①若OE恰好平分∠AOC,则∠COD的度数为： ②若OD在∠BOC内部，请判断∠BOD与∠COE的数量关系并说明理由. 29.(25-26七年级上山东日照期末)如图①，点O为直线AB上一点，将一直角三角板MON如图摆放 ∠MON=90,过点O作射线OC, 图① 图② 图③ 备用图 (1)如图②，若∠BOC=35°，则∠MOC= (2)将图①中的直角三角板MON绕点O转动一定的角度得图③，若边OM恰好平分∠BOC,问：ON是否 7/16 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 平分∠AOC?请说明理由. (3)将图①中的直角三角板MON绕点O顺时针转动180°，在转动过程中，若OC平分∠BOM,请直接写 出∠AOM和∠NOC之间的数量关系. 30.(25-26七年级上山东济宁，期末)两个形状、大小完全相同的含45°角的三角板按照如图1的方式放 置，其中∠EBF=∠ABC=90, 图1 图2 (1)若∠ABF=Q,则∠ABE=;∠CBF=一： (2)若∠ABE=2∠CBE,求∠ABF的度数： (3)试说明∠ABE与∠CBF互为补角： (4)若把图1中的三角板ABC绕点B转动到如图2的位置，请直接写出∠ABE与∠CBF之间满足的数量关 系 31.(25-26七年级上浙江绍兴期末)如图，将两块直角三角板的直角顶点C叠放在一起. (1)试判断∠ACD与∠BCE的大小关系，并说明理由： (2)若∠BCD=30°，求∠ACE的度数： (3)猜想∠ACE与∠BCD的数量关系，并说明理由. 题型06 余角和补角的实际应用 32.(25-26七年级上河南开封期末)如图，货轮0在航行过程中，发现灯塔A在它南偏东60°的方向上， 同时，在它北偏东30°、西北（即北偏西45°）方向上又分别发现了客轮B和海岛C. 8/16 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 F北 西 东 G E 60 一A 南 (1)仿照表示灯塔方位的方法，分别画出表示客轮B和海岛C方向的射线OB、OC(不写作法)； (2)若图中有一艘渔船D,且∠AOD的补角是它的余角的3倍，求出∠AOD的度数： 33.(25-26七年级上浙江杭州期末)如图1，某电风扇的支架OP垂直于地面，叶片OA,OB,OC, OD,OE可绕轴心O旋转，且相邻的叶片所成角相等，即 ∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE=ㄥEOA, IP 图1 图2 (1)如图1，若OP平分∠AOE,求∠BOP的度数， (2)如图2，叶片OA从与OP重合的位置开始，按顺时针方向旋转，当∠AOP与∠DOP互补时，求OA旋 转的最小角度 34.（25-26六年级下全国.单元测试)如图，货轮0在航行过程中，发现灯塔A在它的南偏东60°的方向 上.同时，在它的北偏西30°、西北方向上又发现了客轮B和海岛C. 北 西 东 A DI 南 (1)仿照表示灯塔方位的方法，在图中画出表示客轮B和海岛C方向的射线： (2)在(1)的条件下填空：∠B0C=,∠BOE=:和∠AOD互余的角为：-· 35,(25-26七年级上宁夏银川期末)如图1，大课间的广播操展示让我们充分体会到了一种整体的图形 9/16 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 之美，洋洋和乐乐想从数学角度分析下如何让班级同学们的广播操能做得更好，他们搜集了标准广播操图 片进行讨论，如图2，为方便研究，定义两手手心位置分别为A、B两点，两脚脚跟位置分别为C、D两 点，定义A、B、C、D平面内O为定点，将手脚运动看作绕点O进行旋转， A B CD) 图1 图2 图3 图4 (1)如图2，A、O、B三点共线，点C、D重合，∠AOC=∠BOC,则∠AOC=°： (2)如图3，A、O、B三点共线，且∠AOC:∠BOC=3:2,DO平分∠BOC,求∠AOD的大小？ (3)第三节腿部运动中，如图4，洋洋发现，虽然A、O、B三点共线，却不在水平方向上，且 ∠AOD:∠BOC=3:2,他经过计算发现，∠AOC 号∠B0D的值为定值，请直接写出这个定值： 36.(25-26七年级上辽宁盘锦期末)如图，直线AB,CD相交于点O,以O为观察中心，射线OA表示 正北方向，射线OD表示正西方向，即∠AOD=90°，射线OE,OF的方向如图所示，其中 ∠EOF=90°」 北 E N D D C 西 东 西 B 南 南 图1 图2 (1)如图1， ①若射线OE的方向为北偏东35°，则射线OF的方向为_· ②请说明∠AOF与∠COE互为补角 (2)如图2，OM平分∠COE,ON平分∠DOE,试猜想∠NOF与∠MOC的数量关系，请说明理由. B组 能力进阶 1.(25-26七年级下.山西晋中.期末)一个角的度数是55°，则它的余角的度数是() 10/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.25 B.45° C.35° D.125° 2.(25-26六年级下.黑龙江绥化期末)已知∠α和∠B互为余角，且∠a:∠阝=2：3，则∠a的补角是 (). A.36° B.54° C.126° D.144° 3.(25-26七年级下北京顺义·期末)如图，打台球时，选择适当的方向用白球击打黑球，黑球碰撞库边 (台球桌四边的边框)后直接入袋.此时∠1=∠2，∠1+∠3=90°，∠3=50°，则黑球碰撞库边前后 的运动路线所夹的角大小为() 0 A.40° B.50 C.80° D.100° 4.(2026陕西西安模拟预测)如图，∠AOC为直角，OC是∠BOD的平分线，且∠AOB=35°，则 ∠AOD的度数为() D A.125° B.135° C.145o D.155° 5.(2026福建漳州·模拟预测)如图，一副三角尺按图中所示位置摆放，∠BAC=∠DAE=90°.若 ∠DAC=2∠BAE,则∠BAD的度数为() B A.45° B.30° C.22.5° D.15° 6.(2026河北唐山二模)如图，点B,O,D在同一条直线上，∠COA=90°，直线DB从与OA重合的 位置开始绕点0逆时针旋转，形成∠1（小于45°），∠2，∠3.当∠3增加15时，下列说法正确的是 11/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 () 2 31 D A.∠2增加15°B.∠2减少15° c.∠1增加30 D.∠1减少30 7.(25-26七年级上河北石家庄期末)如图，射线OM、OA、OB、OC、ON分别对应量角器上外圈的 180°，140°，90°，50°，0°刻度，则关于∠AOM与∠C0N的关系可表述为 8.(25-26七年级下.四川达州期末)如图，点B、C、D分别为∠AOE内部三点，连接OB、OC、OD, ∠1=∠2，∠3=∠4，∠AOD=90°，∠1=20°，则∠AOE的补角的度数为 D E 9.(25-26七年级下·黑龙江哈尔滨期中)如图：已知直线AB、CD相交于点O,OE⊥AB,射线OF在 ∠BOC内部，有如下结论： ①∠AOC的补角是∠DOF; ②若∠DOE=70°，则∠AOC=20: ③若OF平分∠BOC,则∠AOF=∠DOF; ④若∠COE=4∠BOD,则∠DOE=60°. 上述结论中，所有正确结论的序号是· B 12/16 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 10.(25-26七年级下广西柳州开学考试)如图，已知∠AOB=140°，∠COE与∠EOD互余，OE平 分∠AOD. E (1)若∠COE=40°，求∠EOD和∠BOD的度数， (2)设∠COE=a,∠BOD=B,请探究c与β之间的数量关系. 11.(25-26七年级下陕西宝鸡期末)把一副三角板的直角顶点0重合在一起. D 图① 图② (1)如图①，当OB平分∠COD时，求∠AOD与∠BOC的和： (2)如图②，当OB不平分∠COD时，∠AOD与∠BOC有什么关系？请说明理由： 3)若∠BOC的余角的4倍等于∠AOD,∠BOC的度数是多少？ 12.(25-26七年级下河北廊坊阶段检测)如图，直线AE与CD相交于点B,射线BG在∠ABD内. G (1)若∠DBE的邻补角是它的余角的3倍， ①∠DBE的度数为-： ②若∠DBG=∠ABG-33°，求∠DBG的度数： (2)若射线BF平分∠ABC,∠FBG=100°，探求∠ABG与∠DBG的数量关系. C组 思维拔高 13/16 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 1.（25-26六年级下.山东泰安期中)综合与实践 【问题情境】 某校六年级数学学习小组在课后综合实践活动中，进行“玩转三角板”的探究活动.。 【问题实践】 O为直线AB上一点，过点O在直线AB上方作射线OC,将一块三角板DOE的直角顶点与点O重合，射线 OC和三角板DOE均可以围绕点O旋转（旋转时始终在直线AB上方）. 【解决问题】你来试试吧！ D D EB B 图1 图2 图3 (1)如图1，若∠BOC=65°，当三角板的直角边OE与OB重合，∠COD= ,∠AOC= (2)如图2，若将三角板DOE绕点O逆时针旋转一定角度得到图2，此时OE恰好是∠BOC的平分线，试说 明OD也是∠AOC的平分线： 【深入探究】 (3)未来可期小组受到启发进行了进一步动态探究： 如图3，旋转射线OC和三角板DOE,始终满足OC平分∠BOD,当∠AOD=78°时，求∠COE的度数， 并根据结果直接写出旋转过程中∠AOD与∠COE之间的数量关系. 2.(25-26七年级上·北京阶段检测)完成以下问题 D B C 2/ D B B 图1 图2 图3 (1)如图1，AB=10,点D是线段AB的中点，点C是线段AB上一点，且DC=2,求线段AC的长. (2)如图2，OC,OD是∠AOB内部的两条射线， ∠AOC=20°，∠BOD=2∠COD,∠AOD+∠BOC=180°，求∠COD的度数. (3)如图3，点O是直线AB上的一点，∠1与∠2互余，求∠DOC的度数. 3.(25-26七年级上湖北荆州期末)设∠AOC=a,∠COB=B0°<a<180°，0°<B<180, OD、OE分别是∠AOC、∠COB的角平分线，记∠DOE=日.如果α，0互补，或者B,0互补，则称 ∠AOC,∠COB是一对“分补角”· 14/16 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B 图1 图2 图3 (1)如图1，∠AOB=130°，OC在∠AOB内，∠AOC=50°.分别作∠AOC,∠COB的角平分线 OD、OE,则∠DOE=°，∠AOC,∠COB一对“分补角”（填“是”或“不是”）； (2)如图2，若∠A0C=120°，∠C0B=B0°<B<90,∠A0C,∠C0B是一对“分补角”，且OB 在∠AOC的外部，求B的值： (3)如图3，∠AOB=160°.若∠AOC和∠COB是一对“分补角”，且OC在∠AOB内部，请直接写出 ∠AOC的所有可能值， 4.（25-26七年级上浙江丽水期末)规定：从一个角的顶点出发，在角的内部作两条射线，若这两条射 线所夹的角与原角互补，则这个夹角叫做原角的“内补角”.如图①所示，若∠COD与∠AOB互补，则 ∠COD是∠AOB的内补角. D ① ② ③ (1)如图①所示，已知∠COD=65°，∠COD是∠AOB的内补角，求∠AOB: (2)如图②所示，记∠AOC=Q,将∠AOC绕点O按顺时针方向旋转至∠BOD,若∠BOC是∠AOD 的内补角，求C; (3)把一副三角板按图③放置，其中∠BAC=∠BCA=45°，∠EAD=30°，∠ADE=60°，再将三角板 ADE绕顶点A按顺时针方向旋转一周，速度为3度/秒，问：在三角板ADE旋转的过程中，射线AB,AD, AC,AE能否形成内补角？若能，求出旋转的时间；若不能，请说明理由， 拓展 链接中考 1.(2025四川广安中考真题)若∠A=25°，则∠A的余角为() A.25° B.65 C.75° D.155° 2.（2025山东淄博.中考真题)如图，∠AOC=∠BOD=90°，∠COD=44°，则∠AOB= 15/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C B 16/16命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 6.3.3余角和补角 参考答案 A组 巩固过关 题型01 求一个角的余角 1.35°/35度2.50°503.69°4.28 255.23°6.30°/30度 颗型02 求一个角的补角 7.1208.159°44☐12▣°9.=10.120° 颗型03 利用余角和补角求解 11.30°12.74° 13.(1),锐角∠a的补角为180°-∠a,∠a的余角为90°-∠c, .180°-∠a-90°-∠a=180°-∠-90°+∠=90°： (2)证明：，锐角∠的补角为∠B, .∴.∠a+∠B=180°， 2B-saitza =∠B+∠a 2 2 1×180° =90°， 支上月-∠e是∠ai的余角： 1/18 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)设一个锐角为∠y, ∴.锐角∠Y的补角为180°-∠Y,锐角∠Y的余角为90°-∠y, ,锐角∠Y的补角是它的余角的4倍， ∴.180°-∠y=4×90°-∠y, ∴.180°-∠y=360°-4∠Y, .3∠y=180°， .∠y=60°， .这个锐角为60° 14.20°15.这个角的度数为37.5°.用度、分、秒的形式表示为37°30. 16.40° 颗型04 余角和补角综合解答 17.(1)解：，∠COE与∠EOD互余，∠COE=40°， ∴.∠EOD=90°-40°=50°」 .OE平分∠AOD, ∴.∠AOD=2∠EOD=100°， ∠AOB=140°， .∠BOD=∠AOB-∠AOD=140°-100°=40° (2)解：，∠COE=,且∠COE与∠EOD互余， ∴.∠EOD=90°-a ,OE平分∠AOD, ∴.∠AOD=2∠EOD=290°-a. .∠AOB=140°. ∴.∠B0D+∠AOD=140°， .B+290°-a=140°，即β=2a-40°. ∴.与B之间的数量关系是β=2c-40° 18.(1)解：OC是∠AOD的平分线， .∠AOD=2∠COD .∠DOE=∠AOD, ∴.∠DOE=2∠COD, 2/18 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠COE=∠COD+∠DOE=∠COD+2∠COD=3∠COD=78°， ∴.∠COD=26°， .∠DOE=∠AOD=2∠COD=2×26=52°， .∠B0E=180°-∠A0D-∠D0E=180°-52°-52°=76°： (2)解：：∠DOE=∠AOD,∠AOD+∠AOF=180°，∠AOD+∠BOD=180°， .∠DOE+∠AOF=180°，∠DOE+∠BOD=180°， 又，∠DOE+∠EOF=180°， ∴.∠DOE的补角为∠EOF,∠BOD,∠AOF 19.(1)证明：，C0⊥D0, .∠COD=90°. 则∠AOC+∠B0D=180°-90°=90° .∠AOC与∠BOD互为余角. (2)解：，∠A0C=25°，由(1)可得，∠B0D=65. ,∠COE与∠BOF互为余角，∠COE=35°， .∠BOF=90°-35°=55° ∴.∠DOF=∠BOD+∠BOF=65°+55°=120° 20.(1)解：，∠AOE=∠FOD=90, ∴.∠EOF+∠DOE=∠DOE+∠BOD=90°， ∴.∠EOF=∠BOD. OB平分∠COD, .∠BOC=∠BOD. ∴.∠EOF=∠BOC, ∴与∠EOF相等的角有∠BOD,∠BOC: (2)解：∠BOF与∠DOE互补或∠COE与∠DOE互补，理由如下： ,点O是直线AB上一点， .∠AOE+∠DOE+∠BOD=180°， .∠AOE=∠FOD=90°， ∴.∠FOD+∠DOE+∠BOD=180°，即∠BOF+∠DOE=180°， .∠BOF与∠DOE互补： ,∠AOE=90°， 3/18 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠BOE=180°-90°=90°，即∠BOE=∠AOE, OB平分∠COD, ∴.∠BOD=∠BOC, ∴.∠BOE+∠DOE+∠BOD=∠BOE+∠DOE+∠BOC=180°，即∠COE+∠DOE=180°， .∠COE与∠DOE互补 综上，∠BOF与∠DOE互补或∠COE与∠DOE互补 21.(1)解：点O在直线AB上，∠BOC=72°， ∴.∠A0C=180°-72°=108°. .OM平分∠AOC, ∠A0M=3∠A0G=3×108=540, ∴.∠M0N=∠AOM+∠AON=54°+30°=84°： (2) 解：ON⊥OM 理由：.点O在直线AB上，∠BON=4∠AON, ∴.∠AON+4∠AON=180°， 解得∠AON=36°， 由(1)，得∠AOM=54. .∴.∠AON+∠AOM=36°+54°=90°. .∴.ON⊥OM 22.(1)解：.'∠AOC和∠BOD均为直角， ∴.∠AOB+∠BOC=90°=∠COD+∠BOC, 则∠COD=∠AOB=28°： (2)解：∠AOD将逐渐增大. 理由如下： 若∠AOB逐渐增大，OB应顺时针旋转，则可知∠AOB最大值为180°，如图所示： 4/18 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A D B 若OB继续旋转，∠AOB将逐渐减小，与题中所给条件矛盾， ∴.若∠AOB逐渐增大，则∠AOD将逐渐增大。 23.(1)解：.'∠AOC和∠BOD均为直角， ∴.∠AOB+∠BOC=90°=∠COD+∠BOC, 则∠COD=∠AOB=28°： (2)解：∠AOD将逐渐增大. 理由如下： 若∠AOB逐渐增大，OB应顺时针旋转，则可知∠AOB最大值为180°，如图所示： y O B 若OB继续旋转，∠AOB将逐渐减小，与题中所给条件矛盾， ∴.若∠AOB逐渐增大，则∠AOD将逐渐增大. 24(1)解：，∠COD=90°， .∠AOC+∠BOD=180°-∠COD=90° (2)解：∠COE=55°，∠C0D=90°， ∴.∠D0E=35°， OD平分∠BOE, .∠BOD=∠DOE=35°， 5/18 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠A0D=180°-∠B0D=180°-35°=145°， ∠AOC=90°-∠BOD=55°， ∴.∠A0C=∠C0E=55°， ∴.OC平分∠AOE 颗型05 余角和补角与三角板的综合 25.(1)解：如图1，.∠A0C=50, ∴.∠B0C=180°-∠AOC=130°， ,∠COD=90 ∴.∠BOD=∠BOC-∠COD=40°； (2)解：如图2，①.：∠BOC=130°，OE平分∠B0C, ∠B0E=3<B0C=65°， .'∠BOD=40°，OF平分∠BOD, ∠B0F)∠B0D=20 ∴.∠EOF=∠BOE-∠BOF=45°： ②.∠AOC=a0°<a<90, ∴.∠B0C=180°-∠AOC=180°-a, .OE平分∠BOC, ∠B0E=3<B0C=90- 1 a, .∠COD=90°， ∴.∠BOD=∠BOC-∠COD=180°-a-90°=90°-Q, .OF平分∠BOD, 2B0r=<B0D=45-a, ∠Eor-∠BoE-28or-90-方0-45-45 26.(1)解：当n=30时，∠BOM=30° .∠BOP=68°， 6/18 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠POM=∠BOP-∠BOM=68°-30°=38°， .∠MON=90° .∴.∠PON=∠MON-∠POM=90°-38°=52° (2)解：，∠MON=90°，∠AOB=180°， ∴.∠AON+∠BOM=90°， .∴.∠AON=90°-n° 当0<n≤68时，OM在OP的右侧， ∠POM=∠BOP-∠BOM=68°-n° ∠AON-∠POM=90°-n-68°-n=22°. 27.(1)解：∠ACE=∠BCD,理由如下： ,∠ACD=∠BCE=90, .∠ACE+∠DCE=90°，∠BCD+∠DCE=90, ∴.∠ACE=∠BCD: (2)解：∠DCE=40°，∠ACD=90°， .∠ACE=∠ACD-∠DCE=90°-40°=50°， ,∠BCE=90°， :.∠ACB=∠ACE+∠BCE=50°+90°=140°： (3)解：∠ACB+∠DCE=180°，理由如下： .∠ACD=∠BCE=90°， .∠ACB=∠ACD+∠BCE-∠DCE=180°-∠DCE, .∠ACB+∠DCE=180°： (4)解：结论仍然成立 ,∠ACD=∠BCE=90°， ∴.∠ACD+∠BCE=180°， 又，∠ACB+∠DCE+∠ACD+∠BCE=360°， .∠ACB+∠DCE=360°-∠ACD+∠BCE=360°-180°=180°. 28.(1)解：∠ACE=∠BCD,理由如下： ,∠ACD=∠BCE=90°， .∠ACE+∠DCE=90°，∠BCD+∠DCE=90°， ∴.∠ACE=∠BCD: 7/18 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：，∠DCE=40°，∠ACD=90°， ∴.∠ACE=∠ACD-∠DCE=90°-40°=50， .∠BCE=90, .∠ACB=∠ACE+∠BCE=50°+90°=140°： (3)解：∠ACB+∠DCE=180°，理由如下： .∠ACD=∠BCE=90°， ∴.∠ACB=∠ACD+∠BCE-∠DCE=180°-∠DCE, .∠ACB+∠DCE=180°； (4)解：结论仍然成立 .∠ACD=∠BCE=90°， ∴.∠ACD+∠BCE=180°， 又，∠ACB+∠DCE+∠ACD+∠BCE=360°， :.∠ACB+∠DCE=360°-∠ACD+∠BCE=360°-180°=180°. 29.(1)解：，∠MON=90°，∠BOC=35, :.∠MOC=∠MON+∠BOC=90°+35°=125°. 故答案为：125 (2)解：ON平分∠AOC,理由如下： .∠MON=90°， .∠BOM+∠AON=90°，∠MOC+∠NOC=90. 又，OM平分∠BOC, ∴.∠BOM=∠MOC. .∠AON=∠NOC. ∴.ON平分∠AOC. (3)解：如图，当OM在AB的上方时， M B 此时∠AOM=180°-∠BOM. ,OC平分∠BOM, 8/18 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠MDC2<BoM, ∠CON=∠MON-∠B0C=90-克∠BOM, 2∠C0N=290©-2∠B0M=180°-∠B0M .∠AOM=2∠CON: 如图，当OM在AB的下方时， A B N M 此时∠AOM=180°-∠BOM, .OC平分∠BOM, ：∠M0C=∠BOM, A2CON=∠MDN+∠M0C=号<BOM+90° 2∠CON=290°+2<B0M=180+∠BoM ∴.∠AOM+2∠CON=360°： 综上所述，∠AOM和∠NOC之间的数量关系为∠AOM=2∠CON或∠AOM+2∠CON=360°. 30.(1)解：：∠EBF=∠ABC=90°，∠ABF=a, ∴.∠ABE=∠EBF-∠ABF=90°-Q;∠CBF=∠ABC+∠ABF=90°+a; (2)解：，∠ABE=2∠CBE,∠ABC=∠ABE+∠CBE=90°， .3∠CBE=90°， .∠CBE=30°， ∴.∠ABE=60°， :.∠ABF=∠EBF-∠ABE=90°-60°=30°： (3) 9/18 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解：：∠ABE+∠CBF=∠ABE+∠ABF+∠ABC =∠EBF+∠ABC =90°+90° =180°， .∠ABE与∠CBF互为补角： (4)解：由图可知：∠EBF+∠ABE+∠ABC+∠CBF=360°， ,∠EBF=∠ABC=90°， .90°+∠ABE+90°+∠CBF=360°， ∴.∠ABE+∠CBF=180°. 31.(1) 解：∠ACD=∠BCE.理由如下： .'∠ACB=∠DCE=90°， .∴.∠ACD+∠BCD=∠BCE+∠BCD=90°， .∠ACD=∠BCE: (2)解：，∠BCD=30°，∠ACB=∠DCE=90°， .∠ACE=∠ACB+∠DCE-∠BCD=90°+90°-30°=150°： (3) 解：∠ACE+∠BCD=180°，理由如下： .∠ACB=∠DCE=90°， ∴.∠ACD+∠BCD+∠BCE+∠BCD=180°， ∴.∠ACE+∠BCD=180°. 颗型06 余角和补角的实际应用 32.(1) 如图，射线OB、OC即为所求： F北 B C、45 30% 西 东 E 60° A 南 图1 10/18 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)如图2： F北 75°D1 西 东 G O E 60° 15° A D: 南 图2 由∠AOD的补角是它的余角的3倍，得 180°-∠AOD=390°-∠AOD, 解得∠AOD=45°. 33.(1)解：根据题意得：∠A0B=∠AOE=360 =72°， 5 因为OP平分∠AOE, 所以∠AOP=)∠A0E=360 所以∠BOP=∠AOB+∠AOP=72°+36°=108° (2)解：设旋转的最小角度为x,则∠POD=2×72°+X=144°+x, 因为∠AOP+∠POD=180°， 所以得x+144°+x=180°， 解得：x=18°， 所以，旋转的最小角度为18°， 34(1)解：如图所示，t射线OB、OC即为所求： 西G A D 南 (2)解：由图及题意，得 ∠B0C=45°-30°=15°，∠B0E=90°+30°=120°， :.∠BOF=45°-∠B0C=30°， 11/18 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠AOE+∠AOD=90°，∠AOD+∠BOF=90°， ∴.和∠AOD互余的角为：∠AOE和∠BOF 故答案为：15°，120°，∠AOE和∠B0F 35.(1)解：如图所示，t射线OB、OC即为所求； B 北 西G O 608 E东 D 南 (2)解：由图及题意，得 ∠B0C=45°-30°=15°，∠B0E=90°+30°=120°， ∴.∠BOF=45°-∠B0C=30° .∠AOE+∠AOD=90°，∠AOD+∠BOF=90°， ,和∠AOD互余的角为：∠AOE和∠BOF 故答案为：15°，120°，∠AOE和∠B0F 36.(1)解：①根据题意可得∠AOE=35°， .∠EOF=90°， .∠B0F=180°-90°-35°=55°， ∴射线0F的方向为南偏东55°. 故答案为：南偏东55 ②.∠AOD=90°， .∠BOC=90°， 又：∠E0F=90 .∠BOF=∠COE, .∠AOF+∠BOF=∠AOB=180°， ∴.∠AOF+∠COE=180°， ∴.∠AOF与∠COE互为补角. (2)解：∠NOF+∠MOC=180°， 理由： ,OM平分∠COE, 12/18 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 六<coM=∠E0M=<0E, .ON平分∠DOE, ∠N0E=∠N0D=号∠D0E=180°-∠C0E-180-2∠M0C. .∠EOF=90°， :∠NOF=∠EOF+∠NOE=90+180°-2∠MOC×号=90+180×号-2∠MOC×号 2 =90°+90°-∠MOG=180°-∠MOC, .∠NOF+∠MOC=180°. B组 能力进阶 1.C2.D3.D4C5.B6.B7.互余8.40°9.②③④ 10.(1)解：，∠COE与∠EOD互余， ∴.∠COE+∠EOD=90°， ,∠COE=40°， .∠EOD=90°-∠COE=50°， ,OE平分∠AOD, ∴.∠AOD=2∠EOD=2×50°=100°， .∠BOD=∠A0B-∠AOD=140°-100°=40°. (2)解：：∠COE与∠EOD互余， ∴.∠COE+∠EOD=90°， .∠COE=&, .∠EOD=90°-∠COE=90°-a, .OE平分∠AOD, .∠AOD=2∠EOD=290°-a=180°-2a, ∴.∠BOD=∠AOB-∠AOD=140°-180°-2ac=2a-40°，即β=2a-40°. 11.(1)解：∠AOB=∠COD=90°，OB平分∠C0D, ·∠B0C=∠B0D=∠C0D=45°， :.∠AOD+∠BOC=∠AOB+∠BOD+∠BOC=180°： 13/18 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：∠AOD+∠BOC=180°，理由如下： .∠AOB=∠COD=90°， ∴.∠BOC+∠BOD=90°， ∴.∠AOD+∠BOC=∠AOB+∠BOD+∠BOC=180°： (3)解：，∠BOC的余角的4倍等于∠AOD, .∠AOD=490°-∠B0C .∠AOD+∠BOC=180°， .∠AOD=180°-∠BOC, 即180°-∠BOC=490°-∠B0C, 解得：∠B0C=60, 12.(1)解：①设∠DBE=x 根据题意得，180°-x=390°-x 解得x=45° .∠DBE的度数为45°： ②.∠DBE+∠DBG+∠ABG=180°，∠DBE=45°，∠DBG=∠ABG-33 ∴.45°+∠ABG-33°+∠ABG=180° 解得∠ABG=84° ∴.∠DBG=∠ABG-33°=84°-33°=51°： (2)解：，BF平分∠ABC ∴.设∠ABF=∠CBF=y .∠FBG=100° ∴.∠ABG=∠FBG-∠ABF=100°-y,∠DBG=180°-∠FBG-∠CBF=80°-y ∴.∠ABG-∠DBG=100°-y-80°-y=20°. ● C组 思维拔高 1. (1)解：由题意得，∠DOB=90°， ∴.∠C0D=∠D0B-∠B0C=90°-65°=25°，，∠A0C=180°-∠B0C=180°-65°=115°. 2)·OE平分∠B0C ∴.∠BOE=∠COE, 14/18 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠DOE=90°， ∴.∠COD+∠COE=90°，∠AOD+∠BOE=90°， ∴.∠AOD=∠COD, ∴.OD是∠AOC的平分线， (3)解：.∠DOE=90°，∠AOD=78°， :.∠BOD=180°-∠AOD=102°，∠B0E=180°-∠D0E-∠AOD=12°， OC平分∠BOD, .∠COD=∠BOC=}∠BOD=51, ∴.∠COE=∠BOC-∠BOE=39°： 猜想：∠AOD=2∠COE, .OC平分∠BOD, .∠COD=∠BOC, ∴，∠COD=∠COE+∠BOE,即∠BOE=∠COD-∠COE, .∠DOE=90°， ∴.∠COD=90°-∠COE, ∴.∠BOE=90°-∠COE-∠COE=90°-2ㄥCOE, .∠AOD+∠BOE=180°-∠DOE=90°， ∴.∠BOE=90°-∠AOD, ∴.90°-2∠COE=90°-∠AOD,即∠AOD=2∠COE. 2.(1)解：因为AB=10,且点D是AB的中点， 所以AD=BD=AB=5. 2 当点C在AD上时，AC=AD-CD=5-2=3: 当点C在BD上时，AC=AD+CD=5+2=7, 所以线段AC的长为3或7； (2)解：因为∠AOC=20°，∠BOD=2∠COD, 所 以 ∠AOD=∠AOC+∠COD=20°+∠COD, ∠BOC=∠COD+∠BOD=∠COD+2∠COD=3∠COD. 因为∠AOD+∠BOC=180°， 所以20°+∠COD+3∠COD=180°， 15/18 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得∠COD=40°： (3)解：因为∠1与∠2互余， 所以∠1+∠2=90°， 所以∠D0C=180°-（∠1+∠2)=90°. 3.(1)解：如图， E B -D A 图1 ,OD平分∠AOC,OE平分∠COB, ∠C0D=克2A0C,∠C0E=∠00B, 2 ∠D0E=∠COD+∠C0E=∠A0C+∠C0B=2∠A0B=65, .∠AOB=130°，∠AOC=50°， .∠C0B=130°-50°=80°， ∴.∠AOC+∠D0E=50°+65°=115°，∠C0B+∠D0E=80°+65°=145°， .∠AOC,∠COB不是一对“分补角”； (2)解：.∠AOC=120°，OD平分∠AOC,OE平分∠COB, ∠C0D3A0c=60,∠C0B=2<C0B=2B. ∠DOE=∠COD+∠COE=60°+号B ,∠AOC,∠COB是一对“分补角”， :∠COB+∠D0E=180,g即B+60+号B=180, 解得B=80°： (3)解：OD平分∠AOC,OE平分∠COB,且OC在∠AOB内部， ∠C0D=3∠A0C,∠C0E=3∠C0B, 16/18 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠D0E=∠C0D+∠COE=∠A0C+∠COB=克∠AOB=80, 如图，当∠COB+∠D0E=180°时， 则∠C0B=180°-80°=100°， ∴.∠A0C=∠AOB-∠COB=160°-100°=60°： 如图，当∠AOC+∠D0E=180°时， D 0 则∠A0C=180°-80°=100°： 综上，∠A0C的可能值为60或100 4.(1)解：：∠COD=65°，∠COD是∠AOB的内补角， ∴.∠AOB=180°-∠C0D=180°-65°=115° (2)解：，将∠AOC绕点O按顺时针方向旋转至∠BOD, ∴.∠AOB=∠COD,∠AOC=∠BOD=a, ∴.∠BOC=∠AOC-∠AOB=-∠AOB, ,∠BOC是∠AOD的内补角， .∠BOC+∠AOD=180°， ∴.Q-∠AOB+∠AOC+∠COD=180°， 即a-∠AOB+a+∠AOB=180°， .2a=180, 解得：a=90°」 (3)解：能：设旋转时间为t秒， 当∠CAE为∠BAD的内补角时，如图所示： 17/18 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则∠CAE+∠BAD=180°， 根据旋转可得：∠BAD=45°+3°t,∠CAE=3°t-30°， .45°+3°t+3°t-30°=180°， 解得：t=27.5； 当∠BAD为∠CAE的内补角时，如图所示： 则∠CAE+∠BAD=180°. 根据旋转可得：∠CAE=30°+360°-3°t=390°-3°t, ∠BAD=360°-3°t-45°=315°-3°t, .390°-3°t+315°-3°t=180°， 解得：t=87.5, 综上，当旋转时间为27.5秒或87.5秒时，射线AB,AD,AC,AE能形成内补角. 拓展 链接中考 1.B2.136 18/18 分层作业 6.3.3 余角和补角 目 录 A组 巩固过关 基础常考6大题型 题型01 求一个角的余角 题型04 余角和补角综合解答 题型02 求一个角的补角 题型05 余角和补角与三角板的综合 题型03 利用余角和补角求解 题型06 余角和补角的实际应用 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 求一个角的余角题型01 1．（25-26七年级上·河南郑州·期末）一个角的补角是，则这个角的余角为 ___________． 【答案】/35度 【分析】先根据补角定义求出原角的度数，再根据余角定义计算余角的度数. 【详解】解：∵ 互为补角的两个角的和为，这个角的补角是， ∴ 这个角的度数为 ， ∵ 互为余角的两个角的和为， ∴ 这个角的余角为 . 2．（25-26七年级上·山西吕梁·期末）一个角的补角是，则这个角的余角的度数是________． 【答案】 【分析】根据补角定义求出原角的度数，再根据余角定义计算余角，注意度分的进率为，借位计算时1度换算为60分． 【详解】解：∵ 已知这个角的补角是，互补两角的和为， ∴ 这个角的度数为 ， ∵ 互余两角的和为， ∴ 这个角的余角的度数为 ． 3．（25-26七年级下·四川成都·期中）若与互为余角，且，则______． 【答案】 【分析】根据余角的定义，两个角的和为，即可求解． 【详解】解：因为与互为余角， 所以， 因为， 所以． 4．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知与互余，且，则____________． 【答案】 28 25 【分析】根据互余，即求解即可 ． 【详解】解：已知与互余，则， ∵， ∴ ． 5．（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，在长方形的台球桌面上，与互为余角，，若，则的度数为___________ 【答案】 【分析】先求出，再根据与互为余角即可求出． 【详解】解∶∵，， ∴， ∵与互为余角， ∴． 6．（25-26七年级上·甘肃白银·期末）如图，将一副三角板的两直角顶点重合放置，已知，则的余角的度数为______． 【答案】/30度 【分析】先求得，进而根据余角的定义，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴的余角的度数为． 求一个角的补角题型02 7．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，一个零件每个内角都相等，小美使用直尺与量角器测量，如图直尺经过量角器底边中点，并与线相贴，请问这个零件的内角为________． 【答案】120 【分析】根据补角先计算出，再结合题意即可求解． 【详解】解：如下图， 由题意得，， ∴， ∵该零件每个内角都相等， ∴每个内角的度数为． 8．（25-26七年级上·江苏淮安·阶段检测）已知与互补，若，则___________． 【答案】 【分析】先根据互补角的定义列出的表达式，再通过度分秒的借位换算完成减法计算． 【详解】解：∵与互补， ∴， 又∵， ∴ ． 9．（25-26七年级上·山东德州·期末）已知的余角是，的补角是，则_____（填“”，“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了余角和补角的定义及度分秒的计算，解题的关键是根据余角和补角的定义分别求出和的度数，再进行大小比较． 【详解】解： ∵ ； ． ． 故答案为：． 10．（25-26七年级上·福建泉州·阶段检测）工人师傅想测量一个六边形螺母的角的度数，小敏同学帮忙想到如图所示的方法，他测得，则的度数为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了补角的计算，准确计算是解题的关键． 根据邻补角的性质计算即可． 【详解】由题可知：， ， ； 故答案是：． 利用余角和补角求解题型03 11．（25-26七年级下·宁夏银川·期中）一个角的余角的3倍比它的补角的2倍少，求这个角的度数． 【答案】 【分析】本题考查余角补角的概念和一元一次方程的应用． 先设出这个角的度数，根据题目中的数量关系列出一元一次方程，求解即可得到结果． 【详解】解：设这个角的度数为． 根据余角和补角的定义，这个角的余角为 ，补角为 ． 由题意得：． 展开整理得： ． 解得：． 12．（25-26七年级下·山东济南·期中）已知一个角的补角比这个角大，求这个角． 【答案】 【分析】设这个角为x，则它的补角为，依题意列出方程求解即可． 【详解】解：设这个角为x，则它的补角为， 由题意得：， 解得，． 答：这个角是． 13．（25-26六年级下·山东泰安·期中）小明在学习“余角和补角”这一小节的内容时，发现了一些有趣的结论和问题： 【规律探索】 (1)锐角的补角与的余角之差为______°． (2)如果锐角的补角为，那么是的余角．请你说明理由． 【问题思考】 (3)一个锐角的补角是它的余角的4倍，求这个角的大小． 【答案】(1) (2) 证明：锐角的补角为， ， ， 是的余角； (3) 【分析】（1）通过补角和余角的定义直接计算差值； （2）利用补角和余角的定义和代数变换证明； （3）根据补角与余角的定义，列方程求解即可； 【详解】（1）锐角的补角为，的余角为， ； （2）略； （3）设一个锐角为， 锐角的补角为，锐角的余角为， 锐角的补角是它的余角的4倍， ， ， ， ， 这个锐角为． 14．（25-26七年级上·四川自贡·期末）已知与互为补角，且比的一半大，求的余角． 【答案】 【分析】本题考查的是余角和补角的概念，若两个角的和为，则这两个角互余；若两个角的和等于，则这两个角互补． 根据补角的概念和题意，可得，解方程求出∠α的值，根据余角的概念计算即可． 【详解】解：由题意得， ，， ∴ 解得， ， 的余角 答：的余角为． 15．（25-26七年级上·陕西西安·期末）已知一个角的余角比这个角的补角的小，先求出这个角的度数，再用度、分、秒的形式表示． 【答案】这个角的度数为．用度、分、秒的形式表示为． 【分析】此题考查了补角和余角的相关计算，一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程是关键．设这个角的度数为x．根据余角比这个角的补角的小列出方程并解方程即可求出答案． 【详解】解：设这个角的度数为x． 根据题意，得， 解得． 即这个角的度数为37.5°． 用度、分、秒的形式表示为． 16．（25-26七年级上·江西宜春·期末）若一个角的补角的一半比这个角的余角多，求这个角的度数． 【答案】 【分析】本题考查补角与余角的概念，一元一次方程的应用，熟练掌握相关知识是关键． 设这个角为度，则这个角的补角为度，余角为度，根据题意列方程并求解即可． 【详解】解：设这个角为度，则这个角的补角为度，余角为度， ∵一个角的补角的一半比这个角的余角多， ∴， 解得，， ∴这个角的度数为． 余角和补角综合解答题型04 17．（25-26七年级上·全国·期末）如图，已知，与互余，平分． (1)若，求和； (2)设，试探究α与β之间的数量关系． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由与互余求出的度数，由角平分线的定义求出的度数，进而可得的度数； （2）根据互余的定义，用含α的式子表示出的度数，再根据角平分线的定义求得的度数，进而找到α与β之间的数量关系． 【详解】（1）解：∵与互余，， ∴． ∵平分， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵，且与互余， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴，即． ∴α与β之间的数量关系是． 18．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示，直线与直线相交于点O，是的平分线，在内，且，． (1)求的度数； (2)写出的所有补角． 【答案】(1) (2)，，. 【分析】（1）根据角平分线的定义和角的和差关系进行求解即可； （2）根据补角的定义，进行求解即可. 【详解】（1）解：∵是的平分线， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 又∵， ∴的补角为，，. 19．（25-26七年级下·云南昆明·期中）如图，点O在直线上，射线都在直线的上方，射线在直线的下方．，垂足为点O，在的内部，． (1)求证：与互为余角； (2)若，与互为余角，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据垂直的定义，平角的定义，得到，即可得证； （2）根据余角的定义结合角的和差关系进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴． 则． ∴与互为余角． （2）解：∵，由（1）可得，． ∵与互为余角，， ∴． ∴． 20．（25-26六年级下·山东烟台·期中）如图，点是直线上一点，，平分． (1)请直接写出图中所有与相等的角； (2)写出图中与互补的一个角，并说明理由． 【答案】(1)， (2)与互补或与互补，理由见解析 【分析】（1）根据同角的余角相等及角平分线的定义，进行作答即可； （2）根据互补的两个角和为，作答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴与相等的角有，； （2）解：与互补或与互补，理由如下： ∵点是直线上一点， ∴， ∵， ∴，即， ∴与互补； ∵， ∴，即， ∵平分， ∴， ∴，即， ∴与互补； 综上，与互补或与互补． 21．（25-26七年级下·陕西渭南·期中）如图，点在直线上，，射线，在直线两侧，平分． (1)若，求的度数； (2)若与垂直吗？请说明理由． 【答案】(1) (2) 解：． 理由：点在直线上，， ， 解得． 由（1），得． ． ． 【分析】（1）根据平角的定义求出，再根据角平分线的定义求出，即可得到答案； （2）根据题意求出，再根据即可证明结论． 【详解】（1）解：点在直线上，， ． 平分， ． ； （2）略 22．（25-26七年级下·河北保定·阶段检测）如图，和均为直角． (1)若，求的度数； (2)若逐渐增大，将如何变化？请你给出结论并说明理由． 【答案】(1) (2)将逐渐增大，理由见解析 【分析】（1）由同角的余角相等即可得到答案； （2）按照题意，作出图形讨论即可得到答案． 【详解】（1）解：和均为直角， ， 则； （2）解：将逐渐增大． 理由如下： 若逐渐增大，应顺时针旋转，则可知最大值为，如图所示： 若继续旋转，将逐渐减小，与题中所给条件矛盾， 若逐渐增大，则将逐渐增大． 23．（25-26七年级下·甘肃武威·开学考试）如图，已知与互为余角，且，平分，平分． (1)求的度数； (2)如果已知，其他条件不变，求的度数； (3)从以上求的过程中，你得出的结论是________． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）根据题目提供的条件和角平分线的性质和两角互余的性质，求出角的度数即可； （2）根据所提供的条件和角平分线的性质和两角互余的性质，求出角的度数即可； （3）利用上面的计算过程即可得出结论． 【详解】（1）解：∵与互为余角， ∴， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴； （2）解：当，其它条件不变时， ； （3）解：由（1）（2）可得：． 24．（25-26七年级上·广西河池·期末）如图，点O在直线上，． (1)_____°； (2)若平分，，求的度数并说明平分． 【答案】(1)90 (2)，说明见解析 【分析】（1）根据平角的定义作答即可； （2）根据余角的定义求出，根据角平分线的定义得到，根据角的和差得到，，进而可知平分． 【详解】（1）解：∵， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ， ∴， ∴平分． 余角和补角与三角板的综合题型05 25．（24-25七年级上·河北石家庄·期末）将三角板的直角顶点按如图1中的方式放置在直线上． (1)当时， ； ； (2)如图2，作射线平分，射线平分． ①若的条件不变，求的度数； ②若设，直接写出的大小为 ． 【答案】(1)， (2)①；② 【分析】（1）根据题意，由平角的定义，得到的度数，结合直角，得到的大小； （2）①由（1）的结果，结合角平分线的定义，得到和的度数，从而得到结果； ②仿照①的计算，表示出和，从而得到结果． 【详解】（1）解：如图1，， ， ， ； （2）解：如图2，①，平分， ， ，平分， ， ； ②， ， 平分， ， ， ， 平分， ， ． 26．（25-26六年级下·山东烟台·期中）如图所示，以直线上的一点为端点，在直线的上方作射线，使，将一块直角三角尺的直角顶点放在点处，且直角三角尺在直线的上方．设． (1)当时，求的大小； (2)若时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角的和差运算及平角的性质，数形结合是解题的关键，根据直角三角尺旋转时与的相对位置关系进行计算即可． （1）中当时，在的右侧，利用求出，再结合求出； （2）当时，在的右侧，利用与互余求出，再计算即可． 【详解】（1）解：当时， ， ， （2）解：， ， 当时，在的右侧， ． 27．（25-26六年级下·山东烟台·期中）如图，将一副直角三角板的直角顶点叠放在一起． (1)试判断图（1）中与的大小关系，并说明理由； (2)在图（1）中若，求的度数； (3)在图（1）中猜想与的数量关系，并说明理由； (4)若改变其中一个三角板的位置，如图（2），则第（3）小题的结论还成立吗？并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3)，理由见解析 (4)结论仍然成立，理由见解析 【分析】（1）利用同角的余角相等即可证明两角相等； （2）先求，再通过角的和差计算即可； （3）用两个直角的和减去重叠角，即可推导两角互补； （4）利用周角减去两个直角的和，即可证明互补结论仍成立． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴； （3）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴； （4）解：结论仍然成立 ∵， ∴， 又∵， ∴． 28．（25-26七年级上·河南驻马店·期末）以直线上一点为端点作射线，使，将一个直角三角板的直角顶点放在点处，即 (1)如图1，若直角三角板的一边放在射线上，则的度数为 ； (2)如图2，将直角三角板绕点顺时针转动到某个位置， ①若恰好平分则的度数为 ； ②若在内部，请判断与的数量关系并说明理由． 【答案】(1)； (2)①；② 【分析】（1）先根据平角定义求出的度数，再结合直角的度数，通过角的差计算； （2）①先利用平角求出的度数，再根据角平分线的性质得到的度数，最后用直角减去得到； ②通过平角和直角的关系，用含的式子表示，再结合的度数推导与的数量关系． 【详解】（1）解：， ， ， ． （2）①解：， ， 平分， ， 又， ． ②解：，理由如下： ， ， ， ， 又， ， ． 29．（25-26七年级上·山东日照·期末）如图①，点为直线上一点，将一直角三角板如图摆放，过点作射线． (1)如图②，若，则__________； (2)将图①中的直角三角板绕点转动一定的角度得图③，若边恰好平分，问：是否平分？请说明理由． (3)将图①中的直角三角板绕点顺时针转动，在转动过程中，若平分，请直接写出和之间的数量关系． 【答案】(1)125 (2)平分，理由见解析 (3)或 【分析】本题主要考查了角的运算、余角以及角平分线的定义，解题的关键是灵活运用题中等量关系进行角度的运算． （1）根据∠MOC=∠MON+∠BOC计算即可； （2）由角平分线定义得到角相等的等量关系，再根据等角的余角相等即可解答； （3）分两种情况：当在的上方时，当在的下方时，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴． 故答案为：125 （2）解：平分，理由如下： ∵， ∴． 又∵平分， ∴． ∴． ∴平分． （3）解：如图，当在的上方时， 此时， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，当在的下方时， 此时， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，和之间的数量关系为或． 30．（25-26七年级上·山东济宁·期末）两个形状、大小完全相同的含角的三角板按照如图1的方式放置，其中． (1)若，则_____；_____； (2)若，求的度数； (3)试说明与互为补角； (4)若把图1中的三角板绕点转动到如图2的位置，请直接写出与之间满足的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 解：∵ ， ∴与互为补角； (4) 【分析】本题考查几何图形中角度的计算，与补角有关的计算，找准角度之间的和差关系是解题的关键： （1）根据角的和差关系，进行求解即可； （2）根据，求出的度数，再根据，求解即可； （3）求出的度数，即可得证； （4）根据周角的定义进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴；； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）略 （4）解：由图可知：， ∵， ∴， ∴． 31．（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）如图，将两块直角三角板的直角顶点叠放在一起． (1)试判断与的大小关系，并说明理由； (2)若，求的度数； (3)猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) 解：．理由如下： ， ， ； (2) (3) 解：，理由如下： ， ， ． 【分析】本题主要考查了几何图中角的计算，数形结合，熟练掌握余角的性质，是解题的关键． （1）根据余角的性质进行求解即可； （2）根据，求出结果即可； （3）根据与的数量关系，进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：， ； （3）略 余角和补角的实际应用题型06 32．（25-26七年级上·河南开封·期末）如图，货轮O在航行过程中，发现灯塔A在它南偏东的方向上，同时，在它北偏东30°、西北（即北偏西）方向上又分别发现了客轮B和海岛C． (1)仿照表示灯塔方位的方法，分别画出表示客轮B和海岛C方向的射线、（不写作法）； (2)若图中有一艘渔船D，且的补角是它的余角的3倍，求出的度数； 【答案】(1) 如图，射线、即为所求； (2) 【分析】本题考查方位角以及余角补角的计算，解题关键在于熟悉方位角定义． （1）根据方位角的度数，即可画出图形； （2）根据余角与补角的关系，即可得到的度数． 【详解】（1）略 （2）如图2： 由的补角是它的余角的3倍，得 ， 解得． 33．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）如图1，某电风扇的支架垂直于地面，叶片，，，，可绕轴心O旋转，且相邻的叶片所成角相等，即． (1)如图1，若平分，求的度数． (2)如图2，叶片从与重合的位置开始，按顺时针方向旋转，当与互补时，求旋转的最小角度． 【答案】(1) (2)旋转的最小角度为 【分析】本题主要考查了角平分线定义，补角定义，一元一次方程的应用，熟练掌握相关定义，是解题的关键． （1）根据题意得：，根据角平分线定义得出，最后根据角度间的数量关系求出结果即可； （2）设旋转的最小角度为，则，根据补角定义，列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， 因为平分， 所以， 所以； （2）解：设旋转的最小角度为，则， 因为， 所以得， 解得：， 所以，旋转的最小角度为． 34．（25-26六年级下·全国·单元测试）如图，货轮O在航行过程中，发现灯塔A在它的南偏东的方向上．同时，在它的北偏西、西北方向上又发现了客轮B和海岛C． (1)仿照表示灯塔方位的方法，在图中画出表示客轮B和海岛C方向的射线； (2)在（1）的条件下填空： ， ；和互余的角为： ． 【答案】(1)见解析 (2)和 【分析】本题考查方向角，角的和差，余角，掌握知识点是解题的关键． （1）根据方向角的概念，画出表示客轮B和海岛C方向的射线即可； （2）根据方向角的概念及角的和差关系表示出：∠BOC、∠BOE的度数，根据互余的定义得出和∠AOD互余的角． 【详解】（1）解：如图所示，t射线、即为所求； （2）解：由图及题意，得 ，， ∴， ∵， ∴和互余的角为：和． 故答案为：和． 35．（25-26七年级上·宁夏银川·期末）如图，大课间的广播操展示让我们充分体会到了一种整体的图形之美，洋洋和乐乐想从数学角度分析下如何让班级同学们的广播操能做得更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论，如图，为方便研究，定义两手手心位置分别为两点，两脚脚跟位置分别为两点，定义平面内为定点，将手脚运动看作绕点进行旋转． (1)如图，三点共线，点重合，，则______； (2)如图，三点共线，且，平分，求的大小？ (3)第三节腿部运动中，如图，洋洋发现，虽然三点共线，却不在水平方向上，且，他经过计算发现，的值为定值，请直接写出这个定值？ 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】此题主要考查了角的计算，补角的定义，角平分线的定义，理解补角的定义，角平分线的定义，熟练掌握角的计算是解题的关键． （）由三点共线得，再根据，即可得出的度数； （）由，设，，再由三点共线得，由此求出得，，然后由角平分线定义得，由此即可得出的度数； （）设，再由，设，，由此得，，再由三点共线得，由此得，进而得，，继而得，据此即可得出答案． 【详解】（1）解：∵三点共线，点重合， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴设，， ∵三点共线， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴； （3）解：设， ∵， ∴设，， ∴，， ∵三点共线， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴的值为定值，这个定值为． 36．（25-26七年级上·辽宁盘锦·期末）如图，直线，相交于点，以为观察中心，射线表示正北方向，射线表示正西方向，即，射线，的方向如图所示，其中． (1)如图1，     若射线的方向为北偏东，则射线的方向为 ．     请说明与互为补角． (2)如图2，平分，平分，试猜想与的数量关系，请说明理由． 【答案】(1) 南偏东 见解析 (2) ，理由见解析． 【分析】（1）根据方向角可得，结合已知计算即可；根据互为补角的定义进行解答即可； （2）由平分，平分，可得，，结合，计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可得， ∵， ∴， ∴射线的方向为南偏东． 故答案为：南偏东． ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴与互为补角． （2）解：， 理由： ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴ ， ∴． 【点睛】本题考查与余角、补角有关的计算，角平分线的有关计算，几何图形中角度计算问题，与方向角有关的计算题． 1．（25-26七年级下·山西晋中·期末）一个角的度数是，则它的余角的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】互为余角的两个角的和为，这个角的度数为， 它的余角度数为． 2．（25-26六年级下·黑龙江绥化·期末）已知和互为余角，且，则的补角是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵与互为余角， ∴， ∵， ∴， ∴的补角为． 3．（25-26七年级下·北京顺义·期末）如图，打台球时，选择适当的方向用白球击打黑球，黑球碰撞库边（台球桌四边的边框）后直接入袋．此时，，，则黑球碰撞库边前后的运动路线所夹的角大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据互余的定义求出的度数，结合已知条件得出的度数，最后根据平角的定义计算黑球碰撞库边前后的运动路线所夹的角的大小即可． 【详解】解：，， ， ， ， 库边是一条直线，即平角为 ， 黑球碰撞库边前后的运动路线所夹的角大小为：． 4．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，为直角，是的平分线，且，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由可求得，进而由角平分线的定义求得，即可求解． 【详解】解：∵为直角，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴． 5．（2026·福建漳州·模拟预测）如图，一副三角尺按图中所示位置摆放，．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由同角的余角相等可知，，再结合，即可求解出的度数． 【详解】解：设， ∵，， ∴，， ∵， ∴， 解得，． 6．（2026·河北唐山·二模）如图，点B，O，D在同一条直线上，，直线从与重合的位置开始绕点O逆时针旋转，形成（小于），，．当增加时，下列说法正确的是（     ） A．增加 B．减少 C．增加 D．∠1减少 【答案】B 【分析】根据平角定义得出与的关系，根据直角定义得出与 的关系，进而根据变化量进行推导． 【详解】解：点，，在同一条直线上， ． 增加， 减少． ， ． 减少， 增加． 综上所述，减少，增加． 7．（25-26七年级上·河北石家庄·期末）如图，射线、、、、分别对应量角器上外圈的，，，， 刻度，则关于与的关系可表述为____________． 【答案】互余 【分析】由题意可知，，，再求出可得与互余． 【详解】由题意可知：，，， ∴， ∴，即与互余． 8．（25-26七年级下·四川达州·期末）如图，点、、分别为内部三点，连接、、，，，，，则的补角的度数为__________． 【答案】 【分析】根据题意由的度数及求得的度数，结合利用角的和差关系求出，进而得到的度数，计算出的度数，最后根据补角的定义求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的补角为． 9．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图：已知直线、相交于点，，射线在内部，有如下结论： ①的补角是； ②若，则； ③若平分，则； ④若，则． 上述结论中，所有正确结论的序号是______． 【答案】②③④ 【分析】①根据补角定义进行判断；②利用得到与互余，代入数据计算验证；③结合对顶角相等和角平分线定义，通过等式变形证明两角相等；④利用对顶角相等列方程求出，再结合直角求出． 【详解】解： ， 的补角不是，故①错误； ， ， ， ，故②正确； 平分， ， ， ， ，故③正确； ， ， ， ，即， ，即， ，故④正确． 综上，正确的结论为②③④． 10．（25-26七年级下·广西柳州·开学考试）如图，已知，与互余，平分． (1)若，求和的度数． (2)设，，请探究与之间的数量关系． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由与互余，可得，由平分，可得，即可求解； （2）由与互余，可用表示，由平分，可用表示，即可求解． 【详解】（1）解：∵与互余， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． （2）解：∵与互余， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴，即． 11．（25-26七年级下·陕西宝鸡·期末）把一副三角板的直角顶点O重合在一起． (1)如图①，当平分时，求与的和； (2)如图②，当不平分时，与有什么关系？请说明理由； (3)若的余角的4倍等于，的度数是多少？ 【答案】(1) (2)解：，理由如下： ∵， ∴， ∴； (3)． 【分析】（1）由平分可得，根据角的和差即可求解； （2）根据角的和差即可求解； （3）根据余角的定义可知的余角为，进而根据已知结论列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，平分， ∴， ∴； （2）略； （3）解：∵的余角的4倍等于， ∴ ∵， ∴， 即， 解得：． 12．（25-26七年级下·河北廊坊·阶段检测）如图，直线与相交于点，射线在内． (1)若的邻补角是它的余角的3倍， ①的度数为 ； ②若，求的度数； (2)若射线平分，，探求与的数量关系． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①设，根据题意列方程求解即可； ②根据平角的定义列方程求出，然后代入求解即可； （2）根据角平分线的定义设，然后分别表示出和，进而求解即可． 【详解】（1）解：①设 根据题意得， 解得 ∴的度数为； ②∵，， ∴ 解得 ∴； （2）解：∵平分 ∴设 ∵ ∴， ∴． 1．（25-26六年级下·山东泰安·期中）综合与实践 【问题情境】 某校六年级数学学习小组在课后综合实践活动中，进行“玩转三角板”的探究活动． 【问题实践】 为直线上一点，过点在直线上方作射线，将一块三角板的直角顶点与点重合，射线和三角板均可以围绕点旋转（旋转时始终在直线上方）． 【解决问题】你来试试吧！ (1)如图，若，当三角板的直角边与重合，________，________； (2)如图，若将三角板绕点逆时针旋转一定角度得到图，此时恰好是的平分线，试说明也是的平分线； 【深入探究】 (3)未来可期小组受到启发进行了进一步动态探究： 如图，旋转射线和三角板，始终满足平分，当时，求的度数，并根据结果直接写出旋转过程中与之间的数量关系． 【答案】(1)， (2)平分， ， ， ，， ， 是的平分线， (3)， 【分析】（1）由邻补角和余角的定义求解即可； （2）由角平分线的定义可得，再根据，利用平角的定义可得、，进而得到即可说明； （3）根据、，求出，，再根据平分，得到，即可求出此时的度数；猜想，根据角平分线的定义，余角，补角的定义得到，即． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴，，． （2）略 （3）解：∵，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴； 猜想：， ∵平分， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即． 2．（25-26七年级上·北京·阶段检测）完成以下问题 (1)如图1，，点D是线段的中点，点C是线段上一点，且，求线段的长． (2)如图2，是内部的两条射线，，求的度数． (3)如图3，点O是直线上的一点，与互余，求的度数． 【答案】(1)3或7 (2) (3) 【分析】（1）先根据中点的定义求出，再分两种情况根据线段的和差得出答案； （2）先根据题意得出，，再根据得出关于的方程，求出解即可； （3）根据互余的定义得出，再根据得出答案． 【详解】（1）解：因为，且点D是的中点， 所以． 当点C在上时，； 当点C在上时，， 所以线段的长为3或7； （2）解：因为， 所以，． 因为， 所以， 解得； （3）解：因为与互余， 所以， 所以． 3．（25-26七年级上·湖北荆州·期末）设，，分别是、的角平分线，记．如果，互补，或者，互补，则称，是一对“分补角”． (1)如图，，在内，．分别作，的角平分线，则______，，______一对“分补角”（填“是”或“不是”）； (2)如图2，若，，，是一对“分补角”，且在的外部，求β的值； (3)如图3，．若和是一对“分补角”，且在内部，请直接写出的所有可能值． 【答案】(1)，不是 (2) (3)或 【分析】（）利用角平分线的定义可求出，再分别求出与即可判断，是否是“分补角”； （）根据角平分线和“分补角”的定义解答即可求解； （）根据角平分线和“分补角”的定义解答即可求解． 【详解】（1）解：如图， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴，不是一对“分补角”； （2）解：∵，平分，平分， ∴，， ∴， ∵，是一对“分补角”， ∴，即， 解得； （3）解：∵平分，平分，且在内部， ∴，， ∴， 如图，当时， 则， ∴； 如图，当时， 则； 综上，的可能值为或． 4．（25-26七年级上·浙江丽水·期末）规定：从一个角的顶点出发，在角的内部作两条射线，若这两条射线所夹的角与原角互补，则这个夹角叫做原角的“内补角”．如图①所示，若与互补，则是的内补角． (1)如图①所示，已知，是的内补角，求； (2)如图②所示，记，将绕点O按顺时针方向旋转至，若是的内补角，求； (3)把一副三角板按图③放置，其中，，，再将三角板绕顶点A按顺时针方向旋转一周，速度为3度/秒，问：在三角板旋转的过程中，射线，，，能否形成内补角？若能，求出旋转的时间；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)能；旋转时间为秒或秒 【分析】（1）利用内补角定义，通过角度计算直接求解； （2）根据旋转性质与内补角定义，用表示相关角，建立方程求解． （3）分两种情况：当为的内补角时，当为的内补角时，分别画出图形，根据旋转，列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵，是的内补角， ∴． （2）解：∵将绕点O按顺时针方向旋转至， ∴，， ∴， ∵是的内补角， ∴， ∴， 即， ∴， 解得：． （3）解：能；设旋转时间为t秒， 当为的内补角时，如图所示： 则， 根据旋转可得：，， ∴， 解得：； 当为的内补角时，如图所示： 则， 根据旋转可得：， ， ∴， 解得：， 综上，当旋转时间为秒或秒时，射线，，，能形成内补角． 1．（2025·四川广安·中考真题）若，则的余角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求一个角的余角，根据余角的定义，若两个角的和为，则这两个角互为余角，即可求解． 【详解】解：已知，则的余角为， 故选：B． 2．（2025·山东淄博·中考真题）如图，，，则_______． 【答案】 【分析】本题考查了角的计算及余角的知识，属于基础题，关键是利用角的和差关系进行计算． 先由求出的度数，再由求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $