5.1.2 等式的性质（一元一次方程）（分层作业·练题型）数学新教材人教版七年级上册

**基本信息** 以“等式的性质”为核心，通过A、B、C组及拓展分层设计，构建“概念理解-运算技能-实际应用-中考衔接”的巩固路径，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组|基础7大题型（性质判断、字母表示、天平问题等）|聚焦单一知识点，如用等式性质解方程，夯实概念理解| |B组|综合应用（卡片数字推理、相伴数对）|整合多考点，如通过相邻和求最大数，提升推理能力| |C组|创新探究（密码学、规律类问题）|创设跨情境问题，如密文破译，发展创新意识| |拓展|中考真题（平衡秤称重、代数式求值）|对接中考题型，强化应用意识与模型观念|

分层作业 5.1.2 等式的性质 目 录 A组 巩固过关 基础常考7大题型 题型01 根据等式的基本性质判断选项 题型05 等式的基本性质中新定义类 题型02 用一个字母表示另一个字母 题型06 等式的基本性质中幻方问题 题型03 等式的基本性质中天平问题 题型07 等式的基本性质规律类问题 题型04 利用等式的基本性质解方程 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 根据等式的基本性质判断选项题型01 1．（2026·内蒙古锡林郭勒·模拟预测）运用等式的性质变形正确的是（     ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】D 【分析】根据等式的性质逐项判断变形是否正确即可． 【详解】解：A．∵， ∴，故该选项错误； B．如果，等式两边同乘a，则，故该选项错误； C．如果，且时，则，故该选项错误； D．∵， ∴， ∴，故该选项正确． 2．（25-26七年级上·福建福州·期末）下列运用等式的性质对等式进行的变形中，错误的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查等式的基本性质，根据等式性质逐一判断变形是否正确即可，等式的性质为：等式两边同时加(或减)同一个数(或式子)，等式仍成立；等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍成立． 【详解】解： A选项： ∵，等式两边同时加，可得，变形正确，不符合题意； B选项： ∵，等式两边同时乘，可得，变形正确，不符合题意； C选项： ∵，等式两边同时减，可得，变形正确，不符合题意； D选项： ∵，等式两边同时除以，得，变形错误，符合题意. 故选D． 3．（2026·内蒙古锡林郭勒·模拟预测）运用等式的性质变形正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】D 【分析】根据等式的基本性质逐一判断各选项即可求解． 【详解】解：等式的基本性质为：1、等式两边同时加(或减)同一个数，等式仍然成立，2、等式两边同时乘同一个数(或除以同一个不为的数)，等式仍然成立； ∵选项A中，若，根据等式性质，等式两边需同时加同一个数或同时减同一个数，正确变形应为或，所以A错误； ∵选项B中，不能推出，该变形不成立，所以B错误； ∵选项C中，若，当时，与无意义，所以C错误； ∵选项D中，成立，说明分母，等式两边同时乘，根据等式性质可得，所以D正确． 4．（25-26七年级上·吉林长春·期末）下列等式变形中，正确的是（     ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】B 【分析】根据等式性质对各选项的变形逐一判断即可得到答案． 【详解】解：选项A 、∵，移项得，原变形错误，不符合题意； 选项B、∵，等式两边同时减，得，原变形正确，符合题意； 选项C、∵，移项得，原变形错误，不符合题意； 选项D、∵，等式两边同时乘，得，原变形错误，不符合题意； 5．（25-26七年级上·吉林长春·期末）下列等式变形中，正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【详解】解：等式的基本性质为：等式两边同时加（或减）同一个整式，结果仍相等；等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为0的数），结果仍相等； A．若，根据等式性质可得，故A变形错误，不符合要求； B．∵，等式两边同时减2，由等式基本性质可得，变形正确，符合要求； C．若，等式两边同时乘，可得，故C变形错误，不符合要求； D．若，当时，无论是否相等，等式都成立，因此无法推出，只有时才能得到，故D变形错误，不符合要求． 6．（26-27七年级·江苏·小升初衔接）下面关于等式性质的运用，正确的式子是（     ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】B 【分析】根据等式的性质和字母的取值，即可判断． 【详解】解：A、当时，，，则，故选项不符合题意； B、当时，，故选项符合题意； C、当时，，，则，故选项不符合题意； D、如果，当时，，故选项不符合题意； 用一个字母表示另一个字母题型02 7．（25-26七年级上·北京顺义·期末）把方程写成用含x的代数式表示y的形式，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等式的性质，变形求解即可； 【详解】解：∵原方程为 ，移项得 ，将y的系数化为1，等式两边同乘，得；故A正确，其余都是错误的； 8．（24-25七年级上·福建厦门·期中）把方程写成用含x的代数式表示y的形式，则_____． 【答案】/ 【分析】把看作已知数，根据等式的性质变形即可． 【详解】解：用含x的代数式表示y的形式为：． 9．（25-26七年级上·新疆和田·期末）已知方程，用含x的代数式表示y，则_________． 【答案】 【详解】解：∵， 移项，得， 等式两边同乘，得． 10．（24-25七年级上·上海·阶段检测）将方程变形为用含x的式子表示y，那么______． 【答案】 【分析】利用等式的基本性质求解． 【详解】解：， 移项，得， 等式两边同时除以，得． 11．（25-26七年级上·上海普陀·期末）把方程变形为用含有的式子表示，得_____________． 【答案】 【详解】解： ∴ 12．（24-25七年级上·北京·期中）已知方程，用含的代数式表示，则_________． 【答案】/ 【详解】解：， 两边同减去，得． 13．（25-26七年级上·上海静安·期中）把方程改写成用含的式子表示的形式______． 【答案】 【分析】本题考查了等式的性质，先移项，再系数化为1即可． 【详解】解：， ． 等式的基本性质中天平问题题型03 14．（25-26七年级上·北京·期中）下列图中所示的球、圆柱、正方体的重量分别都相等，三个天平分别都保持平衡，那么第三个天平中，右侧秤盘上所放正方体的个数应为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】设一个球的质量为a，一个圆柱体的质量为b，一个正方体的质量为c，根据天平平衡的条件可得，再根据等式的性质得到即可． 【详解】解：设一个球的质量为a，一个圆柱体的质量为b，一个正方体的质量为c，由题意得， ， 即， ∴，， 即， ∴右侧秤盘上所放正方体的个数应为5． 15．（25-26七年级上·福建泉州·期中）如图，天平两次操作均处于平衡状态，若“”的质量为，“”的质量为，则m，n的大小关系是（    ） A． B． C． D．均有可能 【答案】C 【分析】由第一次天平得，由第二次天平得，进而代入即可求解． 【详解】解：由题意得，第一次天平：左边是，右边是，天平平衡， ∴， 第二次天平：左边是，右边是，天平平衡， ∴， 将代入上式得， 解得， ∴． 16．（25-26九年级下·甘肃张掖·开学考试）小红在学习完天平的使用后，按照天平的原理自制了如图①所示的简易天平，并对物体的质量进行探究，得到如图②所示的两幅图，天平都保持平衡状态，若○，□，△的质量分别为a，b，c，则能与图②的事实具有相同性质的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】天平原来是平衡的，在天平两边都加上相同质量的砝码，天平仍然平衡． 【详解】解：根据题意可得：若，根据等式的基本性质1，则． 17．（25-26七年级上·四川绵阳·开学考试）等式就像平衡的天平，能与如图的事实具有相同性质的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【详解】解：天平原来是平衡的，在天平两边都加上相同质量的砝码，天平仍然平衡， 可以理解为：若，根据等式的基本性质1，得． 故选：C． 利用等式的基本性质解方程题型04 18．（25-26七年级上·四川达州·开学考试）求未知数x的值． (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： ； （2）解： （3）解： ． 19．（25-26七年级上·全国·课后作业）利用等式的基本性质，将下面的等式变形为（为常数）的形式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了等式的基本性质，掌握等式的基本性质是解题的关键．等式的性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等；等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数(或式子)，结果仍相等． （1）方程两边同减去2，即可得出答案； （2）方程两边同乘2，即可得出答案； （3）方程两边同加上5，即可得出答案； （4）方程两边先同时减去1，变为，然后方程两边同除以2，即可得出答案． 【详解】（1）解：， 方程两边都减2，得． （2）解：， 方程两边都乘2，得． （3）解：， 方程两边都加5，得． （4）解：， 方程两边都减1，得； 方程两边都除以2，得． 20．利用等式的基本性质解下列方程： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查了等式的性质，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）利用等式的性质解答即可； （2）利用等式的性质解答即可； （3）利用等式的性质解答即可； （4）利用等式的性质解答即可； （5）利用等式的性质解答即可； （6）利用等式的性质解答即可． 【详解】（1）方程两边同时减去5，得，即； （2）方程两边同时加上，得，即； （3）方程两边同时除以，得，即； （4）方程两边同时乘以，得，即； （5）方程两边同时减去，得，即， 方程两边同时除以，得； （6）方程两边同时加上，得，即， 方程两边同时除以，得． 21．（25-26六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）解方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查解一元一次方程，掌握等式的性质是关键． （1）根据等式的性质，等式两边同时乘以，化简即可求解； （2）方程变形得整理得，根据等式的性质，等式两边同时乘以，化简即可求解； （3）等式两边同时减去得，根据等式的性质，等式两边同时乘以，化简即可求解． 【详解】（1）解：， 等式两边同时乘以得，， 解得，； （2）解：， 方程变形得，，整理得，， 等式两边同时乘以得，， 解得，； （3）解：， 等式两边同时减去得，， 等式两边同时乘以得，， 解得，． 等式的基本性质中新定义类题型05 22．（25-26七年级上·四川成都·期末）天平是用来测量物体质量的一种重要工具，它依据的是杠杆平衡原理．在数学学科中我们定义：若，则称a与b互为“天平数”．若 与互为“天平数”，则代数式_________________ 【答案】 【分析】本题考查了新定义，以及代数式求值，根据“天平数”的定义，建立方程，通过整体代入法求出代数式的值，即可解题． 【详解】解：因为与互为“天平数”， 所以． 整理得． 所以． 故答案为：． 23．（25-26七年级上·湖北武汉·期末）定义：我们称使等式成立的有理数为“唯一根数组”，记作【】．例如：由于，因此【】是“唯一根数组”．若【】是“唯一根数组”，则的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了代数式求值，新定义，根据新定义得到，进而推出，据此利用整体代入法求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 24．规定：*为一种新运算，对任意的有理数，，有，若，试用等式的性质求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了利用等式性质解方程，新定义运算，理解题意，列出方程，是解题的关键．先根据新定义得出方程，然后利用等式的性质，解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 等式两边都乘3，得； 等式两边都减6，得； 等式两边都除以2，得． 25．（25-26七年级上·江苏淮安·期中）对于任意一个有理数x，把称作x的关联数，并规定：当时，；当时，例如：． (1)______； (2)当，时，有，求的值； (3)化简：． 【答案】(1) (2)4 (3)当时，为；当时，为；当时，为 【分析】本题为新定义问题，考查了有理数的运算，等式的性质，整式的加减等知识，理解新定义“关联数”是解题关键． （1）根据新定义进行运算即可求解； （2）根据，，，得到，即可求出； （3）分，，三种情况讨论，根据新定义化为整式加减运算，进行计算即可求解． 【详解】（1）解：． 故答案为： （2）解：∵，，， ∴， ∴； （3）解：当时，； 当时，； 当时，为． 26．（24-25七年级上·陕西安康·阶段检测）已知，若规定表示不超过的最大整数，例，请在此规定下求的值． 【答案】． 【分析】本题考查了新定义的运算，等式的性质．由已知利用等式的性质求得，再根据规定求得的值即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴． 等式的基本性质中幻方问题题型06 27．（25-26八年级上·福建泉州·阶段检测）“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，如图①所示，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．现将，，，，，，，填入如图②所示的“幻方”中，部分数据已填入，则的值为_____． 【答案】 【分析】先根据题意列出等式，求出的值，然后再利用转化思想求出的值． 【详解】解：由题意得，，即， ∵， ∴四个三角形的三个顶点上的数字之和减去正方形四个顶点的数字之和为， ∵每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等， ∴，即， ∴． 28．（25-26七年级上·浙江台州·期末）我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方，将互不相同的9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖行以及两条对角线上的3个数之和相等．如图是一个未完成的幻方，则_____________；______________． 【答案】 6 【分析】本题结合幻方的性质考查等式的性质、整式的加减运算，同时考查方程思想与辅助未知数消元法的运用，关键是紧扣幻方中横行、竖行及对角线的三数之和相等的性质建立等式．解题时先根据幻方的性质列出包含、和公共辅助未知数的等式，消去后移项化简，直接求出；再设其他辅助未知数、，结合幻方的性质分别用、、表示出和，将其代入另一幻和等式中，通过整式的化简消去多余未知数，最终求解得出的值． 【详解】解：如图，设第1行第2列的数为，第2行第2列的数为，第3行第1列的数为． ∵每一横行、每一竖行以及两条对角线上的3个数之和相等， ∴， 由，移项得； 由，得， 由，得 由，得，化简得． 故答案为：；． 29．（25-26七年级上·河北秦皇岛·期末）幻方是一种将数字填在正方形格子中，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等的方法．如图是一个幻方的一部分，则__________； 【答案】 【分析】本题考查了幻方问题． 根据“每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等”列出等式，进而计算即可． 【详解】解：∵每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 30．（25-26七年级上·湖北黄石·期末）综合实践 幻方起源于中国，是我国古代数学的杰作之一．吴老师在数学活动课中带领同学探究“填幻方”． 【基本感知】 图1是“洛书”，“洛书”就是在一个9方格幻方中填入数字“1，2，3，4，5，6，7，8，9”(如图2)． 从图2中，我们可以观察到以下规律：每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的和都相等． 【深入探究】 （1）把图2中的9个数“1，2，3，4，5，6，7，8，9”每个数 ，得到一组新的数“，，，，0，1，2，3，4”． （2）请依据幻方图2的排列方式，将“，，，，0，1，2，3，4”填入到幻方图3中，使得满足图2发现的规律． 【拓展应用】 （3）如图4所示，标注了其中三个数(，，)的位置，请你用含有，的代数式表示出幻方中的数． 【答案】（1）减去(或加上)； （2）见解析； （3） 【分析】本题考查有理数的加减运算和等式的性质，关键是发现幻方的性质：每行、每列、每条对角线的和相等，且中心数为所有数的平均数(即每行和为中心数的3倍)． （1）观察原数“1，2，3，…，9”与新数“，，…，4”的关系：，因此每个数减去(或加上)可得到新数； （2）将原幻方每个数减5，即可得到新幻方； （3）设幻方中第三行第一个数为，通过对角线和第三行的和的关系，推导出与、的代数式． 【详解】（1）解：∵原数“1”变换后为“”，，同理其他数均满足“原数新数”， ∴每个数减去(或加上)； 故答案为：减去(或加上)； （2）解：原幻方(图2)中各数为8，3，4；1，5，9；6，7，2，将每个数减5，得到新数3，，；，0，4；1，2，，填入幻方后满足每行、每列、对角线和为0，填法如图； （3）解：设幻方中第三行第一个数为， 则根据题意， 整理得． 31．（25-26七年级上·浙江台州·期末）幻方是中国古代重要的数学成就．在每个小方格中各填入一个数，如果每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等，那么就称这个图是一个三阶幻方． (1)现用2到10这9个整数构造三阶幻方（每个数只能用一次） ①将图1的三阶幻方补充完整； ②如图2，该同学经过多次尝试，发现幻方中不同位置的数之间有一定的数量关系，若将图中对应位置的数记作a，b，写出a，b满足的数量关系； (2)如图3，对于任意满足条件的三阶幻方，设对应位置的数分别为a，b，c，写出a，b，c满足的数量关系． 【答案】(1)①见解析；② (2) 【分析】本题主要考查了整式的加减运算，等式的性质，正确理解题意是解题的关键． （1）①求出这9个数字的和，可得每行、每列、每条对角线上的三个数的和都为18，据此填写幻方即可；②用含b的式子表示出右下角的数字，再用a、b分别表示出左上角的数字，从而可得关系式； （2）设最中间的数为d，每行、每列、每条对角线上的三个数的和都为s，可证明，表示出右上角的数字，进而表示出右下角和左上角的数字，据此可得关系式． 【详解】（1）解：①∵， ∴每行、每列、每条对角线上的三个数的和都为， 故满足题意的幻方可以是下图所示 ②右下角的数， ∵左上角的数， ∴； （2）解：设最中间的数为d，每行、每列、每条对角线上的三个数的和都为s， ∴中间一行的三个数字之和加上中间一列三个数字之和，再加上两条对角线上6个数字（每条对角线都有3个数字）之和等于， ∴， ∴， ∴右上角的数字为， ∴右下角的数字为，左上角的数字为， ∴左上角的数字为， ∴， ∴． 等式的基本性质规律类问题题型07 32．（2026·安徽阜阳·二模）用同样大小的两种不同颜色的正方形纸片，按如图方式拼成长方形： 第①个图形中有2张正方形纸片； 第②个图形中有张正方形纸片； 第③个图形中有张正方形纸片； 第④个图形中有张正方形纸片． 请你观察上述图形与算式，完成下列问题： (1)第⑤个图形中有_____张正方形纸片（直接写出结果）；根据上面的发现我们可以猜想第个图形中有_____张正方形纸片； (2)由（1）可得：_____（用含的代数式表示）； (3)根据你的发现计算：_____． 【答案】(1)30， (2) (3) 【分析】（1）根据已知的规律即可得答案； （2）根据（1）的计算等式，利用等式的性质计算即可得到答案； （3）将各数都减去1000，再根据（2）的规律计算即可． 【详解】（1）解：第⑤个图形中有张正方形纸片； 第个图形中有张正方形纸片； （2）解：∵ ∴； （3）解： ． 33．（2024·安徽·模拟预测）观察下列等式： …… (1)根据上述规律，写出第六个等式为 ． (2)请写出第个等式，并利用整式的乘除说明你写出的等式成立． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题考查整式的混合运算、实数的运算、数字的变化特点，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点，写出相应的式子． （1）根据题目中给出的式子的特点，可以写出第六个等式； （2）根据题目中式子的特点，写出第个等式，然后通过计算说明成立即可． 【详解】（1）解：由题意可得， 第六个等式为：， 故答案为：； （2）解：由题意可得， 第个等式为：， 理由：设， 则， ， ， ， 即成立． 1．（25-26七年级上·吉林长春·期末）如果，那么根据等式的性质下列变形一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等式的性质逐一判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴，原式变形不正确，不符合题意； B、∵， ∴，原式变形正确，符合题意； C、∵， ∴， ∴，原式变形不正确，不符合题意； D、∵， ∴，原式变形不正确，不符合题意． 2．（25-26七年级上·湖南衡阳·期末）下列四位同学对方程的变形中，正确的是（     ） 小明：若，则； 佳佳：若，则； 小红：若，则； 丽丽：若，则． A．小明 B．佳佳 C．小红 D．丽丽 【答案】D 【分析】根据等式的基本性质逐一判断每位同学的变形，即可得到正确结果． 【详解】解：小明：∵， ∴，故小明变形错误； 佳佳：∵， ∴，故佳佳变形错误； 小红：∵， ∴，故小红变形错误； 丽丽：∵， ∴，故丽丽变形正确． 3．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）已知，根据等式的性质变形为，则，必须符合的条件是（    ）． A． B．， C． D．，可以是任意有理数或整式 【答案】C 【分析】等式两边同时加上或减去同一个数或者式，等式仍成立，据此判断即可． 【详解】解：两边都减去，得， ∵等式可变形为， ∴， ∴． 4．（25-26七年级上·山西太原·期末）设“●”“”“”表示三种不同的物体，先用天平称了两次，情况如图所示：则下列图示不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由天平的平衡条件可知，，， 则，A天平平衡； ，B天平平衡； ，C天平平衡，图中所给天平不平衡，故不正确，符合题意； ∵，，∴，D天平平衡； 5．（25-26七年级上·河北唐山·期末）相传大禹治水时，“洛水”中出现了一个神龟，其背上有美妙的图案，史称“洛书”．就是我们今天的幻方．三阶幻方又叫九宫格．由三阶幻方可以衍生出许多有特定规律的新幻方．在如图所示的新幻方中，每个小三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，则的值为（    ） A．5 B． C．3 D．0 【答案】B 【分析】本题主要考查了等式的性质，代数式求值，根据“每个小三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等”，分别列出等式，进而得出，，代入代数式求值，即可求解． 【详解】解：∵每个小三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等， ∴每个小三角形各顶点上数字之和相等， ∴， ∴， ∴ 故选：B． 6．（25-26七年级上·浙江温州·期末）小州用烧杯装不同体积的某液体，测得烧杯和液体的总质量（单位：g）与液体体积（，单位：）的关系满足．若用与表示，则__________． 【答案】 【分析】利用等式的基本性质，将用含和的代数式表示出来即可． 【详解】解：已知， 移项得， 等式两边同除以（），得． 7．填空，使所得结果仍是等式： （1）如果，那么 _________； （2）如果，那么_________； （3）如果，那么_________； （4）如果，那么_________． 【答案】 【分析】根据等式的性质和等式的性质对各等式逐一变形即可求解． 【详解】解：（1）已知，根据等式的性质，等式两边同时加上，得； （2）已知，根据等式的性质，等式两边同时加上，得； （3）已知，根据等式的性质，等式两边同时除以，得； （4）已知，根据等式的性质，等式两边同时乘以，得． 8．（24-25七年级上·四川自贡·开学考试）如果x与y互为倒数，且，那么______． 【答案】8 【分析】根据倒数的定义得到，再利用比例的基本性质将比例式转化为方程，求出n的值后代入计算的结果． 【详解】解：∵x与y互为倒数， ∴， ∵， ∴，即，解得：． ∴． 9．（25-26七年级上·安徽宿州·期末）对于任意的有理数，，如果满足，那么我们称这一对数，为“特殊数对”，记为．若是“特殊数对”，则______． 【答案】 【分析】本题考查等式的性质以及代数式整体代入求值，关键是根据“特殊数对”的定义列出等式，化简得到与的关系式，再通过整体代入法计算所求代数式的值．首先将代入“特殊数对”的等式中，得到；再将变形为含的形式，最后整体代入计算即可． 【详解】解：∵是“特殊数对”， ∴， 去分母化简得：， 则； 故答案为：． 10．利用等式的性质解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了用等式的性质解一元一次方程，熟练掌握等式的性质是解题的关键．等式的基本性质1：等式两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），等式仍然成立；等式的基本性质2：等式两边同时乘同一个数（或式子），等式仍然成立．同时除以同一个不为0的数（或式子），等式仍然成立． （1）根据等式的性质解一元一次方程即可； （2）根据等式的性质解一元一次方程即可； 【详解】（1）解： 方程两边减3，得 ， 化简，得， 方程两边除以，得； （2）解： 方程两边加2，得， 化简，得， 方程两边乘，得． 11．（2025·安徽安庆·模拟预测）今年4月24日是第十个“中国航天日”，以“海上生明月，九天揽星河”为主题，某校以此来激励同学们参加航空航天知识学习，积极参加学校飞行社团的学习．截止4月底，参加“固定翼”社团的人数比去年同期增加，参加“旋翼”社团的人数比去年同期增加 ，设去年4月底参加“固定翼”社团学习的有人，“旋翼”社团学习的有人． (1)今年参加“固定翼”和“旋翼”社团的总人数为_____人（用含，的代数式表示）； (2)若今年参加“固定翼”和“旋翼”社团的总人数比去年增加，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了列代数式，等式的性质，正确求出今年参加“固定翼”和“旋翼”社团的总人数是解题的关键． （1）分别求出今年参加“固定翼”和“旋翼”社团的人数，二者求和即可得到答案； （2）根据题意可得，据此求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，今年参加“固定翼”社团的人数为人，今年参加“旋翼”社团的人数为人， ∴今年参加“固定翼”和“旋翼”社团的总人数为人； （2）解：由题意得，， ∴， ∴， ∴． 1．（25-26七年级上·福建泉州·期末）在数学游艺会上，某同学负责一个游戏项目，她准备了50张同样的卡片，上面分别写有  1，2，3，…，49，50，游戏规则是：先将卡片顺序打乱，参与者从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上（如图），这五张卡片分别记为A，B，C，D，E．她依次将相邻两张卡片上的数的和告诉参与者，请参与者猜出其中哪张卡片上的数字最大．下表是其中一个参与者抽取的五张卡片中相邻两张卡片上的数的和，则这五张卡片上数字最大的是（    ） 卡片编号 A，B B，C C，D D，E E，A 两数的和 50 62 55 67 44 A．E卡片 B．B卡片 C．C卡片 D．D卡片 【答案】B 【分析】根据题中所给的等量关系结合等式的性质先算出，再分别计算出每张卡片的大小，再比较大小即可． 【详解】解：， ， ， 卡片A：， 卡片B：， 卡片C：， 卡片D：， 卡片E：， ， 这五张卡片上数字最大的是B． 2．（2026·四川绵阳·模拟预测）对于任意的有理数a，b，如果满足，那么我们称这一对数a，b为“相伴数对”，记为．若是“相伴数对”，则的值为（     ） A．2 B．－1 C．－2 D．3 【答案】C 【分析】先根据“相伴数对”的定义列出等式，化简得到，再化简所求代数式，整体代入求值即可． 【详解】∵是“相伴数对” ， ∴， 整理得， 去分母，得， 展开移项得． 化简所求代数式： 把代入得， 原式． 3．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）若、、是整数，是正整数，且，，，则的最大值是______． 【答案】 【分析】将三个式子相加可得，从而得出，，表示出，结合是正整数，即可得出结果． 【详解】解：∵，，， ∴将三个式子相加可得：， 整理可得， ∴， 将代入可得：，即， 将代入可得：，即， ， 为正整数， ∴当时，原式取得最大值． 4．（25-26七年级上·浙江金华·期末）在综合实践课上，小聪用一张长为，宽为的长方形纸片进行操作探究，先剪去一个以长方形纸片较短边为边长的正方形（第一次操作）；从剩下的矩形纸片中再剪去一个以较短边为边长的正方形（第二次操作）；按此方式，如果第三次操作后，剩下的纸片恰为正方形．则的值为___________． 【答案】或 【分析】本题主要考查了等式的性质，整式的加减运算，求出第一次操作后剩余长方形的两邻边长，进而求出第二次剩余长方形的两邻边长，再讨论第二次剩余长方形的两邻边长的大小，进而求出第三次操作后剩余长方形的两邻边长，根据第三次操作后剩余长方形为正方形可得答案． 【详解】解：第一次操作：剪去边长为的正方形（较短边），剩余长方形的两邻边长分别为，（由得，则为较长边）， 第二次操作：剪去边长为的正方形（较短边），剩余长方形的两邻边长分别为，： 若，即，则第三次操作后剩余长方形的两邻边长分别为，， ∵第三次操作后，剩下的纸片恰为正方形， ∴， ∴， ∴； 若，即，则第三次操作后剩余两邻边长分别为、， ∵第三次操作后，剩下的纸片恰为正方形， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的值为或； 故答案为：或． 5．（25-26七年级上·湖北武汉·期中）阅读理解：密码学是研究编制和破译密码的规律的一门学科，它与数学有密切关系．例如，对于密文“”，如果给一把破译它的“钥匙”，联想英语字母表中字母的顺序：如果规定又接在的后面，使个字母排成圈，并能想到可以代表“把一个字母换成字母表中从它向前移动3位的字母”，按这个规律就有．这样就能把密文“”破译成明文“”，从而解读出密文的意思了． （1）根据材料填空：密文“ ”可破译成明文为___________． 类比运用：将个英文字母依次对应序号．对于密文“”，给出密文与明文之间的关系如下： 当密文对应的序号为奇数时，明文对应的序号为；当密文对应的序号为偶数时，明文对应的序号为， 密文 26 2 19 7 38 密钥 ① ② 明文序号 ③ 1 ④ 8 明文 ⑤ ⑥ （2）完成填写表格中序号对应的内容： ①___________，②___________，③___________， ④___________，⑤___________，⑥___________ 则将密文破译成用英文字母表示的明文为___________． 研究拓展：小明同学沿用对字母标号的方法，即将个英文字母依次对应序号1，2，3，．．．，．把明文“”译成密文“”，请你先观察下列表格． 密文 密文序号 24 4 2 3 18 4 23 密钥 明文序号 20 5 1 3 8 5 18 明文 r （3）①发现数据规律：， ②若设明文序号为，则当明文对应的序号为偶数时，使用的密钥为___________；当明文对应的序号为奇数时，使用的密钥为___________． 【答案】 （1）（2）① ②③④⑤⑥，（3）②， 【分析】本题考查数据规律归纳，用代数式表示数字规律，等式的性质，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）先找到密文每个字母的序号，减去3 得到明文对应字母的序号，即可求解； （2）根据密钥按 “奇 ，偶规则” 计算各明文序号，将序号对应字母后组合成明文单词； （3）先对比表格中明文序号与密文序号的数值关系，再按明文序号的奇偶性分类，归纳出两类序号对应的密钥公式． 【详解】解：（1）逐个转换密文字母： L向前3位：L（） ，对应字母I； o向前3位：o（），对应字母l； r向前3位：r（） ，对应字母o； y向前3位：y（） ，对应字母v； h向前3位：h（8） ，对应字母e； f向前3位：f（6） ，对应字母c； k向前3位：k（） ，对应字母h； l向前3位：l（） ，对应字母i； q向前3位：q（），对应字母n； d向前3位：d（4） ，对应字母a； 组合字母：将转换后的字母按顺序组合，得到“”． 故答案为：； （2）是偶数，使用的密钥为； 为奇数，使用的密钥为； 密文的明文序号； 密文的明文序号 ； 密文的明文序号 ． 密文的明文序号， 明文序号1 a，序号 m，序号 t，序号8 h，序号 s； 组合字母得到明文“”． 故答案为：① ② ③④⑤⑥，； （3）②观察①中算式的规律发现， 若设明文序号为， 则当明文对应的序号为偶数时，密文， 则 ； 当明文对应的序号为奇数时，密文， 则 ； 综上所述，当明文对应的序号为偶数时，密钥为；当明文对应的序号为奇数时，密钥为． 故答案为： ，． 1．（2026·四川宜宾·中考真题）如图所示的自制平衡秤，允许砝码放在任意一边．现有，，的砝码各一个，则最多能称出整数克质量有（     ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【分析】根据天平平衡原理，物体质量等于两边砝码质量之差或和，通过分类讨论列举出所有可能的质量值即可． 【详解】解：设物体质量为，砝码可以放在天平的左盘或右盘，则的值为砝码质量的代数和（取正值， 分三种情况讨论： 只使用一个砝码：，，，共种； 使用两个砝码： 两砝码放在异侧（做减法）： ，，； 两砝码放在同侧（做加法）：，，； 共种； 使用三个砝码： ； ； ； ； 共种 综上所述，能称出的整数克质量有：，共种． 2．（2026·江苏苏州·中考真题）若，则代数式的值为_________． 【答案】2 【分析】本题先对已知等式变形，得到的值，再利用整体代入法计算所求代数式的值． 【详解】解： 可得： 等式两边同乘得： 将代入得： 原式． 3．（2025·山东滨州·中考真题）如果，则“☆”表示的数是______． 【答案】 【分析】本题考查了等式的性质，将方程两边同时除以 或乘以它的倒数，即可求解“☆”的值． 【详解】解：， ， 故答案为：． 4．（2025·四川·中考真题）将正面记为A，B，C，D，E的五张卡片按如图所示放置，每张卡片反面都写有一个数．现依次将相邻两张卡片反面的数之和记录如表： 卡片编号 A，B B，C C，D D，E E，A 两数和 48 60 53 65 42 根据以上信息，推断出最小数所对应的卡片编号为_____，最大数所对应的卡片编号为_____． 【答案】 【分析】此题考查方程的应用，设A、B、C、D、E卡片上对应的数分别为a，b，c，d，e，根据题意列得，由得，得，进而求出c的值，即可得到其他卡片对应的数，即可解答问题． 【详解】解：设A、B、C、D、E卡片上对应的数分别为a，b，c，d，e， 由题意得：， 得， 得， ∴， ∴， ∴， ∴, ∴最小数所对应的卡片编号为A，最大数所对应的卡片编号为B， 故答案为：A，B． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 5.1.2等式的性质 目录 A组巩固过关 基础常考7大题型 题型01根据等式的基本性质判断选项 题型05等式的基本性质中新定义类 题型02用一个字母表示另一个字母 题型06等式的基本性质中幻方问题 题型03等式的基本性质中天平问题 题型07等式的基本性质规律类问题 题型04利用等式的基本性质解方程 B组能力进阶 C组思维拔高 拓展链接中考 A组 巩固过关 题型01 根据等式的基本性质判断选项 1. (2026内蒙古锡林郭勒模拟预测)运用等式的性质变形正确的是() A.如果a=b,那么a+c=b-c B.如果a=2,那么a2=2a2 C.如果a=b,那么=b D.如果=b ,那么a=b CC 2.(25-26七年级上福建福州期末)下列运用等式的性质对等式进行的变形中，错误的是() A.若a=b,则a+c=b+C B.若m=n,则-2m=-2n 1/13 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.若x=y,则x-3=y-3 0.若3a=2,则0=3 2 3.(2026内蒙古锡林郭勒模拟预测)运用等式的性质变形正确的是() A.如果a=b,那么a十c=b-c B.如果a>0,那么a2=2a C.如果a=b,那么0=b D.如果9=b,那么a=b CC CC 4.（25-26七年级上·吉林长春期末)下列等式变形中，正确的是() A.由3a+1=5a,得3a-5a=1 B.由a+3=b+3,得a=b C.由3x+7=12x-6,得3x-12x=7-6 0.由4a=12,得a=-3 5.(25-26七年级上·吉林长春期末)下列等式变形中，正确的是() A.若a=b,则a+1=b-1 B.若a=b,则a-2=b-2 C.若a=b,则-3a=3b D.若ac=bc,则a=b 6.（2627七年级江苏小升初衔接)下面关于等式性质的运用，正确的式子是() A.如果x=y,那么5x=y+5 B.如果x=y,那么x+y=2y C.如果2x+3=5x,那么x=2 D.如果x=y,那么X+a=y-a 颗型02 用一个字母表示另一个字母 7.(25-26七年级上.北京顺义·期末)把方程4x-y=3写成用含x的代数式表示y的形式，正确的是 () A.y=4x-3 B.y=4X+3 C.x=3+业 4 0.X=3-￥ 8.(24-25七年级上福建厦门期中)把方程2x-y=1写成用含x的代数式表示y的形式，则y= 9.(25-26七年级上新疆和田·期末)已知方程5x-y=3,用含x的代数式表示y,则y= 10.(24-25七年级上上海阶段检测)将方程-3x+4y=8变形为用含x的式子表示y,那么y= 11.(25-26七年级上·上海普陀·期末)把方程2x-5y=3变形为用含有y的式子表示x,得x= 12.(24-25七年级上北京·期中)已知方程2x+y=4,用含x的代数式表示y,则y= 2/13 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 13.(25-26七年级上·上海静安期中)把方程3x+5y-5=0改写成用含x的式子表示y的形式 题型03 等式的基本性质中天平问题 14. (25-26七年级上北京，期中)下列图中所示的球、圆柱、正方体的重量分别都相等，三个天平分别都 保持平衡，那么第三个天平中，右侧秤盘上所放正方体的个数应为() O0y 、 00？ A.6 B.5 C.4 D.3 15.（25-26七年级上福建泉州期中)如图，天平两次操作均处于平衡状态，若“☆”的质量为mg,“ o”的质量为ng,则m,n的大小关系是() A.m>n B.m<n C.m=n D.均有可能 16.(25-26九年级下·甘肃张掖开学考试)小红在学习完天平的使用后，按照天平的原理自制了如图①所 示的简易天平，并对物体的质量进行探究，得到如图②所示的两幅图，天平都保持平衡状态，若O,口， △的质量分别为α，b,c,则能与图②的事实具有相同性质的是() 图① 图② A.若a=b,则aC=bc B.若a=b,则9=b CC C.若a=b,则a+c=b+c D.若a=b,则a=b2 17.（25-26七年级上四川绵阳开学考试)等式就像平衡的天平，能与如图的事实具有相同性质的是( A.若a=b,则ac=bc B.若a=b,则g=-b cC 3/13 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.若a=b,则a+c=b+c D.若a=b,则a=b2 题型04 利用等式的基本性质解方程 18.（25-26七年级上四川达州·开学考试)求未知数x的值. (1)25-7x=4 唱×8x-是 29x-1-9 19.(25-26七年级上全国·课后作业)利用等式的基本性质，将下面的等式变形为X=c(C为常数)的形 式： ()x+2=-6 2片x=3 (3)x-5=-2 (42x+1=5 20.利用等式的基本性质解下列方程： (1)x+5=12 (2)x-3=4 (3)3x=18 4学-8 (5)2x+3=9 (6)5x-2=8 21.(25-26六年级上黑龙江哈尔滨·期中)解方程： 18 x2 4/13 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 呢x*2 4 题型05 等式的基本性质中新定义类 22.(25-26七年级上四川成都期末)天平是用来测量物体质量的一种重要工具，它依据的是杠杆平衡原 理.在数学学科中我们定义：若a=b,则称α与b互为“天平数”，若3x2-5与X+4互为“天平数”， 则代数式-6x2+2x= 23.(25-26七年级上湖北武汉期末)定义：我们称使等式b2=4ac成立的有理数a,b,c为“唯一根数 组”，记作【a,bc1.例如：由于2=4×号×3，因此【兮2,3】是“唯一根数组”.若【 5+5k-K,k,1)是“唯一根数组”，则2k-k2+1的值为 24.规定：*为一种新运算，对任意的有理数a,b,有a*b=a+2b, 2 3,若6*X 试用等式的性质求x的 值 25.(25-26七年级上江苏准安期中)对于任意一个有理数x,把x称作x的关联数，并规定：当X≥0时， x=x-2;当x<0时x=x+2,例如：0.5=0.5-2=-1.5 2-3+0-— (2)当a>0,b<0时，有a=b,求a-b的值： 3)化简：2x-x+2. 26.(24-25七年级上陕西安康阶段检测)已知2m-6n=5,若规定a表示不超过a的最大整数，例 4.3=4,请在此规定下求3n-m的值. 题型06 等式的基本性质中幻方问题 27.(25-26八年级上福建泉州阶段检测)“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，如图①所示， 每个三角形的三个项点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等.现将-4，-3，-2,1， 2'4'5'6填入如图②所示的“幻方”中，部分数据已填入，则|d-c加-b的值为一 5/13 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 9 3 8 图1 图2 28.(25-26七年级上浙江台州期末)我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方，将互不相同的9个数填 入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖行以及两条对角线上的3个数之和相等.如图是一个未完成的幻 方，则m-n= ；Q m -9 -3 29.(25-26七年级上河北秦皇岛期末)幻方是一种将数字填在正方形格子中，使每行、每列、每条对角 线上的三个数之和相等的方法.如图是一个幻方的一部分，则a一b= -6 a -8 b -9 30.(25-26七年级上湖北黄石·期末)综合实践 幻方起源于中国，是我国古代数学的杰作之一.吴老师在数学活动课中带领同学探究“填幻方”. 【基本感知】 图1是“洛书”，“洛书”就是在一个9方格幻方中填入数字“1,2,3,4,5,6,7,8,9"（如图2）. 8 3 4 m 1 5 9 6 图1 图2 图3 图4 从图2中，我们可以观察到以下规律：每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的和都相等. 【深入探究】 6/13 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)把图2中的9个数“1,2,3,4,5,6,7,8,9"每个数，得到一组新的数“-4，-3，-2，-1， 0,1,2,3,4”. (2)请依据幻方图2的排列方式，将“-4，-3，-2，-1,0,1,2,3,4“填入到幻方图3中，使得满 足图2发现的规律. 【拓展应用】 (3)如图4所示，标注了其中三个数(m,n,0)的位置，请你用含有m,n的代数式表示出幻方中的数x. 31.（25-26七年级上·浙江台州·期末)幻方是中国古代重要的数学成就.在每个小方格中各填入一个数， 如果每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等，那么就称这个图是一个三阶幻方. 7 6 6 b 5 5 图1 图2 图3 (1)现用2到10这9个整数构造三阶幻方（每个数只能用一次） ①将图1的三阶幻方补充完整： ②如图2，该同学经过多次尝试，发现幻方中不同位置的数之间有一定的数量关系，若将图中对应位置的 数记作a,b,写出，b满足的数量关系； (2)如图3，对于任意满足条件的三阶幻方，设对应位置的数分别为a,b,c,写出a,b,c满足的数量关系. 题型07 等式的基本性质规律类问题 32. (2026安徽阜阳·二模)用同样大小的两种不同颜色的正方形纸片，按如图方式拼成长方形： 第①个图形中有2张正方形纸片： 第②个图形中有21+2=6=2×3张正方形纸片； 第③个图形中有21+2+3=12=3×4张正方形纸片： 第④个图形中有2(1+2+3+4=20=4×5张正方形纸片. ① ② ③ ④ 请你观察上述图形与算式，完成下列问题： 7/13 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)第⑤个图形中有_张正方形纸片（直接写出结果）：根据上面的发现我们可以猜想第个图形中有 张正方形纸片： (2)由(1)可得：1+2+3+…+n=(用含n的代数式表示)； (3)根据你的发现计算：1001+1002+1003+…+1999=一-： 33.(2024安徽模拟预测)观察下列等式： 2×1=(3-1)×1=2 2×(1+3)=(3-1)×(1+3)=8 2×(1+3+9)=(3-1)×(1+3+32)=26 2×(1+3+9+27)=(3-1)×(1+3+32+33)=80 … (1)根据上述规律，写出第六个等式为_： (2)请写出第n个等式，并利用整式的乘除说明你写出的等式成立. B组 能力进阶 1.(25-26七年级上·吉林长春期末)如果x=y,那么根据等式的性质下列变形一定正确的是() A.X+2=y-2B.7x=7y C.9-x=y-9 .xs1 2.(25-26七年级上湖南衡阳期末)下列四位同学对方程的变形中，正确的是() 小明：若x-3=2,则x=2-3; 佳佳：若2x=5,则x=亏 2 小红：若2x+1=y+4,则2x=4: 丽：x=6,期x-18 A.小明 B.佳佳 C.小红 D.丽丽 3.(25-26七年级上浙江杭州，期末)已知m+a=n+b,根据等式的性质变形为m=n,则a,b必须符合 的条件是(). A.a=-b B.a=0,b=0 C.a=b D.a,b可以是任意有理数或整式 8/13 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.(25-26七年级上山西太原期末)设“●”“▲”“■”表示三种不同的物体，先用天平称了两次，情 况如图所示：则下列图示不正确的是() B. 5.（2526七年级上河北唐山期末)相传大禹治水时，“洛水”中出现了一个神龟，其背上有美妙的图 案，史称“洛书”，就是我们今天的幻方，三阶幻方又叫九宫格，由三阶幻方可以衍生出许多有特定规律 的新幻方.在如图所示的新幻方中，每个小三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的 数字之和相等，则a-b-c+d的值为() d 5 n a m 3 A.5 B.-4 C.3 D.0 6.(25-26七年级上·浙江温州·期末)小州用烧杯装不同体积的某液体，测得烧杯和液体的总质量m(单 位：g)与液体体积V(V≠0，单位：cm)的关系满足m=60+pV.若用m与V表示p,则p= 7.填空，使所得结果仍是等式： (1)如果x-2=5,那么x=5+ (2)如果3x=10-2x,那么3x+ =10. (3)如果2x=7,那么x= (4)如果2=3，那么x-1= 8。（2425七年级上四川自贡开学考试)如果x与y互为倒数，且3-之， 那么24n= x n 9/13 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 925卡许级上安黛指州别〕对于在套的有理如：么如保满足号+号号影么我们路这- 对数a,b为“特殊数对”，记为a,b.若m,n是“特殊数对”，则18m+8n-4= 10.利用等式的性质解下列方程： ()2x+3=7 ②-82=10. 11.(2025安徽安庆模拟预测)今年4月24日是第十个“中国航天日”，以“海上生明月，九天揽星 河”为主题，某校以此来激励同学们参加航空航天知识学习，积极参加学校飞行社团的学习.截止4月底， 参加“固定翼”社团的人数比去年同期增加40%，参加“旋翼”社团的人数比去年同期增加15%，设去 年4月底参加“固定翼”社团学习的有a人，“旋翼”社团学习的有b人 (1)今年参加“固定翼”和“旋翼”社团的总人数为人（用含Q,b的代数式表示)； 2)若今年参加“固定翼”和“旋翼”社团的总人数比去年增加30%，求的值. b C组 思维拔高 1.(25-26七年级上·福建泉州期末)在数学游艺会上，某同学负责一个游戏项目，她准备了50张同样的 卡片，上面分别写有1,2,3，…，49,50，游戏规则是：先将卡片顺序打乱，参与者从中随机抽取五张， 并将它们正面向下放置在桌上（如图），这五张卡片分别记为A,B,C,D,E.她依次将相邻两张卡片 上的数的和告诉参与者，请参与者猜出其中哪张卡片上的数字最大.下表是其中一个参与者抽取的五张卡 片中相邻两张卡片上的数的和，则这五张卡片上数字最大的是() 卡片编号 A,B B,C C,D D,E E,A 两数的和 50 62 55 67 44 A D A.E卡片 B.B卡片 C.C卡片 D.D卡片 a,b a+b 2.(2026-四川绵阳·模拟预测)对于任意的有理数4，b,如果满足2+32+3，那么我们称这一对数 10/13 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ab为“相件数对”，记为a,),若m川是“相件数对”，则3m+2[3m--2n】的值为（) A.2 B.-1 C.-2 D.3 3.(25-26七年级上湖北武汉阶段检测)若a、C、d是整数，b是正整数，且a+b=c,b+c=d, c+d=a,则a+b+c+d的最大值是一 4.(2525七年级上渐江金华期末)在综合实我课上，小聪用一张长为0，宽为6>20）的长方形纸片 进行操作探究，先剪去一个以长方形纸片较短边为边长的正方形（第一次操作）；从剩下的矩形纸片中再 剪去一个以较短边为边长的正方形（第二次操作）；按此方式，如果第三次操作后，剩下的纸片恰为正方 形.则万的值为 5.(25-26七年级上湖北武汉·期中)阅读理解：密码学是研究编制和破译密码的规律的一门学科，它与 数学有密切关系.例如，对于密文“Ldpdvwxghqw”，如果给一把破译它的“钥匙”x-3,联想英语字母 表中字母的顺序：abcdefghijklmnopqrstuwxyz如果规定a又接在z的后面，使26个字母排成圈，并能想到 r-3 Ldpdvwxghqw-→ 可以代表“把一个字母换成字母表中从它向前移动3位的字母”，按这个规律就有 lamastudent Ldpdvwxghqw lamastudent 这样就能把密文“ ”破译成明文“ ”,从而解读出密文的意思了. (1)根据材料填空：密文“Loryh fklqd”可破译成明文为. 类比运用：将26个英文字母，b,c,,z依次对应序号1,2,3，，26.对于密文“26219738”，给出密文 与明文之间的关系如下： 当密文对应的序号为奇数时，明文对应的序号为红+) :当密文对应的序号为偶数时，明文对应的序 x 号为2， 密文 26 19 > 38 密钥 ① ② 11/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 明文序号 ③ 1 ④ 8 明文 名 0 ⑤ ⑥ S (2) 完成填写表格中序号对应的内容： ① ② ③ ④ -p ⑤ ⑥ 则将密文破译成用英文字母表示的明文为 研究拓展：小明同学沿用对字母标号的方法，即将26个英文字母a,b,c,,z依次对应序号1,2， 3,。·· 26.把明文“teacher”译成密文“xdbcrdw”,请你先观察下列表格， 密文 b C 密文序 24 4 18 4 23 号 密钥 明文序 20 5 3 5 8 的 明文 a h (3)①发现数据规律： 24=×20+1418=x8+14,23= -×18+14 4=×6+32=0+3)3=×6+3 ②若设明文序号为m,则当明文对应的序号为偶数时，使用的密钥为 当明文对应的序号为 奇数时，使用的密钥为， 拓展 链接中考 1.（2026四川宜宾.中考真题)如图所示的自制平衡秤，允许砝码放在任意一边.现有1g,3g,9g的砝 码各一个，则最多能称出整数克质量有() 12/13 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.6种 B.7种 c.13种 D.14种 2.（2026江苏苏州中考真题)若2x+y+2=0,则代数式x+y+3的值为 3.(2025山东滨州中考真题)如果☆×5=1 则“☆”表示的数是 4.（2025四川中考真题)将正面记为A,B,C,D,E的五张卡片按如图所示放置，每张卡片反面都写 有一个数.现依次将相邻两张卡片反面的数之和记录如表： 卡片编号 A,B B,C C,D D,E E,A 两数和 48 60 53 65 42 根据以上信息，推断出最小数所对应的卡片编号为 最大数所对应的卡片编号为 A D B 13/13 分层作业 5.1.2 等式的性质 参考答案 根据等式的基本性质判断选项题型01 1. D 2. D 3.D 4.B 5.B 6.B 用一个字母表示另一个字母题型02 7.A 8./ 9. 10. 11. 12./ 13. 等式的基本性质中天平问题题型03 14. B 15. C 16. C 17. C 利用等式的基本性质解方程题型04 18. （1）解： ； （2）解： （3）解： ． 19.（1）解：， 方程两边都减2，得． （2）解：， 方程两边都乘2，得． （3）解：， 方程两边都加5，得． （4）解：， 方程两边都减1，得； 方程两边都除以2，得． 20.（1）方程两边同时减去5，得，即； （2）方程两边同时加上，得，即； （3）方程两边同时除以，得，即； （4）方程两边同时乘以，得，即； （5）方程两边同时减去，得，即， 方程两边同时除以，得； （6）方程两边同时加上，得，即， 方程两边同时除以，得． 21.（1）解：， 等式两边同时乘以得，， 解得，； （2）解：， 方程变形得，，整理得，， 等式两边同时乘以得，， 解得，； （3）解：， 等式两边同时减去得，， 等式两边同时乘以得，， 解得，． 等式的基本性质中新定义类题型05 22. -18 23. -3 24. 25. （1）解：． 故答案为： （2）解：∵，，， ∴， ∴； （3）解：当时，； 当时，； 当时，为． 26.． 等式的基本性质中幻方问题题型06 27. -512 28. 6 29. 1 30. （1）解：∵原数“1”变换后为“”，，同理其他数均满足“原数新数”， ∴每个数减去(或加上)； 故答案为：减去(或加上)； （2）解：原幻方(图2)中各数为8，3，4；1，5，9；6，7，2，将每个数减5，得到新数3，，；，0，4；1，2，，填入幻方后满足每行、每列、对角线和为0，填法如图； （3）解：设幻方中第三行第一个数为， 则根据题意， 整理得． 31. （1）解：①∵， ∴每行、每列、每条对角线上的三个数的和都为， 故满足题意的幻方可以是下图所示 ②右下角的数， ∵左上角的数， ∴； （2）解：设最中间的数为d，每行、每列、每条对角线上的三个数的和都为s， ∴中间一行的三个数字之和加上中间一列三个数字之和，再加上两条对角线上6个数字（每条对角线都有3个数字）之和等于， ∴， ∴， ∴右上角的数字为， ∴右下角的数字为，左上角的数字为， ∴左上角的数字为， ∴， ∴． 等式的基本性质规律类问题题型07 32. （1）解：第⑤个图形中有张正方形纸片； 第个图形中有张正方形纸片； （2）解：∵ ∴； （3）解： ． 33. （1）解：由题意可得， 第六个等式为：， 故答案为：； （2）解：由题意可得， 第个等式为：， 理由：设， 则， ， ， ， 即成立． 1. B 2. D 3. C 4. C 5. B 6. 7. 8. 8 9. 10. （1）解： 方程两边减3，得 ， 化简，得， 方程两边除以，得； （2）解： 方程两边加2，得， 化简，得， 方程两边乘，得． 11.（1）解：由题意得，今年参加“固定翼”社团的人数为人，今年参加“旋翼”社团的人数为人， ∴今年参加“固定翼”和“旋翼”社团的总人数为人； （2）解：由题意得，， ∴， ∴， ∴． 1. B 2. C 3. 4. 或 5.解：（1）逐个转换密文字母： L向前3位：L（） ，对应字母I； o向前3位：o（），对应字母l； r向前3位：r（） ，对应字母o； y向前3位：y（） ，对应字母v； h向前3位：h（8） ，对应字母e； f向前3位：f（6） ，对应字母c； k向前3位：k（） ，对应字母h； l向前3位：l（） ，对应字母i； q向前3位：q（），对应字母n； d向前3位：d（4） ，对应字母a； 组合字母：将转换后的字母按顺序组合，得到“”． 故答案为：； （2）是偶数，使用的密钥为； 为奇数，使用的密钥为； 密文的明文序号； 密文的明文序号 ； 密文的明文序号 ． 密文的明文序号， 明文序号1 a，序号 m，序号 t，序号8 h，序号 s； 组合字母得到明文“”． 故答案为：① ② ③④⑤⑥，； （3）②观察①中算式的规律发现， 若设明文序号为， 则当明文对应的序号为偶数时，密文， 则 ； 当明文对应的序号为奇数时，密文， 则 ； 综上所述，当明文对应的序号为偶数时，密钥为；当明文对应的序号为奇数时，密钥为． 故答案为： ，． 1. C 2. 2 3. 4. 学科网（北京）股份有限公司 $