1.3集合的基本运算（第1课时）（教学设计）高一数学人教A版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦集合的并集与交集运算，通过科学兴趣小组报名情境导入，类比实数运算引出集合运算，衔接集合概念与关系，搭建从具体到抽象的学习支架。 此资料以情境化探究与数形结合为特色，通过实例抽象概念培养数学抽象素养，用Venn图和数轴辅助理解提升直观想象，含参数问题训练逻辑推理，助力学生深化概念理解，为教师提供清晰教学路径与实用例题。

1.3集合的基本运算（第一课时）教学设计 课题 集合的基本运算 单元 第一章集合与常用逻辑用语 学科 高中数学 （人教版） 年级 高一 学习目标 1、通过实例理解并集、交集、补集的含义，区分三种集合运算，体会集合语言的简洁性，发展数学抽象素养。 2、掌握并集、交集、补集的符号与图表示，能求解简单集合的交、并、补运算，培育数学运算核心素养。 3、会借助数轴、图分析集合运算问题，能够处理含参数的集合运算基础题型，提升直观想象与逻辑推理素养。 教材 分析 本节课是人教A版必修第一册第一章《集合与常用逻辑用语》的第3节内容（第一课时），是在学生学习了集合的概念、表示方法及集合间的基本关系之后，进一步研究集合的运算。集合的基本运算是集合论的核心内容，是后续学习函数定义域、值域、不等式解集等知识的重要工具。本节课通过类比实数的加减运算，引入集合的并集与交集运算，渗透类比思想和数形结合思想，对培养学生的数学抽象和逻辑推理素养具有重要作用。第一课时聚焦并集与交集两种运算，第二课时将研究补集。 学情 分析 学生已学习了集合的概念、元素的特性、集合的表示方法以及集合间的基本关系，具备了研究集合的基本语言工具。初中阶段学生已具备"合并""公共部分"的直觉经验，如不等式解集的合并与公共部分，但尚未形成严格的集合运算定义。学生在理解"或"与"且"的逻辑含义时可能存在混淆，在处理连续数集的交并运算时容易忽略端点值的取舍，需要通过图和数轴直观辅助理解。 教学 重点 并集与交集的概念、符号表示及运算；用Venn图和数轴表示集合的交并运算。 教学 难点 并集与交集概念中"或"与"且"的理解；含参数集合交并运算的处理。 教学 准备 多媒体课件（PPT） 教学过程 教学 环节 教师活动 学生活动 新课 引入 【情境导入 激发思考】 教师展示两组情境（PPT呈现）： 情境1：某学校高一年级准备成立一个科学兴趣小组，现将： ①中考数学成绩不低于110分的报名学生组成的集合记为； ②中考物理成绩不低于110分的报名学生组成的集合记为 ③科学兴趣小组的成员组成的集合记为 问： （1）若小组要求“数学、物理两科都不低于110分”，则集合与、的关系是什么？ （2）若小组要求“数学、物理至少一科不低于110分”，则集合的关系是什么？ 教师引导学生画出韦恩图，并观察： 【类比引入 提出课题】 教师追问：实数有加、减、乘、除运算，集合是否也有类似的运算呢？ 教师揭示课题：集合的交集与并集是常见的两种集合运算，今天我们来研究并集与交集。 设计意图：通过具体实例和类比实数运算，自然引出集合运算的课题，激发学生的探究欲望，为并集和交集概念的建构做好认知铺垫。 1、独立思考情境问题，计算合并后的集合C和A、B关系； 2、结合生活情境，理解"合并"和"公共部分"的实际含义； 3、跟随教师类比实数运算，思考集合是否也有类似运算； 4、明确本节课的学习目标，进入探究状态。 新知 探究 · 探究一：并集 【活动一：直观感知——并集概念的引入】 问题1：观察下面的集合，类比实数的加法运算，你能说出集合与集合之间的关系吗？如何用数学语言表述这种关系？ (1) (2)是有理数是无理数是实数. 教师追问：集合中的元素与集合的元素是什么关系？ 师生共同归纳： ⭐并集：一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合，称为集合与集合的并集，记作（读作"并"），即 ⭐Venn图表示： ⭐注意：并集中的公共元素只出现一次（集合元素的互异性）。 【即时辨析】 辨析1.分别下列情况下，求，并画出图，观察思考. （1） （2） （3）. 解：（1） （2） （3） 教师强调："或"的含义——属于、属于、同时属于和，三种情况都算。 【活动二：并集的运算性质】 教师引导学生探究并集的性质（PPT呈现）： （1）（交换律）； （2）； （3）； （4）若，则； （5）。 教师引导学生用Venn图或定义逐一验证。 · 探究二：交集 【活动三：直观感知——交集概念的引入】 问题2：观察下面的集合，集合与集合之间有什么关系？ (1)； (2)是立德中学今年在校的女同学， 是立德中学今年在校的高一年级同学， 是立德中学今年在校的高一年级女同学 师生共同归纳： ⭐交集：一般地，由所有属于集合且属于集合的元素组成的集合，称为集合与集合的交集，记作（读作"交"），即。 ⭐图表示： ⭐注意：交集是两个集合的"公共部分"，"且"表示同时满足两个条件。 【即时辨析】 辨析2.分别下列情况下，求，并画出图，观察思考. （1） （2） （3）. 解：（1） （2） （3） 【活动四：交集的运算性质】 教师引导学生探究交集的性质（PPT呈现）： （1）交换律）； （2）； （3）； （4）若，则； （5。 设计意图：通过类比并集的探究方法学习交集，培养类比推理能力；运算性质通过图验证，渗透数形结合思想。 1、观察三组实例，小组讨论集合A与集合B的元素关系，推选代表发言； 2、跟随教师板书，记录子集的定义、符号表示和Venn图画法； 3、在草稿纸上画出A⊆B的Venn图，体会直观表示方法； 4、独立完成即时辨析题，同桌互改，重点标注（4）的错误原因——元素与集合的关系用∈，集合与集合的关系用⊆。 5、回顾情境问题，观察公共元素集合D的特征； 6、跟随教师板书，记录交集的定义、符号A∩B和Venn图画法； 7、独立完成交集即时辨析题； 8、用Venn图验证交集的5条性质，与并集性质对比记忆。 课堂练习 · 典例精讲 例1：设求. 解： 例2：设集合求. 解： 如图，还可以利用数轴直观表示例中求并集的过程. 例3：写设立德中学开运动会，设 是立德中学高一年级参加百米赛跑的同学， 是立德中学高一年级参加跳高比赛的同学，求. 解：就是立德中学高一中那些既参加百米赛跑又参加跳高比赛的同学组成的集合.所以，是立德中学高一年级中那些既参加百米赛跑又参加跳高比赛的同学 例4：设平面内直线上的点的集合为，直线上点的集合为，试用集合的运算表示，的位置关系. 解：平面内直线，可能有三种位置关系， 即相交于一点、平行或重合. (1)直线，相交于一点可表示为点 (2)直线，平行可表示为 (3)直线，重合可表示为. · 课堂练习 【题型1：并集】 1、已知集合，则等于( ). . . . . 【答案】： 2、(多选)已知，则中的元素可能在( ). .第一象限 .第二象限 .第三象限 .第四象限 【答案】： 【题型2：交集】 1、已知集合，则等于( ). . . . . 【答案】： 2、设，则等于( ). . . . . 【答案】： 教师补充以下注意事项： ⭐求集合交、并集的两种方法： (1)定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用交、并集的定义求解； (2)数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可以利用数轴分析法求解，此时要注意集合的端点能否取到. 【题型3：根据并集与交集运算求参数范围】 1、已知集合，且，试求实数的取值范围. 解：∵且， ∴，分两种情况： ①当时，则即 ②当时，则即 解得： 综上可得，实数的取值范围是： 2、已知集合，且，试求实数的取值范围. 解：∵且， ∴，且非空. 得，，解得，，即无解. 所以， 的解集为 教师补充以下注意事项： ⭐利用集合交集、并集的性质解决含参问题： (1)依据：，； (2)解题方法：利用交并集性质将问题转化为子集含参问题，而后同子集含参问题一样求解； (3)关注点：当集合时，若集合不确定，运算时要考虑的情况，否则易漏解. 1、例1阶段：先独立求解，再对照教师板书，检查互异性； 2、例2阶段：画数轴辅助分析，重点标注端点取舍，同桌互查； 3、例3、4阶段：先独立解题，上台板演，全班纠错； 1、独立完成题型1、2的基本运算，同桌互改； 2、独立完成题型3含参问题，画数轴辅助分析； 3、注意A∪B=A⇔B⊆A的等价转化； 4、错题整理：端点取舍、空集讨论、参数范围表示。 5、跟随教师总结解题方法，在笔记本上整理技巧点拨； 6、将并集与交集性质对比记忆，完成课后变式训练。 课堂 小结 教师引导学生回顾，构建本节知识框架： 一、并集： ·关键：取所有元素，公共元素不重复 ·性质： 二、交集： ·关键：取公共元素 ·性质： 三、运算方法 ·定义法（列举法）：直接合并或取公共元素 ·数形结合法（描述法）：数轴分析，注意端点 四、含参问题转化 ·， ·转化为子集问题，注意讨论空集 教师强调：理解"或"与"且"是掌握并集与交集的关键,求连续数集的交并集时，数轴是最好的工具，务必注意端点能否取到。 1、跟随教师引导，自主口头梳理本节课知识点，分模块复述； 2、独立绘制简易思维导图，梳理并集、交集的定义、性质、方法； 3、主动举手分享本节课易错点（端点取舍、空集讨论、或/且理解）； 4、完成自我评价：能否独立完成数集交并运算。 作业 布置 1、P12 书后练习第1、2、3题； 2、P13 习题1.3 第1、2、3题； 3、拓展：已知集合}，若，求实数的取值集合。 记录作业要求，课后独立完成； 拓展题选做，注意分类讨论空集情况。 板书 设计 第一章 1.3 集合的基本运算（第一课时） 一、并集： 性质： 二、交集： 性质： 三、运算方法 ①定义法（列举法）②数轴法（描述法） 四、含参转化 ，A 1/1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $