4.1 线段﹑射线﹑直线（分层作业）数学北师大版2024版七年级上册

4.1 线段﹑射线﹑直线 1．（24-25六年级下·山东淄博·期中）将一条木条固定在墙上，至少需要在木条上钉两个钉子．这样做的数学依据是（    ） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．两点之间，直线最短 D．连接两点之间的线段的长度是两点间的距离 2．（24-25七年级上·四川成都·期末）已知不在同一直线上的三点、、，画直线、画射线、连结，按照要求画图正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·江西景德镇·期末）如图，在直线上有三个点，图中线段条数为（   ） A． B． C． D． 4．（22-23七年级上·河北石家庄·期中）如图，，，E，F分别是，的中点，则的长为（   ） A．10 B．8 C．6 D．8.5 5．（24-25七年级上·新疆伊犁·期末）如图，已知点是线段的中点，则下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 6．（23-24七年级上·山东临沂·期末）平面上有三个点A，B，C，如果，则（   ） A．点C在线段上 B．点C在线段的延长线上 C．点C在线段的延长线上 D．不能确定 7．（24-25六年级上·上海普陀·期末）在线段的延长线上取一点，使，如果，那么的长是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25六年级下·山东烟台·期中）如图，，C为的中点，点D在线段上，且，则的长为 ． 9．（24-25七年级上·安徽宿州·期末）在直线l上顺次取A，B，C三点，使得．如果点O是线段的中点，那么线段的长度为 cm． 10．（24-25七年级上·湖南岳阳·期末）已知线段，且A，B，C三点共线，则线段的长度是 ． 11．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）如图，已知平面上三点，，． (1)画射线，直线，线段； (2)若线段的长度为8，点在直线上，且，求的长． 12．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，A，B，C三点在同一直线上，点D在的延长线上，且． (1)请用圆规在图中确定D点的位置； (2)若，求的长． 13．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）A、B、C、D四个车站的位置如图所示． (1)C、D两站的距离为________； (2)当点C为的中点时，则a、b之间有怎样的数量关系，请加以说明． 1．（23-24七年级上·河北廊坊·期末）已知往返于汕头与广州东的D7150次列车，运行途中须停靠汕头、潮汕、普宁、深圳北、东莞南、东莞、广州东7个站点，那么该次列车共有 种不同的车票．一列火车往返于，两个城市，若共有个站点，则需要 种不同的车票． 2．（24-25七年级上·宁夏银川·期中）如图，是线段上的点，是线段的中点，是线段的中点，若，则长为 ． 3．（24-25七年级上·福建泉州·期末）如图，是线段上的一点，． (1)若，求的长． (2)若，分别为线段，的中点，求的长． (3)在（1）的条件下，是直线上的一点，且满足，求的值． 4．（24-25七年级上·河南周口·期末）如图，已知直线，点C在直线上，线段，，，分别是，的中点，求线段的长．    5．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）如图，已知数轴上两点对应的数分别为和，两点对应的数互为相反数．    (1)求的长； (2)若点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向终点运动．同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向点运动，当点到达点后立即返回，仍然以每秒2个单位长度的速度运动至点停止，设运动时间为（秒）． ①问为何值时，为的中点？ ②当时，求的值． 6．（23-24七年级上·江苏南通·期末）【阅读思考】 如表反映了平面内直线条数与它们最多交点个数的对应关系． 图形 … 直线条数 2 3 4 … 最多交点个数 1 … 【延伸探究】 （1）按此规律，5条直线相交，最多有______个交点； （2）平面内的8条直线任意两条都相交，交点数最多有x个，最少有y个，请求出的值； 【实践应用】 （3）学校七年级6个班级举行足球联赛，比赛采用单循环赛制（即每两支队伍之间赛一场），当比赛到某一天时，统计出七1，七2，七3，七4，七5五个班级已经分别比赛了5，4，3，2，1场球，请直接写出没有与七6班比赛的班级，并求出还剩的比赛总场数． 2．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，数轴上，两点的距离为12，一动点从点出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点（，是整数）处，问经过这样2024次跳动后的点与的中点的距离是（） A． B． C． D． 2.（24-25七年级上·安徽亳州·期末）如图，点在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点、；第二次操作：分别取线段和的中点，；第三次操作：分别取线段和的中点，；……连续这样操作2025次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·江西九江·阶段练习）如图，点都在直线上，是线段的中点，是线段的中点，．    (1)当点在线段上且时，求和的长． (2)若是直线上的动点，动点从点A出发，以3个单位长度/秒的速度沿着的方向运动，运动时间为秒． ①已知另一动点从点出发，以2个单位长度/秒的速度沿着的方向同时运动．是否存在？若存在，求出此时运动的时间；若不存在，请说明理由． ②当动点在线段上运动时，分别是线段和的中点，试判断与线段之间的数量关系，并说明理由． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.1 线段﹑射线﹑直线 1．（24-25六年级下·山东淄博·期中）将一条木条固定在墙上，至少需要在木条上钉两个钉子．这样做的数学依据是（    ） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．两点之间，直线最短 D．连接两点之间的线段的长度是两点间的距离 【答案】A 【分析】本题考查几何公理的实际应用，根据几何基本公理，经过两点有且只有一条直线，因此钉两个钉子可固定木条的位置，使其无法绕这两个点转动或移动，选项B、C涉及最短距离，与固定木条无关；选项D是距离的定义，亦不适用，由此可解． 【详解】解：将木条固定在墙上需要至少两个钉子，是因为两点确定一条直线． 故选A． 2．（24-25七年级上·四川成都·期末）已知不在同一直线上的三点、、，画直线、画射线、连结，按照要求画图正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直线、射线、线段，熟练掌握直线、射线、线段的概念是解题的关键．根据直线、射线、线段的概念即可得出答案． 【详解】解：画直线、画射线、连结，按照要求画图正确的是： 故选：C． 3．（24-25七年级上·江西景德镇·期末）如图，在直线上有三个点，图中线段条数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了线段，根据线段的定义即可求解，掌握线段的定义是解题的关键． 【详解】解：图中线段有：线段、线段、线段，共三条， 故选：． 4．（22-23七年级上·河北石家庄·期中）如图，，，E，F分别是，的中点，则的长为（   ） A．10 B．8 C．6 D．8.5 【答案】B 【分析】根据已知条件可以求出，的长度，再根据中点的定义，可以求出，的值，再由即可求解． 本题考查的是线段和差定义，中点的性质，利用线段和差表示线段是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵E，F分别是，的中点， ∴，， ∴， 故选：B． 5．（24-25七年级上·新疆伊犁·期末）如图，已知点是线段的中点，则下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查线段倍分关系，根据线段中点定义，数形结合即可得到，逐项判断即可确定答案，数形结合，准确表示出线段倍分关系是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示： 点是线段的中点， ， A、，说法正确，不符合题意； B、，说法正确，不符合题意； C、，说法正确，不符合题意； D、，原说法错误，符合题意； 故选：D． 6．（23-24七年级上·山东临沂·期末）平面上有三个点A，B，C，如果，则（   ） A．点C在线段上 B．点C在线段的延长线上 C．点C在线段的延长线上 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查了直线、射线、线段，根据A，B，C之间的距离画出图形，即可确定位置关系． 【详解】解： ，，， ， 如图，点在线段的延长线上， 故选：C． 7．（24-25六年级上·上海普陀·期末）在线段的延长线上取一点，使，如果，那么的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了线段间的数量关系，两点间的距离，熟练掌握两点间的距离计算方法进行计算是解决本题的关键．根据已知条件可计算出的长度，根据代入计算即可得出答案． 【详解】解：，， ， ∵点在线段的延长线上， ． 故选：B． 8．（24-25六年级下·山东烟台·期中）如图，，C为的中点，点D在线段上，且，则的长为 ． 【答案】15 【分析】本题考查了线段中点的定义、线段的和差，熟练掌握线段中点的定义是解题的关键．根据线段中点的定义、线段的和差即可求解． 【详解】解：∵C为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：15． 9．（24-25七年级上·安徽宿州·期末）在直线l上顺次取A，B，C三点，使得．如果点O是线段的中点，那么线段的长度为 cm． 【答案】7 【分析】本题考查两点间的距离，线段的和差，正确理解题意、正确理解线段中点的性质是解题的关键． 首先求出，然后根据线段中点的性质求解即可． 【详解】解：由题意得， ∵点O是线段的中点， ∴． 故答案为：7． 10．（24-25七年级上·湖南岳阳·期末）已知线段，且A，B，C三点共线，则线段的长度是 ． 【答案】或 【分析】根据题意可分当点C在线段上时和当点C在线段的延长线上时两种情况，就这两种情况分别算出答案即可． 本题考查的是线段的运算，解题关键是分出当点C在线段 上时和当点C在线段的延长线上时两种情况． 【详解】解：当点C在线段上时， 则； 当点C在线段的延长线上时， 则； 故答案为：或． 11．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）如图，已知平面上三点，，． (1)画射线，直线，线段； (2)若线段的长度为8，点在直线上，且，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)5或11． 【分析】本题考查了直线、射线、线段作图，以及线段长度的求解，熟练掌握以上知识点并分情况讨论，数形结合是解题的关键． （1）根据几何语言画出对应的几何图形； （2）分当点在线段上时和点在的左侧时两种情况，结合图形分别得出的长即可． 【详解】（1）解：如图，射线，直线，线段为所作： （2）解：分以下两种情况： 如图，当点在线段上时， ，， ； 如图，当点在的左侧时， ，， ； 综上所述，的长为5或11． 12．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，A，B，C三点在同一直线上，点D在的延长线上，且． (1)请用圆规在图中确定D点的位置； (2)若，求的长． 【答案】(1)图见解析 (2)18 【分析】本题考查尺规作图—作线段，线段的和与差，找准线段之间的和差关系，是解题的关键： （1）以为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于点即可； （2）根据比例关系求出的长，进而得到的长，再根据线段的和差关系进行求解即可． 【详解】（1）解：如图，点即为所求； （2）∵， ∴， ∴， ∴． 13．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）A、B、C、D四个车站的位置如图所示． (1)C、D两站的距离为________； (2)当点C为的中点时，则a、b之间有怎样的数量关系，请加以说明． 【答案】(1) (2)，说明见解析 【分析】本题考查了两点间的距离，整式的加减，熟练掌握两点间的距离，整式的加减运算法则是解题的关键 （1）根据题意，结合图形，计算即可得出答案； （2）根据题意，由点C为的中点，可得，即，整理即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意， 可得∶ ． 故答案为∶ （2）解：∵点C为的中点 ∴， ， ， 即 ∴ 1．（23-24七年级上·河北廊坊·期末）已知往返于汕头与广州东的D7150次列车，运行途中须停靠汕头、潮汕、普宁、深圳北、东莞南、东莞、广州东7个站点，那么该次列车共有 种不同的车票．一列火车往返于，两个城市，若共有个站点，则需要 种不同的车票． 【答案】 42 【分析】本题考查了线段、射线、直线等知识点． 从汕头要经过6个地方，所以要制作6种车票；从潮汕要经过5个地方，所以制作5种车票；以此类推，则应分别制作4、3、2、1种车票，因为是来回车票，所以车票数需要乘以2． 若A，B两个城市间有n个站，则第一个站要准备种车票，第二个站台要准备种车票，第三个站台要准备种车票，……，倒数第三个站台要准备2种车票，倒数第二个站台要准备1种车票，它们的和乘以2即可得出答案． 【详解】往返于汕头与广州东的D7150次列车，共制作车票为： （种） 若有n个站点，共制作车票为： （种）． 故答案为：42， 2．（24-25七年级上·宁夏银川·期中）如图，是线段上的点，是线段的中点，是线段的中点，若，则长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了两点间的距离，因为D是线段的中点，E是线段的中点，可得，已知，可得． 【详解】解：∵D是线段的中点，E是线段的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：5． 3．（24-25七年级上·福建泉州·期末）如图，是线段上的一点，． (1)若，求的长． (2)若，分别为线段，的中点，求的长． (3)在（1）的条件下，是直线上的一点，且满足，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了线段的和差关系，熟练掌握线段和差的计算方法和分类讨论解题的关键． （1）根据，，可推出结果； （2）根据线段中点的定义可推出结果； （3）分当点在线段上时，当点在线段的延长线上时，两种情况分别求解． 【详解】（1）解： ，， ； （2）解：，分别为线段，的中点，如图， ，， ； （3）解：分两种情况讨论：①如图，当点在线段上时． ，， ， ， ； ②如图，当点在线段的延长线上时， ，， ， ． 综上所述，的值为或． 4．（24-25七年级上·河南周口·期末）如图，已知直线，点C在直线上，线段，，，分别是，的中点，求线段的长．    【答案】线段的长为cm或cm 【分析】本题考查了两点间的距离，线段的和差，线段中点的性质．根据题意，分两种情况分析：①当点C在点B的左侧时；②当点C在点B的右侧时．先根据线段的和差，可得的长，再根据线段中点的性质，可得、的长，最后根据线段的和差，可得的长．． 【详解】解：根据题意，可分两种情况： ①如图所示，当点在点的左侧时，      ∵，， ∴， ∴， 解得：， ∵是线段的中点， ∴由线段的中点定义可得：， 又∵是的中点， ∴， ∴ ； ②如图所示，当点在点的右侧时，      ∵，， ∴， ∴， 解得：， ∵是线段的中点， ∴由线段的中点定义可得：， 又∵E是AC的中点， ∴， ∴ ， 综上所述，线段的长为cm或cm． 5．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）如图，已知数轴上两点对应的数分别为和，两点对应的数互为相反数．    (1)求的长； (2)若点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向终点运动．同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向点运动，当点到达点后立即返回，仍然以每秒2个单位长度的速度运动至点停止，设运动时间为（秒）． ①问为何值时，为的中点？ ②当时，求的值． 【答案】(1)18 (2)①2或②4或8或12 【分析】此题主要考查了数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，根据点的运动表示出点的位置以及列出方程是解题的关键． （1）根据相反数的定义求出点C对应的数，再根据两点间的距离求出和； （2）①求出P，Q表示的数，根据为的中点列出方程，解之即可；②分和两种情况，根据P，Q表示的数列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵，两点对应的数分别为和，，两点对应的数互为相反数， ∴点对应的数为， ∴； （2）解：设点对应的数为，点对应的数为， 则：，， ①当时，，即：，解得：， 当时，，即：，解得：， 综上所述，的值为2或； ②当时， ∵， ∴， 解得：或， 当时， ∵， ∴， 解得：或（舍）， 综上所述，的值为4或8或12． 6．（23-24七年级上·江苏南通·期末）【阅读思考】 如表反映了平面内直线条数与它们最多交点个数的对应关系． 图形 … 直线条数 2 3 4 … 最多交点个数 1 … 【延伸探究】 （1）按此规律，5条直线相交，最多有______个交点； （2）平面内的8条直线任意两条都相交，交点数最多有x个，最少有y个，请求出的值； 【实践应用】 （3）学校七年级6个班级举行足球联赛，比赛采用单循环赛制（即每两支队伍之间赛一场），当比赛到某一天时，统计出七1，七2，七3，七4，七5五个班级已经分别比赛了5，4，3，2，1场球，请直接写出没有与七6班比赛的班级，并求出还剩的比赛总场数． 【答案】（1）10；（2）29；（3）没有与七6班比赛的班级是七4班和七5班，还剩6场比赛 【分析】本题主要考查了直线交点问题、图形规律探究等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键 （1）根据题干分析n条直线，最多有个交点，直接代入即可得解； （2）代入公式求出交点最多个数，当8条直线交于同一点时，个数最少； （3）根据单循环赛制的特点，以及各班级已赛场次的信息，逐步推理出班级之间的比赛关系，进而求出未与七6班比赛的班级以及剩余比赛场数． 【详解】解：（1）5条直线相交，最多有个交点， 故答案为：10； （2）根据题意，最多有个交点，此时， 当8条直线交于同一点时，交点最少，此时， 所以； （3）分析各班级比赛场次信息： 单循环赛制意味着每个班级都要和其余5个班级各赛一场，所以每个班级最多比赛5场， ①七1班赛了5场，这表明七1班与七2、七3、七4、七5、七6班都进行了比赛； ②七5班只赛了1场，由于七1班与所有班级都比赛过，所以七5班这一场比赛就是和七1班进行的，七5班没有和其他班级比赛； ③确定七2班比赛对象：七2班比赛了4场，因为七5班只和七1班比赛，所以七2班除了和七5班没比赛，与七1、七3、七4、七6班都比赛了； ④确定七4班比赛对象：七4班赛了2场，根据前面的推理，七4班的两场比赛是和七1、七2班进行的； ⑤确定七3班比赛对象：七3班比赛了3场，已知七1、七2班与七3班比赛，七5班没和七3班比赛，所以七3班的三场比赛是和七1、七2、七6班进行的（与七4班没有比赛）；通过以上分析可知，没有与七6班比赛的班级是七4班和七5班． 已比赛的场数为： ①七1班与七2、七3、七4、七5、七6班比赛5场； ②七2班与七4、七3、七6班比赛3场（与七1已算在七1班场次中）； ③七3班与七6班比赛1场（与七1、七2重复场次已算）； ④七4班与七1、七2班赛比2场；（全部为重复场次，已算过） ⑤七5班与七1班赛1场；（全部为重复场次，已算过） ⑥七6班与七1、七2、七3班赛3场（全部为重复场次，已算过），总共已赛9场； 6个班级进行单循环比赛，总场数为场，所以还剩下的比赛场数为场； 综上，没有与七6班比赛的班级是七4班和七5班，还剩6场比赛． 2．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，数轴上，两点的距离为12，一动点从点出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点（，是整数）处，问经过这样2024次跳动后的点与的中点的距离是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴上点的跳动规律以及中点距离的计算，通过观察每次跳动后点与原点的距离变化，可以发现一个规律，即每次跳动后点与的距离是前一次距离的一半，利用这个规律，可以计算出经过次跳动后点与中点的距离，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵数轴上两点的距离为， ∴点表示的数为， 表示的数为， 表示的数为， 表示的数为， 表示的数为， ， 表示的数为， ∴经过这样次跳动后的点表示的数为， ∵点表示的数为，表示的数为， 的中点表示的数为， ∴经过这样次跳动后的点与的中点的距离为： ， 故选：B． 2.（24-25七年级上·安徽亳州·期末）如图，点在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点、；第二次操作：分别取线段和的中点，；第三次操作：分别取线段和的中点，；……连续这样操作2025次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了图形变化规律问题，结合题意确定图形变化规律是解题关键．首先根据题意可知，即可获得答案． 【详解】解：根据题意，，和的中点、， ∴， ∴， 同理可得， ， …… ∴， ∴． 故选：D． 3．（24-25七年级上·江西九江·阶段练习）如图，点都在直线上，是线段的中点，是线段的中点，．    (1)当点在线段上且时，求和的长． (2)若是直线上的动点，动点从点A出发，以3个单位长度/秒的速度沿着的方向运动，运动时间为秒． ①已知另一动点从点出发，以2个单位长度/秒的速度沿着的方向同时运动．是否存在？若存在，求出此时运动的时间；若不存在，请说明理由． ②当动点在线段上运动时，分别是线段和的中点，试判断与线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)， (2)①或；② 【分析】本题主经考查了动点产生的线段的计算．熟练掌握线段中点定义，线段的和差倍分关系，是解题的关键． （1）根据中点，得，，根据，得； （2）①存在，当P、Q相遇时，，得，解得；当P、Q相遇后，，得，解得；②根据中点，得，得，根据，即得． 【详解】（1）解：∵是线段的中点，．∴， ∵是线段的中点， ∴， ∴， ∵点在线段上且， ∴；    （2）解：①存在， 当P、Q相遇时， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得； 当P、Q相遇后， ∵， ∴， 解得； 故或；       ②，理由： ∵分别是线段和的中点，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴．    2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $