第四章 三角函数与解三角形（综合训练）（天津专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

**基本信息** 聚焦三角函数与解三角形综合应用，整合图像性质、恒等变换及实际问题，覆盖高频考点与新考法，强化知识逻辑与核心素养。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |三角函数图像与性质|选择1-5,7-9,填空15④,解答20|周期/单调性/图像变换/对称性判断|从函数解析式到图像特征，结合平移伸缩推导变换规律，渗透几何直观与推理能力| |解三角形及应用|选择3,填空10,12-14,解答16-19|正余弦定理应用/面积计算/实际测量|以三角形边角关系为核心，关联三角恒等变换与向量投影，体现模型意识与应用意识| |三角恒等变换与综合|选择6,填空11,15①②③,解答17(3)|比较大小/命题判断/多知识交汇|通过公式推导与性质应用，构建概念生成-原理推导-综合应用的逻辑链条，培养运算能力与理性精神|

第四章 三角函数与解三角形（综合训练） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。 1．求函数的最小正周期是（    ） A． B． C． D． 2．“角θ是第四象限角”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3．在中，内角，，的对边分别为，，，已知，则是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 4．已知函数，将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，函数的一个对称轴为，则的最小取值为（   ） A． B． C． D． 5．函数（，，）的部分图象如图所示，要得到的图象，只需将函数的图象上所有的点（    ） A．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度 B．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度 C．横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度 D．横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度 6．设，，，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 7．已知函数（）在区间上单调递减，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．已知函数的图象在轴上的截距为，在轴右侧的第一个最高点的横坐标为，关于该函数有下列四个说法： ①； ②； ③函数在上一定单调递增； ④在轴右侧的第一个最低点的横坐标为． 以上说法中，正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．已知函数的图象满足以下特征：图象经过点，并且在y轴右侧的第一个零点为，第一个最低点为，函数在上的值域为，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10．已知a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，且，，，则______． 11．在平行四边形中，，，，四边形的面积为6，则的最小值为______；当在上的投影向量为时，______. 12．【新考法】某船行驶到甲地看1号灯塔时，在甲地的北偏东75°方向上，两地相距海里；在甲地看2号灯塔时，在甲地的南偏西60°方向上，两地相距4海里．该船由甲地向正南航行到乙地时，再看1号灯塔，则1号灯塔在乙地的北偏东30°方向上，则2号灯塔与乙地之间的距离是________海里． 13．如图，两点都在河对岸（不可到达），某测量队测得米，，，，求两点的距离__________. 14．在中，内角所对的边分别为，且，且，那么外接圆的半径为________. 15．【新考法】已知的内角所对的边分别为． ①若，则一定是等腰三角形； ②若，则一定是钝角三角形； ③若点M是边上的点，且，则的面积是面积的； ④若平面内有一点O满足：，且，则为等边三角形． 其中所有正确结论的序号是____________． 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（14分）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，. (1)求的值： (2)求的面积； (3)求的值. 17．（15分）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求； (2)若，求； (3)若，求的值． 18．（15分）在中，分别为三个内角的对边．且 (1)求角的大小； (2)若． （i）求； （ii）求的值． 19．（15分）【新考法】已知正三角形，边长为3，点在边上（如图），，． (1)求的长，的值； (2)求的值； (3)求的长． 20．（16分）已知函数的最小正周期为，函数的图象关于直线对称． (1)求，的值； (2)当时，求的单调递增区间； (3)将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，设函数，若，，，求实数的取值范围． 10 / 10学 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 三角函数与解三角形（综合训练） 参考答案 第一部分（选择题 共45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 B B D B A A B C C 第二部分（非选择题 共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10．/ 11． 12. 13． 14． 15．②③④ 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（14分） （1）因为， 由正弦定理，得， 因为，所以，所以， 故，由，得.（6分） （2）因为，，由余弦定理， 得，， 解得，或（舍去）. 所以.（10分） （3）由正弦定理，得，即， 因为为钝角，所以为锐角，， ，， 所以.（14分） 17．（15分） （1）因为，所以， 因为，所以，所以， 因为为锐角三角形，所以，所以；（6分） （2）由（1）可知，所以， 即，即，解得（舍去）；（10分） （3）因为，， 所以，，， 所以.（15分） 18．（15分） （1）因为，所以， 由余弦定理得，所以， 又，故.（6分） （2）（i）因为，，， 所以，故.（9分） （ii）由正弦定理可得， 因为，所以，故，所以， 所以，， 所以.（15分） 19．（15分） （1）在中，，，， ，解得， ，.（6分） （2）由（1），, .（9分） （3）因为， 所以由正弦定理可得， 所以，解得.（15分） 20．（16分） （1）由函数的最小正周期为，得，因此， 由函数的图象关于直线对称，得，而， 所以.（6分） （2）由（1）得，由，得， 由，得；由，得， 所以当时，的单调递增区间是.（10分） （3）将的图象向左平移个单位长度，得函数， 当时，，，因此； 由，恒成立，得， 函数，由，得， 当时，，则，解得，因此； 当时，，则，解得，因此； 当时，，则，解得，因此， 所以实数的取值范围为.（16分） 答案第2页，共2页 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 三角函数与解三角形（综合训练） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。 1．求函数的最小正周期是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】． 故选：B． 2．“角θ是第四象限角”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由可得：且， 所以是第三或第四象限角， 所以“角θ是第四象限角”能推出“”， “”不能推出“角θ是第四象限角”， 所以“角θ是第四象限角”是“”的充分不必要条件. 故选：B. 3．在中，内角，，的对边分别为，，，已知，则是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D 【详解】可得， 由正弦定理可得: ，即， 可得， ，或， 解得或，即是等腰或直角三角形. 故选：D 4．已知函数，将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，函数的一个对称轴为，则的最小取值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】将向左平移个单位长度得到， 又函数的一个对称轴为，所以， 解得，当时，所以的最小取值为. 故选：B 5．函数（，，）的部分图象如图所示，要得到的图象，只需将函数的图象上所有的点（    ） A．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度 B．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度 C．横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度 D．横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度 【答案】A 【详解】由图可知，，得， 又，由解得； 将点代入，得， 在函数单调减区间上，则，， 解得，又，所以，. 得. 将的图象上所有的点横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度， 得的图象. 故选：A 6．设，，，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】； ；， 则 故选：A 7．已知函数（）在区间上单调递减，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以： ， 因为（）的单调递增区间就是的单调递减区间， 由，，解不等式得： ，， 所以的单调递减区间为，， 又因为在区间上单调递减，当时，单调递减区间为， 则有， 由 得 ，由 得 ， 因为 ，所以 ， 因此，实数的取值范围为. 8．已知函数的图象在轴上的截距为，在轴右侧的第一个最高点的横坐标为，关于该函数有下列四个说法： ①； ②； ③函数在上一定单调递增； ④在轴右侧的第一个最低点的横坐标为． 以上说法中，正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】因为函数的图象在轴上的截距为，所以， 因为，所以，①正确； ， 因为在轴右侧的第一个最高点的横坐标为， 所以，，， 则， 所以函数在上单调递增，③正确； ， 所以在轴右侧的第一个最低点的横坐标为，④正确； ，所以 则 故的最大值为， 因为，所以②错误． 9．已知函数的图象满足以下特征：图象经过点，并且在y轴右侧的第一个零点为，第一个最低点为，函数在上的值域为，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为函数图象经过点，并且在y轴右侧的第一个零点为，第一个最低点为， 所以，，， 所以，，解得，（） 所以故， 因为，令，则，解得；当时，； 所以，根据对称性可知，当时，， 因为函数在上的值域为， 所以，，即m的取值范围为. 第二部分（非选择题 共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10．已知a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，且，，，则______． 【答案】/ 【详解】由题设. 故答案为： 11．在平行四边形中，，，，四边形的面积为6，则的最小值为______；当在上的投影向量为时，______. 【答案】 【详解】由条件可知，,， 所以，所以， ，， ， ， 当时等号成立， 所以的最小值为； 在上的投影向量为，则，即, 因为，所以，得，， 则. 故答案为：；. 12．【新考法】某船行驶到甲地看1号灯塔时，在甲地的北偏东75°方向上，两地相距海里；在甲地看2号灯塔时，在甲地的南偏西60°方向上，两地相距4海里．该船由甲地向正南航行到乙地时，再看1号灯塔，则1号灯塔在乙地的北偏东30°方向上，则2号灯塔与乙地之间的距离是________海里． 【答案】 【详解】由题意可知， 在中，利用正弦定理可知， 在中，由余弦定理可知， 即2号灯塔与乙地之间的距离是海里. 13．如图，两点都在河对岸（不可到达），某测量队测得米，，，，求两点的距离__________. 【答案】 【详解】在中，， 所以. 所以根据正弦定理得，即，解得. 因为，所以是等边三角形，所以. 在中，， 根据余弦定理得，代入数据得 ，解得， 即. 14．在中，内角所对的边分别为，且，且，那么外接圆的半径为________. 【答案】 【详解】因为，由正弦定理得， 即， 又因为，可得， 所以， 所以， 可得， 因为，可得，所以，即， 又因为，所以， 设外接圆的半径为，因为，可得， 所以，即外接圆的半径为. 15．【新考法】已知的内角所对的边分别为． ①若，则一定是等腰三角形； ②若，则一定是钝角三角形； ③若点M是边上的点，且，则的面积是面积的； ④若平面内有一点O满足：，且，则为等边三角形． 其中所有正确结论的序号是____________． 【答案】②③④ 【详解】对于①，或，即或， 所以是等腰或直角三角形，故①错误； 对于②，由和余弦定理，， 因，则为钝角，所以一定是钝角三角形，故②正确； 对于③，因为点M是边上的点，且， 则，即,则 与的高相等，其面积之比等于对应底边之比， 即，故③正确； 对于④，记的中点为，则， 由得，即在中线上， 同理可得点在另外两边的中线上，即点是的重心； 又由，可知点是的外心， 即的重心、外心重合，故为等边三角形，故④正确． 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（14分）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，. (1)求的值： (2)求的面积； (3)求的值. 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）因为， 由正弦定理，得， 因为，所以，所以， 故，由，得. （2）因为，，由余弦定理， 得，， 解得，或（舍去）. 所以. （3）由正弦定理，得，即， 因为为钝角，所以为锐角，， ，， 所以. 17．（15分）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求； (2)若，求； (3)若，求的值． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）因为，所以， 因为，所以，所以， 因为为锐角三角形，所以，所以； （2）由（1）可知，所以， 即，即，解得（舍去）； （3）因为，， 所以，，， 所以. 18．（15分）在中，分别为三个内角的对边．且 (1)求角的大小； (2)若． （i）求； （ii）求的值． 【答案】(1)(2)（i）；（ii） 【详解】（1）因为，所以， 由余弦定理得，所以， 又，故. （2）（i）因为，，， 所以，故. （ii）由正弦定理可得， 因为，所以，故，所以， 所以，， 所以. 19．（15分）【新考法】已知正三角形，边长为3，点在边上（如图），，． (1)求的长，的值； (2)求的值； (3)求的长． 【答案】(1)，(2)(3) 【详解】（1）在中，，，， ，解得， ，. （2）由（1），, . （3）因为， 所以由正弦定理可得， 所以，解得. 20．（16分）已知函数的最小正周期为，函数的图象关于直线对称． (1)求，的值； (2)当时，求的单调递增区间； (3)将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，设函数，若，，，求实数的取值范围． 【答案】(1)，(2)(3) 【详解】（1）由函数的最小正周期为，得，因此， 由函数的图象关于直线对称，得，而， 所以. （2）由（1）得，由，得， 由，得；由，得， 所以当时，的单调递增区间是. （3）将的图象向左平移个单位长度，得函数， 当时，，，因此； 由，恒成立，得， 函数，由，得， 当时，，则，解得，因此； 当时，，则，解得，因此； 当时，，则，解得，因此， 所以实数的取值范围为. 7 / 10学 学科网（北京）股份有限公司 $