27.2（1） 二次函数y=ax2的图像和性质（讲义）数学新教材沪教版五四制九年级上册

本讲义聚焦二次函数y=ax²的图像与性质核心知识点，系统梳理从画图步骤（列表、描点、连线）到图像特征（开口方向、对称轴、顶点坐标），再到增减性、最值的知识脉络，通过性质对比表格和题型分类搭建学习支架。 该资料以数形结合为核心特色，通过随学随练中同一坐标系画函数图像培养几何直观（数学眼光），题型分类（如开口大小比较、增减性判断）发展推理意识（数学思维），实际应用（如拱桥问题）强化模型意识（数学语言）。课中辅助教师分层教学，课后助力学生通过基础与提升练习查漏补缺。

第二十七章 二次函数 27.2（1） 二次函数y=ax2的图像与性质 课标要点 1. 会画二次函数y=ax2的图像, 理解其图像的开口方向、对称轴、顶点坐标等特征； 2. 理解其增减性、最值等性质，并能利用性质解决简单的实际问题； 3. 能用待定系数法求二次函数的表达式，并利用数形结合法解决一些简单综合问题。 学习重难点 重点：1.掌握二次函数的图像与性质 难点：1.理解二次函数的增减性 知识点 二次函数 y=ax²的图像（重点） 二次函数y=ax²(a≠0)的图像是一条顶点为原点的抛物线。 特别提醒 ——二次函数画图像的一般步骤： 1. 列表：顶点坐标居中； 2. 描点：一般取5-7个点； 3. 连线：用平滑曲线自左向右顺次连接。 随学随练 1．在同一平面直角坐标系中，画出下列函数的图象． ①；②；③；④． x …… 0 1 2 …… y …… 1 0 1 …… 图象如下所示： 知识点 二次函数 y=ax²的图像（难点） 函数y=ax2 a>0 a<0 图像 开口方向 向上 向下 开口大小 |a|越大开口越小，图像越陡 对称轴 y轴 顶点坐标 (0,0) 增减性 当x<0时，y随x增大而减小； 当x>0时，y随x增大而增大； 当x<0时，y随x增大而增大； 当x>0时，y随x增大而减小； 最值 顶点是最低点，当x=0时函数有最小值y=0; 顶点是最高点，当x=0时函数有最大值y=0; 特别提醒 二次函数y=ax2的性质要通过数形结合法去理解记忆，不能死记硬背； 随学随练 1. 有下列二次函数：①；②；③．在同一平面直角坐标系中，将它们图象的开口按从大到小的顺序排列，正确的是（） A．①②③ B．①③② C．②③① D．②①③ 2．如图，点、在的图象上．直线与轴交于点，连接、． (1) _______； _______； (2)求直线的函数表达式； (3)当 时， 的取值范围为_____． 题型 画二次函数y=ax2的图像 ▌例1（1）在同一直角坐标系中，画出二次函数和的图象； （2）从函数图象的形状、开口方向、对称轴、顶点等方面说出两个函数图象的相同点与不同点． ▌对点练1. 在例1的基础上在同一个平面直角坐标系中，分别画出下列函数的图象： ①；②；③；④． ▌对点练2. 抛物线的图像大致是（   ） A． B． C． D． ▌对点练3. 在同一平面直角坐标系中，画出函数和的图象，并指出这两个函数图象的交点坐标． ▌对点练4. 如图，点、、、在函数的图像上，且点、和点、分别关于轴对称，点的横坐标为，点的纵坐标为． (1)求点的纵坐标和点的横坐标，并写出点、的坐标 (2)在原图中，利用对称性，直接找特殊点，画出二次函数的图像． 题型 二次函数y=ax2开口方向与开口大小 解题贴士 a>0,抛物线开口向上； a<0,抛物线开口向下； |a|越大，抛物线开口越小； ▌例1 若抛物线的开口向上，则m的值可能是下面的（    ） A．0 B．2 C．4 D． ▌对点练1. 抛物线的开口向下，那么a的取值范围是（    ） A． B． C． D． ▌对点练2. 如图，四个二次函数的图像中，分别对应的是：①；②；③；④，则a，b，c，d的大小关系是（   ） A． B． C． D． 题型 抛物线y=ax2对称轴及顶点坐标 解题贴士 根据二次函数的定义，确定系数、次数中的字母取值. ▌例1 抛物线的对称轴方程是___，顶点坐标是___． ▌对点练1. 下列关于抛物线和的关系的说法中，正确的是（   ） A．它们的形状相同，开口方向也相同； B．它们都关于y轴对称； C．它们的顶点不相同； D．点既在抛物线上也在上． ▌对点练2. 已知抛物线经过点，． (1)求函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标： (2)求m的值； 题型 二次函数y=ax2的增减性与最值 解题贴士 比较抛物线上多点的函数值的大小和取值范围时，要结合图像进行。（以a>0为例） 当几个点在对称轴同侧时，根据二次函数y=ax2的增减性比较大小； 当几个点在对称轴异侧时，离对称轴越近的点的函数值越小。 ▌例1 对于函数，下列说法正确的是（   ） A．当时，随的增大而减小 B．当时，随的增大而增大 C．随的增大而减小 D．随的增大而增大 ▌例2 已知函数是关于x的二次函数． (1)求m的值； (2)当m为何值时，该函数图象的开口向下？ (3)当m为何值时，该函数有最小值，最小值是多少？ ▌对点练1. 根据条件，求下列各题中的取值或取值范围． (1)函数有最小值； (2)函数，当时，随着的增大而增大； (3)与的函数图象形状相同； (4)函数的图象是开口向下的抛物线． ▌对点练2. 已知抛物线过、两点，则下列关系式一定正确的是（   ） A． B． C． D． ▌对点练3. 若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（    ）． A． B． C． D． ▌对点练4. 已知二次函数，当自变量的取值范围是时，函数值的取值范围为____． 题型 待定系数法和数形结合法 解题贴士 1）类比一次函数，求二次函数表达式的主要方法也是待定系数法。 2）在实际问题中利用二次函数模型解决问题时，一定要注意自变量的取值范围。 ▌例1 已知圆柱的高为，底面半径为，体积为（取3）． (1)与之间的函数关系式为______，并在图中画出图象． (2)根据图象，当时，圆柱的体积为______． (3)根据图象，求出当为何值时，． ▌例2 如图，二次函数的图象经过点，过点作轴的平行线交该二次函数的图象于两点． (1)求二次函数的解析式； (2)为平面内一点，当是等边三角形时，求点的坐标． ▌对点练1. 已知抛物线经过点． (1)求a的值； (2)当时，求y的值． ▌对点练2. 今年元旦期间，小王一家人前往泉州西湖景区游玩，游玩时路过一个截面边缘是抛物线的景观（如图1）．喜欢动脑筋的小王对此景观模型产生了兴趣．在游船船夫与家人的帮助下，测得水面的宽，景观最高点与水面的距离为．回岸后，小王想继续知道在离水面的、处的宽是否会超过？请你根据以上信息，帮助小王解决问题． (1)若以图2中的点为顶点，建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式； (2)判断图2中的宽是否会超过？并说明理由． ▌对点练3. 如图，四边形是正方形，且点、恰好在抛物线上，点在轴上，则的长为（     ） A．2 B． C．4 D． 基础通关 1．（25-26九年级上·上海·课后作业）若二次函数的图象经过点，则该图象必经过点（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·上海·课后作业）对于函数，下列说法正确的是（   ） A．当时，随的增大而减小 B．当时，随的增大而增大 C．随的增大而减小 D．随的增大而增大 3．（25-26九年级上·上海宝山·阶段检测）已知抛物线在轴左侧的部分是下降的，那么的取值范围是____________． 4．（25-26九年级上·上海·阶段检测）已知抛物线的开口方向向下，对称轴是直线，那么这条抛物线的表达式可以是_____．（只要写出一个表达式） 5．（25-26九年级上·上海虹口·阶段检测）如果抛物线有最高点，那么a的取值范围是______． 6．（25-26九年级上·上海·阶段检测）若抛物线有最低点，则m的取值范围是_________． 7．（24-25九年级上·上海崇明·阶段检测）如果的图像是抛物线，那么_________． 8．（25-26九年级上·上海闵行·期中）若抛物线（为常数），不经过第二象限，则的取值范围是_______． 9．（25-26九年级上·山东淄博·阶段检测）已知函数是关于x的二次函数． (1)求m的值； (2)当m为何值时，该函数图象的开口向下？ (3)当m为何值时，该函数有最小值，最小值是多少？ 10．（24-25九年级上·全国·暑假作业）下列函数在同一平面直角坐标系中，画出下列函数的图象：①；②；③；④．根据图象回答下列问题： (1)这些函数的图象都是轴对称图形吗？如果是，对称轴是什么？ (2)图象有最高点或最低点吗？如果有，最高点或最低点的坐标是什么？ 素养提升 1．（25-26九年级下·河南周口·阶段检测）抛物线 的图象开口最大的是（    ） A． B． C． D．无法确定 2．（24-25九年级上·湖南长沙·期末）下列函数中，当时，随的增大而增大的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·浙江嘉兴·阶段检测）已知，两点在二次函数的图象上，下列判断错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．（25-26八年级下·山东东营·期中）如图，菱形的顶点在抛物线上，其中点为坐标原点，对角线在轴上，且．则菱形的面积是（    ） A．18 B． C．9 D． 5．（25-26九年级上·吉林白山·期中）已知关于x的函数是二次函数，当时y随x的增大而增大，则a的值为________． 6．（25-26九年级上·上海·课后作业）已知二次函数，当自变量的取值范围是时，函数值的取值范围为____． 7．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中有，两点，如果抛物线与线段没有公共点，则a的取值范围是__________． 8．（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）一座抛物线型拱桥如图所示，当桥下水面宽度为时，拱桥顶点距离水面的高度为．以拱桥的顶点为坐标原点，以桥面所在直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)汛期水位上涨，一艘宽为的小船装满物资，露出水面部分的高度为（横截面可看作是长为，宽为的矩形），若它恰好能从这座拱桥下通过，求此时水面的宽度（结果保留根号）． 9．（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）如图，点、在的图象上.直线与y轴交于点C，连接、. (1) ； ； (2)直线的函数表达式 ； (3)求的面积； (4)观察图象，当时，y的取值范围 ；当时，y的取值范围 . 10．（2025·重庆·二模）如图，在矩形中，，，动点以每秒个单位长度的速度从点出发，动点以每秒个单位长度的速度从点出发，点沿折线方向运动，点沿射线方向运动，当点追上点时，均停止运动．设运动时间为x秒，的面积为． (1)请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围． (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并写出函数的一条性质． (3)结合函数图象，直接写出时的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过） 迁移创新 1．（2025·辽宁抚顺·一模）边长为的正方形的顶点在轴正半轴上，顶点在轴正半轴上．如图将正方形绕顶点逆时针旋转，使点恰好落在抛物线上，则的值是（    ） A． B． C． D． 2. （2025九年级·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，四条直线围成正方形． (1)若抛物线与正方形有公共点，求的取值范围． (2)若抛物线与正方形没有公共点，则的取值范围为______ 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十七章 二次函数 27.2（1） 二次函数y=ax2的图像与性质 课标要点 1. 会画二次函数y=ax2的图像, 理解其图像的开口方向、对称轴、顶点坐标等特征； 2. 理解其增减性、最值等性质，并能利用性质解决简单的实际问题； 3. 能用待定系数法求二次函数的表达式，并利用数形结合法解决一些简单综合问题。 学习重难点 重点：1.掌握二次函数的图像与性质 难点：1.理解二次函数的增减性 知识点 二次函数 y=ax²的图像（重点） 二次函数y=ax²(a≠0)的图像是一条顶点为原点的抛物线。 特别提醒 ——二次函数画图像的一般步骤： 1. 列表：顶点坐标居中； 2. 描点：一般取5-7个点； 3. 连线：用平滑曲线自左向右顺次连接。 随学随练 1．在同一平面直角坐标系中，画出下列函数的图象． ①；②；③；④． 【详解】解：函数列表如下： x …… 0 1 2 …… y …… 1 0 1 …… 图象如下所示： 同理可分别作出②③④的函数图象如图所示． 知识点 二次函数 y=ax²的图像（难点） 函数y=ax2 a>0 a<0 图像 开口方向 向上 向下 开口大小 |a|越大开口越小，图像越陡 对称轴 y轴 顶点坐标 (0,0) 增减性 当x<0时，y随x增大而减小； 当x>0时，y随x增大而增大； 当x<0时，y随x增大而增大； 当x>0时，y随x增大而减小； 最值 顶点是最低点，当x=0时函数有最小值y=0; 顶点是最高点，当x=0时函数有最大值y=0; 特别提醒 二次函数y=ax2的性质要通过数形结合法去理解记忆，不能死记硬背； 随学随练 1. 有下列二次函数：①；②；③．在同一平面直角坐标系中，将它们图象的开口按从大到小的顺序排列，正确的是（） A．①②③ B．①③② C．②③① D．②①③ 【详解】解：二次函数图象的开口大小由系数的绝对值决定，越小开口越大，越大开口越小， 对于①，； 对于②，； 对于③，． 从小到大为：②③①， 故开口从大到小为：②③①，即②③①． 故选：C． 2．如图，点、在的图象上．直线与轴交于点，连接、． (1) _______； _______； (2)求直线的函数表达式； (3)当 时， 的取值范围为_____． 【详解】（1）解：∵点在的图象上， ∴， 解得， ∴， 当时，； 故答案为：；； （2）解：∵，， 设直线的解析式为， 把，点坐标代入得， 解得，， ∴直线的解析式为：； （3）解：对于抛物线， ∵， ∴当时，有最小值为0， ∵，， ∴当时，y的取值范围为． 题型 画二次函数y=ax2的图像 ▌例1（1）在同一直角坐标系中，画出二次函数和的图象； （2）从函数图象的形状、开口方向、对称轴、顶点等方面说出两个函数图象的相同点与不同点． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】本题考查了二次函数图象与性质，图象开口向上，对称轴左侧，随的增大而减小，对称轴右侧，随的增大而增大；图象开口向下，对称轴左侧，随的增大而增大，对称轴右侧，随的增大而减小． （1）在同一直角坐标系中，画出二次函数和的图象即可； （2）根据二次函数图象，可得二次函数的性质． 【详解】解：（1）二次函数和的图象如图所示： （2）二次函数和的图象的相同点是：形状都是抛物线，对称轴都是轴，顶点坐标都是； 二次函数和的图象的不同点是：图象开口向上，图象开口向下（答案不唯一，合理即可）； ▌对点练1. 在例1的基础上在同一个平面直角坐标系中，分别画出下列函数的图象： ①；②；③；④． 【答案】见解答 【分析】本题考查画二次函数的图象，在对称轴两侧分别取点，描点，连线即可． 【详解】解：二次函数①；②；③；④的对称轴都为y轴， 在对称轴两侧分别取点，列表如下： 0 1 2 ① 2 0 2 ② 0 ③ 8 2 0 2 8 ④ 0 描点、连线可得图象为： ▌对点练2. 抛物线的图像大致是（   ） A． B． C． D． 【详解】解：∵抛物线中，， ∴图像开口向上，且顶点为坐标原点， 故选：A． ▌对点练3. 在同一平面直角坐标系中，画出函数和的图象，并指出这两个函数图象的交点坐标． 【答案】画图见解析， 【分析】本题主要考查一次函数与二次函数的图象，熟练掌握一次函数与二次函数图象的画法是解题的关键；利用描点法作出两种函数的图象后直接写出交点坐标即可． 【详解】解：列表得： 0 1 2 0 1 2 4 1 0 1 4 函数图象如图所示： 由图象可知：交点坐标为． ▌对点练4. 如图，点、、、在函数的图像上，且点、和点、分别关于轴对称，点的横坐标为，点的纵坐标为． (1)求点的纵坐标和点的横坐标，并写出点、的坐标 (2)在原图中，利用对称性，直接找特殊点，画出二次函数的图像． 【答案】(1)点的纵坐标为，点的横坐标为，， (2)图见解析 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数图象的性质是解决本题的关键． （1）根据点在函数的图像上，可得点的坐标，再根据点的纵坐标为和点、分别关于轴对称即可得解； （2）根据二次函数的对称性进行画图即可． 【详解】（1）解：点在函数的图像上， 当时，， ， 点的纵坐标为， 点、关于轴对称， , 点在函数的图像上，点、关于轴对称， 当时，， 解得， 、， 点的横坐标为； （2）解：∵和关于x轴对称， ∴画图如下所示 题型 二次函数y=ax2开口方向与开口大小 解题贴士 a>0,抛物线开口向上； a<0,抛物线开口向下； |a|越大，抛物线开口越小； ▌例1 若抛物线的开口向上，则m的值可能是下面的（    ） A．0 B．2 C．4 D． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴，即． ∴选项中只有满足条件． 故选：C． ▌对点练1. 抛物线的开口向下，那么a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的性质，由抛物线开口向下可得，进而求解． 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ∴， ∴， 故选：B． ▌对点练2. 如图，四个二次函数的图像中，分别对应的是：①；②；③；④，则a，b，c，d的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：抛物线、开口向上， 且抛物线的开口更窄， ， 抛物线、开口向下， 且抛物线的开口更窄， ， ． 故选C． 题型 抛物线y=ax2对称轴及顶点坐标 解题贴士 根据二次函数的定义，确定系数、次数中的字母取值. ▌例1 抛物线的对称轴方程是___，顶点坐标是___． 【详解】解：对于抛物线，其中，则对称轴方程是，顶点坐标是． 故答案为：；． ▌对点练1. 下列关于抛物线和的关系的说法中，正确的是（   ） A．它们的形状相同，开口方向也相同； B．它们都关于y轴对称； C．它们的顶点不相同； D．点既在抛物线上也在上． 【答案】B 【分析】此题主要考查了二次函数的性质，根据顶点式得出二次函数性质是解决本题的关键．通过比较两条抛物线的二次项系数、开口方向、顶点和对称轴，判断各说法的正误即可． 【详解】解：∵抛物线和中二次项系数的绝对值相等， ∴它们的形状相同，开口方向相反，故A错误； 它们的对称轴都是y轴，故B正确； 它们的顶点都是，故C错误； 把代入得：， ∴点在抛物线上， 把代入得：， ∴点不在抛物线上，故D错误． 故选：B． ▌对点练2. 已知抛物线经过点，． (1)求函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标： (2)求m的值； 【详解】（1）解：把代入，得 解得： ∴ ∵ ∴函数图象的开口向上、对称轴为y轴，顶点坐标为． （2）解：把代入，得 ． 题型 二次函数y=ax2的增减性与最值 解题贴士 比较抛物线上多点的函数值的大小和取值范围时，要结合图像进行。（以a>0为例） 当几个点在对称轴同侧时，根据二次函数y=ax2的增减性比较大小； 当几个点在对称轴异侧时，离对称轴越近的点的函数值越小。 ▌例1 对于函数，下列说法正确的是（   ） A．当时，随的增大而减小 B．当时，随的增大而增大 C．随的增大而减小 D．随的增大而增大 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据抛物线的对称轴及开口方向，即可判断二次函数的增减性． 【详解】解：，对称轴为直线， 抛物线开口向上，当时，随的增大而增大 当时，随的增大而减小，故B正确． 故选：B． ▌例2 已知函数是关于x的二次函数． (1)求m的值； (2)当m为何值时，该函数图象的开口向下？ (3)当m为何值时，该函数有最小值，最小值是多少？ 【答案】(1) (2)当时，该函数图象的开口向下 (3)当时，最小值为 【分析】该题主要考查了二次函数的定义及其性质的应用问题． （1）根据二次函数的定义求出m的值即可解决问题． （2）运用当二次项系数小于0时，抛物线开口向下； （3）运用当二次项系数大于0时，抛物线开口向上，图象有最低点，函数有最小值． 【详解】（1）解：∵函数是关于x的二次函数， ∴，， 解得：； （2）解：∵函数图象的开口向下， ， ， ∴当时，该函数图象的开口向下； （3）解：∵当时，抛物线有最低点，函数有最小值， ，即 ∵抛物线顶点坐标为， ∴该函数最小值为． ▌对点练1. 根据条件，求下列各题中的取值或取值范围． (1)函数有最小值； (2)函数，当时，随着的增大而增大； (3)与的函数图象形状相同； (4)函数的图象是开口向下的抛物线． 【答案】(1) (2) (3)或 (4) 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质． （1）根据二次函数的性质：当时，有最小值，可得，解不等式即可； （2）根据二次函数的性质：当时，在对称轴的左侧，随的增大而增大，得出，解不等式即可； （3）根据二次函数的性质：相等时，函数图象形状相同，得出，解方程即可； （4）根据二次函数的性质：当时，抛物线开口向下，得出，解方程，求出负数即可． 【详解】（1）解：函数有最小值， ， ； （2）解：当时，函数的函数值随着的增大而增大， ， ； （3）解：与的函数图象形状相同， ， 或； （4）解：函数的图象是开口向下的抛物线， 且， 或， ， ． ▌对点练2. 已知抛物线过、两点，则下列关系式一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查的是二次函数的性质，熟练掌握二次函数的增减性是解题的关键． 依据二次函数的性质解答即可． 【详解】解：抛物线， ∴对称轴为轴，开口向上，顶点坐标为， 时，随的增大而减小， ， . 故选：A． ▌对点练3. 若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（    ）． A． B． C． D． 【详解】解：二次函数的开口向下，对称轴为轴， 由二次函数图象与性质可知，抛物线上的点到对称轴距离越近值越大， 点，，到对称轴的距离为、、， ， ， 故选：C． ▌对点练4. 已知二次函数，当自变量的取值范围是时，函数值的取值范围为____． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质． 根据抛物线的顶点，当时，最大，当时，最小． 【详解】解：由题意，的对称轴为轴，开口向上， 函数值有最小值． 当时，； 当时，； 当时，； 结合图象，可得当时，的取值范围是． 故答案为：． 题型 待定系数法和数形结合法 解题贴士 1）类比一次函数，求二次函数表达式的主要方法也是待定系数法。 2）在实际问题中利用二次函数模型解决问题时，一定要注意自变量的取值范围。 ▌例1 已知圆柱的高为，底面半径为，体积为（取3）． (1)与之间的函数关系式为______，并在图中画出图象． (2)根据图象，当时，圆柱的体积为______． (3)根据图象，求出当为何值时，． 【答案】(1) (2)1 (3)当时， 【分析】（1）由圆柱体积公式直接可得； （2）将代入（1）中公式即可； （3）观察图像可知，在第一象限内随的增大而增大，当时，． 【详解】（1）解：由圆柱的体积公式可得， 画图如下： （2）解：将代入（1）中公式可得， 故答案为：1． （3）解：由图像可知，当时，，在第一象限内随的增大而增大， ∴当时，． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答． ▌例2 如图，二次函数的图象经过点，过点作轴的平行线交该二次函数的图象于两点． (1)求二次函数的解析式； (2)为平面内一点，当是等边三角形时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了二次函数解析式的求解、函数与直线的交点坐标计算，以及等边三角形的性质，熟练结合函数与几何图形的性质是解题关键． （1）利用二次函数图象上点的坐标特征，代入已知点坐标求出函数解析式； （2）先结合直线方程与二次函数解析式求出交点坐标，再根据等边三角形的中线、高的性质，计算出顶点的坐标． 【详解】（1）解：二次函数的图象经过点， ， 解得：， 二次函数的解析式为； （2）解：将代入， 解得：，， 点、的坐标分别为，， ，， 是等边三角形， 易得点在轴上，且， 轴， ， ， 点的坐标为， 点的坐标为或． ▌对点练1. 已知抛物线经过点． (1)求a的值； (2)当时，求y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．二次函数图象上所有点的坐标均满足该函数解析式． （1）把点代入抛物线解析式，借助于方程可以求得a的值； （2）把代入函数解析式即可求得相应的y的值． 【详解】（1）解：把点代入抛物线，得，， 解得； （2）解：由（1）知，，则该抛物线解析式为：． 把代入，得， 即． ▌对点练2. 今年元旦期间，小王一家人前往泉州西湖景区游玩，游玩时路过一个截面边缘是抛物线的景观（如图1）．喜欢动脑筋的小王对此景观模型产生了兴趣．在游船船夫与家人的帮助下，测得水面的宽，景观最高点与水面的距离为．回岸后，小王想继续知道在离水面的、处的宽是否会超过？请你根据以上信息，帮助小王解决问题． (1)若以图2中的点为顶点，建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式； (2)判断图2中的宽是否会超过？并说明理由． 【答案】(1) (2)宽不会超过，理由见解析 【分析】（1）设抛物线（），点在抛物线上，解答即可． （2）设点坐标为（）根据题意得，，解答即可． 本题考查了待定系数法，求自变量的值，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 【详解】（1）解：当水面宽时，涵洞顶点与水面的距离为， 设抛物线（），点在抛物线上， ， 抛物线的解析式． （2）解：宽不会超过，理由如下： 离水面的高 设点坐标为（） 根据题意得， 解得： 的宽为 ， ， 的宽不超过． ▌对点练3. 如图，四边形是正方形，且点、恰好在抛物线上，点在轴上，则的长为（     ） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】根据正方形的性质求出直线的解析式，然后联立方程求出交点坐标，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：根据正方形的性质可得， ∴直线的解析式为， 联立， 解得或， ∴， ∴， 在正方形中， ∴． 基础通关 1．（25-26九年级上·上海·课后作业）若二次函数的图象经过点，则该图象必经过点（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上点的坐标满足函数解析式是解题的关键． 把点坐标代入二次函数解析式可求得的值，则可求得二次函数解析式，再把选项中所给点的坐标代入判断即可． 【详解】解：二次函数的图象经过点， ，解得， 二次函数解析式为， 当时，，当或时，， 故点在抛物线上. 故选：B． 2．（25-26九年级上·上海·课后作业）对于函数，下列说法正确的是（   ） A．当时，随的增大而减小 B．当时，随的增大而增大 C．随的增大而减小 D．随的增大而增大 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据抛物线的对称轴及开口方向，即可判断二次函数的增减性． 【详解】解：，对称轴为直线， 抛物线开口向上，当时，随的增大而增大 当时，随的增大而减小，故B正确． 故选：B． 3．（25-26九年级上·上海宝山·阶段检测）已知抛物线在轴左侧的部分是下降的，那么的取值范围是____________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图像的性质，掌握的性质是解题的关键． 由抛物线在轴左侧的部分是下降的，则，然后解不等式即可解答． 【详解】解：∵抛物线在对称轴左侧的部分是下降的， ∴抛物线开口向上， ∴，解得：． 故答案为：． 4．（25-26九年级上·上海·阶段检测）已知抛物线的开口方向向下，对称轴是直线，那么这条抛物线的表达式可以是_____．（只要写出一个表达式） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了根据要求写二次函数解析式． 根据顶点式的性质作答即可． 【详解】解：设抛物线的表达式为， ∵抛物线的开口方向向下， ∴， ∵对称轴是直线， ∴， 则抛物线的表达式可以为． 故答案为：（答案不唯一）． 5．（25-26九年级上·上海虹口·阶段检测）如果抛物线有最高点，那么a的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的性质，抛物线有最高点时，开口向下，二次项系数小于零． 【详解】解：抛物线有最高点，说明抛物线开口向下， ∴二次项系数，解得． 故答案为：． 6．（25-26九年级上·上海·阶段检测）若抛物线有最低点，则m的取值范围是_________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数图象开口的方向与二次项系数的关系是解题的关键． 根据题意，函数有最低点可知二次函数图象开口向上，由此解出答案． 【详解】解：抛物线有最低点， 二次函数图象开口向上，即，解得． 故答案为：． 7．（24-25九年级上·上海崇明·阶段检测）如果的图像是抛物线，那么_________． 【答案】 【分析】此题主要考查了二次函数的性质与图像，根据二次函数的性质得出，且，再求解即可． 【详解】解：∵的图像是抛物线， ∴且， 解得：； 故答案为： 8．（25-26九年级上·上海闵行·期中）若抛物线（为常数），不经过第二象限，则的取值范围是_______． 【答案】 【分析】抛物线顶点在原点，不经过第二象限需满足当时，则抛物线开口应向下，开口方向由系数决定，解不等式即可； 本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的开口方向与二次项系数的关系是解题的关键． 【详解】解：抛物线的顶点为， 当时，开口向上，时，经过第二象限； 当时，开口向下，时，不经过第二象限； 故答案为：． 9．（25-26九年级上·山东淄博·阶段检测）已知函数是关于x的二次函数． (1)求m的值； (2)当m为何值时，该函数图象的开口向下？ (3)当m为何值时，该函数有最小值，最小值是多少？ 【答案】(1) (2)当时，该函数图象的开口向下 (3)当时，最小值为 【分析】该题主要考查了二次函数的定义及其性质的应用问题． （1）根据二次函数的定义求出m的值即可解决问题． （2）运用当二次项系数小于0时，抛物线开口向下； （3）运用当二次项系数大于0时，抛物线开口向上，图象有最低点，函数有最小值． 【详解】（1）解：∵函数是关于x的二次函数， ∴，， 解得：； （2）解：∵函数图象的开口向下， ， ， ∴当时，该函数图象的开口向下； （3）解：∵当时，抛物线有最低点，函数有最小值， ，即 ∵抛物线顶点坐标为， ∴该函数最小值为． 10．（24-25九年级上·全国·暑假作业）下列函数在同一平面直角坐标系中，画出下列函数的图象：①；②；③；④．根据图象回答下列问题： (1)这些函数的图象都是轴对称图形吗？如果是，对称轴是什么？ (2)图象有最高点或最低点吗？如果有，最高点或最低点的坐标是什么？ 【答案】(1)这四个函数的图象都是轴对称图形，对称轴都是y轴 (2)函数和的图象有最低点，函数和的图象有最高点，这些最低点和最高点的坐标都是 【分析】本题考查了对称轴的性质，二次函数的图形和性质，解题的关键是画出二次函数的图像；（1）画出二次函数的图像，根据轴对称的性质，即可求解；（2）根据图像可以观察出函数的二次函数的最低点和最高点． 【详解】（1）要画出已知四个函数的图象，需先列表，因为在这些函数中，自变量的取值范围是全体实数，故应以原点O为中心，对称地选取x的值，列出函数的对应值表． 解：列表： 4 描点、连线，函数图象如图所示． 这四个函数的图象都是轴对称图形，对称轴都是轴； （2）函数和的图象有最低点，函数和的图象有最高点，这些最低点和最高点的坐标都是． 素养提升 1．（25-26九年级下·河南周口·阶段检测）抛物线 的图象开口最大的是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象的开口性质，抛物线的开口大小由二次项系数的绝对值决定，的绝对值越小，抛物线开口越大，只需比较三个二次项系数的绝对值大小即可得出结果 【详解】解：三个抛物线的二次项系数分别为，，，分别计算它们的绝对值得： ，， ∵ ，即 又∵对于抛物线，二次项系数的绝对值越小，图象开口越大， ∴ 抛物线的开口最大， 2．（24-25九年级上·湖南长沙·期末）下列函数中，当时，随的增大而增大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题综合考查了二次函数、一次函数、反比例函数的增减性，熟练掌握一次函数、反比例函数的性质是解题的关键． 根据二次函数、一次函数、反比例函数的增减性，结合自变量的取值范围，逐一判断． 【详解】解：A、， ，故y随着x增大而减小，故该选项不符合题意； B、， k<0，故y随着x增大而减小，故该选项不符合题意； C、，，在每个象限里，y随x的增大而增大，故该选项符合题意； D、，，当时，y随x的增大而减小，故该选项不符合题意； 故选：C． 3．（25-26九年级上·浙江嘉兴·阶段检测）已知，两点在二次函数的图象上，下列判断错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，掌握二次函数图象开口，对称轴，增减性是关键． 通过计算点P和点Q的纵坐标，结合二次函数性质，判断各选项正误． 【详解】解：根据题意，， A、若，则， ∴，正确； B、若，则，， ， 解得，正确； C、若，则， ∴ ，即， ∴ ，正确； D、若，则，，， 解得，， 但不一定，如时，但， ∴ 错误； 故选：D． 4．（25-26八年级下·山东东营·期中）如图，菱形的顶点在抛物线上，其中点为坐标原点，对角线在轴上，且．则菱形的面积是（    ） A．18 B． C．9 D． 【答案】A 【分析】根据菱形的性质求得点A的横坐标是解题的关键．连接交于点D，则由菱形性质知，从而得；由知，点纵坐标为3，由此可求得A点横坐标，即得，从而可得，由菱形面积公式即可求得其面积． 【详解】解：如图，连接交于点D； ∵四边形是菱形， ∴，， ∴； ∵， ∴点纵坐标为3； ∵点A在抛物线上， ∴， 解得：， 即A点横坐标为3， 即， ∴， ∴菱形面积为． 5．（25-26九年级上·吉林白山·期中）已知关于x的函数是二次函数，当时y随x的增大而增大，则a的值为________． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的定义和性质，掌握二次函数的性质是解决本题的关键． 根据二次函数的定义，指数部分必须为2，求出a的值，再根据函数的增减性条件确定a的取值即可． 【详解】解：∵是二次函数， ∴ 解得， ∵当时，y随x的增大而增大， ∴二次项系数，即， ∴． 故答案为：． 6．（25-26九年级上·上海·课后作业）已知二次函数，当自变量的取值范围是时，函数值的取值范围为____． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质． 根据抛物线的顶点，当时，最大，当时，最小． 【详解】解：由题意，的对称轴为轴，开口向上， 函数值有最小值． 当时，； 当时，； 当时，； 结合图象，可得当时，的取值范围是． 故答案为：． 7．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中有，两点，如果抛物线与线段没有公共点，则a的取值范围是__________． 【答案】或或 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．分别把M、N点的坐标代入得a的值，根据二次函数的性质得到a的取值范围． 【详解】解：当时， 把点代入，得； 把点代入，得， 如图： ∵如果抛物线与线段没有公共点， ∴a的取值范围为或． 当时。抛物线开口向下，与线段没有公共点， 综上，a的取值范围是或或． 故答案为：或或． 8．（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）一座抛物线型拱桥如图所示，当桥下水面宽度为时，拱桥顶点距离水面的高度为．以拱桥的顶点为坐标原点，以桥面所在直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)汛期水位上涨，一艘宽为的小船装满物资，露出水面部分的高度为（横截面可看作是长为，宽为的矩形），若它恰好能从这座拱桥下通过，求此时水面的宽度（结果保留根号）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用： （1）由题意可以写出A点坐标，设抛物线解析式为，把点A的坐标代入求出a的值即可； （2）把代入抛物线解析式，求出对应函数值y，再把代入计算即可求解． 【详解】（1）解：设抛物线的函数表达式为， 由题知，， ∴， 解得：， ∴该抛物线的函数表达式为； （2）解：当时，． ∴， ∴水面所在直线为． 在中，令得：， 解得：或， ∵， ∴此时水面的宽度为． 9．（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）如图，点、在的图象上.直线与y轴交于点C，连接、. (1) ； ； (2)直线的函数表达式 ； (3)求的面积； (4)观察图象，当时，y的取值范围 ；当时，y的取值范围 . 【答案】(1)；4 (2) (3)6 (4)； 【分析】此题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式，轴对称，熟练求解直线的解析式是解题的关键． （1）将点代入求得，将代入求出； （2）运用待定系数法求出直线的解析式即可； （3）求出的长，根据求解即可； （3）根据函数图象确定两个范围内各自的最大值和最小值即可． 【详解】（1）解：∵点在的图象上， ∴， ∴， ∵点在的图象上， ∴， 故答案为：；4； （2）解：设直线的解析式为， ∵、， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 故答案为：； （3）解：在中，令，则， ∴C的坐标为， ∴， ∴； （4）解：∵、， 观察图象，当时，当时有最小值；当时有最大值； y的取值范围； 当时， 当时有最小值， 当时有最大值， ∴y的取值范围， 故答案为：；． 10．（2025·重庆·二模）如图，在矩形中，，，动点以每秒个单位长度的速度从点出发，动点以每秒个单位长度的速度从点出发，点沿折线方向运动，点沿射线方向运动，当点追上点时，均停止运动．设运动时间为x秒，的面积为． (1)请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围． (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并写出函数的一条性质． (3)结合函数图象，直接写出时的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过） 【答案】(1)关于的函数表达式为； (2) 如图， 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小（答案不唯一）； (3)或． 【分析】本题是动点下的图象的面积问题，考查了三角形的面积公式，函数的图象与性质，写出函数表达式并画出函数图象是解题的关键． （）由速度与时间的关系表示出各线段，根据三角形面积公式即可得出答案； （）根据函数表达式画线即可画出图象，由图象的变化趋势即可得出性质； （）由函数图象的趋势即可得出答案． 【详解】（1）解：当点在上时，即， 则，， ∴； 当点在上时，即， 则， ∴， 综上可知：关于的函数表达式为； （2）解：列表： 描点， 连线 如图， 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小； （3）解：由图象可知：，， 解得：（负值已舍去），， ∴当时的取值范围或． 迁移创新 1．（2025·辽宁抚顺·一模）边长为的正方形的顶点在轴正半轴上，顶点在轴正半轴上．如图将正方形绕顶点逆时针旋转，使点恰好落在抛物线上，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数与几何的综合应用，连接，作轴于点，正方形的性质求出的长，旋转结合角的和差关系，求出，根据含30度角的直角三角形的性质，求出点坐标，即可得出结果． 【详解】解：连接，作轴于点， ∵正方形，边长为， ∴， ∴， ∵旋转， ∴与轴正半轴的夹角为， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵点落在抛物线上， ∴， ∴； 故选：D． 2. （2025九年级·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，四条直线围成正方形． (1)若抛物线与正方形有公共点，求的取值范围． (2)若抛物线与正方形没有公共点，则的取值范围为______ 【答案】(1) (2)或或 【分析】（1）根据抛物线经过点时，可得抛物线中的值最大，抛物线经过点时，可得抛物线中的值最小； （2）根据抛物线与正方形没有公共点，可得抛物线中值大于抛物线经过点时的值，抛物线中值小于抛物线经过点时的值． 【详解】（1）解：由越大，抛物线开口越小，得抛物线经过点时，的值最大；拋物线经过点时，的值最小． ，解得． ，解得． 综上所述，当抛物线与正方形有公共点时，的取值范围是． （2）解：由（1）得，当或时，开口向上的抛物线与正方形没有公共点； 当时，抛物线开口向下，抛物线与正方形没有公共点， 综上所述：当或或时，抛物线与正方形没有公共点． 【点睛】本题考查了二次函数综合题，利用了二次函数的性质：越大，抛物线开口越小． 1 / 36 学科网（北京）股份有限公司 $