27.2.1 二次函数y=ax2的图像与性质（教学课件）数学新教材沪教版五四制九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数y=ax²的图像与性质，通过情境引入从特殊y=x²入手，经列表、描点、连线探究数据规律与图像特征，再延伸至一般y=ax²（a≠0），搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以“特殊到一般”探究方法，结合合作探究与典例分析，培养学生几何直观与推理意识，通过表格归纳对比a>0和a<0的性质，融入中考真题增强应用意识，助力学生发展抽象能力，也为教师提供系统教学流程与丰富资源。

27.2 二次函数 =a 第二十七章 二次函数 沪教版九年级上册 学习目标 会画二次函数y=ax2的图像, 掌握图像的开口方向、对称轴、顶点坐标等特征；理解其增减性、最值等性质，并能利用性质解决简单的实际问题； 一 能用待定系数法求二次函数的表达式，并利用数形结合法解决一些简单综合问题. 二 1 情境引入 目录 3 典例分析 5 归纳总结 4 巩固练习 6 感受中考 7 小结梳理 8 布置作业 2 合作探究 研 研究方法 采用从特殊到一般的方法，结合图像直观探索函数性质。 特殊起点 先从特殊二次函数y=ax²（a为常数且a≠0）入手，研究其图像与性质。 一般延伸 逐步过渡到对一般二次函数y=ax²+bx+c（a、b、c为常数且a≠0）的研究。 二次函数 情境引入 究 思 路 合作探究 思考 :首先考察二次函数y=x² 的图像与性质. 列表 描点 连线 x   … -2   1   0   1   2   … y=x²   …   … 4   1   0    1    4 点睛： 列表取值的原则 取值具有代表性——考虑取值范围； 取值具有简洁性——便于描点； 取值具有对称性——决定图像性质； 当x取互为相反数时，函数值都相等。 思考：表格中的数据有何规律？ 猜想：这个规律对其图像有何影响？ 合作探究 二次函数y=x² 的图像与性质 性质 连线 依次描点 自左向右； 平滑曲线； 图像延伸； 描点 形状：抛物线 开口：向上 对称轴：y轴 顶点：（0，0） 左侧：图像下降 （y随x增大而减小） 右侧，图像上升 （y随x增大而增大） 合作探究 二 次函数 y=x² 的图像与性质 二次函数y=x² 的图像是一条曲线，叫作_________. 抛物线y=x² 开口_______， 分别向左上方和右上方无限延伸. 对称轴是_____，顶点是________也是抛物线的最_____点. 在对称轴左侧，图像_____；在对称轴右侧，图像_____. 当x<0 时，y随着x 的_______________； 当x>0 时，y随着x 的_______________； 当x=0 时，二次函数y=x² 取到最___值，为___. 抛物线 向上 y轴 (0，0) 低 下降 上升 增大而减小 增大而增大 小 0 典例分析 例1 在同一平面直角坐标系中，分别画出二次函数y=x²，y=x²和y=2x² 的图像. x … -1 0 1 2 … 1 0 1 0 2 0 2 列表 思考：表格中的数据有何规律？ 当x取互为相反数时，对应的函数值都相等。 表格中第三行的数据是第二行对应数据值的一半。 表格中第四行的数据是第二行对应数据值的2倍。 猜想 这个规律对三个函数图像有何影响？ 典例分析 例1 在同一平面直角坐标系中，分别画出二次函数y=x²，y=x²和y=2x² 的图像. 描点 连线 思考 三个函数的图像有何特征？这些特征与刚才表格中的数据规律有何关联？ 合作探究 例1函数y=x²，y=x²和y=2x² 的图像. 三条抛物线有什么共同特点 抛物线 开口_____， 无限延伸. 对称轴是_____，顶点是_______也是最_____点. 在对称轴左侧，图像_____；在对称轴右侧，图像_____. 当x<0 时，y随着x的___________； 当x>0 时，y随着x的____________； 当x=0 时，二次函数取到最___值，为___. y=x² y=2x² y=x² 向上 y轴 （0，0） 低 上升 下降 增大而减小 增大而增大 小 0 合作探究 例1函数y=x²，y=x²和y=2x² 的图像. y=x² y=2x² y=x² 三条抛物线的特征有何区别？是什么决定了这些区别？ 三条抛物线的开口大小不一样。 |a|决定了开口大小， |a|的越大，图像开口越小； |a|的越小，图像开口越大。 巩固练习 1. 在同一平面直角坐标系中，分别画出二次函数y=-x²，y=-x²和y=-2x² 的图像. x … -1 0 1 2 … - -1 - 0 - -1 - - - - 0 - - - - -2 - 0 - -2 - 列表 思考：表格中的数据与例题相比有何规律？ 表格中的函数y的值与例题中的对应数据互为相反。 猜想：这个规律对三个函数的图像有何影响？ y=-x² y=-2x² y=-x² 巩固练习 描点 1. 在同一平面直角坐标系中，分别画出二次函数y=-x²，y=-x²和y=-2x² 的图像. 连线 思考：二次函数y=-x²，y=-x²和y=-2x² 的图像的异同点. 抛物线开口_____， 无限延伸. 对称轴是_____，顶点是_______. 在对称轴左侧，图像_____；在对称轴右侧，图像_____. 当x<0 时，y随着x的___________； 当x>0 时，y随着x的____________； 当x=0 时，函数有最___值为___. y=-x² y=-2x² y=-x² 向下 y轴 （0，0） 上升 下降 增大而增大 增大而减小 大 0 合作探究 相同点 不同点 三条抛物线的开口大小不一样。 思考：二次函数y=ax²的图像与性质. 合作探究 y=-x² y=-2x² y=-x² y=x² y=2x² y=x² 当a>0   时 ，抛物线y=ax² 开口______，无限延伸，对称轴是_____，顶点是____，它是抛物线的 最____点. 当a<0   时 ，抛物线y=ax² 开口_____，无限延伸，对称轴是____，顶点是_____，它是抛物线的最____点. 向上 y轴 原点 低 向下 y轴 原点 高 在对称轴左侧，图像下降；在对称轴右侧，图像上升。 a 越大， 抛物线的开口越小. 在对称轴左侧，图像上升；在对称轴右侧，图像下降 |a|  越大，抛物线的开口越小. 巩固练习 1. 在同一平面直角坐标系中，分别画出二次函数=3x²，=-3x² 的图像. y=3x² y=-3x² 描点 连线 列表 x … -1 0 1 … 3 - 0 - 3 -3 - 0 - -3 巩固练习 2. 写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点： (1) y=x² (2) y=x² 开口方向 对称轴 顶点 y=x² 向上 y轴 原点 y=x² 向下 y轴 原点 例题讲解 例2 已知二次函数y=ax² 的图像经过点A(2,-8) 、B(3,m)、C(4、n). (1)求a 的值； (2)当x 取何值时，y 有最大值(或最小值). (3)不求m、n的值，比较它们的大小. 解：(1)∵点A(2,-8)   在二次函数y=ax² 的图像上，  ∴8=a×2² . ∴a=-2. ∴二次函数的表达式是y=-2x² . (2)当x=0  时 ，y有最大值，最大值是0. (3)因为a<0,所以当x>0 时 ，y 随 x 的增大而减小. 又∵3<4，∴m>n. 1. 在抛物线y=x² 上的一个点是( ). A.(1,2) B.(1,-1) C.(2,2) D.(0,0) 巩固练习 D 2. 对于函数y=4x²,  下列说法正确的是(    ). A.当x>0 时 ，y 随 x 的增大而减小 B.当x>0 时 ，y随 x 的增大而增大  C.y 随x 的增大而减小 D.y随 x 的增大而增大 B 3. 在平面直角坐标系xOy中，如果点(0,a)、(1,b) 、(2,c) 都在抛物线y=-x² 上 ,那么( ). A.a<b<c B.c<a<b C.c<b<a D.b<a<c 巩固练习 C 4. 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过A（-2,-2）点、B（1，m），求m的值. 巩固练习 A 解：设抛物线表达式为y=ax²  ∵点A(-2,-2) 在二次函数y=ax² 的图像上，∴-2=a×2² . ∴a=. ∴二次函数的表达式是y=x² . ∵ 点B(1,m)   在图像上，  ∴m=×1² =. 归纳总结 函数 y=ax²(a>0) y=ax²(a<0)     图像     开口方向 对称轴 顶点坐标     增减性     最值 向上 向下 y轴 (0,0) 当x<0时， y随x的增大而减小； 当x>0时，y随x的增大而增大 当x<0时， y随x的增大而增大； 当x>0时，y随x的增大而减小 当x=0时，y最小值=0 当x=0时，y最大值=0 感受中考 1.（2026·上海奉贤·二模）如果抛物线y=ax² 在对称轴的右侧部分下降，那么a 的取值范围是___________． a<0 感受中考 2.（2026·江西九江·一模）若二次函数y=2x² 的图象上有两点A()，B(1,)，则，的大小关系是______． < 感受中考 3.（2025·新疆昌吉·模拟预测）已知抛物线y=-x² 与直线y=3x+h都经过点(1,k)． (1)求h，k的值； (2)如果一条过原点且对称轴是y轴的抛物线恰好经过点(h,k)，请确定此抛物线的解析式． 解(1)∵抛物线y=-x² 与直线y=3x+h都经过点(1,k)．∴k=-1 ,k=3+h ∴k=-1 ,h=-4. (2)设抛物线表达式为y=ax²  ∵点(h,k) 在二次函数y=ax² 的图像上，∴-1=a×(-4)² . ∴a=, ∴二次函数的表达式是y=x² . 小结梳理 y=x²的图像与性质 y=ax²(a>0) 的图像与性质 y=-x²的图像与性质 y=ax²(a<0) 的图像与性质 y=ax²(a0) 的图像与性质 布置作业 必做题：习题27.1-27.2 第3题. 1 探究性作业：见补充. 2 作业 1.（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）抛物线y=x² 的顶点坐标是（    ） A．（1，0） B．（0，1） C．（0，0） D．（1，1） C 作业 2.（25-26九年级上·湖北武汉·期末）关于函数y=-3x² 与y=x² 的图象的共同点，下列说法正确的是（    ） A．开口向上 B．都有最低点 C．y随x增大而增大 D．对称轴是y轴 D 作业 3.（25-26九年级上·安徽合肥·期末）当x_______时，二次函数y=-x² 中y 随x 的增大而减小? >0 作业 4.（25-26九年级上·吉林·期中）已知二次函数y=ax² 的图象经过点P(-1,4)． (1)求a 的值； (2)点Q(2,m)在该函数的图象上，求m的值． 【答案】 (1)a=4; (2)m=64 沪教版九年级上册 谢谢观看！ $