6.3.3余角和补角（题型专练）数学人教版2024七年级上册

6.3.3 余角和补角 题型一 求一个角的余角 1．（23-24七年级下·广东河源·期末）如果一个角的余角是，那么这个角的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·河北石家庄·期中）如图，，且，则（    ）    A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·天津红桥·期末）如图所示，的大小可由量角器测得，则的余角的大小为（  ）    A．60° B．120° C．30° D．90° 4．（24-25七年级上·全国·课后作业）一副三角板按如图所示的方式摆放，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·四川雅安·期中）若两个角和为90度，则这两个角互余．已知，，则与的关系是（   ） A．互补 B．互余 C．和为钝角 D．和为周角 6．（23-24七年级上·重庆丰都·期末）如果一个角的余角比这个角少，则这个角的度数是 ． 7．（2024七年级·全国·竞赛）已知与互补，且，代数式①，②，③，④中，可以表示的余角的是 （填序号）． 8．（23-24七年级下·江西上饶·期中）如图，直线，，相交于点，，与互为余角，平分，求的度数． 9．（23-24七年级上·河北保定·期末）如图点A，O，B在同一条直线上，过点O作射线，，，，且和互余，与互余，平分． (1)判断和之间满足的数量关系，并说明理由． (2)判断是否平分，并说明理由． 10．（22-23七年级上·贵州铜仁·期末）如图，与互余，平分． (1)若， 求的度数． (2)若， 用代数式表示的度数． 题型二 求一个角的补角 11．（22-23七年级下·全国·假期作业）已知，与互余，则的补角是（   ） A．132° B．138° C．122° D．128° 12．（23-24七年级上·江西赣州·期末）一个角的补角比这个角的2倍还多，则这个角的度数为（    ） A． B． C． D． 13．（23-24七年级上·山东滨州·期末）如图，，下列判断： ①射线是的角平分线；②是的补角；③；④的余角有和． 其中正确的是（   ） A．①③④ B．①②③ C．①②③④ D．②③④ 14．（23-24七年级上·安徽安庆·期末）已知：，，且的补角等于的余角，则下列结论一定正确的是（    ） A．是锐角 B．是钝角 C． D． 15．（22-23七年级上·云南·期末）将一副三角板如图放置，若，则（    ）    A．122° B．132° C．142° D．152° 16．（23-24七年级上·新疆伊犁·期末）一个角是它的余角的3倍，则这个角的补角是 ． 17．（23-24七年级上·重庆江津·期末）如图，，，点B、O、D三点在一条直线上，则 ． 18．（22-23七年级上·江西赣州·期末）如图，已知：平分，平分． (1)若， ①求出及其补角的度数； ②求出和的度数，并判断与是否互补； (2)若，则与是否互补？请说明理由． 19．（23-24七年级上·四川绵阳·期末）已知和互为补角，并且的一半比小，求． 20．（22-23七年级上·重庆秀山·期末）已知，与互为余角，与互为补角，平分，平分， (1)如图，当时，求的度数； (2)请你补全图形，并求的度数． 题型三 与余角、补角有关的计算 21．（24-25七年级上·全国·期末）已知一个角的余角比这个角的补角的小，则这个角的余角的度数是 ，补角的度数是 ． 22．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，，则图中三个角的数量关系是 ． 23．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）已知是的补角．是的补角，若，则的度数为 ． 24．（19-20七年级上·湖北武汉·期末）若一个角的补角比它的余角的还多，则这个角为 ． 25．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，已知点是直线上的一点，，．当比的余角大时，的度数为 ． 26．（23-24七年级上·全国·期末）已知的余角是，的补角是，则和的大小关系是 ． 27．（21-22七年级上·安徽滁州·期末）如图，点是直线上的一点，，平分． (1)试说明； (2)求的度数． 28．（23-24七年级上·广东潮州·期末）如图，平分，平分．若． (1)求出的度数； (2)判断与是否互补，并说明理由． 29．（21-22七年级上·重庆潼南·期末）如图，点O在直线上，与互余，射线平分． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，若，求的度数； (3)请你猜想和之间的数量关系，并说明理由． 题型一 同（等）角的余（补）角相等的应用 30．（21-22七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，已知点O为直线上一点，，是的平分线． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，是的平分线，求的度数； (3)在（2）的条件下，是的一条三等分线，若，求的度数． 31．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，O为直线上一点，平分． (1)请你数一数，图中有 个小于平角的角； (2)的余角有 ； (3)求出的度数． 32．（23-24七年级上·河北唐山·期末）【实践活动】如图1，将一副三角板的直角顶点重合摆放． （1）判断与的大小关系，并说明理由； （2）探索与之间的数量关系，并说明理由； 【拓展探究】 （3）如图2，若，且，探索与之间的数量关系，并说明理由． 33．（23-24七年级下·湖南株洲·期末）如图，已知O为直线上一点，是内部一条射线且满足与互补，，分别为，的角平分线．    (1)与相等吗？请说明理由； (2)若，试求与的度数； (3)若，试求的度数． 34．（21-22七年级上·河南驻马店·期末）如图1，将两块直角三角板的直角顶点A叠放在一起．    (1)若，则________；若，则________； (2)猜想与有何数量关系，并说明理由； (3)如图2，若是两个同样的直角三角尺锐角的顶点A重合在一起，请直接写出与的数量关系． 35．（24-25七年级上·四川成都·期末）如图，射线在内部，射线在射线左侧，． (1)当时，试比较与的大小，并说明理由； (2)在（）的条件下，若，射线，分别平分与，求的度数； (3)若，，都在内部，过点作射线，使 ，试探究与的数量关系． 36．（2024七年级上·全国·专题练习）如图1，点是直线上一点，三角板（其中的边与射线重合，将它绕点以每秒顺时针方向旋转到边与重合；同时射线与重合的位置开始绕点以每秒逆时针方向旋转至，两者哪个先到终线则同时停止运动，设运动时间为秒． (1)若，，秒时，________°； (2)如图2，在运动过程中，射线始终平分． ①若，，当射线，，中，其中一条是另两条射线所形成夹角的平分线时，直接写出　　秒；（写出一个即可） ②当在的左侧，且与始终互余，求与之间的数量关系． 37．（20-21七年级上·江苏盐城·期末）已知直线AB和CD交于点O，∠AOC＝α，∠BOE＝90°，OF平分∠AOD． （1）当α＝30°时，则∠EOC＝_________°；∠FOD＝_________°． （2）当α＝60°时，射线OE′从OE开始以12°/秒的速度绕点O逆时针转动，同时射线OF′从OF开始以8°/秒的速度绕点O顺时针转动，当射线OE′转动一周时射线OF′也停止转动，求经过多少秒射线OE′与射线OF′第一次重合？ （3）在（2）的条件下，射线OE′在转动一周的过程中，当∠E′OF′＝90°时，请直接写出射线OE′转动的时间为_________秒． 38．（23-24七年级下·河北张家口·期中）定义：从的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将分得的两个角中有一个角与互为补角，则称该射线为的“好线”．如图，点O在直线上，在直线上方，且，射线是的“好线”． (1)若，且OE在内部，求的度数； (2)若OE恰好平分，求的度数； (3)若OF是的平分线，OG是的平分线，直接写出与的数量关系． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.3.3 余角和补角 题型一 求一个角的余角 1．（23-24七年级下·广东河源·期末）如果一个角的余角是，那么这个角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了余角，和为的两个角互为余角，据此解答即可． 【详解】解：∵， ∴如果一个角的余角是，那么这个角的度数是， 故选：B． 2．（23-24七年级上·河北石家庄·期中）如图，，且，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求一个角的余角，几何图形中的角度问题，依题意得出，根据，即可求解． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， 故选：A． 3．（23-24七年级上·天津红桥·期末）如图所示，的大小可由量角器测得，则的余角的大小为（  ）    A．60° B．120° C．30° D．90° 【答案】C 【分析】根据和为90度的两个角互余，进行求解即可． 【详解】解：由图可知：， ∴的余角的大小为； 故选C． 4．（24-25七年级上·全国·课后作业）一副三角板按如图所示的方式摆放，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了余角和补角，能根据题意得出算式是解此题的关键．根据题意得出和，两等式相减，即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 5．（24-25七年级上·四川雅安·期中）若两个角和为90度，则这两个角互余．已知，，则与的关系是（   ） A．互补 B．互余 C．和为钝角 D．和为周角 【答案】B 【分析】本题考查了互余，解题关键是掌握若两个角的和等于，即这两个角互余． 根据已知条件，得出，即可得到答案． 【详解】解：∵，， ， 与互余， 故选：B． 6．（23-24七年级上·重庆丰都·期末）如果一个角的余角比这个角少，则这个角的度数是 ． 【答案】/60度 【分析】本题考查了余角及一元一次方程；设这个角为x度，则可表示出其余角，根据条件建立方程即可求解． 【详解】解：设这个角为x度，则其余角为度， 由题意得：， 解得：， 即这个角是； 故答案为：． 7．（2024七年级·全国·竞赛）已知与互补，且，代数式①，②，③，④中，可以表示的余角的是 （填序号）． 【答案】①③④ 【分析】本题考查了互余与互补，掌握两个概念是关键；按照互余定义验证两个角的和是否为即可． 【详解】解：，①正确； ②若，则，与矛盾，故②不正确； 由，有，即与互余，所以③正确； 由，有，所以④正确． 故正确的有①③④； 故答案为：①③④． 8．（23-24七年级下·江西上饶·期中）如图，直线，，相交于点，，与互为余角，平分，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查的是角互余的含义，角平分线的定义，角的和差运算，熟练的利用角的和差关系进行计算是解本题的关键．由与互为余角，，可求出，进而求出，结合平分，可求出，根据对顶角相等得到，再利用角的和差关系可得答案． 【详解】解： 与互为余角， ， ， ， ， 平分， ， ． 9．（23-24七年级上·河北保定·期末）如图点A，O，B在同一条直线上，过点O作射线，，，，且和互余，与互余，平分． (1)判断和之间满足的数量关系，并说明理由． (2)判断是否平分，并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)平分，理由见解析 【分析】本题考查了余角的性质． （1）利用余角的性质求得，，据此求解即可； （2）利用余角的性质求得，即可得到平分． 【详解】（1）解：，理由如下： 因为和互余，与互余， 所以，， 所以； （2）解：平分，理由如下： 因为平分，所以， 因为和互余，与互余， 所以，， 即． 所以平分． 10．（22-23七年级上·贵州铜仁·期末）如图，与互余，平分． (1)若， 求的度数． (2)若， 用代数式表示的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了互余的定义，角平分线的定义，角的和差； （1）由角平分线的定义得，由互余的定义得，由角的和差，即可求解； （2）由互余的定义得 ，再由角平分线的定义即可求解； 理解互余的定义，角平分线的定义，会用角的和差表示出所求的解是解题的关键． 【详解】（1）解： 平分， ， 与互余， ， ， ； （2）解： 与互余， ， ， 平分， ， ． 题型二 求一个角的补角 11．（22-23七年级下·全国·假期作业）已知，与互余，则的补角是（   ） A．132° B．138° C．122° D．128° 【答案】A 【分析】由余角的定义可求出的度数，再由补角的定义求解即可． 【详解】解：∵，与互余， ∴， ∴的补角的度数为：． 故选∶A． 【点睛】本题主要考查余角和补角，解答的关键是熟记余角与补角的定义． 12．（23-24七年级上·江西赣州·期末）一个角的补角比这个角的2倍还多，则这个角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了补角的定义以及一元一次方程的实际应用，设这个角的度数为，则这个角的补角为：，根据题意列出关于的一元一次方程， 解方程即可求解． 【详解】解：设这个角的度数为，则这个角的补角为：， 根据题意得：， 解得：， 故选：B． 13．（23-24七年级上·山东滨州·期末）如图，，下列判断： ①射线是的角平分线；②是的补角；③；④的余角有和． 其中正确的是（   ） A．①③④ B．①②③ C．①②③④ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了余角的性质，余角、补角的定义，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握相关的定义．根据角平分线定义可得射线是的角平分线；根据补角定义可得是的补角；根据余角性质得出；根据余角定义可判断的余角有和． 【详解】解：∵， ∴射线是的角平分线，故①正确； ∵，且的补角是， ∴是的补角，故②正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故③正确； ∵， ∴是的余角，是的余角， ∵， ∴的余角有和，故④正确； 综上分析可知，正确的有①②③④． 故选：C． 14．（23-24七年级上·安徽安庆·期末）已知：，，且的补角等于的余角，则下列结论一定正确的是（    ） A．是锐角 B．是钝角 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了余角和补角以及相关计算，根据题意一一判断即可． 【详解】解：A．根据题意得，化简得，由于角大于零，则是钝角，故本选项不符合题意； B．根据有余角，可以推断出是锐角，不是钝角，故本选项不符合题意； C．根据的补角：，的余角：，根据题意得：，化简得，故本选项符合题意； D．无法判断，故本选项不符合题意； 故选：C． 15．（22-23七年级上·云南·期末）将一副三角板如图放置，若，则（    ）    A．122° B．132° C．142° D．152° 【答案】D 【分析】根据补角的定义即可． 【详解】解：由图知与互为补角， ． 故选：D． 【点睛】本题考查了补角的定义，理解补角的定义并能熟练运用是本题的关键． 16．（23-24七年级上·新疆伊犁·期末）一个角是它的余角的3倍，则这个角的补角是 ． 【答案】 【分析】本题考查了余角和补角，关键是掌握余角：如果两个角的和等于（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．补角：如果两个角的和等于（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角． 【详解】解：设这个角为，则它的余角为， ∴，解得：， ∴这个角为， ∴这个角的补角是， 故答案为：． 17．（23-24七年级上·重庆江津·期末）如图，，，点B、O、D三点在一条直线上，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了两角互补的定义，熟练掌握两角互补的定义是解答本题的关键，先求出，再根据两角互补的定义，即可求得答案． 【详解】，， ， 点B、O、D三点在一条直线上， ． 故答案为：． 18．（22-23七年级上·江西赣州·期末）如图，已知：平分，平分． (1)若， ①求出及其补角的度数； ②求出和的度数，并判断与是否互补； (2)若，则与是否互补？请说明理由． 【答案】(1)①，的补角的度数为；②，；与互补； (2)与不一定互补，理由见解析 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，求一个角的补角度数，补角的定义，角平分线的定义等等： （1）①根据角的和差关系可求出的度数，进而可求出的补角的度数；②先求出的度数，再根据角平分线的定义分别求出的度数，再求出的度数即可得到结论； （2）根据角平分线的定义分别表示出的度数，再表示出的度数即可得到结论． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∴的补角的度数为； ②∵平分，平分，， ∴，， ∴， ∴， ∴与互补； （2）解：与不一定互补，理由如下： ∵， ∴， ∵平分，平分，， ∴，， ∴， ∴， ∵不一定为， ∴不一定为 ∴与不一定互补． 19．（23-24七年级上·四川绵阳·期末）已知和互为补角，并且的一半比小，求． 【答案】 【分析】根据补角的定义：+=，得到=-，再根据题意列出方程，求出的值． 【详解】已知和互为补角，并且的一半比小， =-，-=， --=， 得，， =-=， ． 【点睛】本题考查补角的定义，涉及一元一次方程的求解，属于基础题，熟练掌握补角的定义是解题的关键． 20．（22-23七年级上·重庆秀山·期末）已知，与互为余角，与互为补角，平分，平分， (1)如图，当时，求的度数； (2)请你补全图形，并求的度数． 【答案】(1) (2)补全图形见解析；的度数为或或 【分析】（1）根据求出，根据角平分线的定义求出即可； （2）根据，求出，，根据角平分线的定义求出，，分三种情况在外，在内，且，在内，且，分别画出图形，求解即可． 【详解】（1）解：∵当时，， ∴， ∵平分， ∴． （2）解：当在外时，如图所示： ∵，与互为余角，与互为补角， ∴，， ∵平分，平分， ∴， ， ∴ ； 当在内，且时，如图所示： ∵，与互为余角，与互为补角， ∴，， ∵平分，平分， ∴， ， ∴ ； 当在内，且时，如图所示： ∵，与互为余角，与互为补角， ∴，， ∵平分，平分， ∴， ， ∴ ； 综上分析可知，的度数为或或． 【点睛】本题主要考查了补角、余角的有关计算，角平分线的有关计算，解题的关键是数形结合，熟记余角、补角的定义，注意分类讨论． 题型三 与余角、补角有关的计算 21．（24-25七年级上·全国·期末）已知一个角的余角比这个角的补角的小，则这个角的余角的度数是 ，补角的度数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，余角和补角的知识，设这个角的度数是，则它的余角为，补角为，根据一个角的余角比这个角的补角的多，即可列方程求解，熟练掌握余角的和等于，互补的两角之和为是解决此题的关键． 【详解】设这个角的度数是，则它的余角为，补角为， 根据题意，得， 解得． ∴，， 即这个角的余角的度数为，补角的度数为， 故答案为：，． 22．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，，则图中三个角的数量关系是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了余角．解决问题的关键是熟练掌握余角定义和同角的余角相等．余角定义：如果两个角的和等于90°，那么这两个角叫做互为余角． 由，得到，即得． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 23．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）已知是的补角．是的补角，若，则的度数为 ． 【答案】/150度 【分析】根据题意得和的度数相等，解出n的值，求出的度数，再根据互为补角的两个角的和为，即可求出的度数． 本题考查了余角和补角的计算，关键是知道一个角与另外两个角互为补角，则这两个角相等． 【详解】∵是的补角，是的补角， ∴， 解得， ， 。 故答案为： 24．（19-20七年级上·湖北武汉·期末）若一个角的补角比它的余角的还多，则这个角为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、角的补角与余角的定义，理解题意列出方程是解题关键． 设这个角的度数为，则它的补角为，它的余角为，再根据“若一个角的补角比它的余角的还多”建立方程求解即可． 【详解】设这个角的度数为，则它的补角为，它的余角为 由题意得： 解得： 故答案为：． 25．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，已知点是直线上的一点，，．当比的余角大时，的度数为 ． 【答案】/10度 【分析】设，则，由，得，进而根据得，然后根据比的余角大得，由此解出即可得的度数． 此题主要考查了互为余角的概念，角的计算，准确识图，理解互为余角的概念，熟练掌握角的计算是解决问题的关键． 【详解】解：设， ， ， ， ， 点是直线上的一点， ， ， 即， 的余角为：， 比的余角大， ， 解得：， 的度数为． 故答案为：． 26．（23-24七年级上·全国·期末）已知的余角是，的补角是，则和的大小关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查余角和补角的知识以及角的大小比较及角度的换算，需根据余角与补角的定义来解答；首先根据互余两角之和为，互补两角之和为，由此求出和的值，再根据角度制换算，比较即可． 【详解】解：根据题意得：， ， ， ， ，即， ， 故答案为：． 27．（21-22七年级上·安徽滁州·期末）如图，点是直线上的一点，，平分． (1)试说明； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查余角、补角，角平分线的定义，几何图形中角度的计算，理解图示中角度的关系，掌握余角、补角的计算是解题的关键． （1）根据同角的余角相等即可求解； （2）根据角平分线的定义，同角的余角相等可得，，则，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴． （2）解：∵平分 ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 28．（23-24七年级上·广东潮州·期末）如图，平分，平分．若． (1)求出的度数； (2)判断与是否互补，并说明理由． 【答案】(1) (2)与互补．理由见解析 【分析】本题考查了角平分线有关计算，判断互补，解题的关键是熟练掌握角平分线定义，补角定义． （1）利用角平分线的定义得出，结合，根据，代入计算即可； （2）先利用角平分线的定义求出，，再根据，即可得答案． 【详解】（1）解：∵平分．， ∴， ∵， ∴； （2）解：与互补．理由： ∵平分，平分，， ∴，， ∴， ∴， 故与互补． 29．（21-22七年级上·重庆潼南·期末）如图，点O在直线上，与互余，射线平分． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，若，求的度数； (3)请你猜想和之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】本题考查了与角平分线有关的计算、互余，熟练掌握互余的定义是解题关键． （1）先根据互余的定义可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据平角的定义求解即可得； （2）先根据互余的定义可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据平角的定义求解即可得； （3）先根据互余的定义可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据平角的定义即可得． 【详解】（1）解：与互余， ． ， ． 射线平分， ， ． （2）解：与互余， ． ， ． 射线平分， ， ． （3）解：．理由如下： 与互余， ， ． 射线平分， ， ． 即． 题型一 同（等）角的余（补）角相等的应用 30．（21-22七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，已知点O为直线上一点，，是的平分线． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，是的平分线，求的度数； (3)在（2）的条件下，是的一条三等分线，若，求的度数． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）由互余得度数，进而由角平分线得到度数，根据可得度数； （2）由角平分线得出，，继而由得出结论． （3），结合已知和可求，再由，根据是的一条三等分线，分两种情况来讨论，即可解答． 【详解】（1）解：，， ， 是的平分线， ， ； 答：的度数为． （2）解：是的平分线． ， 是的平分线， ， ， ， ， 答：的度数为． （3）解：由（2）得； ， ， 又 ， ， ， ， ，， ， 当， ， ， 当， ， ， 故的度数为：或． 【点睛】本题考查了角平分线的定义、平角的定义及角的和与差，能根据图形确定所求角和已知各角的关系是解此题的关键． 31．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，O为直线上一点，平分． (1)请你数一数，图中有 个小于平角的角； (2)的余角有 ； (3)求出的度数． 【答案】(1)9 (2)、 (3) 【分析】本题考查了角的度数的计算，正确理解角平分线的定义，以及邻补角的定义是解题的关键． （1）根据角的定义，在图中找出小于的角即可． （2）根据角平分线的定义，角之间的关系及平角的定义即可得出答案； （3）先利用角平分线的定义和邻补角的定义求得和，即可得出答案． 【详解】（1）图中小于平角的角有，，，，，，，，，共9个． 故答案为：； （2） 平分 的余角有、； （3） ，平分， ，， ． 32．（23-24七年级上·河北唐山·期末）【实践活动】如图1，将一副三角板的直角顶点重合摆放． （1）判断与的大小关系，并说明理由； （2）探索与之间的数量关系，并说明理由； 【拓展探究】 （3）如图2，若，且，探索与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）∠ACE=∠BCD，理由见解析；（2）∠ACB+∠DCE=180°，理由见解析；（3）∠ACB+∠DCE=180°，理由见解析． 【分析】此题主要考查了角的计算，同角的余角相等，准确识图，理解同角的余角相等，熟练掌握角的计算是解决问题的关键． （1）依题意得，，进而得，，然后根据同角的余角相等可得出答案； （2）由，得，，则，然而；据此可得与之间的数量关系； （3）先由得，进而得，据此可得与之间的数量关系． 【详解】解：（1），理由如下： 依题意得：，， ，， ． （2）与之间的数量关系：，理由如下： ，， ，， ， ， 又， ； （3）与之间的数量关系是：，理由如下： ，， 又， ， 即：， ． 33．（23-24七年级下·湖南株洲·期末）如图，已知O为直线上一点，是内部一条射线且满足与互补，，分别为，的角平分线．    (1)与相等吗？请说明理由； (2)若，试求与的度数； (3)若，试求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2)， (3) 【分析】本题考查了余角和补角，角平分线的定义，角的和差计算，解题的关键是根据图形，理清角之间的关系． （1）由题意可得，，可以根据同角的补角相等得到； （2）根据与互补，及可求出的度数，根据角平分线的定义求出、的度数，即可求出的度数； （3）根据角平分线的定义得出，，再根据得出，结合与互补即可求出的度数． 【详解】（1）解：；理由如下： 与互补， ， ， ； （2）解：∵与互补，， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∵为的角平分线，， ∴， ∴； （3）解：∵，分别为，的角平分线， ∴，， ∴， ∴①， ∵②， 得． 34．（21-22七年级上·河南驻马店·期末）如图1，将两块直角三角板的直角顶点A叠放在一起．    (1)若，则________；若，则________； (2)猜想与有何数量关系，并说明理由； (3)如图2，若是两个同样的直角三角尺锐角的顶点A重合在一起，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1)135，50 (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查了三角形综合．熟练掌握余角定义，角的和差计算，是解解问题的关键． （1）根据余角定义求出，根据角的和差得到；若，根据角的和差得到，根据余角定义可得； （2）根据等角的余角相等求出，根据即可得到，即得； （3）根据，得到，根得到，即得． 【详解】（1）∵，， ∴， ∵， ∴， 若， ∵， ∴； 故答案为：135，50； （2），理由如下： ∵， ， ∴，, ∴， 即． （3）, 理由如下： ∵，， ∴， ， ∴， 即． 35．（24-25七年级上·四川成都·期末）如图，射线在内部，射线在射线左侧，． (1)当时，试比较与的大小，并说明理由； (2)在（）的条件下，若，射线，分别平分与，求的度数； (3)若，，都在内部，过点作射线，使 ，试探究与的数量关系． 【答案】(1)，理由见解析； (2) (3)或 【分析】（）由已知可得，进而由余角性质得，即可判断求解； （）由得，，进而由角平分线的定义得，，再根据角的和差关系即可求解； （）由题意得， ，再分两种情况：①在左侧；②在右侧，分别画出图形解答即可求解； 本题考查了角的和差，角平分线的定义，余角性质，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∵射线，分别平分与， ∴，， ∴； （3）解：∵， ， ∴， ∴， ∴， ①如图，当在左侧时， 设，则， ∴， ∴， ， ∴； ②如图，当在右侧时， 设，则， 同理可得，， ∴； 综上，或 ． 36．（2024七年级上·全国·专题练习）如图1，点是直线上一点，三角板（其中的边与射线重合，将它绕点以每秒顺时针方向旋转到边与重合；同时射线与重合的位置开始绕点以每秒逆时针方向旋转至，两者哪个先到终线则同时停止运动，设运动时间为秒． (1)若，，秒时，________°； (2)如图2，在运动过程中，射线始终平分． ①若，，当射线，，中，其中一条是另两条射线所形成夹角的平分线时，直接写出　　秒；（写出一个即可） ②当在的左侧，且与始终互余，求与之间的数量关系． 【答案】(1) (2)①或或；② 【分析】（1）根据，即可求解； （2）①当是的角平分线，当是的角平分线时，当是的角平分线时，分三种情况进行计算即可； ②由与始终互余，得出，进而可求解． 【详解】（1）解：当，，秒时， ，， ， ； 故答案为：； （2）解：①当是的角平分线时，如图所示： ， ， 又始终平分， ， ， ，解得； 当是的角平分线时，如图所示： ， 又始终平分， ，此时射线与重合， ， ，解得； 当是的角平分线时，如图所示： ， 又始终平分， ， ， 又， ，解得； 故答案为：或或； ②当在的左侧时，如图所示： ， 又始终平分， ， 与始终互余， ， ， ， ， ，化简得． 【点睛】本题考查的是角平分线的定义、平角的定义、互余、解一元一次方程及角的和差倍分关系等你知识，采用数形结合的思想和分类讨论的思想，准确表示出各个相关角度的和差倍分关系是解题的关键． 37．（20-21七年级上·江苏盐城·期末）已知直线AB和CD交于点O，∠AOC＝α，∠BOE＝90°，OF平分∠AOD． （1）当α＝30°时，则∠EOC＝_________°；∠FOD＝_________°． （2）当α＝60°时，射线OE′从OE开始以12°/秒的速度绕点O逆时针转动，同时射线OF′从OF开始以8°/秒的速度绕点O顺时针转动，当射线OE′转动一周时射线OF′也停止转动，求经过多少秒射线OE′与射线OF′第一次重合？ （3）在（2）的条件下，射线OE′在转动一周的过程中，当∠E′OF′＝90°时，请直接写出射线OE′转动的时间为_________秒． 【答案】（1）60，75；（2）秒；（3）3或12或21或30 【分析】（1）根据题意利用互余和互补的定义可得：∠EOC与∠FOD的度数． （2）由题意先根据，得出∠EOF=150°，则射线OE'、OF'第一次重合时，其OE'运动的度数+OF'运动的度数=150，列式解出即可； （3）根据题意分两种情况在直线OE的左边和右边，进而根据其夹角列4个方程可得时间． 【详解】解：（1）∵∠BOE=90°， ∴∠AOE=90°， ∵∠AOC=α＝30°， ∴∠EOC=90°-30°=60°， ∠AOD=180°-30°=150°， ∵OF平分∠AOD， ∴∠FOD=∠AOD=×150°=75°； 故答案为：60，75； （2）当，． 设当射线与射线重合时至少需要t秒， 可得，解得：； 答：当射线与射线重合时至少需要秒； （3）设射线转动的时间为t秒， 由题意得：或或或， 解得：或12或21或30． 答：射线转动的时间为3或12或21或30秒． 【点睛】本题考查对顶角相等，邻补角互补的定义，角平分线的定义，角的计算，第三问有难度，熟记相关性质是解题的关键，注意要分情况讨论． 38．（23-24七年级下·河北张家口·期中）定义：从的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将分得的两个角中有一个角与互为补角，则称该射线为的“好线”．如图，点O在直线上，在直线上方，且，射线是的“好线”． (1)若，且OE在内部，求的度数； (2)若OE恰好平分，求的度数； (3)若OF是的平分线，OG是的平分线，直接写出与的数量关系． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了几何图形中角度的计算，补角的定义，角平分线的定义，角的和差关系，根据题意，画出图形是解题的关键． （）根据“好线”的定义即可求解； （）根据“好线”和角平分线的定义求解即可； （）分两种情况：在内部和在内部，进行解答即可求解． 【详解】（1）解：如图， ∵射线是的“好线”， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图，平分， ∵射线是的“好线”， ∴， ∵， ∴， ∵恰好平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：或． 理由：当在内部时，如图， 由（）可得，， 设，则，， ∵是的平分线，是的平分线， ∴，， ∴， ∴； 当在内部时，如图， 由（）可得， 设，则， ∵是的平分线，是的平分线， ∴，， ∴， ∴； 综上，当在内部时，；当在内部时，． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $