6.1.1 立体图形与平面图形（几何图形初步）（分层作业·练题型）数学新教材人教版七年级上册

**基本信息** 本同步练习以“立体图形与平面图形”为核心，通过A/B/C组三级分层设计，构建从基础概念到综合应用再到中考衔接的知识巩固路径，强化空间观念与几何直观，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组|立体图形分类、点棱面数量、三视图识别与绘制、展开图判断等12类基础题型|聚焦单一知识点，题型明确对应基础考点，如“正方体展开图识别”强化空间观念| |B组|含图案的正方体展开图、七巧板面积计算等综合应用|结合情境化问题，如“七巧板拼图案求阴影面积”，发展几何直观与推理意识| |C组|正方体相对面综合解答题、多面体表面积体积探究|设置跨知识点综合题，如“由展开图计算几何体体积”，提升应用意识与创新思维| |拓展|中考真题链接|精选中考典型题，如“正方体相对面汉字判断”，实现日常练习与升学测评衔接|

分层作业 6.1.1立体图形与平面图形 参考答案 立体图形的分类题型01 1. C 2. C 3. C 4. B 5. ①②⑤⑦⑧ ④⑥ ③ 几何体中的点、棱、面题型02 6. 12 7. 14 8. 七 7 21 9. 6 5 9 从不同方向看几何体题型03 10. D 11. A 12. C 13. A 画出几何体的三视图题型04 14. 解：该组合体的三视图，如图所示： 15.解：如图所示： 16. 解：由题意，画出图形如下： 17. （1）解：由图可知，第一层有8块，第二层有5块， ∴图中共有（块）； （2）解：左视图2行正方形从上往下的个数依次为2，3；俯视图3列正方形从上往下的个数依次为4，3，1，如图： 18.解：如图： 几何题的展开图题型05 19. D 20. A 21. B 22. B 由展开图计算几何体的表面积 题型06 23. 112 24. 22 25. 26. 164或158或148 27. 或 28. （1） （2）解：， 这个几何体的表面积为． 29. （1）解：几何体的表面积为； （2）解：从正面看有个面，从6个方向看共有个面， ∴表面积． 由展开图计算几何体的体积题型07 30. （1）解：方案中正方形的边长为， 答：正方形的边长为； （2）解：方案中，长方体盒子的长为， 因为长方体盒子的宽为，高为， 所以方案中长方体盒子的容积为； (3)方案的容积最大，理由如下， 方案中，长方体盒子的长为，长方体盒子的宽为，高为， 所以方案中长方体盒子的容积为； 方案中，长方体盒子的长为，长方体盒子的宽为，高为， 所以方案中长方体盒子的容积为； 因为， 所以方案的容积最大． 31. （1）解：长方体共有12条棱，观察图形，可知，还有5条棱没有剪开， ∴若将一个长方体沿某些棱剪开展成（1）中的平面图形，需要剪开7条棱． 故答案为：12，7； （2）解：∵该长方体的宽和高为：， ∴该长方体的长为， 表面积为， 体积为． 答：长方体的表面积为，长方体的体积为． 正方体的几种展开图的识别题型08 32. D 33. D 34. B 35. B 正方体相对两个面上的字题型09 36. B 37. C 38. D 39. D 40. C 含图案的正方体展开图题型10 41. D 42. A 43. B 44. A 45. A 与七巧板相关的求解题型11 46. 47. / 48. 7 49. 2.5 50. 正方体相对面上的字解答题题型12 51. （1）解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， ∴x与是相对面，y与是相对面，与3是相对面， （2）解：∵x与是相对面，y与是相对面，与3是相对面，正方体相对面上的两个数的绝对值相等． ∴，，， ∴，， ∴． 52.（1）解：由正方体展开图的特点可知，与A面相对的面是D面，与C面相对的面是E面； （2）解：由正方体展开图的特点可知，与A面相对的面是D面，与C面相对的面是E面，与B面相对的面是F面， ， ∵相对两个面所表示的代数式的和都相等， ∴， ． 53.（1）由展开图可知，与相对，与相对，和相对． 根据题意，得 ． 解得． （2）由得． 上式子的值为，C上式子的值为，D上式子的值为． 相对两个面上的式子的和都相等， 上式子的值为． 54. （1）解：由从正面看得到的图形，最右侧是1个，最左侧是3个， 根据从上面看得到的图形，可得，； （2）解：从正面看，中间一列最高有 2 个小立方块，由俯视图看，最后一列有 2 个小立方块， 所以中间可以是 1 个小立方块或2个小立方块，即或 ； 最少：， 最多：， 这个几何体最少由 11 个立方体搭成，最多由 12 个立方体搭成． 1. D 2. C 3. D 4. D 5. C 6. 9 7. -1 8. 方案2 9.（1）解：由图可得底层：4个，第二层：1个； 故构成这个几何体的小立方块的个数为：（个）； （2） 10. （1）解：由图可知： 与相对，与相对，与相对， ∴与标有、的面分别相对的面上标有字母：，， 故答案为：，； （2）解：由题意可得： ， ∴ ， ∴代表的代数式为． 11. （1）解：原正方体的表面积为， 各个小正方体的表面积为， ∴各个小正方体的表面积之和与原来正方体的表面积之比为：； （2）解：原正方体的表面积为， 各个小正方体的表面积为， ∴各个小正方体的表面积之和与原来正方体的表面积之比为：； （3）解：①将一个棱长为的正方体，切割成个小正方体，则小正方体的边长为； ②原正方体的表面积为， 各个小正方体的表面积为， ∴各个小正方体的表面积之和与原来正方体的表面积之比为：. 1. C 2. 方案2 3. 6 4. （1）解：由表格可知，简单多面体的顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的数量关系式是； （2）解：设顶点数为V，则面数，棱数． 代入欧拉公式得：， 解得：， ， 答：这个多面体的面数为20； （3）解：设正五边形有x个，正六边形y个， 则顶点数为；面数；棱数． 代入欧拉公式得：， 解得：， ∵， ∴， 把代入得：，所以． 答：正五边形有12个，正六边形有20个． 5. 解：设为足球表面正五边形的数量，为足球表面正六边形的数量，则 （1）总面数计算：总面数用含，的式子表示为： ， （2）边数计算 每个五边形有5条边，每个六边形有6条边，但每条边被两个面共享，因此总边数E用含，的式子表示为： ， （3）顶点数计算 在足球表面，每个顶点是三个面的交点，具体来说，是两个六边形和一个五边形的交点．因此，每个顶点有条边． 从五边形的视角，每个五边形有个顶点，且每个顶点对应一个五边形，因此顶点数用含的式子表示为： ， 从六边形的视角，每个六边形有个顶点，但每个顶点有两个六边形，因此顶点数用含的式子表示为： ， （4）代入欧拉公式计算 将、、代入：，可得：，之间的关系为：，即 ， 但由和相等得：，即 ， 把和联立成含有，为未知数的方程组，得， 解这个方程组得：，， 因此，足球的表面必须由个正五边形和个正六边形拼接而成． 1. B 2. A 3. B 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 6.1.1立体图形与平面图形 目录 A组巩固过关 基础常考12大题型 题型01立体图形的分类 题型07由展开图计算几何体的体积 题型02几何体中的，点、棱、面 题型08正方体的几种展开图的识别 题型03从不同方向看几何体 题型09正方体相对两个面上的字 题型04画出几何体的三视图 题型10含图案的正方体展开图 题型05几何题的展开图 题型11与七巧板相关的求解 题型06由展开图计算几何体的表面积 题型12正方体相对面上的字解答题 B组能力进阶 C组思维拔高 拓展链接中考 A组 巩固过关 颗型01 立体图形的分类 1.（25-26七年级上山东德州阶段检测)如图，下列图形全部属于柱体的是() 1/23 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C D. 2.(25-26七年级上河北保定期末)下列几何体中，属于棱柱的是() 日国A ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ A.②③⑥ B.①②⑦ C.①③⑥ D.①⑥ 3.(25-26七年级上·江苏泰州阶段检测)下面几何体中与其余三个不相同的是() A. B. C D (25-26七年级上江苏苏州阶段检测)下列几何体中，属于棱柱的有() - A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 5.(26-27七年级全国暑假作业)将下图中的立体图形分类. 1 2 ③ (4 5 ⑥ ⑦ ⑧ 2/23 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 柱体 ;锥体 ；球体 题型02 几何体中的点、棱、面 6. (25-26六年级上山东烟台期中)一个直棱柱共有18条棱，所有侧棱长的和是72厘米，则每条侧棱长 是 厘米 . 7.（2026七年级上·重庆.专题练习)一个棱柱有12条棱，那么它的面数为，顶点数为n,则m+n= 8.(25-26七年级上·天津.阶段检测)一个棱柱由9个面组成，则这个棱柱是 棱柱，这个棱柱 有 个侧面，共有 条棱 9.（25-26七年级上河南平顶山期中)一个棱柱如图所示，则这个棱柱有 个项点：它由 个面围成：这些面相交成 条棱. 题型03 从不同方向看几何体 10. (2026河南信阳模拟预测)如图所示的8个正方体组成的几何体，从左面看到的形状图是() 正面 3/23 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C. D 11.(2026河南安阳模拟预测)如图所示的几何体是由一些小正方体组成的，那么从左边看它的图形是 () .日▣. 12.(25-26七年级上河南郑州期末)如图所示的几何体是由5个大小相同的小立方块搭成，从前面看得 到的图形是() A C D 13.（25-26七年级下·黑龙江大庆期末)如图所示的立体图形的从前面看的平面图形是() 4/23 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B C. 题型04 画出几何体的三视图 14.（25-26七年级下辽宁丹东·开学考试)如图是用10块完全相同的小正方体搭成的几何体 请在空白方格中分别画出从正面、从左面、从上面看到的所搭几何体的形状图， 正面 从正面看 从左面看 从上面看 15.(25-26七年级上陕西商洛·期末)如图所示，由7个相同的小正方体组合成一个立体图形，请画出分 别从正面、左面和上面看到这个几何体的形状图 正面 从正面看 从左面看 从上面看 16,(25-26七年级上陕西西安期末)如图是用9块完全相同的小正方体搭成的几何体，请在方格中画出 这个几何体从三个方向看得到的形状图 正面 从正面看 从左面看 从上面看 17. （2526七年级上·贵州安顺期末)如图是由一些大小相同的小正方体组合成的简单几何体， 左视图 俯视图 5/23 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)图中共有几块小正方体： (2)请在上面方格纸中分别画出该几何体的左视图和俯视图， 18.(25-26七年级上四川达州·阶段检测)一个几何体是由几个棱长为2cm的小正方体搭成，从上面观察 这个几何体，看到的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示该位置正方体的个数.请画出从正面和从 左面看到的这个几何体的形状： 2 从正面看 从左面看 颗型05 几何题的展开图 19. (2026江苏常州·二模)某几何体的表面展开图如图所示，则该几何体可能是() A. D. 20.(2026河南漯河·二模)下列四个展开图中，能折叠成一个四棱锥的是() A 21. (2026河南周口二模)如图是某几何体的展开图，该几何体是() 6/23 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0 22.(25-26九年级下河北沧州阶段检测)如图，一个几何体上半部分为正四棱锥，下半部分为立方体， 且有一个面涂有颜色、下列图形中，是该几何体的表面展开图的是() 0 颗型06 由展开图计算几何体的表面积 23. (25-26七年级上江苏扬州期末)如图，是一个用硬纸板制作的长方体包装盒展开图，己知它的底面 形状是正方形，高为7cm,则长方体的侧面积是 cm. 11cm 7cm 24.（25-26七年级上广东广州期末)如图是某包装盒的表面展开图，这个几何体的表面积是 平 方米. 3米 1米 3米 2米 3米 25.(2026九年级上·广西崇左·专题练习)一个圆柱形木块，底面直径是2厘米，高是9厘米，若沿虚线 （如图)切开后得到若干个完全相同的小木块，小木块的表面积之和比原来圆柱的表面积增加了 7/23 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 平方厘米. 26.（2026七年级上.全国.专题练习)有两个完全相同的长方体，长、宽、高分别是5cm,4cm,3cm,把 它们叠放在一起组成一个新的长方体，这个新的长方体的表面积是 cm. 27.(25-26七年级上.全国.课后作业)已知圆柱的侧面展开图是一个长为18cm、宽为12cm的长方形， 则该圆柱的表面积为 cm2. 28.(25-26七年级上广东揭阳·期末)如图是由一些相同的小正方体组成的几何体， 从正面看 从正面看 从左面看 从上面看 (1)请在指定位置画出该几何体从正面、左面和上面看到的形状图： (2)设小正方形的边长为a,求这个几何体的表面积 29.(25-26七年级上全国期末)若干个棱长为2的小正方体，摆成如图所示的几何体. (1)求几何体的表面积： (2)依图中摆放方法类推，如果该几何体摆放了上下共10层，求该几何体的表面积. 题型07 由展开图计算几何体的体积 30.(25-26七年级上贵州六盘水期末)综合实践 在数学活动课上，王老师带领同学们以“制作无盖长方体盒子”为主题展开活动.用一张长为40Cm,宽 为24cm的长方形纸片制作一个无盖的长方体纸盒.下图为同学们提供的三种方案，其中AB=4cm,阴 影为剪去部分，虚线为折痕. 8/23 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A A 方案1 方案2 方案3 (1)方案1中，在长方形四个角剪去边长相同的正方形，求正方形的边长： (2)计算方案1中长方体盒子的容积： (3)这三种方案中哪种方案的容积最大，并说明理由. 31.(25-26七年级上重庆大渡口·期末)如图，在学习了《展开与折叠》相关知识后，老师给同学们一块 画有若干个正方形和长方形的纸板，让同学们沿着线条将纸板折叠，折叠后小张同学发现正好是一个长方 体 12cm 15cm 1)长方体共有条棱，将一个长方体沿某些棱剪开，展成平面图形，需要剪开条棱： (2)根据图中的数据，求出纸板所折叠而成的长方体的表面积和体积.。 题型08 正方体的几种展开图的识别 32. （2026四川雅安.一模)下列图形中，能折成正方体的是（) B. 33.（25-26七年级下·广西柳州开学考试)下列四个图形都是由相同的小正方形组成的，其中沿小正方形 9/23 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 的边能折叠成正方体的是() ① ② ③ A.①② B.③④ C.②③ D.①④ 34.(2026陕西西安三模)下列图形中，不是正方体展开图的是( A D 35.(2026福建泉州模拟预测)母亲节时，小丽想做一个正方体礼盒装礼品送给妈妈，则下列图形中， 小丽可以选择的是() 颗型09 正方体相对两个面上的字 36.(25-26九年级下山西阶段检测)每年的3月5日是雷锋纪念日，共青团员小丽将“弘扬雷锋精神” 六个汉字分别写在正方体的各个面上，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“弘”字所在面相 对的面上的汉字是() 弘 扬 雷 锋 精 神 A.“雷” B.“锋” C.“精” D.“神” 37.(2026西藏拉萨模拟预测)如图是每个面上都有一个汉字的正方体的一种平面展开图，那么在原正 方体中和“设”字相对的面上的汉字是( 建 设 美 丽西藏 A.美 B.丽 C.西 D.藏 10/23 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 38.（25-26七年级下四川泸州期末)如图是一个正方体的展开图，把展开图折叠成正方体后，有“州” 字一面的相对面上的字是() 中 国 酒 城 泸 州 A.中 B.国 C.酒 D.城 39.(2026河南南阳模拟预测)“强国复兴有我”是近年来广泛传播的响亮口号，充分展现了新时代中 华儿女的责任与担当.将这六个汉字分别写在某正方体的六个面上，如图是它的一种展开图，则在原正方 体中，与“强”字所在面相对的面上的汉字是( ) 强 国 复兴有 我 A.复 B.兴 C.有 D.我 40.(26-27七年级·全国·暑假作业)将“弘扬五四精神”六个汉字分别写在某正方体的表面上，如图是它 的一种展开图，则在原正方体的表面上，与“弘”字所在面相对的面上的汉字是() 弘 扬 五 四 精 神 A.扬 B.四 C.精 D.神 颗型10 含图案的正方体展开图 41. (25-26七年级下·内蒙古乌海·开学考试)如图所示的正方体的展开图是() 兰香 A.① B.② C.③ D.④ 42.(2026河北沧州一模)如图是一个上半部分（取每条竖直棱的中点）涂黑的正方体纸盒，它的展开 11/23 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图是() 中点 43.(2026九年级·吉林.专题练习)图(1)表示一个正方体，只有三个面上分别标有不同的点数，图 (2)是这个正方体的表面展开图，则在图(2)中面 是( ④ ① O ③ 0 ② 图(1) 图(2) A.① B.② C.③ D.④ 44.(25-26七年级上广东清远·期末)一个正方体的平面展开图如图所示，原正方体可能是() D. 45.(25-26七年级上·广东佛山期末)如图，小明网购了一个精美的正方体礼物盒，需要动手将平面展开 图折叠成立体纸盒，则完成后的正方体纸盒是() 12/23 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型11 与七巧板相关的求解 46. (2026陕西西安.模拟预测)如图，同一副七巧板分别拼成图1、图2两种图案，图1是面积为16的正 方形，图2是小兔图案，则图2中阴影部分面积为 图1 图2 47.(25-26九年级下江西景德镇期中)七巧板是中国传统数学文化的重要载体，利用七巧板可以拼出许 多有趣的图案，如图，用边长为1dm的正方形纸板，制成一副七巧板，将它拼成“小天鹅”图案，其中阴 影部分的面积是dm2. 48.(25-26七年级上·江苏无锡期末)七巧板是我国一种古老的拼板玩具（图1），广泛流传于世界各国， 在国外被称为“唐图”，意为中国的图板.图2是由边长为4的正方形分割制作的七巧板拼成的“以礼相 待”图，则图中阴影部分的面积是 13/23 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 49.（25-26七年级上·福建泉州·期末)七巧板是我国古代劳动人民的发明，它是一种古老的传统智力游戏. 如图②，是小明用七巧板图①拼出的“马到成功”图，若图①中的七巧板面积为8，则图②中阴影部分的 面积和为 图① 图② 50.(2026九年级湖南学业考试)七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具.如图，某同学用边长为 6d的正方形纸板制作了一副七巧板，由5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形组成，将其 拼成了“小天鹅”的形状.已知阴影部分是由七巧板中的1个正方形组成，则图中阴影部分的面积为 dm2 颗型12 正方体相对面上的字解答题 51.（25-26七年级上四川甘孜期末)如图是一个正方体的表面展开图，且正方体相对面上的两个数的绝 对值相等。 14/23 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1x,y,z所在的面分别与数字一， 所在的面是相对面： (2)求x2-2y2-3z的值 52.(25-26七年级上四川乐山期末)如图是一个正方体的表面展开图，请回答下列问题： A B E F (1)与A面相对的面是 与C面相对的面是 (②若A=a+ab+3,B=ab-3,C=a3-1,D=-a2b-6且相对两个面所表示的代数式的和都相等， 求E,F分别代表的代数式. 53.(25-26七年级下河南新乡期中)已知A,B,C,D,E,F是一个正方体的六个面，其展开图如图 所示.若A上的式子为x-1,B上的武子为-3x+1,C上的式子为3x-2,D上的式子为x+1,F上的 式子为4X+2,且相对两个面上的式子的和都相等。 B E (1)求x的值； 2)求E上式子的值， 54.（25-26七年级上全国·期末)用小立方块搭一个几何体，使它从正面和从上面看的形状图如图所示. 从上面看的形状图中，小方格中的字母表示该位置小立方块的个数，试回答下列问题， 2 2 1 从正面看 从上面看 (1)x,z各表示多少？ (2y可能是多少？这个几何体最少由几个小立方块搭成？最多呢？ 15/23 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B组 能力进阶 1.(26-27七年级上·浙江杭州开学考试)如图是由若干个小正方体组成的，数一数一共有()个这样 的小正方体. A.9 B.10 C.12 D.13 2.（2026江西上饶模拟预测)如图是一个5×5的正方形网格，图中阴影部分为一个正方体五个面的展开 图形.现需在网格内的空白小正方形中选择一个，使它与阴影部分拼接后，恰好能构成一个完整的正方体 表面展开图，则符合条件的选择方法共有()· A.2种 B.3种 C.4种 D.5种 3.(2026甘肃白银.二模)如图，这是一个正方体的平面展开图，若相对的两个面上的数互为相反数，则 x+y+z的值为() -2 7 A.-8 B.4 C.0 D.-4 4.将若干个相同的小正方体堆成如图所示的图形，若每个小正方体的棱长为Q,则这个图形的表面积为 () 16/23 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.30a2 B.40a2 c.50a2 D.60a2 5.(25-26七年级上河南驻马店·阶段检测)数学活动课上，小明用一张边长为10cm的正方形纸片制作了 一副如图1所示的七巧板，并用这副七巧板设计成如图2所示的“天鹅”作品，则该“天鹅”作品中，阴 影部分的面积为() 10cm 图1 图2 A.75cm? 4 B.75cm2 C.cm D.50cm2 6.(25-26七年级上·江苏南京开学考试)一个立体图形是由若干个小正方体拼成的，小军分别从前面、 右面、上面观察看到的图形如下，这个立体图形是由( )个小正方体拼成的. 7.(25-26七年级上.宁夏银川期末)如图是一个正方体的平面展开图，正方体中相对的面上的数字或代 数式互为相反数，则y的值为 -2 5 y 2x-3 2 8.(25-26七年级上陕西西安期末)用一张长为20厘米，宽为12厘米的长方形纸片制作一个无盖的长方 体纸盒.如图为三位同学提供的方案，其中AB=2厘米，阴影为剪去部分，虚线为折痕. 17/23 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B B A B D 方案1 方案2 方案3 上述三种方案中，长方体纸盒容积最大的是 9.（2526七年级上广东茂名期末)如图，若干个大小相同的小立方块搭成的几何体。 r- 正面 从正面看 从上面看 从左面看 (1)这个几何体由 个小立方块搭成： (2)从正面、上面、左面观察该几何体，分别画出你所看到的几何体的形状图. 10.(25-26七年级下江苏·开学考试)如图是一个正方体的表面展开图，请回答下列问题： A B D E F (1)与标有B、C的面分别相对的面上标有字母： a若A=a2+号db+3.B=a2b-3,C=02-1,D=-之db-6,且相对两个面上代数式的和都相 等，求E代表的代数式 11.(25-26七年级下·安徽合肥期中)探究不同情境，回答下面的问题： 图1 图2 (1)如图1，如果将棱长为1cm的正方体，切割成2×2×2个棱长为0.5cm的小正方体，各个小正方体的表 面积之和与原来正方体的表面积之比为：一 (2)如果将棱长为1cm的正方体，切割成5×5×5个棱长为0.2cm的小正方体，各个小正方体的表面积之和 18/23 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 与原来正方体的表面积之比为：-： (3)如图2将一个棱长为acm的正方体，切割成n×n×n个小正方体， ①小正方体的边长为_： ②求各个小正方体的表面积之和与原来正方体的表面积之比. C组 思维拔高 1.（25-26七年级上·山西太原阶段检测)如图所示，用高为6cm、底面直径为4cm的圆柱A的侧面展开 图，再围成不同于A的另一个圆柱B,则圆柱B的体积为() A 侧面展开图 B A.24πcm3 B.36ntcm3 C.36cm3 D.40cm3 2.（25-26七年级上陕西西安期末)用一张长为20厘米，宽为12厘米的长方形纸片制作一个无盖的长方 体纸盒.如图为三位同学提供的方案，其中AB=2厘米，阴影为剪去部分，虚线为折痕. A B B A D 方案1 方案2 方案3 上述三种方案中，长方体纸盒容积最大的是 3.(25-26八年级上·江苏徐州期末)将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6、2和5、3和4）放置 于水平桌面上（如图①），在图②中，将骰子向右翻滚90°，然后在桌面上按逆时针方向旋转90°，则完 成一次变换.若骰子的初始位置为图①所示的状态，那么按上述规则连续完成20次变换后，骰子朝上一 面的点数是 19/23 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图① 88 向右翻滚90 逆时针旋转90 图② 4.(25-26七年级下.福建泉州期末)【项目式学习】根据素材，探索完成任务： 材料：十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数()、面数(F)、棱数 ()之间存在着一个关系式，被称为欧拉公式，其实，你也可以做到！ 名称 四面体 三棱柱 正八面体 正十二面体 图形 顶点数 6 20 V 面数F 12 棱数E 6 9 12 30 (1)任务一：通过表格，你发现简单多面体的顶点数()、面数()、棱数()之间存在的数量关系式 是 (2)任务二：某设计师创作了一款多面体形状的灯具，已知它的面数比顶点数多10，且棱数比面数多8，求 这个多面体的面数： (3)任务三：如图，有一种足球是由若干块黑白相间的牛皮缝制而成，黑皮的是正五边形，白皮的是正六边 形.它们的边长都相等并且每个正五边形周围连着5个正六边形，每个正六边形周围又连着3个正五边形 和3个正六边形，求正五边形和正六边形的个数. 20/23 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.（2026安徽准南.一模)综合与实践 【项目主题】 为开展室内小足球活动，某课外活动小组对用正五边形和正六边形皮子拼接成足球产生了兴趣 【项目准备】 (1)密铺知识学习：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，使图形之间既没有空隙也 没有重叠地铺成一片，叫做图形的密铺. (2)足球的表面是由正五边形和正六边形拼接而成的多面体，这种结构的表面究竟是由多少个正五边形 和正六边形拼接而成的呢？ 【项目分析】 课外活动小组通过欧拉公式和顶点配置做了如下探究. 欧拉公式 对于任何凸多面体，欧拉公式成立：V-E+F=2其中，V是顶点数，E是边数，F是面数 设F为足球表面正五边形的数量，F6为足球表面正六边形的数量，则 (1)总面数计算：总面数F用含F5,F6的式子表示为：F=① (2)边数计算 每个五边形有5条边，每个六边形有6条边，但每条边被两个面共享，因此总边数E用含F5,F6的式子表 示为：E=② (3)顶点数计算 在足球表面，每个顶点是三个面的交点，具体来说，是两个六边形和一个五边形的交点，因此，每个顶点 有3条边. 从五边形的视角，每个五边形有5个顶点，且每个顶点对应一个五边形，因此顶点数V用含F5的式子表示 21/23 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 为：V=③ 从六边形的视角，每个六边形有6个顶点，但每个顶点有两个六边形，因此顶点数V用含F6的式子表示为： V=④ (4)代入欧拉公式计算 将③、②、①代入：V-E+F=2,可得：F,F6之间的关系为：⑤ 但由③和④相等得：F6_⑥ Fs 把⑥和⑤联立成含有F5,F6为未知数的方程组，解这个方程组得：F5=⑦，F6=⑧ 【项目实施】 因此，足球的表面必须由⑨个正五边形和⑩个正六边形拼接而成.这种配置确保了多面体的对称性和接近 球形的形状，同时满足几何约束.此外，这种结构在现实中也使足球具有较好的滚动性和稳定性，从而便 于在室内开展活动. 请将上述材料中横线上所缺内容补充完整： ①；②；③；④；⑤ _；⑥；⑦；⑧：⑨-；⑩ 拓展 链接中考 1.(2026江苏苏州中考真题)下列硬纸片可以沿虚线折叠成长方体纸盒的是() 2.(2026四川达州中考真题)下图中的良渚文化神徽纹玉勒，它的外形可以近似地看作() 22/23 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.圆柱 B.圆锥 C.棱柱 D.棱锥 3.（2026河南中考真题)今年我国六五环境日的主题为“全面绿色转型，共建美丽中国”.将“共建美 丽中国”这六个汉字分别写在某正方体的表面上，如图是它的一种展开图，则在原正方体中，与“建”字 所在面相对的面上的汉字是() 共 建 美 丽 中 国 A.美 B.丽 C.中 D.国 23/23 分层作业 6.1.1立体图形与平面图形 目 录 A组 巩固过关 基础常考12大题型 题型01 立体图形的分类 题型07 由展开图计算几何体的体积 题型02 几何体中的点、棱、面 题型08 正方体的几种展开图的识别 题型03 从不同方向看几何体 题型09 正方体相对两个面上的字 题型04 画出几何体的三视图 题型10 含图案的正方体展开图 题型05 几何题的展开图 题型11 与七巧板相关的求解 题型06 由展开图计算几何体的表面积 题型12 正方体相对面上的字解答题 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 立体图形的分类题型01 1．（25-26七年级上·山东德州·阶段检测）如图，下列图形全部属于柱体的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了认识立体图形的知识，解答本题的关键是掌握柱体和锥体的定义和特点．根据柱体的定义，结合图形即可作出判断． 【详解】解：A、左边的图形属于锥体，故本选项错误； B、上面的图形是圆锥，属于锥体，故本选项错误； C、三个图形都属于柱体，故本选项正确； D、上面的图形不属于柱体，故本选项错误． 故选：C． 2．（25-26七年级上·河北保定·期末）下列几何体中，属于棱柱的是（   ） A．②③⑥ B．①②⑦ C．①③⑥ D．①⑥ 【答案】C 【分析】本题主要考查立体图形的分类，掌握棱柱的定义是解题的关键． 根据棱柱的定义即可求解． 【详解】解：①棱柱；②圆柱；③棱柱；④棱锥；⑤圆锥；⑥棱柱；⑦球体． 属于棱柱的有：①③⑥． 故选：C． 3．（25-26七年级上·江苏泰州·阶段检测）下面几何体中与其余三个不相同的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 本题考查了立体图形的认识．立体图形：有些几何图形如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等的各部分不都在同一个平面内，这就是立体图形．根据立体图形的特征判断即可． 【详解】解：A是三棱柱、B是四棱柱、D是五棱柱，都是柱体， C是三棱锥，是锥体， 故选：C． 4．（25-26七年级上·江苏苏州·阶段检测）下列几何体中，属于棱柱的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了立体图形的分类，解题关键是熟悉常见的几何体． 根据所给的图形，逐一识别，再作出统计． 【详解】解：所给的图分别为正方体、圆柱、四棱柱、球、圆锥、三棱柱， 其中属于棱柱的有正方体、四棱柱、三棱柱，共3个， 故选：B． 5．（26-27七年级·全国·暑假作业）将下图中的立体图形分类． 柱体____________；锥体____________；球体____________． 【答案】 ①②⑤⑦⑧ ④⑥ ③ 【分析】根据立体图形的特征．据此可得答案． 【详解】柱体分为棱柱和圆柱，在以上立体图形中，柱体有：①②⑤⑦⑧； 锥体分为棱锥和圆锥，在以上立体图形中，锥体有：④⑥； 球体是一个连续曲面的立体图形，在以上立体图形中，球体有：③． 几何体中的点、棱、面题型02 6．（25-26六年级上·山东烟台·期中）一个直棱柱共有18条棱，所有侧棱长的和是72厘米，则每条侧棱长是_________厘米 ． 【答案】 【分析】根据直棱柱的棱数与侧棱数的关系，确定该直棱柱的侧棱数量，再由所有侧棱长的和计算每条侧棱的长度． 【详解】解：根据n棱柱的棱数性质，可得n棱柱共有条棱， 该直棱柱共有条棱， ， 解得，即该直棱柱为六棱柱，共有条侧棱， 所有侧棱长的和是厘米， 每条侧棱长为（厘米）． 7．（2026七年级上·重庆·专题练习）一个棱柱有12条棱，那么它的面数为m，顶点数为n，则______． 【答案】14 【分析】本题考查了代数式求值，棱柱的相关知识，根据一个x棱柱有条棱，个顶点，个面，即可求解． 【详解】解：∵一个棱柱有12条棱，， ∴该棱柱为四棱柱， ∴底面是四边形， ∴顶点数，面数， ∴． 故答案为：14． 8．（25-26七年级上·天津·阶段检测）一个棱柱由9个面组成，则这个棱柱是___________棱柱，这个棱柱有___________个侧面，共有___________条棱． 【答案】 七 7 21 【分析】本题主要考查了棱柱的特点，棱柱的总面数由两个底面和侧面组成，据此可求出棱柱的侧面数，进而求出棱数即可得到答案． 【详解】解：∵棱柱有上下两个底面，且该棱柱由9个面组成， ∴该棱柱有7个侧面， ∴该棱柱是七棱柱， ∴棱柱有条棱， 故答案为：七；7；21． 9．（25-26七年级上·河南平顶山·期中）一个棱柱如图所示，则这个棱柱有___________个顶点；它由___________个面围成；这些面相交成___________条棱． 【答案】 6 5 9 【分析】本题考查了几何体中的点、棱、面，根据三棱柱的特征进行分析，即可作答． 【详解】解：观察图形得出这个几何体是一个三棱柱， 这个三棱柱有6个顶点；它由5一个面围成；这些面相交成9条棱． 故答案为： 从不同方向看几何体题型03 10．（2026·河南信阳·模拟预测）如图所示的个正方体组成的几何体，从左面看到的形状图是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：从左面看到的形状图是选项D中图形． 11．（2026·河南安阳·模拟预测）如图所示的几何体是由一些小正方体组成的，那么从左边看它的图形是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据从不同角度看几何体，得出从左面看几何体得到的图形即可解题． 【详解】 解：从左边看它的图形是． 12．（25-26七年级上·河南郑州·期末）如图所示的几何体是由5个大小相同的小立方块搭成，从前面看得到的图形是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三视图的概念判断即可． 【详解】解：从题目所示的前面看，从上到下依次有一个正方形，两个正方形，从左到右依次有两个正方形，一个正方形，符合题意的为C． 13．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期末）如图所示的立体图形的从前面看的平面图形是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据从前面看到的图形解答即可． 【详解】解：从前面看，是上面小下面大的两个长方形，上面长方形中间有一条竖直的线段， ∴四个选项中，只有A选项符合题意． 画出几何体的三视图题型04 14．（25-26七年级下·辽宁丹东·开学考试）如图是用10块完全相同的小正方体搭成的几何体． 请在空白方格中分别画出从正面、从左面、从上面看到的所搭几何体的形状图． 【答案】该组合体的三视图，如图所示： 【分析】根据三视图的画法分别画出从正面、左面、上面看该组合体所看到的图形即可． 【详解】略 15．（25-26七年级上·陕西商洛·期末）如图所示，由个相同的小正方体组合成一个立体图形，请画出分别从正面、左面和上面看到这个几何体的形状图． 【答案】图见解析 【分析】分别根据从正面、左面、上面看到该几何体的形状，依次画出图形． 【详解】解：如图所示： 16．（25-26七年级上·陕西西安·期末）如图是用9块完全相同的小正方体搭成的几何体，请在方格中画出这个几何体从三个方向看得到的形状图． 【答案】图见解析 【详解】解：由题意，画出图形如下： 17．（25-26七年级上·贵州安顺·期末）如图是由一些大小相同的小正方体组合成的简单几何体． (1)图中共有几块小正方体； (2)请在上面方格纸中分别画出该几何体的左视图和俯视图． 【答案】(1)13； (2)见解析． 【分析】（1）由图可得答案； （2）根据三视图的定义画图即可． 【详解】（1）解：由图可知，第一层有8块，第二层有5块， ∴图中共有（块）； （2）解：左视图2行正方形从上往下的个数依次为2，3；俯视图3列正方形从上往下的个数依次为4，3，1，如图： 18．（25-26七年级上·四川达州·阶段检测）一个几何体是由几个棱长为的小正方体搭成，从上面观察这个几何体，看到的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示该位置正方体的个数．请画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状； 【答案】作图见解析 【分析】从上面观察几何体及小正方形中的数字，可知从正面看几何体的列数与从上面观察几何体的列数相同，且每列小正方形数目为从上面观察几何体的相应列中小正方形中的数字的最大数字；从左面看几何体的列数与从上面观察几何体的行数相同，且每列小正方形数目为从上面观察几何体的相应行中小正方形中的数字的最大数字，据此画图即可． 【详解】解：如图： 2 几何题的展开图题型05 19．（2026·江苏常州·二模）某几何体的表面展开图如图所示，则该几何体可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据几何体展开图可得答案． 【详解】解：根据几何体表面的展开图有2个面，一个圆是底面，一个曲面是侧面，可知该几何体是圆锥，所以D符合题意． 20．（2026·河南漯河·二模）下列四个展开图中，能折叠成一个四棱锥的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵四棱锥的底面为四边形，四个侧面均为三角形， 故能折叠成一个四棱锥的只有： 21．（2026·河南周口·二模）如图是某几何体的展开图，该几何体是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】展开图中有两个三角形，三个四边形，是三棱柱的组成， 这个几何体是三棱柱． 故选：B 22．（25-26九年级下·河北沧州·阶段检测）如图，一个几何体上半部分为正四棱锥，下半部分为立方体，且有一个面涂有颜色．下列图形中，是该几何体的表面展开图的是（    ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】由平面图形的折叠及几何体的展开图看是否还原成原几何体，注意带图案的一个面是不是底面，对各选项进行一一分析判定即可． 【详解】解：选项A和C带阴影的一个面是底面，不能折叠成原几何体的形式； 选项B能折叠成原几何体的形式， 选项D折叠后四个三角形不共点． 由展开图计算几何体的表面积题型06 23．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）如图，是一个用硬纸板制作的长方体包装盒展开图，已知它的底面形状是正方形，高为，则长方体的侧面积是______． 【答案】 【分析】本题考查了几何体的展开图，根据展开图可得底面正方形的边长为即可得到答案，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由图形可知：底面正方形的边长， ∴长方体的侧面积是：， 故答案为：． 24．（25-26七年级上·广东广州·期末）如图是某包装盒的表面展开图，这个几何体的表面积是________平方米． 【答案】 【分析】本题主要考查了长方体的展开图，求长方体的表面积，根据展开图可得该几何体是长方体，且长、宽、高分别为3米，2米，1米，据此根据长方体的表面积公式求解即可． 【详解】解：由展开图可知，该几何体是一个长方体，且长、宽、高分别为3米，2米，1米， ∴这个几何体的表面积是平方米， 故答案为：． 25．（2026九年级上·广西崇左·专题练习）一个圆柱形木块，底面直径是2厘米，高是9厘米，若沿虚线（如图）切开后得到若干个完全相同的小木块，小木块的表面积之和比原来圆柱的表面积增加了________平方厘米． 【答案】 【分析】本题主要考查了几何体的表面积．根据圆柱的切割特点可知，沿着它的底面直径平均切开成两个半圆柱后，表面积是增加了4个以圆柱的底面直径和高为边长的长方形的面的面积和4个圆柱的底面的面积，由此即可求出增加的表面积． 【详解】解：（平方厘米）， 故表面积增加了平方厘米． 故答案为：． 26．（2026七年级上·全国·专题练习）有两个完全相同的长方体，长、宽、高分别是，把它们叠放在一起组成一个新的长方体，这个新的长方体的表面积是_________． 【答案】164或158或148 【分析】两个完全相同的长方体叠放成新长方体时，会有一个面重合，新长方体的表面积等于两个原长方体的表面积之和减去2 倍的重合面面积即可求解，但需分三种情况讨论：重合面为“长 × 宽”与“长 × 高”与“宽 × 高”的面三个面进行解答． 【详解】如图，两个完全相同的长方体的表面积的和是．将两个完全相同的长方体叠放在一起组成一个新的长方体，表面积有三种情况： ①当两个长方体右面重合时，新的长方体的表面积是； ②当两个长方体正面重合时，新的长方体的表面积是； ③当两个长方体上面重合时，新的长方体的表面积是． 综合所述：新长方形表面积为：或或 【点睛】本题考查了求长方表的表面积，理解新长方体的表面积等于两个原长方体的表面积之和减去2倍的重合面面积是解题的关键． 27．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知圆柱的侧面展开图是一个长为、宽为的长方形，则该圆柱的表面积为____________． 【答案】或 【分析】本题考查了立体图形的展开图，底面圆的周长分和去求表面积，分类讨论是解本题的关键． 【详解】解：设底面的半径为. 当底面圆的周长为时，则, 解得： 此时该圆柱的表面积= 当底面圆的周长为时，则, 解得： 此时该圆柱的表面积= 综上所述：该圆柱的表面积为：或． 故答案为：或． 28．（25-26七年级上·广东揭阳·期末）如图是由一些相同的小正方体组成的几何体． (1)请在指定位置画出该几何体从正面、左面和上面看到的形状图； (2)设小正方形的边长为，求这个几何体的表面积． 【答案】(1) (2)这个几何体的表面积为． 【分析】（1）根据从不同方向看几何体作图即可； （2）根据表面积公式结合图形计算即可得解． 【详解】（1）略 （2）解：， 这个几何体的表面积为． 29．（25-26七年级上·全国·期末）若干个棱长为2的小正方体，摆成如图所示的几何体． (1)求几何体的表面积； (2)依图中摆放方法类推，如果该几何体摆放了上下共10层，求该几何体的表面积． 【答案】(1)144 (2)1320 【分析】（1）从正面看有6个正方形，一共有6个方向，可得几何体表面积为36个小正方形面积； （2）从正面看有55个面，从6个方向看共有330个面，进而求解即可． 【详解】（1）解：几何体的表面积为； （2）解：从正面看有个面，从6个方向看共有个面， ∴表面积． 由展开图计算几何体的体积题型07 30．（25-26七年级上·贵州六盘水·期末）综合实践 在数学活动课上，王老师带领同学们以“制作无盖长方体盒子”为主题展开活动．用一张长为，宽为的长方形纸片制作一个无盖的长方体纸盒．下图为同学们提供的三种方案，其中，阴影为剪去部分，虚线为折痕． (1)方案中，在长方形四个角剪去边长相同的正方形，求正方形的边长； (2)计算方案中长方体盒子的容积； (3)这三种方案中哪种方案的容积最大，并说明理由． 【答案】(1)正方形的边长为； (2)方案中长方体盒子的容积为； (3) 方案的容积最大，理由如下， 方案中，长方体盒子的长为，长方体盒子的宽为，高为， 所以方案中长方体盒子的容积为； 方案中，长方体盒子的长为，长方体盒子的宽为，高为， 所以方案中长方体盒子的容积为； 因为， 所以方案的容积最大． 【分析】本题考查了几何体的展开图，有理数运算的应用，掌握长方体表面展开图的特征是解题的关键． （）根据方案中列出算式，即可求出正方形的边长； （）求出方案中长方体盒子的长为，又长方体盒子的宽为，高为，然后通过体积公式即可求解； （）在方案中，长方体盒子的长为，长方体盒子的宽为，高为；方案中，长方体盒子的长为，长方体盒子的宽为，高为，然后求出体积，再比较大小即可． 【详解】（1）解：方案中正方形的边长为， 答：正方形的边长为； （2）解：方案中，长方体盒子的长为， 因为长方体盒子的宽为，高为， 所以方案中长方体盒子的容积为； （3）略 31．（25-26七年级上·重庆大渡口·期末）如图，在学习了《展开与折叠》相关知识后，老师给同学们一块画有若干个正方形和长方形的纸板，让同学们沿着线条将纸板折叠，折叠后小张同学发现正好是一个长方体． (1)长方体共有______条棱，将一个长方体沿某些棱剪开，展成平面图形，需要剪开______条棱； (2)根据图中的数据，求出纸板所折叠而成的长方体的表面积和体积． 【答案】(1)12，7 (2)长方体的表面积为，长方体的体积为 【分析】本题主要考查了长方体的展开图、长方体体积计算等知识，熟练掌握长方体及其展开图的性质是解题关键． （1）根据长方体及其展开图的性质，即可获得答案； （2）结合题意确定长方体的长、宽和高，然后根据长方体的表面积公式和体积公式求解即可． 【详解】（1）解：长方体共有12条棱，观察图形，可知，还有5条棱没有剪开， ∴若将一个长方体沿某些棱剪开展成（1）中的平面图形，需要剪开7条棱． 故答案为：12，7； （2）解：∵该长方体的宽和高为：， ∴该长方体的长为， 表面积为， 体积为． 答：长方体的表面积为，长方体的体积为． 正方体的几种展开图的识别题型08 32．（2026·四川雅安·一模）下列图形中，能折成正方体的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵A选项中出现一行个正方形，不符合正方体展开图特征， ∴不能折成正方体； ∵B选项中一行个正方形，其余个正方形均在同一侧， ∴折叠后两个面重叠，不能折成正方体； ∵C选项中含有“田”字格结构， ∴不能折成正方体； ∵D选项属于“”型，中间个连成一串，两侧各有一个且不相邻， ∴能折成正方体． 33．（25-26七年级下·广西柳州·开学考试）下列四个图形都是由相同的小正方形组成的，其中沿小正方形的边能折叠成正方体的是（     ） A．①② B．③④ C．②③ D．①④ 【答案】D 【分析】利用正方体表面展开图的特点逐项判断即可． 【详解】解：图②：中间四个小正方形组成了田字形结构，折叠后会有面重叠，不能折成正方体，因此排除含有②的A、C选项． 图①：属于正方体展开图的3-3型（两行各3个正方形，错开排列符合规则），可以折叠成正方体． 图③：折叠后会出现面重叠，不符合正方体展开图的结构，不能折成正方体． 图④：属于正方体展开图的2-2-2型（每层2个正方形，阶梯错开排列，符合规则），可以折叠成正方体． 因此能沿小正方形边折叠成正方体的是①④． 34．（2026·陕西西安·三模）下列图形中，不是正方体展开图的是（     ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方体展开图的种特征进行判断，主要类型包括“”型、“”型、“”型、“”型，出现“田”字格或“凹”字型的不是正方体展开图，据此判断即可求解． 【详解】解：∵ 正方体展开图共有种，选项属于“”型，能折叠成正方体；选项中，中间个正方形连成一行，另外个正方形在同一侧，折叠后有两个面重合，不能折叠成正方体；选项属于“”型，能折叠成正方体；选项属于“”型，能折叠成正方体， ∴ 不是正方体展开图的是选项． 35．（2026·福建泉州·模拟预测）母亲节时，小丽想做一个正方体礼盒装礼品送给妈妈，则下列图形中，小丽可以选择的是（     ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】正方体展开图，不能出现“田字格”，“凹字格”，“7字型”． 【详解】解：A.折叠后有面会重叠，不符合题意； B.可折成正方体，符合题意； C.属于“7字型”，不符合题意； D.属于“凹字格”，不符合题意． 正方体相对两个面上的字题型09 36．（25-26九年级下·山西·阶段检测）每年的3月5日是雷锋纪念日，共青团员小丽将“弘扬雷锋精神”六个汉字分别写在正方体的各个面上，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“弘”字所在面相对的面上的汉字是（     ） A．“雷” B．“锋” C．“精” D．“神” 【答案】B 【分析】根据正方体的表面展开图找相对面的方法：“Z”字两端是对面，即可解答． 【详解】解：在原正方体中，与“弘”字所在面相对的面上的汉字是“锋”． 37．（2026·西藏拉萨·模拟预测）如图是每个面上都有一个汉字的正方体的一种平面展开图，那么在原正方体中和“设”字相对的面上的汉字是（     ） A．美 B．丽 C．西 D．藏 【答案】C 【分析】利用正方体及其表面展开图的特点以及“隔一个为对面，共点共线不共面”解题即可． 【详解】解：在原正方体中和“设”字相对的面上的汉字是“西”． 38．（25-26七年级下·四川泸州·期末）如图是一个正方体的展开图，把展开图折叠成正方体后，有“州”字一面的相对面上的字是（     ） A．中 B．国 C．酒 D．城 【答案】D 【分析】根据正方体表面展开图的特征进行判断即可． 【详解】解：由正方体表面展开图的“相间、端是对面”可知， “州”与“城”是对面． 39．（2026·河南南阳·模拟预测）“强国复兴有我”是近年来广泛传播的响亮口号，充分展现了新时代中华儿女的责任与担当．将这六个汉字分别写在某正方体的六个面上，如图是它的一种展开图，则在原正方体中，与“强”字所在面相对的面上的汉字是（     ） A．复 B．兴 C．有 D．我 【答案】D 【分析】本题考查正方体展开图的相对面，根据正方体展开图的相对面的确定方法：同行隔一个，异行字形，进行判断即可． 【详解】解：由展开图可得，“国”字所在面相对的面上的汉字是“兴”； “复”字所在面相对的面上的汉字是“有”； “强”字所在面相对的面上的汉字是“我”． 40．（26-27七年级·全国·暑假作业）将“弘扬五四精神”六个汉字分别写在某正方体的表面上，如图是它的一种展开图，则在原正方体的表面上，与“弘”字所在面相对的面上的汉字是（    ） A．扬 B．四 C．精 D．神 【答案】C 【分析】根据正方体相对面之间间隔一个正方形解答． 【详解】解：由题意得，与“弘”字所在面相对面上的汉字是“精”． 含图案的正方体展开图题型10 41．（25-26七年级下·内蒙古乌海·开学考试）如图所示的正方体的展开图是（     ）                                          A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】根据题意，阴影正方形面为上面，圆圈正方形面为右面，黑白三角形面为前面，展开图中只有④符合要求； 【详解】解：④符合要求； 42．（2026·河北沧州·一模）如图是一个上半部分（取每条竖直棱的中点）涂黑的正方体纸盒，它的展开图是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据立体图形可知，该正方体纸盒的顶面全黑，底面全白，四个侧面均为上半部分黑、下半部分白，在展开图中，全黑面应与侧面的黑色部分相邻，全白面应与侧面的白色部分相邻，且相邻侧面的公共边处颜色应一致． 【详解】解：根据题意得：立体图中顶面全黑，底面全白，侧面为上黑下白， 则展开图中应有一个全黑正方形，一个全白正方形，四个半黑半白正方形， 选项A：中间全黑正方形左右两侧分别为“左白右黑”和“左黑右白”正方形，黑色部分均与全黑面相邻，符合顶面与侧面关系，最左侧全白正方形与“左白右黑”正方形的白色部分相邻，符合底面与侧面关系，其余面折叠后黑色部分均能连通，符合题意， 故A选项正确； 选项B：中间全黑正方形左侧为“左白右黑”正方形，其下方连接“上黑下白”正方形， 由于“左白右黑”正方形的下边为“左白右黑”，而“上黑下白”正方形的上边为全黑， 则两者公共边颜色不匹配， 故B选项错误； 选项C、D：折叠后，都会出现其中一个半涂黑面的黑色位于下半部分，不符合题意， 故C、D 选项错误． 43．（2026九年级·吉林·专题练习）图（1）表示一个正方体，只有三个面上分别标有不同的点数，图（2）是这个正方体的表面展开图，则在图（2）中面“”是（     ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方体的展开图，先观察正方体标有点数的面与标有点数和的面相邻，则可排除面①和面③；再根据标有点数的面中黑点的排列规律确定出标有点数中黑点的排列规律即可得到答案． 【详解】解：观察图可知，①与是相对面，③与是相对面，②与④是相对面，根据点数、、的面的对应关系，当标有的面中两个黑点竖着排列时，标有的面中黑点呈左下到右上的方向排列时，故面②符合题意，面④不符合题意． 故选：B． 44．（25-26七年级上·广东清远·期末）一个正方体的平面展开图如图所示，原正方体可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了含图案的正方体的展开图．根据正方体展开图的特征依次分析即可，也可动手操作． 【详解】 解：观察一个正方体的平面展开图，结合正方体的表面图形的圆图形，和×图形，空白面，三角形图形的分布情况，得原正方体可能是， 故选：A． 45．（25-26七年级上·广东佛山·期末）如图，小明网购了一个精美的正方体礼物盒，需要动手将平面展开图折叠成立体纸盒，则完成后的正方体纸盒是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正方体的表面展开图，解决本题的关键是根据正方体的表面展开图找出它们的相对面、相邻面之间的位置关系进行判断． 【详解】解：A选项：如下图所示，当在前面时，上面是，左面是，故A选项符合题意； B选项：当在上面时，前面应是，故B选项不符合题意； C选项：当在前面时，上面应是，故C选项不符合题意； D选项：两个应是相对面，不能相邻，故D选项不符合题意． 故选：A． 与七巧板相关的求解题型11 46．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，同一副七巧板分别拼成图、图两种图案，图是面积为的正方形，图是小兔图案，则图中阴影部分面积为________． 【答案】 【分析】根据七巧板的结构特征，确定各块图形面积占总面积的比例，识别图中阴影部分由哪些图形组成，利用总面积计算各部分面积之和即可． 【详解】解：设图大正方形的面积为， ∴， 根据七巧板的性质，平行四边形的面积为，小正方形的面积为，小等腰直角三角形的面积为 观察图可知，阴影部分由一个平行四边形、一个正方形和两个小等腰直角三角形组成， ∴阴影部分的面积为： ． 47．（25-26九年级下·江西景德镇·期中）七巧板是中国传统数学文化的重要载体，利用七巧板可以拼出许多有趣的图案，如图，用边长为1dm的正方形纸板，制成一副七巧板，将它拼成“小天鹅”图案，其中阴影部分的面积是_____dm2． 【答案】/ 【分析】阴影部分的面积等于边长为1的正方形面积减去一个直角边的长为1的等腰直角三角形的面积，再减去一个直角边的长为的等腰直角三角形的面积，据此列式求解即可 【详解】解：， ∴阴影部分的面积为． 48．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）七巧板是我国一种古老的拼板玩具（图1），广泛流传于世界各国，在国外被称为“唐图”，意为中国的图板．图2是由边长为4的正方形分割制作的七巧板拼成的“以礼相待”图，则图中阴影部分的面积是___________． 【答案】7 【分析】此题考查了求阴影面积，首先求出正方形的面积，然后依次求出的面积，的面积，平行四边形的面积，进而求解即可． 【详解】解：如图所示， ∵正方形的边长为4， ∴正方形的面积为 ∴的面积为， ∴的面积为，平行四边形的面积为， ∴图中阴影部分的面积是． 故答案为：7． 49．（25-26七年级上·福建泉州·期末）七巧板是我国古代劳动人民的发明，它是一种古老的传统智力游戏．如图②，是小明用七巧板图①拼出的“马到成功”图，若图①中的七巧板面积为8，则图②中阴影部分的面积和为___________． 【答案】2.5 【分析】本题主要考查七巧板各个图形面积之间的关系，熟练掌握七巧板各个图形之间的关系是解题的关键． 根据七巧板的面积为8，得知七巧板分割成的大三角形的面积为2，小三角形的面积为，即可计算阴影部分的面积． 【详解】解：如图，∵正方形的两条对角线分正方形为4等份， ∴三角形①面积等于七巧板面积的， ∴， ∵三角形②的面积等于三角形①的面积的， ∴三角形②的面积为：， ∴阴影的面积为：． 故答案为：2.5． 50．（2026九年级·湖南·学业考试）七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具．如图，某同学用边长为的正方形纸板制作了一副七巧板，由5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形组成，将其拼成了“小天鹅”的形状．已知阴影部分是由七巧板中的1个正方形组成，则图中阴影部分的面积为____ 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质与面积计算，以及七巧板中各部分图形的面积关系．先求出大正方形的面积，再根据七巧板的组成及各部分面积关系，求出阴影部分正方形的面积． 【详解】解：∵ 大正方形边长为， ∴ 大正方形面积为． 七巧板中，阴影部分正方形的面积是大正方形面积的， ∴ 阴影部分面积为． 故答案为：． 正方体相对面上的字解答题题型12 51．（25-26七年级上·四川甘孜·期末）如图是一个正方体的表面展开图，且正方体相对面上的两个数的绝对值相等． (1)x，y，z所在的面分别与数字______，______，______所在的面是相对面； (2)求的值． 【答案】(1)；；3 (2) 【分析】（1）正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点确定x、y、z的相对面； （2）首先求出x，y，z的绝对值和平方，然后代入求值即可． 【详解】（1）解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， ∴x与是相对面，y与是相对面，与3是相对面， （2）解：∵x与是相对面，y与是相对面，与3是相对面，正方体相对面上的两个数的绝对值相等． ∴，，， ∴，， ∴． 52．（25-26七年级上·四川乐山·期末）如图是一个正方体的表面展开图，请回答下列问题： (1)与面相对的面是_________，与面相对的面是__________； (2)若，且相对两个面所表示的代数式的和都相等，求分别代表的代数式． 【答案】(1)D面；E面 (2)， 【分析】（1）正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形，据此作答． （2）由正方体展开图的特点可知，与A面相对的面是D面，与C面相对的面是E面，与B面相对的面是F面，利用整式的加减运算法则求出的结果，再根据即可得到答案． 【详解】（1）解：由正方体展开图的特点可知，与A面相对的面是D面，与C面相对的面是E面； （2）解：由正方体展开图的特点可知，与A面相对的面是D面，与C面相对的面是E面，与B面相对的面是F面， ， ∵相对两个面所表示的代数式的和都相等， ∴， ． 53．（25-26七年级下·河南新乡·期中）已知，，，，，是一个正方体的六个面，其展开图如图所示．若上的式子为，上的式子为，上的式子为，上的式子为，上的式子为，且相对两个面上的式子的和都相等． (1)求的值； (2)求上式子的值． 【答案】(1) (2)上式子的值为． 【分析】本题主要考查一元一次方程： （1）由展开图可知，与相对，与相对，和相对，可得． （2）分别求出，，上式子的值，结合相对两个面上的式子的和都相等，即可求得答案． 【详解】（1）由展开图可知，与相对，与相对，和相对． 根据题意，得 ． 解得． （2）由得． 上式子的值为，C上式子的值为，D上式子的值为． 相对两个面上的式子的和都相等， 上式子的值为． 54．（25-26七年级上·全国·期末）用小立方块搭一个几何体，使它从正面和从上面看的形状图如图所示．从上面看的形状图中，小方格中的字母表示该位置小立方块的个数，试回答下列问题． (1)x，z 各表示多少？ (2)y 可能是多少？这个几何体最少由几个小立方块搭成？最多呢？ 【答案】(1) (2)y 可能是 1 或 2；最少由 11 个立方体搭成，最多由 12 个立方体搭成 【分析】（1）结合从正面看到的图形与上面看到的图形在每个位置上的个数，即可求解； （2）根据从正面看和从上面看得到的图形，相应位置的数据，求得的可能数，即可求解． 【详解】（1）解：由从正面看得到的图形，最右侧是1个，最左侧是3个， 根据从上面看得到的图形，可得，； （2）解：从正面看，中间一列最高有 2 个小立方块，由俯视图看，最后一列有 2 个小立方块， 所以中间可以是 1 个小立方块或2个小立方块，即或 ； 最少：， 最多：， 这个几何体最少由 11 个立方体搭成，最多由 12 个立方体搭成． 1．（26-27七年级上·浙江杭州·开学考试）如图是由若干个小正方体组成的，数一数一共有（     ）个这样的小正方体． A．9 B．10 C．12 D．13 【答案】D 【分析】分别数出每一层小正方体的个数，相加即可． 【详解】解：从下至上，第一层共有9个小正方体，第二层有4个小正方体， ∴一共有个小正方体． 2．（2026·江西上饶·模拟预测）如图是一个的正方形网格，图中阴影部分为一个正方体五个面的展开图形．现需在网格内的空白小正方形中选择一个，使它与阴影部分拼接后，恰好能构成一个完整的正方体表面展开图，则符合条件的选择方法共有（    ）． A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【分析】根据正方体展开图的常见类型，补充形成满足要求的展开图即可． 【详解】解：根据正方体展开图的常见类型：“”型，“”型， ∴可补全为正方体表面展开图的方格有如下种情况， 故选：． 3．（2026·甘肃白银·二模）如图，这是一个正方体的平面展开图，若相对的两个面上的数互为相反数，则的值为(    ) A． B．4 C．0 D． 【答案】D 【详解】解：依题意，与是相对面，与是相对面，与是相对面， 相对面上的两个数互为相反数， ， ． 4．将若干个相同的小正方体堆成如图所示的图形，若每个小正方体的棱长为，则这个图形的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了求几何体的表面积，分别找到该几何体六个方向露在外面的面，再根据每个面的面积为即可得到答案． 【详解】解：从上面看，露在外面的小正方体的面一共有(个)， 从下面看露在外面的小正方体的面一共有(个)， 从左面看，露在外面的小正方体的面一共有(个)， 从右面看，露在外面的小正方体的面一共有(个)， 从正面看，露在外面的小正方体的面一共有(个)， 从后面看，露在外面的小正方体的面一共有(个)， ∴该几何体露在外面的面一共有60个， ∵小立方体的棱长为a， ∴这个几何体的表面积为， 故选：D． 5．（25-26七年级上·河南驻马店·阶段检测）数学活动课上，小明用一张边长为的正方形纸片制作了一副如图1所示的七巧板，并用这副七巧板设计成如图2所示的“天鹅”作品，则该“天鹅”作品中，阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了七巧板的知识，熟练掌握七巧板各图形边长之间的关系是解题的关键．根据七巧板的特征求解即可． 【详解】解：根据七巧板的特征可知，图2中小正方形的面积， 图2中阴影三角形的面积， 阴影部分的面积为， 故选：． 6．（25-26七年级上·江苏南京·开学考试）一个立体图形是由若干个小正方体拼成的，小军分别从前面、右面、上面观察看到的图形如下，这个立体图形是由( )个小正方体拼成的． 【答案】 【分析】从上面看确定底层小正方体的分布及数量，从前面看确定每一列的最大高度，从右边看确定每一行的最大高度，综合推断出每个位置的小正方体个数． 【详解】解：从上面看可知，该立体图形底层有个小正方体，分布在三行三列中， 从前面看可知，第列最高层，第列最高层，第列最高层， 第列的个位置高度均为，第列的个位置高度为， 从右边看可知，立体图形的前、中、后三行的最高层数分别为， 第列最高层，且只有第行（后）允许最高层， 第行第列位置有个小正方体， 第行（中）最高层，且该行第列高度为， 该行第列位置有个小正方体， 小正方体总数为． 7．（25-26七年级上·宁夏银川·期末）如图是一个正方体的平面展开图，正方体中相对的面上的数字或代数式互为相反数，则的值为____________． 【答案】 【分析】先依据正方体展开图的特征确定互为相对的面，再结合“相对面上的数或代数式互为相反数”这一性质建立方程，通过解方程求出、的具体值，最后代入代数式计算出结果． 【详解】解：由正方体展开图的相对面规律，与相对，与相对，与相对． ∴，． 由，解得； 将代入，得； ∴． 8．（25-26七年级上·陕西西安·期末）用一张长为20厘米，宽为12厘米的长方形纸片制作一个无盖的长方体纸盒．如图为三位同学提供的方案，其中厘米，阴影为剪去部分，虚线为折痕． 上述三种方案中，长方体纸盒容积最大的是________ ． 【答案】方案2 【分析】分别求出各种方案所制作的长方体纸盒的长、宽、高，再计算出容积即可． 【详解】解：按照方案1，制作的无盖的长方体纸盒的长为，宽为，高为， ∴容积为， 按照方案2，制作的无盖的长方体纸盒的长为，宽为，高为， ∴容积为， 按照方案3，制作的无盖的长方体纸盒的长为，宽为，高为， ∴容积为， ， 按照方案2制作的长方体无盖纸盒的容积最大． 9．（25-26七年级上·广东茂名·期末）如图，若干个大小相同的小立方块搭成的几何体． (1)这个几何体由________个小立方块搭成； (2)从正面、上面、左面观察该几何体，分别画出你所看到的几何体的形状图． 【答案】(1) (2)如图， 【分析】（1）分层数出几何体每层小立方块数量，相加得到总个数． （2）分别从正面、上面、左面观察几何体，确定每一行每一列正方形的分布，画出对应形状图． 【详解】（1）解：由图可得底层：4个，第二层：1个； 故构成这个几何体的小立方块的个数为：（个）； （2）略 10．（25-26七年级下·江苏·开学考试）如图是一个正方体的表面展开图，请回答下列问题： (1)与标有、的面分别相对的面上标有字母：______、______． (2)若，，，，且相对两个面上代数式的和都相等，求代表的代数式． 【答案】(1)， (2) 【分析】根据正方体的表面展开图找相对面的方法，同层隔一面，根据“字形”表示相对面即可判断； 根据已知可得，然后进行计算即可解答． 【详解】（1）解：由图可知： 与相对，与相对，与相对， ∴与标有、的面分别相对的面上标有字母：，， 故答案为：，； （2）解：由题意可得： ， ∴ ， ∴代表的代数式为． 11．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）探究不同情境，回答下面的问题： (1)如图1，如果将棱长为的正方体，切割成个棱长为的小正方体，各个小正方体的表面积之和与原来正方体的表面积之比为： ； (2)如果将棱长为的正方体，切割成个棱长为的小正方体，各个小正方体的表面积之和与原来正方体的表面积之比为： ； (3)如图2将一个棱长为的正方体，切割成个小正方体， ①小正方体的边长为 ； ②求各个小正方体的表面积之和与原来正方体的表面积之比． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】（1）根据正方体表面积的计算公式即可解答； （2）根据正方体表面积的计算公式即可解答； （3）①根据正方体的特征，即可解答； ②根据正方体表面积的计算公式即可解答. 【详解】（1）解：原正方体的表面积为， 各个小正方体的表面积为， ∴各个小正方体的表面积之和与原来正方体的表面积之比为：； （2）解：原正方体的表面积为， 各个小正方体的表面积为， ∴各个小正方体的表面积之和与原来正方体的表面积之比为：； （3）解：①将一个棱长为的正方体，切割成个小正方体，则小正方体的边长为； ②原正方体的表面积为， 各个小正方体的表面积为， ∴各个小正方体的表面积之和与原来正方体的表面积之比为：. 1．（25-26七年级上·山西太原·阶段检测）如图所示，用高为、底面直径为的圆柱A的侧面展开图，再围成不同于A的另一个圆柱B，则圆柱B的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆柱的侧面展开图与圆柱的体积计算，明确侧面展开图的长、宽与圆柱底面周长、高的对应关系是解题关键． 侧面展开图的宽为圆柱B的底面周长，侧面展开图的长为圆柱B的高，再根据圆的面积公式、圆柱的体积公式列式求解． 【详解】解：根据题意， 圆柱B的底面半径为，圆柱B的高为， 圆柱B的底面积为， 圆柱B的体积为． 故选：C． 2．（25-26七年级上·陕西西安·期末）用一张长为20厘米，宽为12厘米的长方形纸片制作一个无盖的长方体纸盒．如图为三位同学提供的方案，其中厘米，阴影为剪去部分，虚线为折痕． 上述三种方案中，长方体纸盒容积最大的是________ ． 【答案】方案2 【分析】分别求出各种方案所制作的长方体纸盒的长、宽、高，再计算出容积即可． 【详解】解：按照方案1，制作的无盖的长方体纸盒的长为，宽为，高为， ∴容积为， 按照方案2，制作的无盖的长方体纸盒的长为，宽为，高为， ∴容积为， 按照方案3，制作的无盖的长方体纸盒的长为，宽为，高为， ∴容积为， ， 按照方案2制作的长方体无盖纸盒的容积最大． 3．（25-26八年级上·江苏徐州·期末）将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6、2和5、3和4）放置于水平桌面上（如图①），在图②中，将骰子向右翻滚，然后在桌面上按逆时针方向旋转，则完成一次变换．若骰子的初始位置为图①所示的状态，那么按上述规则连续完成20次变换后，骰子朝上一面的点数是______． 【答案】6 【分析】本题考查图形类规律探究，根据变换方法，确定出每3次变换为一个循环，进行求解即可． 【详解】解：如图， 由图可知，3次变换为一个循环， ∵， ∴按上述规则连续完成20次变换后，骰子朝上一面的点数是6； 故答案为：6． 4．（25-26七年级下·福建泉州·期末）【项目式学习】根据素材，探索完成任务： 材料：十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在着一个关系式，被称为欧拉公式，其实，你也可以做到！ 名称 四面体 三棱柱 正八面体 正十二面体 图形 顶点数V 4 6 6 20 面数F 4 5 8 12 棱数E 6 9 12 30 (1)任务一：通过表格，你发现简单多面体的顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的数量关系式是______________________________； (2)任务二：某设计师创作了一款多面体形状的灯具，已知它的面数比顶点数多10，且棱数比面数多8，求这个多面体的面数； (3)任务三：如图，有一种足球是由若干块黑白相间的牛皮缝制而成，黑皮的是正五边形，白皮的是正六边形．它们的边长都相等并且每个正五边形周围连着5个正六边形，每个正六边形周围又连着3个正五边形和3个正六边形，求正五边形和正六边形的个数． 【答案】(1) (2)这个多面体的面数为20 (3)正五边形有12个，正六边形有20个 【分析】（1）直接根据表格总结数量关系式即可； （2）设顶点数为V，则面数，棱数，代入欧拉公式求解即可； （3）设正五边形有x个，正六边形y个，则顶点数为；面数；棱数，代入欧拉公式求出，进而可知． 【详解】（1）解：由表格可知，简单多面体的顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的数量关系式是； （2）解：设顶点数为V，则面数，棱数． 代入欧拉公式得：， 解得：， ， 答：这个多面体的面数为20； （3）解：设正五边形有x个，正六边形y个， 则顶点数为；面数；棱数． 代入欧拉公式得：， 解得：， ∵， ∴， 把代入得：，所以． 答：正五边形有12个，正六边形有20个． 5．（2026·安徽淮南·一模）综合与实践 【项目主题】 为开展室内小足球活动，某课外活动小组对用正五边形和正六边形皮子拼接成足球产生了兴趣． 【项目准备】 （1）密铺知识学习：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，使图形之间既没有空隙也没有重叠地铺成一片，叫做图形的密铺． （2）足球的表面是由正五边形和正六边形拼接而成的多面体，这种结构的表面究竟是由多少个正五边形和正六边形拼接而成的呢？ 【项目分析】 课外活动小组通过欧拉公式和顶点配置做了如下探究． 欧拉公式 对于任何凸多面体，欧拉公式成立：其中，是顶点数，E是边数，F是面数． 设为足球表面正五边形的数量，为足球表面正六边形的数量，则 （1）总面数计算：总面数F用含，的式子表示为：① （2）边数计算 每个五边形有条边，每个六边形有条边，但每条边被两个面共享，因此总边数用含，的式子表示为：② （3）顶点数计算 在足球表面，每个顶点是三个面的交点，具体来说，是两个六边形和一个五边形的交点．因此，每个顶点有条边． 从五边形的视角，每个五边形有个顶点，且每个顶点对应一个五边形，因此顶点数用含的式子表示为：③ 从六边形的视角，每个六边形有个顶点，但每个顶点有两个六边形，因此顶点数用含的式子表示为：④ （4）代入欧拉公式计算 将③、②、①代入：，可得：，之间的关系为：⑤ 但由③和④相等得：⑥ 把⑥和⑤联立成含有，为未知数的方程组，解这个方程组得：⑦，⑧ 【项目实施】 因此，足球的表面必须由⑨个正五边形和⑩个正六边形拼接而成．这种配置确保了多面体的对称性和接近球形的形状，同时满足几何约束．此外，这种结构在现实中也使足球具有较好的滚动性和稳定性，从而便于在室内开展活动． 请将上述材料中横线上所缺内容补充完整： ①____；②____；③____；④____；⑤_____；⑥____；⑦____；⑧____；⑨_____；⑩_____． 【答案】 ； ； ； ； ； ； ； ； ； 【分析】设为足球表面正五边形的数量，为足球表面正六边形的数量，可得总面数，总边数，从五边形的视角，可得顶点数，代入欧拉公式化简可得，从六边形的视角，可得顶点数，根据不同视角所得顶点数相等，可得，解方程组即可得，． 【详解】解：设为足球表面正五边形的数量，为足球表面正六边形的数量，则 （1）总面数计算：总面数用含，的式子表示为： ， （2）边数计算 每个五边形有5条边，每个六边形有6条边，但每条边被两个面共享，因此总边数E用含，的式子表示为： ， （3）顶点数计算 在足球表面，每个顶点是三个面的交点，具体来说，是两个六边形和一个五边形的交点．因此，每个顶点有条边． 从五边形的视角，每个五边形有个顶点，且每个顶点对应一个五边形，因此顶点数用含的式子表示为： ， 从六边形的视角，每个六边形有个顶点，但每个顶点有两个六边形，因此顶点数用含的式子表示为： ， （4）代入欧拉公式计算 将、、代入：，可得：，之间的关系为：，即 ， 但由和相等得：，即 ， 把和联立成含有，为未知数的方程组，得， 解这个方程组得：，， 因此，足球的表面必须由个正五边形和个正六边形拼接而成． 1．（2026·江苏苏州·中考真题）下列硬纸片可以沿虚线折叠成长方体纸盒的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：选项A，C，D都不能折叠成长方体盒子，选项B可以折叠成长方体盒子． 2．（2026·四川达州·中考真题）下图中的良渚文化神徽纹玉勒，它的外形可以近似地看作（     ） A．圆柱 B．圆锥 C．棱柱 D．棱锥 【答案】A 【详解】解：它的外形可以近似地看作圆柱，A选项符合． 3．（2026·河南·中考真题）今年我国六五环境日的主题为“全面绿色转型，共建美丽中国”．将“共建美丽中国”这六个汉字分别写在某正方体的表面上，如图是它的一种展开图，则在原正方体中，与“建”字所在面相对的面上的汉字是（     ） A．美 B．丽 C．中 D．国 【答案】B 【分析】根据正方体相对面之间间隔一个正方形解答． 【详解】解：与“建”字所在面相对面上的汉字是“丽”． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $