专题27.1 二次函数和最简二次函数y=ax2（高效培优讲义）数学新教材沪教版五四制九年级上册

本讲义聚焦二次函数概念及最简二次函数y=ax²的图像与性质，系统梳理从一次函数到二次函数的过渡，通过概念辨析、实际问题建模搭建学习支架，为后续复杂二次函数学习奠定基础。 特色在于“即学即练+典例变式”设计，如“栅栏围羊圈列表达式”培养模型意识，“表格对比y=ax²性质”发展几何直观与推理能力。课中助力教师分层教学，课后练习题帮助学生巩固概念、查漏补缺，提升用数学眼光观察和解决问题的能力。

专题27.1 二次函数和最简二次函数y=ax2 教学目标 1. 理解二次函数的概念； 2. 掌握二次函数的一般形式，能与一次函数作本质区分； 3. 根据实际问题列函数解析式，并求自变量取值范围。 4. 理解二次函数y=ax2 的图像与性质 教学重难点 重点：1.理解二次函数的概念。 2.理解二次函数y=ax2 的图像与性质。 难点：1.二次函数y=ax2 的图像与性质。 知识点01 二次函数的概念 1. 二次函数的概念 我们把形如 y=ax²+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)的函数，叫作二次函数。其中x是自变量，a，b，c分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项。 （1）a≠0； （2）ax²+bx+c必须是整式； 2. 二次函数的一般式——y=ax²+bx+c(a,b,c是常数，a≠0) （1）特殊形式： y=ax²(a≠0) y=ax²+bx(a,b,是常数，a≠0) y=ax²+c(a,c是常数，a≠0) （2）顶点式 (a,h,k是常数，a≠0) （3）交点式 (a,m,n是常数，a≠0) 3. 根据实际问题列二次函数的表达式 1) 认真审题，确定两个变量； 2) 寻找等量关系，用含x的代数式子表示y; 3) 写出自变量的取值范围。 【即学即练】 1．下列函数中，是关于的二次函数的是（   ） A．+x B． C． D． 2. 小亮爸爸想用长为的栅栏围成一个矩形羊圈，如图所示，羊圈的一边靠墙，另外三边用栅栏围成．设矩形与墙垂直的一边长为，面积为，则y与x的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 知识点02 二次函数y=ax2 的图像与性质 1. 二次函数y=ax2的图像与性质 （1）二次函数的图像是一条抛物线； （2）它的对称轴是y轴，即直线；它的顶点是原点即（0，0）； （3）时，抛物线开口向上；当x<0时，y随x增大而减小；当x>0时，y随x增大而增大；顶点是最低点，当x=0时函数有最小值y=0; （4）时，抛物线开口下；当x<0时，y随x增大而增大；当x>0时，y随x增大而减小；顶点是最高点，当x=0时函数有最大值y=0; （5）越大，抛物线开口越小；越小，抛物线开口越大。 2. 二次函数的最大值、最小值 （1）x取任意数时，当x=0，y有最大值或最小值； （2）x在某区间范围内时，图像上最高点和最低点的函数值就是函数的最大值和最小值。 3. 待定系数法及相关计算 1）类比一次函数，求二次函数表达式的主要方法也是待定系数法。 2）已知自变量的取值时可将其代入表达式求出函数值，已知函数值时亦可以求出相应的自变量的取值。 【即学即练】 1. 填写下列表格： 抛物线 图象 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 增减性    _________ ______ ________ 当____时，有最_______值，为______ 当时，随的增大而_________；当时，随的增大而_________    _________ ______ ________ 当____时，有最___值，为______ 当时，随的增大而_________；当时，随的增大而_________ 题型01 二次函数的辨析 【典例1】下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】下列函数中，一定是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】在函数①，②，③，④中，y关于x的二次函数是_____．（填写序号） 【变式3】关于x的函数，甲说：此函数不一定是二次函数；乙说：此函数一定是二次函数，你认为谁的说法正确？为什么？ 题型02 识别各项和各项系数 【典例1】指出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项． 函数解析式 二次项系数 一次项系数 常数项 （1） （2） （3） （4） 【变式1】把二次函数化为的形式，并分别写出二次项、一次项和常数项． 【变式2】下列式子哪些是二次函数？如果是，请指出其二次项系数、一次项系数和常数项． (1)； (2) ； (3) ； (4) (为常数)． 【变式3】若是关于x的二次函数． (1)求m的值及函数表达式． (2)写出二次项系数、一次项系数及常数项． 题型03 列二次函数表达式 【典例1】某旅游景区一宾馆重新装修后，有间房可供游客居住．经市场调查发现，每间房每天的定价为元，房间会全部住满；当每间房每天的定价每增加元时，就会有一间房空闲．如果游客居住房间，每间房每天需支出元的各项费用．设每天每间房的定价在元的基础上增加元，宾馆获利为元． (1)求关于的函数关系式（不用写出自变量的取值范围）； (2)物价部门规定节假日期间客房定价不能高于平时定价的2倍，此时每间房定价为多少元时，宾馆每天可获利元？ 【变式1】某工厂七月份生产零件50万个，设该厂第三季度平均每月的增长率为，如果第三季度共生产零件万个，那么与满足的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知直角三角形两条直角边的长的和为． (1)当它的一条直角边的长为时，求这个直角三角形的面积； (2)设这个直角三角形的一条直角边的长为，面积为，求与之间的函数关系式． 【变式3】已知长方形的边长分别为、，如果将它的长和宽都缩短后，那么它减少的面积y关于x的函数解析式为_________． 【变式4】如图，利用一面墙（墙的长度为），用长的篱笆围成两个鸡场，中间用一道篱笆隔开，每个鸡场均留一道宽的门，设的长为． (1)若两个鸡场的面积和为，求关于的关系式； (2)两个鸡场面积和可以等于（）吗？如果可以，求出此时的值． 题型04 二次函数y=ax²的图像 【典例1】在同一平面直角坐标系中，画出下列函数的图象． ①；②；③；④． x …… 0 1 2 …… y …… 1 0 1 …… 图象如下所示： 【变式1】画出下列函数的图象： (1)； (2) 【变式2】关于二次函数的图像，下列说法错误的是（    ） A．它是一条抛物线 B．它的开口向上，且关于y轴对称 C．它的顶点是抛物线的最高点 D．它与的图像关于x轴对称 【变式3】已知二次函数，解答下列问题： (1)根据已知的图像部分画出这个函数图象的另一部分（直接在网格中作图即可）． (2)判断点是否在这个函数图象上，说明理由． (3)求当时对应的函数图象上的点的坐标． 【变式4】在同一平面直角坐标系中， （1）画出函数和的图象，并指出这两个函数图象的交点坐标． （2）结合图像思考：x取何值时>? 题型05 二次函数的开口方向和开口大小 【典例1】若抛物线的开口向上，则m的值可能是下面的（    ） A．0 B．2 C．4 D． 【变式1】抛物线的开口向下，那么a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，分别对应与的函数图象，则，的大小关系______． 【变式3】二次函数①，②，③的开口大小从大到小排列为_____（填入编号） 题型06 二次函数图像的对称轴、顶点坐标 【典例1】填空： （1）抛物线的对称轴是________，顶点坐标是________，当x________时，抛物线上的点都在x轴的上方； （2）抛物线的开口向________，除顶点外，抛物线上的点都在x轴的________方，它的顶点是抛物线上的最________点． 【变式1】抛物线的对称轴方程是___，顶点坐标是___． 【变式2】如果抛物线有最高点，那么a的取值范围是______． 【变式3】关于函数与的图象的共同点，下列说法正确的是（    ） A．开口向上 B．都有最低点 C．随增大而增大 D．对称轴是轴 【变式4】写出一条抛物线，，共有的性质：_____ 题型07 二次函数的最值和增减性 【典例1】对于函数，下列说法正确的是（   ） A．当时，随的增大而减小 B．当时，随的增大而增大 C．随的增大而减小 D．随的增大而增大 【典例2】若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（    ）． A． B． C． D． 【变式1】已知抛物线在轴左侧的部分是下降的，那么的取值范围是____________． 【变式2】已知函数是关于x的二次函数． (1)求m的值； (2)当m为何值时，该函数图象的开口向下？ (3)当m为何值时，该函数有最小值，最小值是多少？ 【变式3】已知二次函数，当自变量的取值范围是时，函数值的取值范围为____． 【变式4】如图，点、在的图象上．直线与轴交于点，连接、． (1) _______； _______； (2)求直线的函数表达式； (3)当 时， 的取值范围为_____． 题型08 求函数表达式及相关计算 【典例1】已知，二次函数（都是常数，且）的部分对应值为： x … －1 0 1 2 … y … 0 n … (1)求n的值和二次函数的解析式． (2)若点在该函数图象上，求m的值． 【变式1】已知二次函数，当时，；当时，；当时，；a-b+c=________,a+b+c=________,c=_________. 【变式2】已知抛物线经过点． (1)说出这个二次函数图象的开口方向和图象的位置； (2)判断点是否在此抛物线上． 【变式3】已知抛物线，点是图象上一点． (1)求的值； (2)将点向右平移2个单位长度，得到点，判断点是否在该抛物线的图象上，请说明理由． 【变式4】如图，已知抛物线，正方形的顶点在抛物线上，顶点在轴上，求点的坐标． 1．下列函数中，属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 2．抛物线的开口方向是（   ） A．向上 B．向左 C．向下 D．向右 3．若二次函数的图象经过点，则该图象必经过点（   ） A． B． C． D． 4．抛物线与的共同点是（   ） A．开口方向相同 B．顶点坐标不同 C．对称轴相同 D．都有最高点 5．若是二次函数，则_______． 6．把变成一般式，它的常数项为_____． 7．中国地铁已经成为一张见证时代发展的名片，2022年我国地铁运营里程约为0.8万公里．若2024年运营里程约为y万公里，运营里程的年平均增长率为x，则y关于x的函数表达式为__________________． 8．在抛物线中，开口最大的是__________． 9．关于二次函数，当时，的取值范围是________． 10．若函数是二次函数． (1)求k的值； (2)当时，求自变量x的值． 11．二次函数的图象的顶点坐标是什么？点在二次函数的图象上吗？请分别写出点关于轴的对称点的坐标、关于轴的对称点的坐标．点B，C在二次函数的图象上吗？ 12．某厂商投产一种新型科技产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数． (1)写出每月的利润L（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式； (2)当销售单价为多少元时，厂商每月能获得312万元的利润？当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？ 1．下列函数是关于x的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 2．下面问题中，y与满足的函数关系是二次函数的是（    ） ①面积为的矩形中，矩形的长与宽的关系； ②底面圆的半径为的圆柱中，侧面积与圆柱的高的关系； ③某商品每件进价为80元，在某段时间内以每件x元出售，可卖出件．利润y（元）与每件售价（元）的关系． A．① B．② C．③ D．①③ 3．如图，分别在正方形边上取点，并以的长分别作正方形．已知．设正方形的边长为，阴影部分的面积为，则与满足的函数关系是（    ）    A．一次函数关系 B．二次函数关系 C．正比例函数关系 D．反比例函数关系 4．已知，两点在二次函数的图象上，下列判断错误的是（） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．如图，四边形是正方形，且点恰好在抛物线上，点在轴上，则的长为（   ）． A．2 B． C．4 D． 6．边长为2的正方形的顶点在轴正半轴上．如图将正方形绕顶点顺时针旋转，使点恰好落在抛物线上，则的值是（    ） A． B． C． D． 7．如图，和是边长分别为5和2的等边三角形，点、、、都在直线上，固定不动，将在直线上自左向右平移．开始时，点与点重合，当点移动到与点重合时停止．设移动的距离为，两个三角形重叠部分的面积为，请写出与之间的函数关系式_________． 8．如图，在平面直角坐标系中，平行于x轴的直线，与二次函数和分别交于A、B和C、D四个点，若，则a的值是________． 9. 如图所示，已知直线与抛物线交于A，B两点． (1)求A，B两点的坐标． (2)观察图象，直接写出当时的取值范围． 10.如图是一座拱桥的示意图，当水面宽为时，桥洞顶部离水面．已知桥洞的拱形是抛物线． (1)建立适当的平面直角坐标系，求该抛物线的函数表达式． (2)一艘宽为，高出水面的货船能否从该拱桥安全通过？请说明理由． 11. 2020年，我国新增水土流失治理面积约为6万；2021年，我国新增水土流失治理面积比2020年增长约． (1)2021年，我国新增水土流失治理面积大约是多少万平方千米？（结果精确到万） (2)如果2022年、2023年我国新增水土流失治理面积年均增长率为x，2023年我国新增水土流失治理面积为y万，那么y的表达式是什么？ 12. 在平面直角坐标系中，已知点A在y轴正半轴上． (1)如图1，已知菱形的顶点B，C，D在二次函数的图象上，且轴，求菱形的边长； (2)如图2，已知正方形的顶点B，D在二次函数的图象上，点B，D在y轴的同侧，且点B在点D的左侧，设点B，D的横坐标分别为m，n，探究是否为定值？ 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题27.1 二次函数和最简二次函数y=ax2 教学目标 1. 理解二次函数的概念； 2. 掌握二次函数的一般形式，能与一次函数作本质区分； 3. 根据实际问题列函数解析式，并求自变量取值范围。 4. 理解二次函数y=ax2 的图像与性质 教学重难点 重点：1.理解二次函数的概念。 2.理解二次函数y=ax2 的图像与性质。 难点：1.二次函数y=ax2 的图像与性质。 知识点01 二次函数的概念 1. 概念 我们把形如 y=ax²+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)的函数，叫作二次函数。其中x是自变量，a，b，c分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项。 【易错点睛】 （1）a≠0； （2）ax²+bx+c必须是整式； 2. 二次函数的一般式——y=ax²+bx+c(a,b,c是常数，a≠0) （1）特殊形式： y=ax²(a≠0) y=ax²+bx(a,b,是常数，a≠0) y=ax²+c(a,c是常数，a≠0) （2）顶点式 (a,h,k是常数，a≠0) （3）交点式 (a,m,n是常数，a≠0) 3. 根据实际问题列二次函数的表达式 1) 认真审题，确定两个变量； 2) 寻找等量关系，用含x的代数式子表示y; 3) 写出自变量的取值范围。 【即学即练】 1．下列函数中，是关于的二次函数的是（   ） A．+x B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的识别，解题的关键是掌握：形如（、、是常数，）的函数叫做是的二次函数．据此判断即可． 【详解】解：A．含有分式，不是二次函数，不符合题意 B．，该函数是关于的二次函数，故此选项符合题意； C．该函数不是二次函数，故此选项不符合题意； D．当时，不是二次函数，不符合题意． 故选：B． 2. 小亮爸爸想用长为的栅栏围成一个矩形羊圈，如图所示，羊圈的一边靠墙，另外三边用栅栏围成．设矩形与墙垂直的一边长为，面积为，则y与x的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意是解题关键．设矩形与墙垂直的一边长为，面积为，则与墙平行的一边长为，即可得到解析式． 【详解】解：设矩形与墙垂直的一边长为，面积为， 则y与x的函数关系式是， 故选：D． 知识点02 二次函数y=ax2 的图像与性质 1. 二次函数y=ax2的图像与性质 （1）二次函数的图像是一条抛物线； （2）它的对称轴是y轴，即直线；它的顶点是原点即（0，0）； （3）时，抛物线开口向上；当x<0时，y随x增大而减小；当x>0时，y随x增大而增大；顶点是最低点，当x=0时函数有最小值y=0; （4）时，抛物线开口下；当x<0时，y随x增大而增大；当x>0时，y随x增大而减小；顶点是最高点，当x=0时函数有最大值y=0; （5）越大，抛物线开口越小；越小，抛物线开口越大。 2. 二次函数的最大值、最小值 （1）x取任意数时，当x=0，y有最大值或最小值； （2）x在某区间范围内时，图像上最高点和最低点的函数值就是函数的最大值和最小值。 3. 待定系数法及相关计算 1）类比一次函数，求二次函数表达式的主要方法也是待定系数法。 2）已知自变量的取值时可将其代入表达式求出函数值，已知函数值时亦可以求出相应的自变量的取值。 【即学即练】 1. 填写下列表格： 抛物线 图象 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 增减性    _________ ______ ________ 当____时，有最_______值，为______ 当时，随的增大而_________；当时，随的增大而_________    _________ ______ ________ 当____时，有最___值，为______ 当时，随的增大而_________；当时，随的增大而_________ 【详解】解：①的图象如下：    由图可知：抛物线开口向下， 对称轴为：轴， 顶点坐标为： ， 当时，有最大值，最大值为0， 当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大， ②抛物线图象如下：    由图可知：抛物线开口向上， 对称轴为：轴， 顶点坐标为：， 当时，有最小值，最小值为0， 当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小， 故答案为：   向下  轴    0  大  0  减小   增大；    向上  轴    0  小  0  增大  减小． 题型01 二次函数的辨析 【典例1】下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的定义，正确理解二次函数的定义是关键．形如（a，b，c是常数，）的函数为二次函数．根据二次函数的定义对各选项进行判断即可． 【详解】解：选项A、，属于二次函数，符合题意； 选项B、是正比例函数，不符合题意； 选项C、是一次函数，不符合题意； 选项D、是反比例函数，不符合题意． 故选：A． 【变式1】下列函数中，一定是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次函数的识别．根据一元二次函数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A：是一次函数，不符合题意； B：是二次函数，符合题意； C：含有分式，不是二次函数，不符合题意； D：当时，不是二次函数，不符合题意． 故选：B． 【变式2】在函数①，②，③，④中，y关于x的二次函数是_____．（填写序号） 【答案】④ 【分析】本题考查二次函数的定义，能够根据二次函数的定义判断函数是否属于二次函数是解决本题的关键．根据形如是二次函数，可得答案． 【详解】解：①时是一次函数， ②是一次函数； ③不是整式，不是二次函数； ④是二次函数， 故答案为：④． 【变式3】关于x的函数，甲说：此函数不一定是二次函数；乙说：此函数一定是二次函数，你认为谁的说法正确？为什么？ 【答案】乙的说法对．理由见解析 【分析】本题考查二次函数的定义，配方法的应用．只需要判断含x的二次项的系数是否为0即可． 【详解】解：乙的说法对．理由如下： 对配方可得， 因为无论a取何值，， 所以， 故无论a取何值，该函数一定是二次函数． 题型02 识别各项和各项系数 【典例1】指出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项． 函数解析式 二次项系数 一次项系数 常数项 （1） （2） （3） （4） 【答案】见解析 【分析】根据二次函数的定义，二次函数的解析式处理． 【详解】解： 函数解析式 二次项系数 一次项系数 常数项 （1） 2 （2） 0 （3） 1 0 （4） 1 0 0 【变式1】把二次函数化为的形式，并分别写出二次项、一次项和常数项． 【答案】；二次项为，一次项是，常数项是0 【分析】根据二次函数的一般式解答即可． 【详解】解：二次函数即为， ∴二次项为，一次项是，常数项是0． 【点睛】本题考查了二次函数的一般形式，叫做二次函数的一般形式，其中分别叫做二次项、一次项和常数项． 【变式2】下列式子哪些是二次函数？如果是，请指出其二次项系数、一次项系数和常数项． (1)； (2) ； (3) ； (4) (为常数)． 【答案】(1)不是二次函数，是一次函数 (2)，是二次函数，二次项系数是、一次项系数是0，常数项是0 (3)不是二次函数 (4)时，不是二次函数 【详解】（1）不是二次函数，是一次函数； （2），是二次函数，二次项系数是、一次项系数是0，常数项是0； （3）不是二次函数； （4）时，不是二次函数． 【变式3】若是关于x的二次函数． (1)求m的值及函数表达式． (2)写出二次项系数、一次项系数及常数项． 【答案】(1)，函数的表达式是 (2)二次项系数是，一次项系数是5，常数项是0 【分析】本题主要考查二次函数的定义，掌握二次函数的定义，二次函数一般式是关键． （1）根据二次函数的定义列式求解即可； （2）根据二次函数一般式判定即可． 【详解】（1）解：根据二次函数的定义得， 由①得，，由②得， ∴，函数的表达式是． （2）解：二次项系数是，一次项系数是5，常数项是0． 题型03 列二次函数表达式 【典例1】某旅游景区一宾馆重新装修后，有间房可供游客居住．经市场调查发现，每间房每天的定价为元，房间会全部住满；当每间房每天的定价每增加元时，就会有一间房空闲．如果游客居住房间，每间房每天需支出元的各项费用．设每天每间房的定价在元的基础上增加元，宾馆获利为元． (1)求关于的函数关系式（不用写出自变量的取值范围）； (2)物价部门规定节假日期间客房定价不能高于平时定价的2倍，此时每间房定价为多少元时，宾馆每天可获利元？ 【答案】(1) (2)每间房定价为元时，宾馆每天可获利元． 【分析】本题考查的是盈利问题的二次函数式及解一元二次方程，通常做法是先列出二次函数式，然后代入求解．用代数式表示每间房间的利润和房间数是关键． （1）根据题意表示出每间房间的利润和房间数，进而求得答案； （2）代入（1）求出的函数式，解方程即可，注意要符合条件的． 【详解】（1）解：由题意得 答∶关于的函数关系式为：． （2）解：由（1）可得：． 令，即 解得，． 物价部门规定节假日期间客房定价不能高于平时定价的2倍，平时定价为元， 定价不能高于（元）． 当时，定价为（元）， ， 符合规定； 当时，定价为（元）， ， 不符合规定，舍去． 答∶每间房定价为元时，宾馆每天可获利元． 【变式1】某工厂七月份生产零件50万个，设该厂第三季度平均每月的增长率为，如果第三季度共生产零件万个，那么与满足的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式．设该厂第三季度平均每月的增长率为x，则八月份生产零件万个，九月份生产零件万个，根据第三季度共生产零件y万个，即可列出与之间的函数关系式． 【详解】解：设该厂第三季度平均每月的增长率为x，则八月份生产零件万个，九月份生产零件万个，根据题意得： 与满足的函数关系式是 ． 故选：D 【变式2】已知直角三角形两条直角边的长的和为． (1)当它的一条直角边的长为时，求这个直角三角形的面积； (2)设这个直角三角形的一条直角边的长为，面积为，求与之间的函数关系式． 【详解】（1）解：已知一直角边的长为， 则另一直角边长为， 所以这个直角三角形的面积 （2）解：由题意，得另一条直角边的长为， 则． 【变式3】已知长方形的边长分别为、，如果将它的长和宽都缩短后，那么它减少的面积y关于x的函数解析式为_________． 【答案】 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，解题的关键是正确表示出长方形的面积．先表示出边长缩短后的长方形的长和宽，计算出边长缩短后的长方形的面积，再计算出原长方形的面积，作差即可得到答案． 【详解】解：根据题意得：长和宽缩短后的长方形的长为：，宽为， 边长缩短后的长方形的面积为： ， 原长方形的面积为：， 它减少的面积为：， 它减少的面积关于的函数解析式为， 故答案为：． 【变式4】如图，利用一面墙（墙的长度为），用长的篱笆围成两个鸡场，中间用一道篱笆隔开，每个鸡场均留一道宽的门，设的长为． (1)若两个鸡场的面积和为，求关于的关系式； (2)两个鸡场面积和可以等于（）吗？如果可以，求出此时的值． 【答案】(1) (2)不能 【分析】本题考查了列二次函数关系，解一元二次方程的应用； （1）根据题意和图形可以求得关于的关系式； （2）令，解方程即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得， ， 即关于的关系式是； （2）解：依题意， 即 ∵， 原方程无实数解， ∴两个鸡场面积和不能等于（） 题型04 二次函数y=ax²的图像 【典例1】在同一平面直角坐标系中，画出下列函数的图象． ①；②；③；④． 【详解】解：函数列表如下： x …… 0 1 2 …… y …… 1 0 1 …… 图象如下所示： 同理可分别作出②③④的函数图象如图所示． 【变式1】画出下列函数的图象： (1)； (2) 【详解】（1）解：列表： x … 0 1 2 3 … y … 27 12 3 0 3 12 27 … 在平面直角坐标系中描点，然后用光滑的曲线顺次连接各点，得到函数的图象，如图所示． (1) （2）解：列表： x … 0 1 2 3 … y … 0 … (2) 【变式2】关于二次函数的图像，下列说法错误的是（    ） A．它是一条抛物线 B．它的开口向上，且关于y轴对称 C．它的顶点是抛物线的最高点 D．它与的图像关于x轴对称 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，根据抛物线的图像与性质逐项判断即可求解． 【详解】解：A. 它是一条抛物线，故原选项正确，不符合题意； B. ∵，∴它的开口向上，且关于y轴对称，故原选项正确，不符合题意； C. ∵的图像开口向上，∴它的顶点是抛物线的最低点，故原选项错误，符合题意； D. 它与的图像关于x轴对称，故原选项正确，不符合题意． 故选：C． 【变式3】已知二次函数，解答下列问题： (1)根据已知的图像部分画出这个函数图象的另一部分（直接在网格中作图即可）． (2)判断点是否在这个函数图象上，说明理由． (3)求当时对应的函数图象上的点的坐标． 【答案】(1)见解析； (2)点不在这个函数图像上； (3)和． 【分析】（1）根据对称性可直接画出图象； （2）代入横坐标或纵坐标都可判断； （3）代入即可求出坐标． 【详解】（1）如图所示， （2）当时， ， ∴点不在这个函数图象上； （3）当时， ， ∴， ∴时，对应的函数图象上的点的坐标为：和． 【点睛】本题考查了二次函数的图象，解题关键是运用好数形结合的思想． 【变式4】在同一平面直角坐标系中， （1）画出函数和的图象，并指出这两个函数图象的交点坐标． （2）结合图像思考：x取何值时>? 【答案】（1）画图见解析， （2）0<x<1 【分析】本题主要考查一次函数与二次函数的图象，熟练掌握一次函数与二次函数图象的画法是解题的关键； (1)利用描点法作出两种函数的图象后直接写出交点坐标即可． (2)一次函数图像高于二次函数图像的区域即是自变量x的取值范围。 【详解】解：（1）列表得： 0 1 2 0 1 2 4 1 0 1 4 函数图象如图所示： 由图象可知：交点坐标为． （2）由图像可知当0<x<1时，一次函数的图像高于二次函数的图像，即当0<x<1时>. 题型05 二次函数的开口方向和开口大小 【典例1】若抛物线的开口向上，则m的值可能是下面的（    ） A．0 B．2 C．4 D． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴，即． ∴选项中只有满足条件． 故选：C． 【变式1】抛物线的开口向下，那么a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的性质，由抛物线开口向下可得，进而求解． 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ∴， ∴， 故选：B． 【变式2】如图，分别对应与的函数图象，则，的大小关系______． 【答案】 【分析】根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：如图： 因为直线与两条抛物线的交点从上到下依次为，， 所以． 【变式3】二次函数①，②，③的开口大小从大到小排列为_____（填入编号） 【答案】②③① 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；二次函数的开口大小由二次项系数的绝对值决定，绝对值越大，开口越小；绝对值越小，开口越大，由此问题可求解． 【详解】解：对于二次函数，开口大小与成反比；函数①的，函数②的，函数③的； 比较的大小：， 因此开口大小从大到小排列为②、③、①； 故答案为②③①． 题型06 二次函数图像的对称轴、顶点坐标 【典例1】填空： （1）抛物线的对称轴是________，顶点坐标是________，当x________时，抛物线上的点都在x轴的上方； （2）抛物线的开口向________，除顶点外，抛物线上的点都在x轴的________方，它的顶点是抛物线上的最________点． 【答案】 轴（或直线） 下 下 高 【分析】本题考查形如的二次函数的图象性质．根据二次项系数的符号判断开口方向．结合函数性质即可求解各空． 【详解】（1）抛物线属于型二次函数． 根据二次函数性质，其对称轴是轴，即直线．顶点坐标是． ．则抛物线开口向上．且． 仅当时． 当时．．抛物线上的点都在轴上方． （2）抛物线中． ．根据二次函数性质，抛物线开口向下． ． 仅当，即顶点处时． 除顶点外，抛物线上的点都满足，都在轴的下方．开口向下的抛物线，顶点是抛物线上的最高点． 【变式1】抛物线的对称轴方程是___，顶点坐标是___． 【详解】解：对于抛物线，其中，则对称轴方程是，顶点坐标是． 故答案为：；． 【变式2】如果抛物线有最高点，那么a的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的性质，抛物线有最高点时，开口向下，二次项系数小于零． 【详解】解：抛物线有最高点，说明抛物线开口向下， ∴二次项系数，解得． 故答案为：． 【变式3】关于函数与的图象的共同点，下列说法正确的是（    ） A．开口向上 B．都有最低点 C．随增大而增大 D．对称轴是轴 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的开口方向、最值、增减性与系数的关系，以及对称轴的判定方法是解题的关键．先分别分析两个二次函数的开口方向、最值点、增减性和对称轴，再对比各选项找出它们的共同点． 【详解】∵函数的，开口向下，有最高点，当时随增大而增大，当时随增大而减小； 函数的，开口向上，有最低点，当时随增大而减小，当时随增大而增大； ∴A、B、C均不是共同点； ∵两个函数均为形式， ∴对称轴都是轴，故D正确. 故选：D． 【变式4】写出一条抛物线，，共有的性质：_____ 【答案】 对称轴为轴（答案不唯一） 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．三条抛物线的解析式均为的形式，因此它们都具有相同的对称轴和顶点，即可作答． 【详解】解：二次函数的对称轴为轴，顶点坐标为， 当取、、时，这一性质保持不变． 故答案为：对称轴为轴（答案不唯一）． 题型07 二次函数的最值和增减性 【典例1】对于函数，下列说法正确的是（   ） A．当时，随的增大而减小 B．当时，随的增大而增大 C．随的增大而减小 D．随的增大而增大 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据抛物线的对称轴及开口方向，即可判断二次函数的增减性． 【详解】解：，对称轴为直线， 抛物线开口向上，当时，随的增大而增大 当时，随的增大而减小，故B正确． 故选：B． 【典例2】若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（    ）． A． B． C． D． 【详解】解：二次函数的开口向下，对称轴为轴， 由二次函数图象与性质可知，抛物线上的点到对称轴距离越近值越大， 点，，到对称轴的距离为、、， ， ， 故选：C． 【变式1】已知抛物线在轴左侧的部分是下降的，那么的取值范围是____________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图像的性质，掌握的性质是解题的关键． 由抛物线在轴左侧的部分是下降的，则，然后解不等式即可解答． 【详解】解：∵抛物线在对称轴左侧的部分是下降的， ∴抛物线开口向上， ∴，解得：． 故答案为：． 【变式2】已知函数是关于x的二次函数． (1)求m的值； (2)当m为何值时，该函数图象的开口向下？ (3)当m为何值时，该函数有最小值，最小值是多少？ 【答案】(1) (2)当时，该函数图象的开口向下 (3)当时，最小值为 【分析】该题主要考查了二次函数的定义及其性质的应用问题． （1）根据二次函数的定义求出m的值即可解决问题． （2）运用当二次项系数小于0时，抛物线开口向下； （3）运用当二次项系数大于0时，抛物线开口向上，图象有最低点，函数有最小值． 【详解】（1）解：∵函数是关于x的二次函数， ∴，， 解得：； （2）解：∵函数图象的开口向下， ， ， ∴当时，该函数图象的开口向下； （3）解：∵当时，抛物线有最低点，函数有最小值， ，即 ∵抛物线顶点坐标为， ∴该函数最小值为． 【变式3】已知二次函数，当自变量的取值范围是时，函数值的取值范围为____． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质． 根据抛物线的顶点，当时，最大，当时，最小． 【详解】解：由题意，的对称轴为轴，开口向上， 函数值有最小值． 当时，； 当时，； 当时，； 结合图象，可得当时，的取值范围是． 故答案为：． 【变式4】如图，点、在的图象上．直线与轴交于点，连接、． (1) _______； _______； (2)求直线的函数表达式； (3)当 时， 的取值范围为_____． 【详解】（1）解：∵点在的图象上， ∴， 解得， ∴， 当时，； 故答案为：；； （2）解：∵，， 设直线的解析式为， 把，点坐标代入得， 解得，， ∴直线的解析式为：； （3）解：对于抛物线， ∵， ∴当时，有最小值为0， ∵，， ∴当时，y的取值范围为． 题型08 求函数表达式及相关计算 【典例1】已知，二次函数（都是常数，且）的部分对应值为： x … －1 0 1 2 … y … 0 n … (1)求n的值和二次函数的解析式． (2)若点在该函数图象上，求m的值． 【答案】(1)， (2)3或 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数的关系式，二次函数图像的性质，求二次函数值或自变量的值，对于（1），根据表格确定对称轴，由抛物线的对称性得出n，再根据待定系数法求出关系式； 对于（2），令，求出一元二次方程的解即可. 【详解】（1）解：根据图表可知： 二次函数的图象过点，， ∴对称轴为直线， ∵的对称点为， ∴ 设， 将和代入得 解得， ∴这个二次函数的解析式为； （2）点Q能在该函数图象上， 把代入，得． 解得或. ∴m的值是3或． 【变式1】已知二次函数，当时，；当时，；当时，；a-b+c=________,a+b+c=________,c=_________. 【详解】解：表格中的x，y的对应值分别代入得： ， 解得：， ∴这个二次函数的表达式为． 故答案为：． 【变式2】已知抛物线经过点． (1)说出这个二次函数图象的开口方向和图象的位置； (2)判断点是否在此抛物线上． 【答案】(1)它的开口向下，图象位于轴的两侧，轴的下方，顶点为原点 (2)点不在此抛物线上 【分析】（1）把代入，求出a的值，即可解答． （2）把代入表达式，求出函数值，判断是否等于，即可解答． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴此抛物线对应的函数解析式为． ∴它的开口向下，图象位于轴的两侧，轴的下方，顶点为原点； （2）解：把代入得，， ∴点不在此抛物线上． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数，顶点为原点，当时，开口向下，反之开口向上． 【变式3】已知抛物线，点是图象上一点． (1)求的值； (2)将点向右平移2个单位长度，得到点，判断点是否在该抛物线的图象上，请说明理由． 【答案】(1) (2)在，理由见解析 【分析】本题考查二次函数图象上点坐标的特点，点的平移，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）抛物线上的点坐标满足相应的函数解析式，所以将代入求解即可； （2）将点向右平移2个单位长度得到点，则，将代入求得，即可判断点在该抛物线的图象上． 【详解】（1）解：将代入得， ； （2）解：由（1）得，点， ∵将点向右平移2个单位长度，得到点， 将代入得， ， 点在抛物线上． 【变式4】如图，已知抛物线，正方形的顶点在抛物线上，顶点在轴上，求点的坐标． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，表示出正方形各个点的坐标是解题的关键．设正方形的边长为，则根据抛物线对称性可得，代入抛物线的解析式即可求得，得到； 【详解】解：设正方形的边长为， 则，， ∵点在抛物线上， ∴， ∴或（舍去）， ∴． 1．下列函数中，属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的定义判断，二次函数是形如（，，是常数，）的整式函数，据此逐一分析选项即可． 【详解】解：A. 不是整式函数，不符合二次函数的定义，故不符合题意； B. ，该函数是一次函数，不是二次函数，故不符合题意； C. 符合（，，）的形式，是二次函数，故符合题意； D. ，不是整式函数，不符合二次函数的定义，故不符合题意， 综上，选C． 2．抛物线的开口方向是（   ） A．向上 B．向左 C．向下 D．向右 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质，开口方向由系数a的符号决定，通过简化表达式得到二次函数的标准形式，根据二次项系数的正负判断开口方向． 【详解】解：， ， ， 抛物线开口向上， 故选：A． 3．若二次函数的图象经过点，则该图象必经过点（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．先确定出二次函数图象的对称轴为y轴，再根据二次函数的对称性解答． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为y轴， ∴若图象经过点，则该图象必经过点． 故选：C． 4．抛物线与的共同点是（   ） A．开口方向相同 B．顶点坐标不同 C．对称轴相同 D．都有最高点 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以写出它们的共同点，然后即可判断哪个选项符合题意． 【详解】解：抛物线与的共同点是对称轴都是y轴，顶点坐标都是，抛物线的形状和开口大小一样， 故选：C． 5．若是二次函数，则_______． 【答案】 【详解】解：根据二次函数的定义可得：二次项系数不为0，且自变量的最高次数为2， 即， 整理，得， ∴， ∴， 解得或， 结合， 可得． 6．把变成一般式，它的常数项为_____． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的一般形式，二次函数的一般形式为（为常数且）. 根据整式的乘法法则将右边展开，再合并同类项，即可将其化为一般形式，即可得到答案. 【详解】解：， 把变成一般式，它的常数项为， 故答案为：. 7．中国地铁已经成为一张见证时代发展的名片，2022年我国地铁运营里程约为0.8万公里．若2024年运营里程约为y万公里，运营里程的年平均增长率为x，则y关于x的函数表达式为__________________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用中的增长率问题，解题的关键是要读懂题目的意思，找到等量关系．先用x表示出2023年我国高铁的运营总里程，再表示出2024年我国高铁的运营总里程，然后根据已知条件列函数解析式即可． 【详解】解：2023年我国高铁的运营总里程：， 2024年我国高铁的运营总里程：， 根据题意，可列函数解析式为：．故选． 8．在抛物线中，开口最大的是__________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，抛物线的开口大小由二次项系数的绝对值决定，绝对值越小，开口越大，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：对于抛物线，二次项系数，； 对于，二次项系数，； 对于 ，二次项系数，， ∵， ∴最小， 因此开口最大的是． 故答案为：． 9．关于二次函数，当时，的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 根据二次函数的性质，可以得到当时，取得最大值，再分别计算出和时的函数值，比较即可． 【详解】解：二次函数， 该函数图象开口向下，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，当时，取得最大值， 当时，，当时，， 当时，的取值范围是， 故答案为：． 10．若函数是二次函数． (1)求k的值； (2)当时，求自变量x的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了二次函数的定义，解一元二次方程． （1）根据二次函数的定义得到，，进而求解即可； （2）当时，，求解即可． 【详解】（1）解：∵函数是二次函数， ∴，， ∴，， 即； （2）解：由（1）可得，该二次函数为， 当时， ∴， 解得：，． 11．二次函数的图象的顶点坐标是什么？点在二次函数的图象上吗？请分别写出点关于轴的对称点的坐标、关于轴的对称点的坐标．点B，C在二次函数的图象上吗？ 【答案】 点不在二次函数的图象上，点在二次函数的图象上． 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，关于坐标轴对称的点的坐标特征，熟练掌握这些知识点是解题的关键．根据二次函数的性质可得顶点坐标；将点坐标代入二次函数解析式即可判断点在二次函数图象上；根据关于坐标轴对称的点的坐标特征即可求得和的坐标，分别代入二次函数解析式即可判断是否在二次函数图象上． 【详解】解：二次函数的图象的顶点坐标是． 当时，， 点在二次函数的图象上． 点为点关于轴的对称点，点为点关于轴的对称点， 点的坐标为，点的坐标为． 当时，， 点不在二次函数的图象上， 当时，， 点在二次函数的图象上． 【点睛】 12．某厂商投产一种新型科技产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数． (1)写出每月的利润L（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式； (2)当销售单价为多少元时，厂商每月能获得312万元的利润？当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)当销售单价为24元或44元时，厂商每月能获得312万元的利润；当销售单价为34元时，厂商每月能获得最大利润，最大利润是512万元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的最值，最大利润问题，数形结合思想，熟练掌握一元二次方程的应用，二次函数的最值是解题的关键． （1）根据销售单价为x元，每件的盈利元，每月可售出件，根据题意，得即可． （2）根据，当时，构造方程解答即可．根据，构造二次函数，根据二次函数的最值，即可求得． 【详解】（1）解：销售单价为x元，每件的盈利元，每月可售出件，根据题意得： ． 故． （2）解：由（1）可得， 当时，， ∴， 解得：， 根据题意，销售量且售价应高于成本，故且，解得， 答：销售单价应定为24元或44元时，厂商每月能够获得312万元的利润． 由（1）可得 ． ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， ∴当时，L取得最大值，最大值为． 答：当销售单价定为34元/件时，每月的销售利润最大，最大利润是512万元． 1．下列函数是关于x的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据形如 (为常数，）的函数是二次函数，判断即可，熟练掌握二次函数的一般形式是解题的关键． 【详解】解：A、的分母含有自变量，不是关于的二次函数，故A不符合题意； B、，是关于的二次函数，故B符合题意； C、，不是关于的二次函数，故C不符合题意； D、，当时不是二次函数，故D不符合题意； 故选：． 2．下面问题中，y与满足的函数关系是二次函数的是（    ） ①面积为的矩形中，矩形的长与宽的关系； ②底面圆的半径为的圆柱中，侧面积与圆柱的高的关系； ③某商品每件进价为80元，在某段时间内以每件x元出售，可卖出件．利润y（元）与每件售价（元）的关系． A．① B．② C．③ D．①③ 【答案】C 【分析】根据各问题中的数量关系列出y与x的函数解析式，再判断函数类型即可． 【详解】解：① 由矩形面积公式可得，即，y是x的反比例函数，不符合二次函数定义，故此选项不符合题意； ② 由圆柱侧面积公式可得，y是x的正比例函数，不符合二次函数定义，故此选项不符合题意； ③∵利润（售价进价）销售量， ∴， 符合二次函数定义，y是x的二次函数，故此选项符合题意； 综上，y与满足的函数关系是二次函数的是③． 3．如图，分别在正方形边上取点，并以的长分别作正方形．已知．设正方形的边长为，阴影部分的面积为，则与满足的函数关系是（    ）    A．一次函数关系 B．二次函数关系 C．正比例函数关系 D．反比例函数关系 【答案】A 【分析】本题考查函数关系的识别，完全平方公式，列函数关系式，根据题意表示出、的长度，再结合阴影部分的面积等于以的长的正方形的面积之差可得，理解题意，列出函数关系式是解决问题的关键． 【详解】解：由题意可得：，， 则阴影部分的面积为， 即：，为一次函数， 故选：A． 4．已知，两点在二次函数的图象上，下列判断错误的是（） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的对称性与单调性，需结合函数性质逐一分析选项判断正误． 【详解】解：∵二次函数开口向上，对称轴为（y轴），在时单调递减，时单调递增，且点到对称轴距离越远，函数值越大． 选项A：当时，，，两点关于y轴对称，∴，A正确． 选项B：若，则、关于y轴对称，∴，解得，B正确． 选项C：若，则，∵函数在时单调递增，∴，C正确． 选项D：若，则，两边平方得，化简得，即，并非（如时，，，但），D错误． 故选：D． 5．如图，四边形是正方形，且点恰好在抛物线上，点在轴上，则的长为（   ）． A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数和正比例函数的结合，正方形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握二次函数的性质． 根据正方形的性质求出直线的解析式，然后联立方程求出交点坐标，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：根据正方形的性质可得， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得或， ∴， 由勾股定理得， ∴， 故选：C． 6．边长为2的正方形的顶点在轴正半轴上．如图将正方形绕顶点顺时针旋转，使点恰好落在抛物线上，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理，直角三角形的性质，旋转的性质，正方形的性质，解题的关键是利用正方形的性质及直角三角形的性质求出点B的坐标． 过点B向x轴引垂线，交点为点E，连接，可得的长度，再求出的长度，进而得到点B的坐标，代入二次函数解析式即可求解． 【详解】解：如图，作轴于点E，连接， 正方形绕顶点顺时针旋转， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 把点B抛物线得：， 解得：， 故选：D． 7．如图，和是边长分别为5和2的等边三角形，点、、、都在直线上，固定不动，将在直线上自左向右平移．开始时，点与点重合，当点移动到与点重合时停止．设移动的距离为，两个三角形重叠部分的面积为，请写出与之间的函数关系式_________． 【答案】 【分析】根据运动过程可分三种情况讨论：当时，两个三角形重叠部分为的面积，当时，两个三角形重叠部分为的面积，当时，两个三角形重叠部分为的面积，分别求解即可． 【详解】当时，如图1所示，两个三角形重叠部分为的面积， 由题意得，， 和是边长分别为5和2的等边三角形， 是边长x的等边三角形， 过点D作DE⊥BC于点E， ， ， ， 即； 当时，如图2所示，两个三角形重叠部分为的面积， 由题意得，， 过点作于点E， ， ， 即； 当时，如图3所示，两个三角形重叠部分为的面积， 由题意得，， 和是边长分别为5和2的等边三角形， 是等边三角形，且， 过点D作DE⊥BC于点E， ， ， 即； 综上，写出与之间的函数关系式为． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，列二次函数解析式，勾股定理，平移与三角形面积问题，熟练掌握知识点并能够分类讨论是解题的关键． 8．如图，在平面直角坐标系中，平行于x轴的直线，与二次函数和分别交于A、B和C、D四个点，若，则a的值是________． 【答案】 【分析】将分别代入和，即可得出求出，长度，根据得出，从而得出a的值 【详解】解：把代入中得，， ∴ ∴A的横坐标为，B横坐标为 ∴ 把代入得，， ∴ ∴C的横坐标为，D横坐标为 ∴ ∵， ∴ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，表示出A、B、C、D的横坐标是解题的关键． 9. 如图所示，已知直线与抛物线交于A，B两点． (1)求A，B两点的坐标． (2)观察图象，直接写出当时的取值范围． 【答案】(1)， (2)或x>2 【分析】本题考查了抛物线与一次函数的交点问题： （1）因为直线与抛物线交于A，B两点．则联立式子，得，解得的值，即可作答； （2）由（1）知，，结合图象，即可知道当时的取值范围； 正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：依题意， 得 则， 解得，， 所以，； （2）解：由（1）知直线与抛物线交于，， 故结合图象，当时，则或x>2， 所以当时的取值范围为或x>2． 10.如图是一座拱桥的示意图，当水面宽为时，桥洞顶部离水面．已知桥洞的拱形是抛物线． (1)建立适当的平面直角坐标系，求该抛物线的函数表达式． (2)一艘宽为，高出水面的货船能否从该拱桥安全通过？请说明理由． 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意，以拱桥顶部中心为坐标原点建立坐标系，求出其它两点的坐标，用待定系数法求解析式； （2）依据题意，由船的宽度为，从而可令，求出的值，进而可以判断得解． 【详解】（1）解：由题意，如图，拱桥顶部中心为坐标原点建立坐标系， ，，顶点． 设， 把代入上式， ， ． 该抛物线的函数表达式为； （2）如图所示，由题意，船的宽度为 令，则． ∴P（3，-），H（3，-4） ∴PH=- 这艘船不能从该桥下通过． 11. 2020年，我国新增水土流失治理面积约为6万；2021年，我国新增水土流失治理面积比2020年增长约． (1)2021年，我国新增水土流失治理面积大约是多少万平方千米？（结果精确到万） (2)如果2022年、2023年我国新增水土流失治理面积年均增长率为x，2023年我国新增水土流失治理面积为y万，那么y的表达式是什么？ 【答案】(1)万 (2) 【分析】（1）根据增长率的意义列式求近似数即可； （2）根据增长率的意义，列式求解即可； 【详解】（1）解：2021年，我国新增水土流失治理面积大约是 万平方千米； （2）解：2021年新增水土流失治理面积万平方千米，2022年新增水土流失治理面积万平方千米， 2023年新增水土流失治理面积万平方千米， 2023年我国新增水土流失治理面积为y万，得到； 12. 在平面直角坐标系中，已知点A在y轴正半轴上． (1)如图1，已知菱形的顶点B，C，D在二次函数的图象上，且轴，求菱形的边长； (2)如图2，已知正方形的顶点B，D在二次函数的图象上，点B，D在y轴的同侧，且点B在点D的左侧，设点B，D的横坐标分别为m，n，探究是否为定值？ 【详解】（1）解：设交y轴于点E， 设菱形的边长为， 则． 关于y轴对称， ． ， ， ， 把代入， 得， 解得或（舍去）， ∴菱形的边长为； （2）解：为定值．理由如下： 过点B作轴于点F，过点D作轴于点E．如图所示： ∵点B，D的横坐标分别为m，n，已知正方形的顶点B，D在二次函数的图象上， ， ． ∵四边形是正方形， ， ． ， ， ， ， ∵点B，D在y轴的同侧， ． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $