第四章 三角函数与解三角形（单元测试）-2027年新高考数学一轮总复习

**基本信息** 聚焦三角函数与解三角形核心考点，通过基础到综合的题型设计，系统覆盖概念、性质、变换及应用，强化运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |三角函数性质|选择1-5、10|基础计算与性质分析|从定义推导周期、最值、单调性，构建性质应用逻辑链| |图像变换与解析式|选择4-5、7、16|图像识别与参数求解|结合几何直观，建立“图像特征-解析式参数”对应关系| |解三角形|选择6、8-9、13、17-18|正余弦定理及面积应用|以边角关系为核心，形成“已知条件-定理选择-结果计算”推理路径| |综合证明与计算|填空14、解答19|跨模块综合应用|融合三角恒等变换与解三角形，培养数学思维的严谨性与模型意识|

第四章 三角函数与解三角形（单元测试） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．的结果为（     ） A． B． C．0 D． 2．函数的最大值为（ ） A． B． C． D． 3．（     ） A． B． C． D． 4．函数的图象经过适当变换可以得到的图象，则这种变换可以是（    ） A．沿x轴向右平移个单位 B．沿x轴向左平移个单位 C．沿x轴向左平移个单位 D．沿x轴向右平移个单位 5．函数的图象关于直线对称，且的最小正周期为4，则的解析式可以是（    ） A． B． C． D． 6．在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，，，，则的面积为（ ） A． B． C． D． 7．函数的部分图象如图所示，则函数为（    ） A． B． C． D． 8．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．在中，角的对边分别是，已知，则下列结论正确的是（    ） A． B．的面积为 C． D． 10．已知函数，则（   ） A．的最小正周期为 B．若，则 C．在区间上单调递增 D．的图象关于点中心对称 11．定义：，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．的图象关于点对称 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，则__________. 13．在中，，，的面积为，则的长为________． 14．已知一个平面四边形的四条边长分别为，则四边形面积的最大值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知函数． (1)求函数的最小正周期，以及最大值和最小值； (2)求函数的单调递增区间； (3)求函数在区间上的最大值和最小值． 16．（15分） 函数的图象的一部分如图所示． (1)求函数的解析式； (2)求函数的最大值与最小值． 17．（15分） 为锐角三角形，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知． (1)求角B； (2)若，求面积的取值范围； 18．（17分） 在中，角，，的对边分别为，，．已知，，． (1)求； (2)求的面积； (3)若点在边上，且平分，求的长． 19．（17分） 已知△ABC的面积为S，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求证：； (2)求证： (3)若，求证：. 1 / 4网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 三角函数与解三角形（单元测试） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．的结果为（     ） A． B． C．0 D． 【答案】B 【解析】. 2．函数的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， 当，即时，函数取得最大值. 3．（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意. 4．函数的图象经过适当变换可以得到的图象，则这种变换可以是（    ） A．沿x轴向右平移个单位 B．沿x轴向左平移个单位 C．沿x轴向左平移个单位 D．沿x轴向右平移个单位 【答案】B 【解析】由， 所以由的图象沿x轴向左平移个单位可以得到的图象. 5．函数的图象关于直线对称，且的最小正周期为4，则的解析式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为最小正周期为4，，得，可排除AB选项. C选项，代入，，是函数图象的一条对称轴； D选项，，为函数图象的一个对称中心，不是函数图象的一条对称轴，故排除D. 6．在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，，，，则的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由正弦定理得，， 因为，所以，则，， 的面积为． 7．函数的部分图象如图所示，则函数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由函数图象可知，，， 所以，即，所以， 当时，， 结合图象过点，且在函数的增区间上， 则，则， 又，此时不存在； 当时，， 结合图象过点，且在函数的增区间上， 则，则， 又，， 函数. 8．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【解析】由余弦定理，将代入得. 进而. 的最小值为，因此的最大值为. 令，. ， 当时，， 根据对勾函数的性质可得， 故的最大值为， 即的最大值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．在中，角的对边分别是，已知，则下列结论正确的是（    ） A． B．的面积为 C． D． 【答案】AB 【解析】对于A，根据余弦定理， 得，因此，故A正确； 对于B，根据三角形面积公式，故B正确； 对于C，根据正弦定理，可得，故C不正确； 对于D，因为， 所以，故D不正确. 10．已知函数，则（   ） A．的最小正周期为 B．若，则 C．在区间上单调递增 D．的图象关于点中心对称 【答案】AC 【解析】利用辅助角公式化简：. 选项A，最小正周期， A正确； 选项B，若，则，即， 得：，即， 因此，B错误； 选项C，当时，令， 则在上单调递增， 因此在上单调递增，C正确； 选项D，若函数关于点中心对称，则满足， 则，D错误. 11．定义：，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．的图象关于点对称 【答案】BCD 【解析】对于A，， 则，故A不正确； 对于B，因为，所以， 则， 所以，故B正确； 对于C，， 所以，故C正确； 对于D，因为时，， 又， 所以， 则的图象关于点对称，故D正确. 故选：BCD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，则__________. 【答案】/ 【解析】. 13．在中，，，的面积为，则的长为________． 【答案】 【解析】因为的面积，即，可得， 由余弦定理可得，即. 14．已知一个平面四边形的四条边长分别为，则四边形面积的最大值为______. 【答案】 【解析】设四边形四条边为，对角线为，两个对角分别为和， 两个三角形的面积之和为：，整理得 同时由余弦定理对两个三角形分别列等式可得：， 整理得，记， 则(3)，(4)， (3)(4)得 所以，即 当，也就是四边形为圆内接四边形时，，此时面积取得最大值， 此时 所以 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知函数． (1)求函数的最小正周期，以及最大值和最小值； (2)求函数的单调递增区间； (3)求函数在区间上的最大值和最小值． 【解析】（1）因为， 所以. ，. （2）令， 解得单调递增区间为，. （3）因为，所以，则, 所以，. 16．（15分） 函数的图象的一部分如图所示． (1)求函数的解析式； (2)求函数的最大值与最小值． 【解析】（1）由图象可知，周期， . 又∵图象经过点， ， ， . （2） ， 的最大值为，最小值为. 17．（15分） 为锐角三角形，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知． (1)求角B； (2)若，求面积的取值范围； 【解析】（1）因为，由正弦定理得：， 又，所以，又，所以， 即，由，所以； （2）由题意有， 由正弦定理有：，所以， 由（1）得，所以， 所以， 又为锐角三角形，所以，所以，所以， 所以，，所以，， 所以面积的取值范围为 18．（17分） 在中，角，，的对边分别为，，．已知，，． (1)求； (2)求的面积； (3)若点在边上，且平分，求的长． 【解析】（1）由余弦定理，． 又，所以．代入，，得． 即． 化简得，因此． （2）由，得． 所以． （3）因为平分，则， 即， 即得， 又为锐角，所以， 则. 19．（17分） 已知△ABC的面积为S，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求证：； (2)求证： (3)若，求证：. 【解析】（1）由及， 得， 由正弦定理得，即， 所以， 则或（舍去）， 所以，即， 所以． (2)由（1）知，，所以， 由余弦定理得，当且仅当时，等号成立， 所以， 整理得； (3)由(2)知， 则， 所以 即． 1 / 4网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $