6.3.1 角的概念（几何图形初步）（分层作业·练题型）数学新教材人教版七年级上册

**基本信息** 分层设计清晰，覆盖角的概念7大基础题型至综合应用及中考衔接，梯度合理，助力知识巩固与能力进阶。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组巩固过关|角的表示、钟面角、方向角等基础概念|基础常考题型，强化抽象能力与几何直观| |B组能力进阶|方向角计算、钟面角综合问题|综合应用题型，培养推理能力| |C组思维拔高|角的个数规律探究、跨知识整合|探究性问题，发展创新意识| |拓展链接中考|中考真题再现|衔接中考，强化应用意识|

分层作业 6.3.1角的概念 参考答案 角的正确表示题型01 1. B 2. C 3. C 4. B 5. D 6. C 钟面角的相关计算题型02 7. D 8. C 9. C 10.（1）解：时针1小时转， ∴下午2：00时，时针与分针夹角的度数为； （2）解：设从下午2：00开始，再经过分钟，时针与分针夹角第一次为， 时针1小时转，分针1分钟转， ∴从下午2：00开始，再经过分钟，时针与分针夹角为， 解得； 故答案为：． （3）解：设出发时刻是下午1点分钟， 则时针转过的角度为，分针转过的角度为， ∵时针与分针恰好互相垂直， ∴或， 解得或， ∴出发时刻是下午1点分钟，到达时刻是下午1点分钟， ∴这些学生从学校集中前往吾悦广场所用的时间分钟． 11.解：（1）巴黎时间时针与分针的夹角是； 伦敦时间时针与分针的夹角是； 北京时间时针与分针的夹角是； 东京时间时针与分针的夹角是； ∴巴黎：；伦敦：；北京：；东京：． （2）每经过，时针转过；每经过，分针转过． （3）上午10:10时，此时分针指向时钟刻度“2”，时针指向时钟刻度“10”偏右一点点． 分针与时钟刻度“12”所成的较小角是， 时针与时钟刻度“12”所成的较小角是． 故此时时针与分针所成的较小角是． 方向角的表示题型03 12. C 13. B 14. C 15. D 16. C 17. D 与方向角有关的计算题型04 18. 35 19. （1）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：50； （2）解：∵， ∴． 20. 解：由题意得：， 则， ∵， ∴， ∴ ∴. ∵， ∴ 21. （1）解：∵C为的中点，， ∴， ∴， ∴图中距小明家距离相同的是学校和公园； （2）解：由题意得，商场在小明家北偏西方向上， 学校在小明家北偏东方向上， 公园在小明家南偏东方向上， 停车场在小明家南偏东方向上， ∴公园和停车场的方位相同． （3）解：∵学校距离小明家， ∴商场距离小明家，停车场距离小明家． 22. （1）解：如图，由题意，得：， ∴， ∴， ∴射线的方向是北偏； （2）解：∵是的反向延长线，由（1）知：， ∴． 23. 解：根据题意，得 ， ， 此时灯塔在处的北偏西方向上． 24. 解：根据题意，得 ， ， 此时灯塔在处的北偏西方向上． 角的单位与角度制题型05 25. 26. 26. 18.505 36 22 30 27. 39 26 24 28. 150 9000 20.5 29. 2 30. 角度的大小比较题型06 31. 32. 33. 34. 35. 36. 角的概念解答题综合题型07 37. （1）解：经测量得，，，，， 相等的角：，， 不相等的角：，，，． （2）解：经测量得，，，，， ，． 38.（1）解：时针1小时转过的角度为， 分针1分钟转过的角度为； 故答案为：，6 （2）设在下午3点至 4点之间，从下午3点开始，经过x分钟，时针与分针成角． ①当分针在时针上方时， 由题意得：   (或）    解得：   ②当分针在时针下方时，由题意得：   (或）    解得： 答：经过或分钟，时针与分针成角． 39.（1）解：①，共3个； ②，共6个； ③，共10个； 故答案为：①3 ②6 ③10． （2）解：在内部画条射线，根据角的规律可得： 有（个）不同的角． 40.解：（1）巴黎时间是1点，则时针和分针的夹角为； 伦敦时间是12点，则时针和分针的夹角为； 北京时间是8点，则时针和分针的夹角为； 东京时间是9点，则时针和分针的夹角为； 故答案为：；；；； （2）∵时针12小时转一圈，转一圈转360度， ∴时针每经过1小时，转过， ∵分针每60分钟转一圈，转一圈转360度， ∴分针每分钟转过； （3）， ∴当时钟指向上午，时针与分针的夹角是． 1. D 2. B 3. B 4. B 5. A 6. 7. 8. 9.（1）解：如图，即为所求（作法不唯一）． （2）解：如图，线段即为所求． 10. （1）解：4路公共汽车从火车站出发，向东偏南50度的方向行1千米到达邮局；再向正东行千米到达广场；由广场向北偏东40度的方向行0.8千米到达公园， 故答案为：2.7；东40； （2）解：整个过程的总时间为：（分钟）（小时）， 整个过程的总路程为：（千米）， 所以平均速度为：（千米/时）， 答：公共汽车此程的平均速度是31.5千米/时． 11.解：向内部作1条射线时，图中有（个）角； 向内部作2条射线时，图中有（个）角； 向内部作3条射线时，图中有（个）角；； 向内部作条射线时，图中有（个）角． 1. 406 2. 3.（1）解：∵两个单项式与合并得， ∴，， ∴； 故在数轴上，点A表示的数为，点B表示的数为； （2）①点P表示的数为：，点Q表示的数为： 由题意可得： 解得： 答：P，Q第一次相遇时t的值是3． ②当时，点P表示的数为：，点Q表示的数为：，此时点在点右侧， 依题意得：，解得：， 当时，点P表示的数为：，点Q表示的数为：， 若点在点右侧，则，解得：， 若点在点左侧，则，解得：， 综上所述：t的值是或14或． （3）转动的角度，转动的角度，由题意可得： 解得：． 答：从这场数学考试开考10分钟时，时针与分针的夹角第一次等于． 4.解：（1）∵数轴上的点表示的数分别为、6，C是线段的中点， ∴点C表示的数为； （2）依题意，秒后，点、表示的数分别是；； 故答案为：；； （3）∵P，Q两点之间的距离为3， ∴， ∴， ∴或 ∴或； （4）∵∠，平分， ∴， 当重合前，则 解得； 当重合后，则， 解得； 综上所述，或； （5）设经过t分钟后，分针与时针的夹角首次变成， 由题意得，， 解得， ∴经过10分钟后，分针与时针的夹角首次变成． 1. C 2. 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 6.3.1角的概念 目录 A组巩固过关 基础常考7大题型 题型01角的正确表示 题型05角的单位与角度制 题型02钟面角的相关计算 题型06角度的大小比较 题型03方向角的表示 题型07角的概念解答题综合 题型04与方向角有关的计算 B组能力进阶 C组思维拔高 拓展链接中考 A组 巩固过关 题型01 角的正确表示 1. (25-26七年级下.山东聊城阶段检测)下列四个图形中，能用∠1，∠AOB、∠O三种方法表示同一 角的图形是() B D B 2.(25-26六年级下.山东威海期末)如图，下列说法错误的是() 1/15 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B A.∠1与∠BOC表示同一个角 B.∠AOC与∠表示同一个角 C.∠AOB也可以用∠O表示 D.图中共有三个角 3.(25-26七年级上·天津河东期末)下列图形中，能用∠1，∠ACB,∠C三种方法表示同一个角的是 () D A BB.CI Bc.C① B A. D 4.(25-26六年级下山东烟台·期中)如图，下列表示角的方法错误的是() M a N A.∠1与∠PON表示同一个角 B.∠MON也可用∠O表示 C.∠a表示的是∠MOP D.图中共有三个角∠MON,∠POM,∠PON 5.（25-26七年级上·河南平顶山阶段检测)如图，下列表示角的方法错误的是() C B A.∠1与∠AOB表示同一个角 B.∠B表示的是∠BOC 2/15 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.图中共有三个角：∠AOB,∠AOC,∠BOC D.∠AOC也可用∠O来表示 6.(25-26七年级上·天津.期末)如图，下列说法①∠1与∠AOB是同一个角：②∠AOC也可以用∠O 表示③∠B=∠BOC④∠BOC可以看作射线OB绕着它的端点O旋转至OC而形成的图形，也可看作由 有公共端点O的两条射线OC,OB组成的图形.其中正确说法的个数为()个 A.1 B.2 C.3 D.4 颗型02 钟面角的相关计算 7.钟面上9点15时，时针与分针形成的最小夹角的度数是() A.187.5° B.165.5° c.145.5° D.172.5° 8.(25-26六年级下山东威海期中)小明周二晚上6点55分做完数学作业，此时钟表的时针和分针的夹 角是() A.112.5° B.120° C.122.5° D.150° 9.(25-26七年级下.山东聊城阶段检测)在时刻15：40时，时钟上的时针与分针之间所成的夹角是 () A.150° B.120° c.130° D.140° 10.(25-26七年级上江苏扬州期末)钟表的时针和分针如同兄弟俩在赛跑，其中蕴藏着丰富的数学知识. 11 12 2 9 5 h (1)下午2：00时，时针与分针夹角的度数为 (2)从下午2：00开始，再经过 分钟，时针与分针夹角第一次为45°： (3)“元旦”当天，某校七年级部分学生从学校集中前往吾悦广场开展公益活动，出发时刻是下午1点多钟， 到达时刻是下午2点钟不到.有趣的是：出发时刻的时针与分针恰好互相垂直：到达时刻的时针与分针同 3/15 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 样也恰好互相垂直.请你结合时针与分针的运动规律，计算出这些学生从学校集中前往吾悦广场所用的时 间 11.(1)如图，分别确定四个城市相应钟表上时针与分针所成较小角的度数. 112 ,12 10 10 3 65 365 65 65 巴黎 伦敦 北京 东京 (2)每经过1h,时针转过多少度？每经过1min,分针转过多少度？ (3)上午10：10时，时针与分针所成的较小角是多少度？ 题型03 方向角的表示 12. (25-26七年级下山西阳泉·期末)如图是三艘舰艇的位置示意图，其中AC=30km,BC=15km, 若用方向和距离描述三艘舰艇的相对位置，以下描述正确的是() 北 A.舰艇A在舰艇C的正西方向30km处 B.舰艇C在舰艇A的正东方向30km处 C.舰艇B在舰艇C的北偏东40°方向15km处 D.舰艇C在舰艇B的南偏西50°方向15km处 13.(25-26七年级下·广东深圳期末)某小区要进行地下管道建设，从A区和B区同时向中间开挖一条笔 直的管道.工程人员在A区测得管道方向为北偏东35°.为了保证在中间能准确对接，工程人员在B区施 工的方向应是() 4/15 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 北 东 北 359 》东 A.北偏西35°B.南偏西35° C.南偏东35° D.西偏南35 14.（25-26八年级下河北石家庄·期末)如图，琪琪一家要到革命圣地西柏坡参观，下列说法正确的是( 北 西→东 西柏坡 南 35 家 A.西柏坡在家东偏北35°方向 B.西柏坡在家北偏东65°方向 C.家在西柏坡南偏西55°方向 D.家在西柏坡西偏南55°方向 15.(2026河南南阳·三模)白河的生态修复工程让南阳的母亲河重焕生机.如图是东西流向且两岸α、b 互相平行的一段白河河道，在河岸α上有一建筑P,在河岸b上的小宛观测到建筑P在他的北偏西60°方 向上，则小宛的位置可能是() →东 B D A.A B.B C.C D.D 16.(2026河北邯郸.三模)如图，∠AOB=140°，点A位于点0的正南方向，则点B位于点0的 () 5/15 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 北 →东 A A.北偏西50°方向 B.南偏西50°方向 C.北偏西40°方向 D.南偏西40°方向 17.(25-26七年级下·福建厦门期中)如图，小明家相对于学校的位置，下列描述最准确的是() 北 115 学校 1200米 小明家 A.距离学校1200米处 B.西南方向上的1200米处 C.北偏东65°方向上的1200米处 D.南偏西65°方向上的1200米处 题型04 与方向角有关的计算 18.(25-26六年级下山东泰安期末)一个人从A地出发沿北偏东60°方向走到B地，再从B地出发沿南 偏西25°方向走到C地，那么∠ABC=. 19.（25-26七年级上甘肃兰州期末)如图，货轮甲从点0处出发，沿北偏东30°方向（即射线OA)航 行，货轮乙从点0处出发，沿南偏东50°方向（即射线OB)航行，灯塔C刚好在货轮乙航行方向的反向 延长线上。 北N) 30 西 40° →东(E) 南 (1)灯塔C在点O的北偏西 方向上，在图中作出射线OC: 6/15 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)求∠AOB的度数. 20.(25-26八年级上辽宁抚顺阶段检测)如图是A,B,C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东55°方向， B岛在A岛的北偏东85°方向，C岛在B岛的北偏西44°方向.从B岛看A,C两岛的视角∠ABC是多 少度？从C岛看A,B两岛的视角∠ACB呢？ 北 北 21.（25-26八年级下河北石家庄·期中)如图，是小明家和学校所在地的简单地图，己知 OA=2cm,OB=2.5cm,OP=4cm,C为OP的中点，回答下列问题： B。商场 A学校 60NX459 小明家O 30 北 C公园 停车场P (1)图中距小明家距离相同的是哪些地方？ (2)商场、学校、公园、停车场分别在小明家的什么方位？哪两个地方的方位是相同的？ (3)若学校距离小明家400m,那么商场和停车场分别距离小明家多少米？ 22.(25-26七年级上吉林.期末)如图，射线0A的方向是北偏东20°，射线0B的方向是北偏西35°， OD是OB的反向延长线，OC在∠AOD的内部，且∠AOC=∠AOB, B 北 西 东 南 (1)求出射线OC的方向： (2)直接写出∠DOC的度数. 7/15 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 23.(25-26七年级上·福建福州期末)如图，一艘船停靠在码头A处，测得海中灯塔P在北偏东54°方向 上，它从A处出发向正东航行，到达B处停止，测得∠ABP=3LPAB,此时灯塔P在B处的北偏西多少 度的方向上？ 北 M:北 549 A B, 24.(25-26七年级上贵州遵义期末)如图，小杰家位于点0处，小杰从家向北偏东40°方向行走500米 到达学校A处，从学校向正东前进200米到达少年宫B处(OB没有道路)，已知少年宫在小杰家东偏北 30°方向. 北 A学校 少年宫 409 230 小杰家 (1)小杰家在少年宫的什么方向？ (2)小杰从少年宫怎样原路返回到家呢？ 题型05 角的单位与角度制 25.(25-26六年级下山东烟台期中)计算：35°2848= 26. (25-26七年级下山东潍坊期中)18°3018= 度.36.375°=9，" 27.(25-26六年级下.山东淄博期中)度分秒换算：(1)58°1648=·；(2)39.44°= 28.(25-26七年级上湖南岳阳期末)2.5°=☐=口，20°30=°. 29.（25-26七年级上江西九江期末)计算：7200= 30.（25-26七年级上山东潍坊期末)将度、分、秒换算成度，46°24= 8/15 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 颗型06 角度的大小比较 31. (25-26六年级下山东烟台期中)已知∠1=81°20，∠2=81.2°，∠3=81°50°，将三个角按从 小到大的顺序排列是 32.(25-26六年级下.山东烟台期中)已知∠a=10.5°，∠阝=10°20，则∠a∠B(填“<” 或“>”或“=”). 33.(25-26六年级下.山东泰安阶段检测)如果∠a=15°12，∠B=1512,∠y=15.12°，那么∠Q, ∠B,∠Y的大小关系是 34.(25-26七年级上山东青岛期末)已知∠=26°15，∠β=26.15°，则∠Q∠阝（填“>”， “<”或“=”). 35.(25-26七年级上四川达州阶段检测)比较大小：(1)-0.8-0.9；(2)24.15° 2415（选填“”“”“”). 36.(25-26七年级上福建漳州-阶段检测)若∠1=50°5，∠2=50.5°，比较大小：∠1∠2 题型07 角的概念解答题综合 37.(25-26七年级上·全国课后作业)如图，已知四边形ABCD B (1)请分别测量图中∠ABC,∠BCD,∠CDA,∠DAB的度数，并从中找出相等的角，用“=”表示出 来；找出不相等的角，用“>”或“<”表示出来。 (2)请分别测量图中∠DAO,∠BAO,∠ABO,∠CBO的度数，并用“>”“<”或“=”填空： ∠DAO-∠BAO'∠ABO-∠CBO 38.(25-26六年级上山东淄博期末)如图，在一个圆形时钟的表面上，OA表示时针，OB表示分针(O 为两针的交点即旋转中心).下午3点时，OA与OB成直角 9/15 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 12 0→A 3 (1)时针1小时转过的角度为_°，分针1分钟转过的角度为_： (2)在下午3点至4点之间，从下午3点开始，经过多少分钟，时针与分针成60°角？ 39.(25-26七年级上全国课后作业)探究角的个数： (1)①如图①，在∠AOB内部画1条射线OC,则图①中有」 个不同的角： 图① 图② 图③ ②如图②，在∠AOB内部画2条射线OC,OD,则图②中有 个不同的角： ③如图③，在∠AOB内部画3条射线OC,OD,OE,则图③中有 个不同的角. (2)在∠AOB内部画n条射线OC,OD,OE,…,则有多少个不同的角？ 40.(25-26六年级下山东淄博期中)(1)如图，分别确定四个城市相应钟表上时针与分针所成角的度 数 1112 11 12 1 10 10 2 10 10 3 1 3 3 8 8 8 4 8 6 26 巴黎时间 伦敦时间 北京时间 东京时间 (2)每经过1h,时针转过多少度？每经过1min,分针转过多少度？ (3)当时钟指向上午10：10，时针与分针的夹角是多少度？ B组 能力进阶 1.(25-26七年级下，黑龙江大庆期末)下列说法正确的是（) 10/15 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.若AC=BC,则点C是线段AB的中点 B.连接两点的线段叫做两点之间的距离 C.射线AB和射线BA是同一条射线 D.钟表上的时间是11点10分，此时时针与分针所成的夹角是85° 2.(25-26七年级下·黑龙江大庆期末)如图，在学校图书馆O处观测到，物理实验室A位于点O的北偏东 52.50的方向，教学楼g位于点0的南偏西15°12的方向，则∠A0B的度数为（) 北 B A.67°42 B.142°42 C.149°42 D.156°18 3.(2026河北石家庄·模拟预测)如图，射线OA,OB,OC,OD,OE分别对应量角器上外圈的0°， 40°，90°，135°，180°刻度线，点0与量角器的中心重合，下列最大的角是() B E A.∠AOB B.∠BOC C.∠COD D.∠DOE 4.（25-26七年级下·广东深圳期中)己知深圳博物馆位于小深家的正东方，小深从家中出发步行前往深 圳博物馆，先是朝着南偏东60°的方向走到书店买了一本笔记本，接着往北偏东78°方向走到了深圳博物 馆.那么从书店出发，往家的路线与往深圳博物馆的路线夹角为(）， A.420 B.138° C.72o D.108° 5.(25-26七年级上·浙江嘉兴期末)四点钟后，从时针与分针第一次成90°到第二次成90°，共经过 () A 360分钟 11 B.33分钟 360分钟 D.28分钟 13 6.(25-26七年级下·四川绵阳·开学考试)如图一个齿轮有15个齿，每相邻两齿中心线间的夹角都相等， 11/15 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 这个夹角是 度.如果是22个齿的齿轮，这个夹角又是 度.（精确到分） 7.(25-26七年级上江西赣州期末)如图，点A,B,O分别表示手绘地图中厦门鼓浪屿风景区内郑成功 纪念馆、郑成功水操台遗址、日光岩三个景点.经观测，郑成功水操台遗址在日光岩的北偏东26°42方 向，且郑成功纪念馆在日光岩的北偏西38°37方向.则∠AOB=, A 郑成功 B 纪念馆 北 郑成功 水操台遗址 10 日光岩 8.(25-26七年级上.安徽合肥期末)如图，某海域有三个小岛A,B,O,在小岛O处观测到小岛A在它 北偏东60°的方向上，同时观测到小岛B在它南偏东36°45的方向上，则∠AOB= 北 西 东 B 南 9.(25-26七年级下，全国期中)如图，所有小正方形的边长都为1，点A,B,C都在格点（小正方形的 顶点)上.请仅用无刻度的直尺完成下列作图（不写作法）， 图① 图② (1)在图①中作∠DCF,使∠DCF=∠B: 12/15 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)在图②中作线段AH,使AH⊥AB于点A,交BC于点H, 10.(25-26七年级上山东济南·期末)如图是某地4路公共汽车部分行车路线图 火车站 50° 公园少年宫 北 40 /0.7千米> 1千米 40 0.8千米 ,1千米 50 0.8千米0.9千米 1千米 邮局 医院 超市 广场 体育馆 (1)4路公共汽车从火车站出发，向东偏南50度的方向行1千米到达邮局；再向正东行_千米到达广场： 由广场向北偏度的方向行0.8千米到达公园： (2)4路公共汽车某日从火车站行至邮局用时2分钟，再到达广场又用时6分钟，由广场到达体育馆用时4 分钟，停靠时间忽略不计，求公共汽车此程的平均速度是多少千米/时？ 11.(25-26七年级上全国课后作业)推理能力如图，∠AOB是锐角，以O为端点向∠AOB内部作1条 射线时，图中有多少个角？作2条、3条射线时各有多少个角？作条射线时有多少个角？ 图① 图② 图③ C组 思维拔高 1.(25-26七年级上江苏连云港.期末)在锐角∠AOB内部由O点引出3种射线，第1种是将∠AOB分 成10等份：第2种是将∠AOB分成12等份；第3种是将∠AOB分成15等份，所有这些射线连同OA OB可组成的角的个数是 2.(2526七年级上陕西渭南期末)手工课上，小明与小丽都设计一种雪夹玩具，后来经过实践，小明 将夹角加大了46.5°，小丽将夹角加大了47.7°，小明与小丽设计的两个雪夹玩具的夹角之比由原来的7：5 变为5：4，那么小明原来设计的雪夹玩具的夹角度数是·（结果用度、分、秒表示） 3.(25-26七年级上广西河池期末)已知m,n为常数，且满足两个单项式2amb与-na2b合并得8a2b. 其中，n分别为点A,点B在数轴上表示的数，如图所示. 13/15 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B (1)在数轴上，点A表示的数为，点B表示的数为_： (2)若动点P,Q分别从A,B同时开始运动，点P以每秒2个单位向左运动，点Q以每秒4个单位向右运 动，设运动时间为t秒 ①求经过几秒，点P与点Q第一次相遇； ②当P,Q相遇后，点Q继续保持向右运动，点P在原地停留4秒后向右运动且速度变为原来的3倍，在 整个运动过程中，当P,Q之间的距离为2个单位时，直接写出运动时间t的值（不必写过程） (3)我们知道，2025年秋季学期数学期末考试在今天上午9：00正式开考.此时，模拟钟面上的指针如上图 所示，O为钟面圆心，时针OA和分针OB分别指向9和12，OM、ON分别从OA,OB同时出发，绕点O 按顺时针方向转动，时针OM运动速度为每分钟0.5°，分针ON运动速度为每分钟6°，从这场数学考试开 考多少分钟，时针与分针的夹角第一次等于145°？ 4.（25-26七年级上山东青岛期末)【材料阅读】如图，数轴上的点A、B表示的数分别为-2、6，C 是线段AB的中点. A C B 2 6 (1)点C表示的数是_： (2)若点P,Q分别从点C,B同时出发，以每秒3个单位长度和2个单位长度的速度沿数轴正方向运动， 则t秒后，点P,Q表示的数分别是_、-（用含t的代数式表示）； (3)在(2)的条件下，若P,Q两点之间的距离为3，求t的值. 【方法迁移】 (4)如图，∠AOB=130°，OC平分∠AOB.现有射线OP、OQ分别从OC、OB同时出发，以每秒 15°和每秒10°的速度绕点O顺时针旋转，当OP旋转一周时，这两条射线都停止旋转.问经过几秒后，射 线OP、OQ的夹角为55°？ 14/15 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【生活运用】 (5)周末的上午，小明看到钟面显示9点整，此时分针与时针的夹角恰好为90°，经过分钟后，分针与 时针的夹角首次变成145°？ 拓展 链接中考 1.(2025江苏南通中考真题)上午9时整，钟表的时针和分针构成的角的度数为() A.30 B.60° C.90° D.120 2.(2025青海西宁.中考真题)如图，小明从A处沿东北方向走到B处，再从B处沿南偏东63°方向走到 C处，则∠ABC的度数是 北 北 15/15 分层作业 6.3.1角的概念 目 录 A组 巩固过关 基础常考7大题型 题型01 角的正确表示 题型05 角的单位与角度制 题型02 钟面角的相关计算 题型06 角度的大小比较 题型03 方向角的表示 题型07 角的概念解答题综合 题型04 与方向角有关的计算 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 角的正确表示题型01 1．（25-26七年级下·山东聊城·阶段检测）下列四个图形中，能用，、三种方法表示同一角的图形是（     ） A．B．C． D． 【答案】B 【详解】选项A、图中的不能用表示，故本选项不符合题意； 选项B、图中、、表示同一个角，故本选项符合题意； 选项C、图中的不能用表示，故本选项不符合题意； 选项D、图中的不能用表示，故本选项不符合题意． 2．（25-26六年级下·山东威海·期末）如图，下列说法错误的是（     ） A．与表示同一个角 B．与表示同一个角 C．也可以用表示 D．图中共有三个角 【答案】C 【详解】解：根据题意得：与表示同一个角，与表示同一个角，不可以用表示，一共有三个角，故A，B，D正确，不符合题意；C错误，符合题意． 3．（25-26七年级上·天津河东·期末）下列图形中，能用，，三种方法表示同一个角的是（ 　   ） A．B．C． D． 【答案】C 【详解】解：A、能用，表示，不能用表示，故选项不符合题意； B、能用，表示，不能用表示，故选项不符合题意； C、能用，，表示同一个角，故选项符合题意； D、和表示不同的角，故选项不符合题意． 4．（25-26六年级下·山东烟台·期中）如图，下列表示角的方法错误的是（    ） A．与表示同一个角 B．也可用表示 C．表示的是 D．图中共有三个角，， 【答案】B 【分析】根据角的表示方法即可判断． 【详解】解：A、与的顶点和两边完全一致，是同一个角，说法正确，故选项不符合题意； B、以O为顶点的角有3个，不可用来表示，说法错误，故选项符合题意； C、位于射线和之间，表示的是，说法正确，故选项不符合题意； D、图中共有三个角，分别是，，，说法正确，故选项不符合题意． 5．（25-26七年级上·河南平顶山·阶段检测）如图，下列表示角的方法错误的是（    ） A．与表示同一个角 B．表示的是 C．图中共有三个角：，， D．也可用来表示 【答案】D 【详解】解：由角的表示方法知，选项A、B、C中表示角的方法正确，选项D表示角的方法错误． 【点睛】用大写字母表示角时，特别注意的是：当共顶点的角不止一个时，不能用一个表示顶点的大写字母表示，应该用三个大写字母表示，且表示角的顶点的字母写中间． 6．（25-26七年级上·天津·期末）如图，下列说法①与是同一个角；②也可以用表示③④可以看作射线绕着它的端点O旋转至而形成的图形，也可看作由有公共端点O的两条射线，组成的图形．其中正确说法的个数为（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】此题考查的是角的概念，角的两个基本元素中，解题时要善于排除一些似是而非的说法的干扰，选出能准确描述“角”的说法． 根据角的概念与性质，对选项进行一一分析． 【详解】解：①与是同一个角，说法正确； ②不可以用表示，说法错误； ③，说法正确； ④可以看作射线绕着它的端点旋转至而形成的图形，也可看作由有公共端点的两条射线，组成的图形，说法正确； 则其中正确说法的个数为个， 故选：C． 钟面角的相关计算题型02 7．钟面上9点15时，时针与分针形成的最小夹角的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】钟面每个大格为，时针每分钟走的角度为，分针每分钟走的角度为，再结合9点15分时，时针和分针分别走的格数，进而求出它们的夹角． 【详解】解：9点时，时针与分针的夹角为：， 9点15分时，时针从9点开始又走了15分钟， ∴时针15分钟走的度数为：， 分针15分钟走的度数为：， ∴此时时针与分针的夹角为： （大于平角）， 最小夹角为：． 8．（25-26六年级下·山东威海·期中）小明周二晚上6点55分做完数学作业，此时钟表的时针和分针的夹角是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先明确钟表上时针和分针的转动规律，计算出6点55分时时针与分针分别相对于12点位置的转动角度，再计算二者的度数差得到夹角，即可解题． 【详解】解：∵钟面一圈为，共分为12个大格， ∴时针每小时转动，分针每分钟转动，时针每分钟转动． 6点55分时时针和分针的转动角度： 时针转动角度：， 分针转动角度：， ∴时针与分针的夹角为． 9．（25-26七年级下·山东聊城·阶段检测）在时刻时，时钟上的时针与分针之间所成的夹角是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先明确时针和分针的转动速度，再分别计算时，时针与分针从12点位置转过的角度，最后求角度差得到夹角． 【详解】解：∵时钟共分12个小时，时钟一圈总角度为， ∴时针每小时转，时针每分钟转； ∵分针60分钟转一圈， ∴分针每分钟转， 计算时针转过的角度：， 去掉整圈得， 计算分针转过的角度：， ∴时针与分针的夹角为． 10．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）钟表的时针和分针如同兄弟俩在赛跑，其中蕴藏着丰富的数学知识． (1)下午2：00时，时针与分针夹角的度数为________________°； (2)从下午2：00开始，再经过______________分钟，时针与分针夹角第一次为； (3)“元旦”当天，某校七年级部分学生从学校集中前往吾悦广场开展公益活动，出发时刻是下午1点多钟，到达时刻是下午2点钟不到．有趣的是：出发时刻的时针与分针恰好互相垂直；到达时刻的时针与分针同样也恰好互相垂直．请你结合时针与分针的运动规律，计算出这些学生从学校集中前往吾悦广场所用的时间． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了钟面角，分别求出时针和分针转的角度，再求差即可； （1）根据钟面角计算方法求解即可； （2）根据钟面角计算方法求解即可； （3）根据钟面角计算方法求解即可． 【详解】（1）解：时针1小时转， ∴下午2：00时，时针与分针夹角的度数为； （2）解：设从下午2：00开始，再经过分钟，时针与分针夹角第一次为， 时针1小时转，分针1分钟转， ∴从下午2：00开始，再经过分钟，时针与分针夹角为， 解得； 故答案为：． （3）解：设出发时刻是下午1点分钟， 则时针转过的角度为，分针转过的角度为， ∵时针与分针恰好互相垂直， ∴或， 解得或， ∴出发时刻是下午1点分钟，到达时刻是下午1点分钟， ∴这些学生从学校集中前往吾悦广场所用的时间分钟． 11．（1）如图，分别确定四个城市相应钟表上时针与分针所成较小角的度数． （2）每经过，时针转过多少度？每经过，分针转过多少度？ （3）上午10:10时，时针与分针所成的较小角是多少度？ 【答案】（1）巴黎：60°；伦敦：30°；北京：120°；东京：90° （2）每经过，时针转过；每经过，分针转过 （3） 【分析】（1）根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数，可得答案； （2）根据时针小时旋转，可得时针的旋转速度；根据分针分钟旋转，可得分针的旋转角度； （3）根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数，可得答案． 【详解】解：（1）巴黎时间时针与分针的夹角是； 伦敦时间时针与分针的夹角是； 北京时间时针与分针的夹角是； 东京时间时针与分针的夹角是； ∴巴黎：；伦敦：；北京：；东京：． （2）每经过，时针转过；每经过，分针转过． （3）上午10:10时，此时分针指向时钟刻度“2”，时针指向时钟刻度“10”偏右一点点． 分针与时钟刻度“12”所成的较小角是， 时针与时钟刻度“12”所成的较小角是． 故此时时针与分针所成的较小角是． 【点睛】本题考查了钟面角，利用时针与分针相距的份数乘以每份的度数，确定时针与分针相距的份数是解题关键． 方向角的表示题型03 12．（25-26七年级下·山西阳泉·期末）如图是三艘舰艇的位置示意图，其中，，若用方向和距离描述三艘舰艇的相对位置，以下描述正确的是（     ） A．舰艇A在舰艇C的正西方向处 B．舰艇C在舰艇A的正东方向处 C．舰艇B在舰艇C的北偏东方向处 D．舰艇C在舰艇B的南偏西方向处 【答案】C 【详解】解：A、舰艇在舰艇的正东方向处，则此项错误； B、舰艇在舰艇的正西方向处，则此项错误； C、舰艇在舰艇的北偏东方向处，则此项正确； D、舰艇在舰艇的南偏西方向处，则此项错误． 13．（25-26七年级下·广东深圳·期末）某小区要进行地下管道建设，从A区和B区同时向中间开挖一条笔直的管道．工程人员在A区测得管道方向为北偏东．为了保证在中间能准确对接，工程人员在B区施工的方向应是（   ） A．北偏西35° B．南偏西35° C．南偏东35° D．西偏南35° 【答案】B 【详解】解：A区测得管道方向为北偏东， B区施工的方向应是南偏西． 14．（25-26八年级下·河北石家庄·期末）如图，琪琪一家要到革命圣地西柏坡参观，下列说法正确的是（     ） A．西柏坡在家东偏北方向 B．西柏坡在家北偏东方向 C．家在西柏坡南偏西方向 D．家在西柏坡西偏南方向 【答案】C 【分析】根据方向角的定义（通常以正北或正南方向为基准）及图形中的角度关系，结合方位角的相对性进行判断即可； 【详解】解：由图可知，以“家”为观测点，视线与正东方向的夹角为， 视线与正北方向的夹角为， 西柏坡在家北偏东方向，故A 表述不规范，B 错误； 根据方位角的相对性，方向相反，角度不变， 家在西柏坡南偏西方向（或西偏南方向） C正确，D错误． 15．（2026·河南南阳·三模）白河的生态修复工程让南阳的母亲河重焕生机．如图是东西流向且两岸a、b互相平行的一段白河河道，在河岸a上有一建筑P，在河岸b上的小宛观测到建筑P在他的北偏西方向上，则小宛的位置可能是（     ） A．A B．B C．C D．D 【答案】D 【详解】解：根据题意得： 若点为观测点，则在点的北偏东方向上，不符合题意； 若点为观测点，则在点的正北方向上，不符合题意； 若点、为观测点，则在点、的北偏西方向上，但是点观测的偏西角度远小于，只有点观测符合北偏西的描述． 因此，小宛的位置可能是点处． 16．（2026·河北邯郸·三模）如图，，点A位于点O的正南方向，则点B位于点O的（   ） A．北偏西方向 B．南偏西方向 C．北偏西方向 D．南偏西方向 【答案】C 【详解】解：∵， ∴点B位于点O的北偏西方向． 17．（25-26七年级下·福建厦门·期中）如图，小明家相对于学校的位置，下列描述最准确的是（   ） A．距离学校1200米处 B．西南方向上的1200米处 C．北偏东方向上的1200米处 D．南偏西方向上的1200米处 【答案】D 【分析】结合图形得出南偏西的角度和距离，即可描述两个地方的相对位置． 【详解】解：由图可知，小明家在学校南偏西：方向上，距离为1200米， 即小明家在学校南偏西方向上的1200米处． 与方向角有关的计算题型04 18．（25-26六年级下·山东泰安·期末）一个人从A地出发沿北偏东方向走到B地，再从B地出发沿南偏西方向走到C地，那么______． 【答案】35 【分析】根据方向角的定义，准确找出相关角度之间的关系即可． 【详解】解：由题意如图所示： 则． 19．（25-26七年级上·甘肃兰州·期末）如图，货轮甲从点O处出发，沿北偏东方向（即射线）航行，货轮乙从点O处出发，沿南偏东方向（即射线）航行，灯塔C刚好在货轮乙航行方向的反向延长线上． (1)灯塔C在点O的北偏西________方向上，在图中作出射线； (2)求的度数． 【答案】(1)50， 如图，射线即为所作， (2) 【分析】本题主要考查方位角的运用，掌握方位角的计算是关键． （1）根据反方向延长线作图即可得到点C的位置，由方位角的计算得到北偏西的角度； （2）根据方位角的计算即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：50； （2）解：∵， ∴． 20．（25-26八年级上·辽宁抚顺·阶段检测）如图是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东 方向，B岛在A 岛的北偏东 方向，C岛在 B 岛的北偏西 方向．从B岛看A，C两岛的视角是多少度？从C岛看A，B两岛的视角呢？ 【答案】 【分析】本题考查了与方向角有关的计算题，由题意得：，推出，即可求解； 【详解】解：由题意得：， 则， ∵， ∴， ∴ ∴. ∵， ∴ 21．（25-26八年级下·河北石家庄·期中）如图，是小明家和学校所在地的简单地图，已知，C为的中点，回答下列问题： (1)图中距小明家距离相同的是哪些地方？ (2)商场、学校、公园、停车场分别在小明家的什么方位？哪两个地方的方位是相同的？ (3)若学校距离小明家，那么商场和停车场分别距离小明家多少米？ 【答案】(1)学校和公园 (2)商场在小明家北偏西方向上，学校在小明家北偏东方向上，公园在小明家南偏东方向上，停车场在小明家南偏东方向上；公园和停车场的方位相同 (3)； 【分析】本题主要考查了用方位角和距离确定位置，正确读懂图示是解题的关键． （1）求出的长，得到即可得到答案； （2）根据图示结合方位角的表示方法求解即可； （3）根据题意可知地图上表示实际，据此列式求解即可． 【详解】（1）解：∵C为的中点，， ∴， ∴， ∴图中距小明家距离相同的是学校和公园； （2）解：由题意得，商场在小明家北偏西方向上， 学校在小明家北偏东方向上， 公园在小明家南偏东方向上， 停车场在小明家南偏东方向上， ∴公园和停车场的方位相同． （3）解：∵学校距离小明家， ∴商场距离小明家，停车场距离小明家． 22．（25-26七年级上·吉林·期末）如图，射线的方向是北偏东，射线的方向是北偏西，是的反向延长线，在的内部，且． (1)求出射线的方向； (2)直接写出的度数． 【答案】(1)射线的方向是北偏 (2) 【分析】本题考查与方向角有关的计算，熟练掌握方向角的定义，是解题的关键： （1）求出的度数即可得出结果； （2）利用平角的定义，进行求解即可． 【详解】（1）解：如图，由题意，得：， ∴， ∴， ∴射线的方向是北偏； （2）解：∵是的反向延长线，由（1）知：， ∴． 23．（25-26七年级上·福建福州·期末）如图，一艘船停靠在码头处，测得海中灯塔在北偏东方向上，它从处出发向正东航行，到达处停止，测得，此时灯塔在处的北偏西多少度的方向上？ 【答案】此时灯塔在处的北偏西方向上． 【分析】本题考查方向角的计算，掌握方向角的相关知识是解题的关键．先求出的度数，再求解即可得到答案. 【详解】解：根据题意，得 ， ， 此时灯塔在处的北偏西方向上． 24．（25-26七年级上·贵州遵义·期末）如图，小杰家位于点处，小杰从家向北偏东方向行走500米到达学校处，从学校向正东前进200米到达少年宫处（没有道路），已知少年宫在小杰家东偏北方向． (1)小杰家在少年宫的什么方向？ (2)小杰从少年宫怎样原路返回到家呢？ 【答案】(1)小杰家在少年宫的南偏西方向 (2)小杰从少年宫向正西前进200米到达学校，再从学校向南偏西行走500米回到家 【分析】本题考查了方向角：方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于九十度的角． （1）过点B作南北方向的直线，求出，然后根据方向角的定义解答即可； （2）过点A作南北方向的直线，求出，然后根据方向角的定义解答即可． 【详解】（1）解：如图，过点B作南北方向的直线 由题意得，， 所以小杰家在少年宫的南偏西方向； （2）解：过点A作南北方向的直线， 由题意得，， 所以小杰从少年宫向正西前进200米到达学校，再从学校向南偏西行走500米回到家． 角的单位与角度制题型05 25．（25-26六年级下·山东烟台·期中）计算： __________°． 【答案】 【分析】度分秒换算的核心是60 进制，从秒到分、分到度，依次除以 60，注意逐级换算，避免跳步出错． 度、分、秒的换算规则：，，将分、秒逐级转化为度即可． 【详解】 故答案为：． 26．（25-26七年级下·山东潍坊·期中）___________度． ______º_____ _____． 【答案】 18.505 36 22 30 【分析】根据进行转化即可． 【详解】解：∵， ∴， 又， ∴； ∵， ， ∴． 27．（25-26六年级下·山东淄博·期中）度分秒换算：（1）________°；（2）__________′_____″． 【答案】 39 26 24 【分析】根据度分秒的换算关系，低级单位化高级单位除以进率，高级单位化低级单位乘以进率，计算即可． 【详解】解：（1）； （2）， 取的小数部分换算为秒： ， 因此． 28．（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）____________，______． 【答案】 150 9000 20.5 【分析】本题主要考查了角度的度分秒换算，熟练掌握，的换算关系是解题的关键． 本题考查角度的度分秒换算，解题思路是利用，的换算关系，将度化为分、秒，或将分化为度，依次计算各空． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：①；②；③． 29．（25-26七年级上·江西九江·期末）计算：_______________°． 【答案】2 【分析】本题考查了角度单位换算，解题的关键是掌握，将秒数除以3600即可得到度数． 【详解】解：， ， 故答案为：2． 30．（25-26七年级上·山东潍坊·期末）将度、分、秒换算成度， ______________ 【答案】 【分析】本题考查了度分秒的换算，注意度、分、秒以60为进制即可．将分换算成度，需除以60，再与整数度相加． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 角度的大小比较题型06 31．（25-26六年级下·山东烟台·期中）已知，，，将三个角按从小到大的顺序排列是_______ 【答案】 【分析】先根据角度单位的换算规则，将三个角统一单位，再比较角度大小，即可得到排序结果． 【详解】根据角度单位换算规则，可得，． 对进行换算：． ，即． 32．（25-26六年级下·山东烟台·期中）已知，，则 _______ （填“<”或“>”或“=”）． 【答案】 【分析】统一两个角的角度单位，将 化为度分表示后比较大小即可． 【详解】解： ， ， ，且 ， ． 33．（25-26六年级下·山东泰安·阶段检测）如果，，，那么，，的大小关系是_____________． 【答案】 【分析】将三个角统一换算为以度为单位，再进行大小比较． 【详解】解： 因为 ，所以 ． 34．（25-26七年级上·山东青岛·期末）已知，，则______（填“>”，“<”或“=”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了度分秒的换算．首先根据把化成，再比较和的大小即可． 【详解】解： ，， ． 故答案为：． 35．（25-26七年级上·四川达州·阶段检测）比较大小：（1） _______；（2）_______（选填“”“”“”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的大小比较以及度分秒的换算，熟练掌握两个负数比较大小的法则和度分秒的换算方法是解题的关键． （1）对于两个负数比较大小，先比较它们的绝对值，绝对值大的反而小． （2）先把角度的度分形式统一成度的小数形式，再比较大小． 【详解】解：（1）∵ ，，且 ， ∴ ， 故答案为： ； （2）∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 故答案为：． 36．（25-26七年级上·福建漳州·阶段检测）若，，比较大小：_____． 【答案】 【分析】本题考查比较角的大小，角度制，将的度数转化为度，分，秒的形式，再进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴； 故答案为：． 角的概念解答题综合题型07 37．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，已知四边形． (1)请分别测量图中，，，的度数，并从中找出相等的角，用“”表示出来；找出不相等的角，用“”或“”表示出来． (2)请分别测量图中，，，的度数，并用“”“ ”或“”填空： _______，______． 【答案】(1)，，，；，；，，， (2)，，，；， 【分析】本题主要考查角度的测量及大小比较，解题的关键是熟知量角器的使用． （1）利用量角器测出各角度数，再比较各角大小即可； （2）利用量角器测出各角度数，再比较各角大小即可． 【详解】（1）解：经测量得，，，，， 相等的角：，， 不相等的角：，，，． （2）解：经测量得，，，，， ，． 38．（25-26六年级上·山东淄博·期末）如图，在一个圆形时钟的表面上，表示时针，表示分针 (O为两针的交点即旋转中心)． 下午3点时，与成直角． (1)时针1小时转过的角度为 °，分针 1分钟转过的角度为 °； (2)在下午3点至4点之间，从下午3点开始，经过多少分钟，时针与分针成角？ 【答案】(1)，6 (2)经过 或分钟，时针与分针成角 【分析】此题考查了一元一次方程的应用． （1）根据时针12小时转过一周，分针分钟转过一周，据此进行解答即可； （2）分两种情况：分针在时针上方和分针在时针下方，分别进行求解即可． 【详解】（1）解：时针1小时转过的角度为， 分针1分钟转过的角度为； 故答案为：，6 （2）设在下午3点至 4点之间，从下午3点开始，经过x分钟，时针与分针成角． ①当分针在时针上方时， 由题意得：   (或）    解得：   ②当分针在时针下方时，由题意得：   (或）    解得： 答：经过或分钟，时针与分针成角． 39．（25-26七年级上·全国·课后作业）探究角的个数： (1)①如图①，在内部画1条射线OC，则图①中有________个不同的角； ②如图②，在内部画2条射线OC，OD，则图②中有________个不同的角； ③如图③，在内部画3条射线OC，OD，OE，则图③中有________个不同的角． (2)在内部画n条射线OC，OD，OE，……，则有多少个不同的角？ 【答案】(1)①3；②6；③10； (2) 【分析】本题考查了角的有关概念，根据图形的前后变化找出规律，得出角的个数，发现角的个数的规律是解题的关键； 【详解】（1）解：①，共3个； ②，共6个； ③，共10个； 故答案为：①3 ②6 ③10． （2）解：在内部画条射线，根据角的规律可得： 有（个）不同的角． 40．（25-26六年级下·山东淄博·期中）（1）如图，分别确定四个城市相应钟表上时针与分针所成角的度数． _______              _______                 _______                    _______ （2）每经过，时针转过多少度？每经过，分针转过多少度？ （3）当时钟指向上午，时针与分针的夹角是多少度？ 【答案】（1）；；；；（2）时针每经过1小时，转过，分针每分钟转过；（3） 【分析】本题主要考查了钟面角的计算，熟知钟面角的计算方法是解题的关键． （1）时针12小时转一圈，转一圈转360度，则可求出时针每小时转的度数，据此求解即可； （2）时针12小时转一圈，转一圈转360度，分针每60分钟转一圈，转一圈转360度，据此求解即可； （3）先求出10点整时时针与分针的夹角，再求出十分钟分针所转的度数与时针所转的度数之差即可得到答案． 【详解】解：（1）巴黎时间是1点，则时针和分针的夹角为； 伦敦时间是12点，则时针和分针的夹角为； 北京时间是8点，则时针和分针的夹角为； 东京时间是9点，则时针和分针的夹角为； 故答案为：；；；； （2）∵时针12小时转一圈，转一圈转360度， ∴时针每经过1小时，转过， ∵分针每60分钟转一圈，转一圈转360度， ∴分针每分钟转过； （3）， ∴当时钟指向上午，时针与分针的夹角是． 1．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期末）下列说法正确的是（     ） A．若，则点C是线段的中点 B．连接两点的线段叫做两点之间的距离 C．射线和射线是同一条射线 D．钟表上的时间是11点10分，此时时针与分针所成的夹角是 【答案】D 【详解】解：A．若，点不一定在线段上，故点不一定是线段的中点，错误； B．连接两点的线段的长度叫做两点之间的距离，错误； C．射线的端点为，射线的端点为，不是同一条射线，错误； D．11点10分时，时针所走角度为， 分针与12点方向的夹角为， 时针与分针夹角为，正确． 2．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期末）如图，在学校图书馆处观测到，物理实验室位于点的北偏东的方向，教学楼位于点的南偏西的方向，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 ． 3．（2026·河北石家庄·模拟预测）如图，射线，，，，分别对应量角器上外圈的，，，，刻度线，点与量角器的中心重合，下列最大的角是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据量角器上各射线对应的刻度，利用角的和差关系分别计算出 、、、 的度数，比较大小即可得出答案． 【详解】解：由题意可知，射线、、、、对应量角器外圈的刻度分别为、、、、， ，，，， ， 最大． 4．（25-26七年级下·广东深圳·期中）已知深圳博物馆位于小深家的正东方，小深从家中出发步行前往深圳博物馆，先是朝着南偏东的方向走到书店买了一本笔记本，接着往北偏东方向走到了深圳博物馆．那么从书店出发，往家的路线与往深圳博物馆的路线夹角为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设小深家为点，深圳博物馆为点，书店为点， ∵从看的方向为南偏东，根据方向的相对性，从看的方向为北偏西， 又∵从看的方向为北偏东，两个方向分别位于点正北方向的西侧和东侧，与正北方向的夹角分别为和， ∴所求夹角为 ． 5．（25-26七年级上·浙江嘉兴·期末）四点钟后，从时针与分针第一次成到第二次成，共经过（    ） A．分钟 B．33分钟 C．分钟 D．28分钟 【答案】A 【分析】本题考查时钟追及问题，需先明确时针与分针的转速，再根据两次成时分针比时针多走的角度列方程求解． 【详解】解：∵分针每分钟转的角度为，时针每分钟转的角度为， 从第一次成到第二次成，分针比时针多转 设经过分钟，根据题意列方程： ， 解得， ∴共经过分钟． 故选：A 6．（25-26七年级下·四川绵阳·开学考试）如图一个齿轮有15个齿，每相邻两齿中心线间的夹角都相等，这个夹角是________度．如果是22个齿的齿轮，这个夹角又是_________度．（精确到分） 【答案】 【分析】本题考查了度分秒的换算，根据齿轮的齿数计算夹角即可． 【详解】解：15个齿的齿轮：； 22个齿的齿轮：． 7．（25-26七年级上·江西赣州·期末）如图，点A，B，O分别表示手绘地图中厦门鼓浪屿风景区内郑成功纪念馆、郑成功水操台遗址、日光岩三个景点．经观测，郑成功水操台遗址在日光岩的北偏东方向，且郑成功纪念馆在日光岩的北偏西方向．则____． 【答案】 【分析】本题考查了与方向角有关的计算． 根据题意得到，，进而相加即可． 【详解】解：如图， ∵郑成功水操台遗址在日光岩的北偏东方向，且郑成功纪念馆在日光岩的北偏西方向， ∴，， ∴． 故答案为：． 8．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）如图，某海域有三个小岛，，，在小岛处观测到小岛在它北偏东的方向上，同时观测到小岛在它南偏东的方向上，则__________． 【答案】 【分析】本题考查了方向角，度分秒的换算，熟练掌握方向角的定义是解题的关键． 根据题意可得：，，然后利用平角定义，进行计算并换算为度即可． 【详解】解：如图： ∵由题意得：，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 9．（25-26七年级下·全国·期中）如图，所有小正方形的边长都为1，点，，都在格点（小正方形的顶点）上．请仅用无刻度的直尺完成下列作图（不写作法）． (1)在图①中作，使； (2)在图②中作线段，使于点，交于点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用平移变换的性质画出图形； （2）利用数形结合的思想画出图形即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求（作法不唯一）． （2）解：如图，线段即为所求． 【点睛】本题考查作图−应用与设计作图，平行四边形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 10．（25-26七年级上·山东济南·期末）如图是某地4路公共汽车部分行车路线图 (1)4路公共汽车从火车站出发，向东偏南50度的方向行1千米到达邮局；再向正东行_____千米到达广场；由广场向北偏_____度的方向行0.8千米到达公园； (2)4路公共汽车某日从火车站行至邮局用时2分钟，再到达广场又用时6分钟，由广场到达体育馆用时4分钟，停靠时间忽略不计，求公共汽车此程的平均速度是多少千米/时？ 【答案】(1)2.7；东40 (2)31.5千米/时 【分析】本题考查的是根据方向和距离，确定物体的位置； （1）依据图上标注的各种信息，以及地图上的方向辨别方法“上北下南，左西右东”就可以直接填写答案； （2）先求出整个过程中的总路程，算出总时间，即可求出平均速度． 【详解】（1）解：4路公共汽车从火车站出发，向东偏南50度的方向行1千米到达邮局；再向正东行千米到达广场；由广场向北偏东40度的方向行0.8千米到达公园， 故答案为：2.7；东40； （2）解：整个过程的总时间为：（分钟）（小时）， 整个过程的总路程为：（千米）， 所以平均速度为：（千米/时）， 答：公共汽车此程的平均速度是31.5千米/时． 11．（25-26七年级上·全国·课后作业）推理能力如图是锐角，以O为端点向内部作1条射线时，图中有多少个角？作2条、3条射线时各有多少个角？作n条射线时有多少个角？ 【答案】作1条射线时，图中有（个）角；作2条射线时，图中有（个）角；作3条射线时，图中有（个）角；作条射线时，图中有（个）角 【分析】此题考查了角的概念及角的数量统计，根据具体数值得出角的数量变化和射线条数的关系是解题的关键． 根据图①，图②，图③中角的个数找出规律，然后根据这一规律即可得出在内部作条射线时，角的个数． 【详解】解：向内部作1条射线时，图中有（个）角； 向内部作2条射线时，图中有（个）角； 向内部作3条射线时，图中有（个）角；； 向内部作条射线时，图中有（个）角． 1．（25-26七年级上·江苏连云港·期末）在锐角内部由O点引出3种射线，第1种是将分成10等份；第2种是将分成12等份；第3种是将分成15等份，所有这些射线连同､可组成的角的个数是___________． 【答案】406 【分析】设，则第1种第倍小角为，第2种第倍小角为，第3种第倍小角为，先得到三种分法中无同时重合情况，再看每两种分法重合情况，从而得出的内部射线总数量为条，即可得解． 【详解】解：设， 第1种是将分成10等份，中间有9条射线，每个小角度数为， 第2种是将分成12等份，中间有11条射线，每个小角度数为， 第3种是将分成15等份，中间有14条射线，每个小角度数为， 则第1种第倍小角为，第2种第倍小角为，第3种第倍小角为， 若3种射线同时重合，则， 此时，除、外没有重合； 若第1种射线和第2种射线重合，则， 此时，即第1种第5条射线和第2种第6条射线重合，共重合1条射线； 若第1种射线和第3种射线重合，则， 此时，即与重合，共重合4条射线； 若第2种射线和第3种射线重合，则， 此时，即与重合，共重合2条射线； 则在的内部共有射线条， 所有这些射线连同､可组成的角的个数是． 2．（25-26七年级上·陕西渭南·期末）手工课上，小明与小丽都设计一种雪夹玩具，后来经过实践，小明将夹角加大了，小丽将夹角加大了，小明与小丽设计的两个雪夹玩具的夹角之比由原来的变为，那么小明原来设计的雪夹玩具的夹角度数是______．（结果用度、分、秒表示） 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，准确理解题意，得出相关方程是解题的关键． 设小明原来设计的夹角度数为度，根据原来夹角之比为可得小丽原来设计的夹角度数为；加大后，小明夹角为，小丽夹角为，比值变为，代入方程求解即可． 【详解】解：设小明原来设计的夹角度数为度， ∵根据原来夹角之比为， ∴小丽原来设计的夹角度数为， 故， 解上述方程： ， 转换为度分秒为， 故答案为：． 3．（25-26七年级上·广西河池·期末）已知m，n为常数，且满足两个单项式与合并得．其中m，n分别为点A，点B在数轴上表示的数，如图所示． (1)在数轴上，点A表示的数为 ，点B表示的数为 ； (2)若动点P，Q分别从A，B同时开始运动，点P以每秒2个单位向左运动，点Q以每秒4个单位向右运动，设运动时间为t秒． ①求经过几秒，点P与点Q第一次相遇； ②当P，Q相遇后，点Q继续保持向右运动，点P在原地停留4秒后向右运动且速度变为原来的3倍，在整个运动过程中，当P，Q之间的距离为2个单位时，直接写出运动时间t的值（不必写过程） (3)我们知道，2025年秋季学期数学期末考试在今天上午9：00正式开考．此时，模拟钟面上的指针如上图所示，O为钟面圆心，时针和分针分别指向9和12，、分别从，同时出发，绕点O按顺时针方向转动，时针运动速度为每分钟，分针运动速度为每分钟，从这场数学考试开考多少分钟，时针与分针的夹角第一次等于？ 【答案】(1)12， (2)①P，Q第一次相遇时t的值是3；②t的值是或14或 (3)从这场数学考试开考10分钟时，时针与分针的夹角第一次等于 【分析】本题主要考查了列代数式，数轴上两点距离计算，非负性的性质及一元一次方程的应用，正确进行计算是解题关键． （1）根据题意可知与是同类项，由此求出m，n的值； （2）①点P表示的数为：，点Q表示的数为：，当它们重合时，有：，解方程即可． ②分当点P在原地停留时，点P在4秒向右运动后，用表示点所对应得数，再根据数轴上两点距离计算公式列方程求解即可； （3）时针与分针的夹角第一次等于等于分针走过的度数减去时针走过的度数，由此列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵两个单项式与合并得， ∴，， ∴； 故在数轴上，点A表示的数为，点B表示的数为； （2）①点P表示的数为：，点Q表示的数为： 由题意可得： 解得： 答：P，Q第一次相遇时t的值是3． ②当时，点P表示的数为：，点Q表示的数为：，此时点在点右侧， 依题意得：，解得：， 当时，点P表示的数为：，点Q表示的数为：， 若点在点右侧，则，解得：， 若点在点左侧，则，解得：， 综上所述：t的值是或14或． （3）转动的角度，转动的角度，由题意可得： 解得：． 答：从这场数学考试开考10分钟时，时针与分针的夹角第一次等于． 4．（25-26七年级上·山东青岛·期末）【材料阅读】如图，数轴上的点表示的数分别为、6，C是线段的中点． （1）点C表示的数是 ； （2）若点P，Q分别从点C，B同时出发，以每秒3个单位长度和2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，则t秒后，点P，Q表示的数分别是 、 （用含t的代数式表示）； （3）在（2）的条件下，若P，Q两点之间的距离为3，求t的值． 【方法迁移】 （4）如图，，平分．现有射线、分别从、同时出发，以每秒和每秒的速度绕点O顺时针旋转，当旋转一周时，这两条射线都停止旋转．问经过几秒后，射线、的夹角为？ 【生活运用】 （5）周末的上午，小明看到钟面显示9点整，此时分针与时针的夹角恰好为，经过 分钟后，分针与时针的夹角首次变成？ 【答案】（1）2；（2）；；（3）或；（4）或；（5）10 【分析】（1）根据数轴上两点的中点公式求解即可； （2）用点C表示的数加上点P运动的路程可得点P表示的数，用点B表示的数加上点Q运动的路程可得点Q表示的数； （3）根据两点间的距离公式建立方程求解即可； （4）分，相遇之前与相遇之后两种情况，分别建立方程求解即可； （5）设经过t分钟后，分针与时针的夹角首次变成，9点整时时针指向数字9，分针指向数字12，那么当分针与时针的夹角首次变成时，分针要比时针多转，据此建立方程求解即可． 【详解】解：（1）∵数轴上的点表示的数分别为、6，C是线段的中点， ∴点C表示的数为； （2）依题意，秒后，点、表示的数分别是；； 故答案为：；； （3）∵P，Q两点之间的距离为3， ∴， ∴， ∴或 ∴或； （4）∵∠，平分， ∴， 当重合前，则 解得； 当重合后，则， 解得； 综上所述，或； （5）设经过t分钟后，分针与时针的夹角首次变成， 由题意得，， 解得， ∴经过10分钟后，分针与时针的夹角首次变成． 【点睛】本题考查了数轴上的动点问题，几何图形中角度的计算，钟面角，列代数式，一元一次方程的应用，分类讨论是解题的关键． 1．（2025·江苏南通·中考真题）上午9时整，钟表的时针和分针构成的角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先明确钟表表盘的特征，即被分成个大格，每个大格对应角度固定，再看上午时整时针和分针的位置，计算间隔大格数，进而求出夹角．本题主要考查钟面角的计算，熟练掌握钟表表盘大格对应的角度（每大格 ）以及特定时刻时针和分针的位置关系是解题的关键． 【详解】解：每一个大格对应的角度是 ．上午时整，时针指向，分针指向，它们之间间隔个大格． 所以时针和分针构成的角的度数为 ． 故选：． 2．（2025·青海西宁·中考真题）如图，小明从A处沿东北方向走到B处，再从B处沿南偏东方向走到C处，则的度数是________． 【答案】 【分析】本题考查方向角有关的计算，根据方向角的定义，结合角的和差关系进行计算即可． 【详解】解：如图，由题意，得：， ∴； 故答案为：． 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $