专题1.2 集合间的基本关系知识解读•题型专练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦高中数学集合间的基本关系，系统梳理子集、真子集、集合相等、空集的概念及性质，通过Venn图直观呈现集合关系，构建从概念理解到应用（如求子集个数、根据集合关系求参数）的完整学习支架。 资料以8类题型为核心，含例题及变式题（如子集确定、集合相等求参数），精选多地期中期末真题，培养数学思维与推理能力。Venn图辅助几何直观，空集性质强调细节，课中助力教师系统教学，课后练习帮助学生巩固查漏，提升数学应用意识。

专题1.2 集合间的基本关系【知识解读】 【人教A版（2019）】 题型归纳 【题型1 子集、真子集的确定】 2 【题型2 集合的子集（真子集）的个数问题】 2 【题型3 判断两个集合是否相等】 3 【题型4 根据两个集合相等求参数】 4 【题型5 空集的判断、性质及应用】 4 【题型6 Venn图表示集合的关系】 5 【题型7 集合间关系的判断】 6 【题型8 根据集合间关系求参数】 6 【课后练习】 7 知识点1 子集与真子集 1．子集的概念 定义 一般地，对于两个集合A,B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，称集合A为集合B的子集 记法 与读法 记作(或)，读作“A包含于B”(或“B包含A”) 图示 或 结论 (1)任何一个集合是它本身的子集，即； (2)对于集合A,B,C，若，且，则 2．真子集的概念 定义 如果集合，但存在元素，且，我们称集合A是集合B的真子集 记法 记作(或) 图示 结论 (1)且，则； (2)，且，则 【注】(1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即有任意x∈A能推出x∈B. (2)不能把“AB”理解为“A是B中部分元素组成的集合”，因为集合A可能是空集，也可能是集合B. (3)特殊情形：如果集合A中存在着不是集合B中的元素，那么集合A不包含于B，或集合B不包含集合A. (4)对于集合A，B，C，若AB，BC，则AC；任何集合都不是它本身的真子集. (5)若AB，且A≠B，则AB. 【题型1 子集、真子集的确定】 【例1】（23-24高三上·四川·期末）集合的一个真子集可以为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（23-24高一上·四川乐山·期中）集合的一个子集是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（22-23高二上·辽宁阜新·期末）已知集合，则下列集合中是集合A的真子集的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26高一上·江苏苏州·期中）利用列举法求集合的子集的过程中，含有三个元素的子集共有（    ） A．8个 B．9个 C．10个 D．11个 【题型2 集合的子集（真子集）的个数问题】 【例2】（25-26高一上·上海·期中）满足   的所有集合的个数是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（专题01集合与常用逻辑用语15考点（期末真题汇编，贵州专用）高一数学上学期人教A版必修第一册）已知集合，集合的子集个数是（    ） A．1 B．3 C．4 D．8 【变式2-2】（25-26高一上·山东·期中）已知，则满足条件的集合的个数为（    ） A．1 B．3 C．4 D．7 【变式2-3】（25-26高一上·江苏连云港·期中）设集合，则集合的子集个数是（    ） A．6 B．7 C．8 D．15 知识点2 集合相等与空集 1．集合相等的概念 如果集合A的任何一个元素是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么，集合A与集合B相等，记作A＝B.也就是说，若A⊆B且B⊆A，则A＝B. 2．空集的概念 (1)定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅. (2)规定：空集是任何集合的子集. 3．Venn图的优点及其表示 (1)优点：形象直观. (2)表示：通常用封闭曲线的内部表示集合. 【题型3 判断两个集合是否相等】 【例3】（25-26高一上·河北邯郸·阶段检测）（多选）已知集合，则下列集合与相等的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26高一上·湖南长沙·阶段检测）（多选）与集合相等的集合是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26高一上·福建福州·期中）下列四组中，表示相等集合的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2025高二下·湖南郴州·学业考试）下列各组集合中表示同一集合的是（    ） A． B． C． D． 【题型4 根据两个集合相等求参数】 【例4】（25-26高三上·河北邯郸·期中）设，，集合，，若，则（    ） A．－2 B．－1 C．1 D．2 【变式4-1】（2026·广东·一模）已知集合，若，则（   ） A．－2 B．0 C．2 D．4 【变式4-2】（25-26高一上·河北·阶段检测）设已知集合，若，则（    ） A．-2 B．0 C．1 D．2 【变式4-3】（25-26高一上·陕西咸阳·阶段检测）已知，，若，则（   ） A．2 B．1 C． D． 【题型5 空集的判断、性质及应用】 【例5】（23-24高一上·贵州黔东南·期中）（多选）下列关系式正确的为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25高一上·河南南阳·期中）（多选）下列表述正确的有（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26高一上·重庆·阶段检测）（多选）如果 ，那么（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（25-26高一上·广西来宾·阶段检测）（多选）下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型6 Venn图表示集合的关系】 【例6】（23-24高一上·福建南平·期末）下列Venn图能正确表示集合和关系的是（    ） A．  B．  C．  D．   【变式6-1】（23-24高一上·内蒙古呼和浩特·期中）已知全集U=R，那么正确表示集合M={-1，0}和N={x|x2-x=0}关系的韦恩(Venn)图是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25高一上·湖北武汉·期末）下列表示集合和关系的图中正确的是（    ） A． B． C． D． 知识点3 集合间关系的性质 集合间关系的性质： (1)任何一个集合都是它本身的子集，即AA. (2)对于集合A，B，C， ①若AB，且BC，则AC； ②若AB，B=C，则AC. (3)若AB，A≠B，则AB. 【题型7 集合间关系的判断】 【例7】（25-26高二下·河南南阳·阶段检测）已知集合，集合，则与关系为（     ） A． B． C． D． 【变式7-1】（第02讲集合的基本关系（暑假预习讲义）新高一数学人教B版）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25高一上·广西河池·期中）（多选）已知集合，则下列集合中哪些是A的子集（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】（25-26高一上·江苏·阶段检测）（多选）关于两个集合间关系的叙述，以下选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型8 根据集合间关系求参数】 【例8】（暑假预习专题第2讲集合之间的关系（暑假预习讲义）新高一年级数学沪教版）已知，若，求的值 【变式8-1】（T8联盟2026届高考考前训练（一）数学试卷）已知集合，，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式8-2】（25-26高二下·湖南衡阳·期中）（多选）已知集合，，若，则a的取值可以是（   ） A． B．0 C．2 D． 【变式8-3】（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）设集合，，若，则由实数组成的集合为（     ） A． B． C． D． 课后练习 【课后练习】 1．（2026·四川绵阳·模拟预测）若，则A的子集个数为（    ） A．3 B．6 C．7 D．8 2.（第一章集合与常用逻辑用语（暑假单元自测）新高一年级数学人教A版）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 3．（2026·西藏林芝·二模）若，则的真子集个数为（     ） A．8 B．7 C．6 D．3 4．（2026·广东广州·模拟预测）已知集合，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（2026·广西崇左·一模）集合的一个真子集可以为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高三下·云南玉溪·开学考试）集合，，若，则实数m的取值范围（ ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·广西柳州·期末）（多选）下列表述正确的有（    ） A． B． C． D．表示没有任何元素的集合 8．（23-24高一上·江苏宿迁·阶段检测）（多选）已知集合，则下列式子表示正确的是（     ） A． B． C． D． 9．（25-26高一上·广西·期中）（多选）已知集合，下列关系正确的是（　　） A． B． C． D． 10．（24-25高一上·江西南昌·阶段检测）已知集合，则______ 11．（24-25高一上·广西南宁·阶段检测）已知集合，若，则__________. 12．（24-25高一上·广西桂林·阶段检测）（1）写出集合的子集和真子集． （2）写出集合的所有子集和真子集． 13．（25-26高一上·宁夏吴忠·阶段检测）已知集合 (1)若，写出的所有子集 (2)若集合中只含有一个元素，求的值． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.2 集合间的基本关系【知识解读】 【人教A版（2019）】 题型归纳 【题型1 子集、真子集的确定】 2 【题型2 集合的子集（真子集）的个数问题】 3 【题型3 判断两个集合是否相等】 5 【题型4 根据两个集合相等求参数】 7 【题型5 空集的判断、性质及应用】 8 【题型6 Venn图表示集合的关系】 9 【课后练习】 14 知识点1 子集与真子集 1．子集的概念 定义 一般地，对于两个集合A,B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，称集合A为集合B的子集 记法 与读法 记作(或)，读作“A包含于B”(或“B包含A”) 图示 或 结论 (1)任何一个集合是它本身的子集，即； (2)对于集合A,B,C，若，且，则 2．真子集的概念 定义 如果集合，但存在元素，且，我们称集合A是集合B的真子集 记法 记作(或) 图示 结论 (1)且，则； (2)，且，则 【注】(1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即有任意x∈A能推出x∈B. (2)不能把“AB”理解为“A是B中部分元素组成的集合”，因为集合A可能是空集，也可能是集合B. (3)特殊情形：如果集合A中存在着不是集合B中的元素，那么集合A不包含于B，或集合B不包含集合A. (4)对于集合A，B，C，若AB，BC，则AC；任何集合都不是它本身的真子集. (5)若AB，且A≠B，则AB. 【题型1 子集、真子集的确定】 【例1】（23-24高三上·四川·期末）集合的一个真子集可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由真子集的定义对选项一一判断即可得出答案. 【详解】，故A错误； ，故B错误； 因为是集合的子集，但不是真子集，故D错误； 是集合的真子集，故C正确. 故选：C. 【变式1-1】（23-24高一上·四川乐山·期中）集合的一个子集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先化简集合，结合选项可得答案. 【详解】因为，所以的子集有，； 故选：D. 【变式1-2】（22-23高二上·辽宁阜新·期末）已知集合，则下列集合中是集合A的真子集的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据真子集的定义一一判断即可. 【详解】对A，两集合相等，故A选项不是集合A的真子集， 对B，由真子集定义知，是集合A的真子集， C和D选项的集合里含有不属于集合A的元素，故C,D错误， 故选：B. 【变式1-3】（25-26高一上·江苏苏州·期中）利用列举法求集合的子集的过程中，含有三个元素的子集共有（    ） A．8个 B．9个 C．10个 D．11个 【答案】C 【分析】列举出集合含有三个元素的子集即可求出答案. 【详解】集合含有三个元素的子集有，，，，，，，，，. 所以集合含有三个元素的子集共有个. 故选：C. 【题型2 集合的子集（真子集）的个数问题】 【例2】（25-26高一上·上海·期中）满足   的所有集合的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定，再由题意可得，其中集合为集合的子集，从而可得结果. 【详解】由，得. 设集合为集合的子集，则集合可能为：，共种. 由题意，集合，所以集合共有个， 分别为： 【变式2-1】（专题01集合与常用逻辑用语15考点（期末真题汇编，贵州专用）高一数学上学期人教A版必修第一册）已知集合，集合的子集个数是（    ） A．1 B．3 C．4 D．8 【答案】C 【分析】根据集合的子集定义，即可求得. 【详解】集合的子集分别是：，，，共有4个. 故选：. 【变式2-2】（25-26高一上·山东·期中）已知，则满足条件的集合的个数为（    ） A．1 B．3 C．4 D．7 【答案】B 【分析】由题意可知,集合中一定有1,2两个元素,且中最少三个元素,从而可求得满足题意的集合． 【详解】由题意,当集合中有四个个元素时,集合, 当集合中有三个元素时, 集合或， 即满足条件的集合的个数为3． 故选：B． 【变式2-3】（25-26高一上·江苏连云港·期中）设集合，则集合的子集个数是（    ） A．6 B．7 C．8 D．15 【答案】C 【分析】用列举法表示集合A，可得集合的子集个数. 【详解】，所以集合的子集个数是. 故选：C. 知识点2 集合相等与空集 1．集合相等的概念 如果集合A的任何一个元素是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么，集合A与集合B相等，记作A＝B.也就是说，若A⊆B且B⊆A，则A＝B. 2．空集的概念 (1)定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅. (2)规定：空集是任何集合的子集. 3．Venn图的优点及其表示 (1)优点：形象直观. (2)表示：通常用封闭曲线的内部表示集合. 【题型3 判断两个集合是否相等】 【例3】（25-26高一上·河北邯郸·阶段检测）（多选）已知集合，则下列集合与相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由题意，用列举法分别将各集合表示出来，再根据集合相等的条件，逐项判断即可. 【详解】根据题意，，故A选项正确； 对于B，，故B选项错误； 对于C，，故C选项正确； 对于D，，故D选项错误. 故选：AC 【变式3-1】（25-26高一上·湖南长沙·阶段检测）（多选）与集合相等的集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】分析集合中的关系式得到题目中集合对应的区间，然后逐个分析各个选项，集合对应区间相同即可. 【详解】∵，∴， A选项中，∴，A选项错误； B选项为函数函数图像上所有的点的集合，B选项错误； C选项∵，∴，C选项正确； D选项∵，∴，D选项正确. 故选：CD. 【变式3-2】（25-26高一上·福建福州·期中）下列四组中，表示相等集合的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用相等集合的定义逐一判断可得. 【详解】对于A，两集合表示点的坐标不同，不是同一个集合，故A错误； 对于B，两集合元素相同，是相等集合，故B正确； 对于C，集合中有元素，集合为空集，不是相等集合，故C错误； 对于D，集合表示抛物线上的点，集合为数集，故D错误. 故选：B 【变式3-3】（2025高二下·湖南郴州·学业考试）下列各组集合中表示同一集合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合的表示方法，以及集合相等的概念，逐项分析判定，即可求解. 【详解】对于A中，集合与集合中的元素完全相同，所以，所以A正确； 对于B中，集合表示由点作为元素，构成的单元素集合， 集合表示由点作为元素，构成的单元素集合， 所以集合与集合不相等，所以B不符合题意； 对于C中，集合表示由两个元素构成的数集； 集合表示由点作为元素，构成的单元素数集， 所以集合与集合不相等，所以B不符合题意； 对于D中，集合表示直线的点作为元素构成的无限点集， 集合表示直线的点的纵坐标作为元素构成的无限数集， 所以集合与集合不相等，所以B不符合题意； 故选：A. 【题型4 根据两个集合相等求参数】 【例4】（25-26高三上·河北邯郸·期中）设，，集合，，若，则（    ） A．－2 B．－1 C．1 D．2 【答案】A 【分析】由集合相等求得的值，即可求得结果. 【详解】由题意可知，所以， 又，则，，所以． 故选：A． 【变式4-1】（2026·广东·一模）已知集合，若，则（   ） A．－2 B．0 C．2 D．4 【答案】B 【详解】由于集合，， 则，故 【变式4-2】（25-26高一上·河北·阶段检测）设已知集合，若，则（    ） A．-2 B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据集合相等列出方程求解. 【详解】因为，且， 所以，解得，即. 故选：B 【变式4-3】（25-26高一上·陕西咸阳·阶段检测）已知，，若，则（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】根据集合相等的定义分两种情况解方程组，再结合元素具有互异性判断可得结果. 【详解】因为，且，， ①当，解得或，由集合中元素具有互异性，故不符合题意； ②当时，解得（舍去）或.即，符合题意. 所以. 故选：D 【题型5 空集的判断、性质及应用】 【例5】（23-24高一上·贵州黔东南·期中）（多选）下列关系式正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据空集的定义和元素与集合、集合与集合的关系判断即可. 【详解】因为，故A错误； 是指元素为0的集合，所以，故B正确； 是指元素为的集合，所以，故C正确； 是任何集合的子集，所以，故D正确． 故选：BCD． 【变式5-1】（24-25高一上·河南南阳·期中）（多选）下列表述正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据元素与集合的关系，以及空集的定义和性质即可求解. 【详解】，故A错误，B正确 空集是不含任何元素的集合，且空集是任何集合的子集，故C错误，D正确， 故选：BD 【变式5-2】（25-26高一上·重庆·阶段检测）（多选）如果 ，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据集合与元素的关系，以及空集的定义即可求解. 【详解】0是一个元素，且，因此，故B正确，A错误， ，，故D正确，C错误， 故选：BD 【变式5-3】（25-26高一上·广西来宾·阶段检测）（多选）下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据元素与集合的关系，以及集合与集合的关系，判断选项即可. 【详解】根据元素与集合的关系可知，是正确的，故A正确； 根据集合与集合的关系可知，是不正确的，应为， 是正确的，是正确的，故B不正确，CD正确. 故选：ACD. 【题型6 Venn图表示集合的关系】 【例6】（23-24高一上·福建南平·期末）下列Venn图能正确表示集合和关系的是（    ） A．  B．  C．  D．   【答案】B 【分析】确定集合，的关系，然后选择合适的图象即可. 【详解】，又， 所以，选项B符合， 故选：B. 【变式6-1】（23-24高一上·内蒙古呼和浩特·期中）已知全集U=R，那么正确表示集合M={-1，0}和N={x|x2-x=0}关系的韦恩(Venn)图是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】化简集合，判断集合没有包含关系，即可得出答案. 【详解】，集合没有包含关系 故选：A 【变式6-2】（24-25高一上·湖北武汉·期末）下列表示集合和关系的图中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为集合，， 所以集合和关系的图为A. 知识点3 集合间关系的性质 集合间关系的性质： (1)任何一个集合都是它本身的子集，即AA. (2)对于集合A，B，C， ①若AB，且BC，则AC； ②若AB，B=C，则AC. (3)若AB，A≠B，则AB. 【题型7 集合间关系的判断】 【例7】（25-26高二下·河南南阳·阶段检测）已知集合，集合，则与关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用列举法表示集合，再根据元素与集合的关系和集合与集合的关系判断结论. 【详解】因为，， 所以， 因为，所以集合不是集合的子集，A错误 因为可视为集合的一个元素，但集合中不含该元素，所以集合不是集合的子集，C错误； 因为集合的元素中含有元素，所以，B错误，D正确. 【变式7-1】（第02讲集合的基本关系（暑假预习讲义）新高一数学人教B版）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以． 【变式7-2】（24-25高一上·广西河池·期中）（多选）已知集合，则下列集合中哪些是A的子集（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】，解得，集合， 中元素均属于集合，是集合的子集，故A正确； 中有元素不属于集合，不是集合的子集，故B错误； 等于集合，是集合A的子集，故C正确； 中元素均属于集合，是集合的子集，故D正确． 【变式7-3】（25-26高一上·江苏·阶段检测）（多选）关于两个集合间关系的叙述，以下选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据空集概念和集合间的关系求解即可. 【详解】是以空集为元素的集合有且只有一个元素就是空集，根据空集是任何集合的子集所以A，C正确. 故选：AC 【题型8 根据集合间的关系求参数】 【例8】（暑假预习专题第2讲集合之间的关系（暑假预习讲义）新高一年级数学沪教版）已知，若，求的值 【答案】或或 【分析】求解方程，得.讨论和两种情况，即可求得的值. 【详解】由，得，解得或. 所以， 当时，，满足； 当时，, 因为，所以或， 所以或. 综上所述，或或. 【变式8-1】（T8联盟2026届高考考前训练（一）数学试卷）已知集合，，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据子集的定义，由元素和集合的关系求解. 【详解】由可知，解得. 此时，符合要求. 所以. 【变式8-2】（25-26高二下·湖南衡阳·期中）（多选）已知集合，，若，则a的取值可以是（   ） A． B．0 C．2 D． 【答案】BC 【分析】由集合子集的关系和元素互异性求解. 【详解】因为，又，， 所以或， 解得或或， 当时，，，满足要求， 当时，，，满足要求， 当时，，与元素互异性矛盾，不满足要求, 所以或2. 【变式8-3】（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）设集合，，若，则由实数组成的集合为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，分和，两种情况讨论，结合，列出方程，即可求解. 【详解】当时，方程无解，即，满足； 当时，由方程，解得，即， 因为，可得或，解得或， 所以由实数组成的集合为. 课后练习 【课后练习】 1．（2026·四川绵阳·模拟预测）若，则A的子集个数为（    ） A．3 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】根据集合子集的性质可得 【详解】因为集合共含有个元素， 因此A的子集个数为 2．（第一章集合与常用逻辑用语（暑假单元自测）新高一年级数学人教A版）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以. 3．（2026·西藏林芝·二模）若，则的真子集个数为（     ） A．8 B．7 C．6 D．3 【答案】B 【详解】因为，所以， 所以的真子集个数为个 4．（2026·广东广州·模拟预测）已知集合，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由子集的定义，解不等式可得结果. 【详解】由，可得，解得. 故选：D. 5．（2026·广西崇左·一模）集合的一个真子集可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据真子集的概念可知为的一个真子集． 6．（25-26高三下·云南玉溪·开学考试）集合，，若，则实数m的取值范围（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知，集合，，可得. 所以的取值范围是. 7．（24-25高一上·广西柳州·期末）（多选）下列表述正确的有（    ） A． B． C． D．表示没有任何元素的集合 【答案】BD 【分析】根据元素和集合的关系判断AB选项，根据空集的定义判断CD选项. 【详解】A选项，是元素，是集合，之间不能用符号连接，A选项错误； B选项，集合中确实含有元素，即，B选项正确； C，D选项，根据空集的定义，表示没有任何元素的集合，D选项正确， 而是包含一个元素的单元素集合，，C选项错误. 故选：BD 8．（23-24高一上·江苏宿迁·阶段检测）（多选）已知集合，则下列式子表示正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用集合与集合，集合与元素之间的关系判断即可. 【详解】因为， 所以， A：，故A正确； B：是集合，不是元素，不能用，故B错误； C：，故C正确； D：，故D正确； 故选：ACD. 9．（25-26高一上·广西·期中）（多选）已知集合，下列关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据集合的定义，分别分析集合与集合的元素特征，再据此对各选项进行判断. 【详解】集合集合． 集合表示抛物线的点的坐标组成的集合， 故，A错误； 由知时，，当时，，故CD正确； 由知，故B正确． 故选：BCD. 10．（24-25高一上·江西南昌·阶段检测）已知集合，则______ 【答案】 【分析】根据集合中元素的互异性和集合相等求解. 【详解】由可知，，解得或. 又根据集合中元素的互异性，可知，故. 故答案为：. 11．（24-25高一上·广西南宁·阶段检测）已知集合，若，则__________. 【答案】/ 【分析】根据集合相等的知识求得正确答案. 【详解】由于，所以. 故答案为： 12．（24-25高一上·广西桂林·阶段检测）（1）写出集合的子集和真子集． （2）写出集合的所有子集和真子集． 【答案】（1）子集：；真子集：. （2）子集：；真子集：. 【分析】根据题意，由子集与真子集的定义，即可得到结果. 【详解】（1）集合的子集：；集合的真子集. （2）集合的子集：； 集合的真子集：. 13．（25-26高一上·宁夏吴忠·阶段检测）已知集合 (1)若，写出的所有子集 (2)若集合中只含有一个元素，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先将代入，求解一元二次方程得到集合的元素，再根据子集的定义列出所有子集. （2）分类讨论，当时，方程为一元一次方程，求解得到集合的元素； 当时，方程为一元二次方程，利用判别式时方程有且仅有一个实数根，求出的值，再验证集合的元素个数. 【详解】（1）当时，集合，解方程得或， 则集合，其子集有. （2）当时，集合，解方程得， 则集合，满足要求； 当时，方程有两个相同的解，即，解得， 代入得方程，解得，则集合，满足要求. 综上，的值为或. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $