专题1.4 充分条件与必要条件知识解读•题型专练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦充分条件、必要条件及充要条件核心知识点，通过表格梳理命题真假与推出关系的对应，明确判定方法，题型归纳从条件判定到参数求解，构建从概念理解到应用的学习支架。 以数学思维中的推理能力为核心，对比命题真假与条件关系培养逻辑分析，结合各地期中、模拟实例设计题型，帮助学生用数学语言表达问题，课中辅助教师系统教学，课后助力学生巩固练习、查漏补缺。

专题1.4 充分条件与必要条件【知识解读】 【人教A版（2019）】 题型归纳 【题型1 充分条件、必要条件及充要条件的判定】 2 【题型2 根据充分不必要求参数】 2 【题型3 根据必要不充分求参数】 2 【题型4 根据充要条件求参数】 3 【课后练习】 3 知识点1 充分、必要与充要条件 1．充分条件与必要条件 命题真假 “若p,则q”是真命题 "若p,则q"是假命题 推出关系及符号表示 由p通过推理可得出q，记作：p⇒q 由条件p不能推出结论q，记作： 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件． 数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件． 2．充要条件 如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q.此时p既是q的充分条件，也是q的必要条件．我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件． 如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p⇔q，那么p与q互为充要条件． 【注】：“⇔”的传递性 若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p⇔q，q⇔s，则有p⇔s，即p是s的充要条件． 3．充分、必要与充要条件的判定 (1)如果既有p⇒q，又有q⇒p，则p是q的充要条件，记为p⇔q. (2)如果p⇒且q⇒，则p是q的既不充分也不必要条件. (3)如果p⇒q且q⇒，则称p是q的充分不必要条件. (4)如p⇒且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件. (5)设与命题p对应的集合为A={x|p(x)}，与命题q对应的集合为B={x|q(x)}， 若AB，则p是q的充分条件，q是p的必要条件； 若A=B，则p是q的充要条件. 【题型1 充分条件、必要条件及充要条件的判定】 【例1】（25-26高一上·广西桂林·期中）“”是“”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不必要也不充分条件 【变式1-1】（24-25高一上·吉林白城·期中）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1-2】（24-25高一上·江苏·期中）已知，是实数，则“，”是“”的（   ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1-3】（2025·四川成都·模拟预测）“”是“”的（　　） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【题型2 根据充分不必要求参数】 【例2】（25-26高一上·浙江·阶段检测）已知命题p：，命题q：，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26高一上·山西大同·阶段检测）已知：，那么的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26高一上·上海·期中）设α：，β：，若α是β的充分条件，则实数a的取值范围是______． 【变式2-3】（25-26高一上·上海杨浦·开学考试）已知命题，命题，若是成立的充分不必要条件，则实数的取值范围是__________. 【题型3 根据必要不充分求参数】 【例3】（25-26高一上·辽宁·阶段检测）若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26高一上·辽宁·阶段检测）已知集合，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高一上·广东肇庆·期末）已知，若是的必要条件，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（24-25高一上·广东佛山·阶段检测）若“”是“”的必要不充分条件，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【题型4 根据充要条件求参数】 【例4】（24-25高一上·广东·期中）方程有两个异号实根的一个充要条件是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（23-24高一上·贵州黔西南·期末）关于的方程有两个不相等的实数根的充要条件是（    ） A．或 B．或 C． D． 【变式4-2】（23-24高一上·陕西西安·开学考试）命题p：一次函数的图像经过一、二、四象限的充要条件是__________． 【变式4-3】（25-26高一上·福建泉州·期中）已知命题，若是的充要条件，则________． 课后练习 【课后练习】 1．（25-26高一上·广西钦州·期中）若，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（25-26高一上·湖南·阶段检测）已知p：，q：，则p是q的（   ） A．充分不必要条件B．必要不充分 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（25-26高三上·四川广安·开学考试）已知实数a，b，c，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（24-25高一上·山东德州·阶段检测）下列不等式中，可以作为的一个充分不必要条件的是（ ） A． B． C． D． 5.（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）“方程有两个不等实数根”的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·安徽合肥·期中）在平面内，下列是“四边形是平行四边形”的必要条件的是（   ） A．四边形是矩形 B．四边形的对角线互相平分 C．四边形四条边相等 D．四边形的对角线垂直 7．（24-25高一上·贵州遵义·期末）（多选）“”的一个充分不必要条件可以是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·内蒙古鄂尔多斯·期末）（多选）已知合，，若是的充分条件，则实数的值可能为（   ） A． B． C．0 D． 9．（25-26高一上·广西南宁·阶段检测）命题“”是命题“”的____________条件． 10．（25-26高一上·上海·期中）设命题，，如果是的充分非必要条件，则的取值范围是______． 11．（25-26高一上·湖南岳阳·期末）已知，，全集. (1)若，求； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 12．（24-25高一上·广西桂林·期中）设集合，. (1)当时，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.4 充分条件与必要条件【知识解读】 【人教A版（2019）】 题型归纳 【题型1 充分条件、必要条件及充要条件的判定】 2 【题型2 根据充分不必要求参数】 3 【题型3 根据必要不充分求参数】 4 【题型4 根据充要条件求参数】 6 【课后练习】 7 知识点1 充分、必要与充要条件 1．充分条件与必要条件 命题真假 “若p,则q”是真命题 "若p,则q"是假命题 推出关系及符号表示 由p通过推理可得出q，记作：p⇒q 由条件p不能推出结论q，记作： 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件． 数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件． 2．充要条件 如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q.此时p既是q的充分条件，也是q的必要条件．我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件． 如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p⇔q，那么p与q互为充要条件． 【注】：“⇔”的传递性 若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p⇔q，q⇔s，则有p⇔s，即p是s的充要条件． 3．充分、必要与充要条件的判定 (1)如果既有p⇒q，又有q⇒p，则p是q的充要条件，记为p⇔q. (2)如果p⇒且q⇒，则p是q的既不充分也不必要条件. (3)如果p⇒q且q⇒，则称p是q的充分不必要条件. (4)如p⇒且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件. (5)设与命题p对应的集合为A={x|p(x)}，与命题q对应的集合为B={x|q(x)}， 若AB，则p是q的充分条件，q是p的必要条件； 若A=B，则p是q的充要条件. 【题型1 充分条件、必要条件及充要条件的判定】 【例1】（25-26高一上·广西桂林·期中）“”是“”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不必要也不充分条件 【答案】C 【分析】先求得方程的解为，结合充分条件和必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由方程，即，解得，所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：C. 【变式1-1】（24-25高一上·吉林白城·期中）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据条件间的推出关系判断充分、必要性. 【详解】由不能推出，但由必有， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 【变式1-2】（24-25高一上·江苏·期中）已知，是实数，则“，”是“”的（   ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件和必要条件的定义分析命题间的推出关系. 【详解】因为“且”能推出“”，但是“” 不能推出“且”， 所以“” 是“”的充分不必要条件. 故选：B 【变式1-3】（2025·四川成都·模拟预测）“”是“”的（　　） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据不等关系结合充分与必要条件判断即可. 【详解】当时，满足，但是此时； 当，满足，但此时； 故“是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 【题型2 根据充分不必要求参数】 【例2】（25-26高一上·浙江·阶段检测）已知命题p：，命题q：，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】转化为根据集合的包含关系求参数的取值范围问题求解. 【详解】设集合，，由题意可知， ∴，∴. 故选：D 【变式2-1】（25-26高一上·山西大同·阶段检测）已知：，那么的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据充分不必要条件的定义，分析即可得答案. 【详解】要求命题的一个充分不必要条件， 只需要的真子集即可， 分析选项，只有C符合题意. 故选：C 【变式2-2】（25-26高一上·上海·期中）设α：，β：，若α是β的充分条件，则实数a的取值范围是______． 【答案】. 【分析】利用充分性转化为子集关系来求解即可. 【详解】由α是β的充分条件，可得是的子集， 即， 故答案为：. 【变式2-3】（25-26高一上·上海杨浦·开学考试）已知命题，命题，若是成立的充分不必要条件，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】设，，根据题意是的真子集，可得关于的不等式即可求解. 【详解】因为命题，设， 由命题，设， 因为是成立的充分不必要条件，所以是的真子集， 所以，解得：， 所以实数的取值范围是， 故答案为：. 【题型3 根据必要不充分求参数】 【例3】（25-26高一上·辽宁·阶段检测）若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，利用必要不充分条件的判断方法得，即可求解. 【详解】因为“”是“”的必要不充分条件， 则，所以，解得， 当时，，满足题意， 当时，，满足题意，所以， 故选：A. 【变式3-1】（25-26高一上·辽宁·阶段检测）已知集合，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】转化为是的真子集．再分当和时，进行讨论求解． 【详解】若是的必要不充分条件，则是的真子集． 当时，，所以； 当时，，又（等号不能同时取得），所以． 综上，． 故选：A 【变式3-2】（24-25高一上·广东肇庆·期末）已知，若是的必要条件，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据充分必要条件的定义以及集合的包含关系求出的范围即可. 【详解】是的必要条件，，. 故选：B. 【变式3-3】（24-25高一上·广东佛山·阶段检测）若“”是“”的必要不充分条件，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用必要不充分条件的定义列式求解即得. 【详解】“”是“”的必要不充分条件， 则或，解得或，则， 所以实数m的取值范围是. 故选：D 【题型4 根据充要条件求参数】 【例4】（24-25高一上·广东·期中）方程有两个异号实根的一个充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程根的情况，得到不等式组，求解即可. 【详解】由题知，，解得. 故选：A 【变式4-1】（23-24高一上·贵州黔西南·期末）关于的方程有两个不相等的实数根的充要条件是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合一元二次方程的性质，列出不等式，即可求解. 【详解】由方程关于的方程有两个不相等的实数根，则满足， 解得或，即方程有两个不相等的实数根的充要条件是或. 故选：A. 【变式4-2】（23-24高一上·陕西西安·开学考试）命题p：一次函数的图像经过一、二、四象限的充要条件是__________． 【答案】 【分析】根据题意，结合一次函数的性质，列出不等式组，即可求解. 【详解】因为一次函数的图像经过一、二、四象限， 则满足，解得， 即一次函数的图像经过一、二、四象限的充要条件是. 故答案为：. 【变式4-3】（25-26高一上·福建泉州·期中）已知命题，若是的充要条件，则________． 【答案】-1 【分析】设，，由是的充要条件，得求解即可. 【详解】由题意得，，得， 设，，由是的充要条件，得， 即，得． 故答案为：-1 课后练习 【课后练习】 1．（25-26高一上·广西钦州·期中）若，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由命题的充分必要条件判断即可. 【详解】当时，，故充分性成立； 当时，或，所以必要性不成立， 所以若，则“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 2．（25-26高一上·湖南·阶段检测）已知p：，q：，则p是q的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据集合间的真子集关系即可结合必要条件和充分条件的定义求解. 【详解】因为集合是的真子集 ， 所以p是q的必要不充分条件． 故选:B． 3．（25-26高三上·四川广安·开学考试）已知实数a，b，c，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断. 【详解】若，当时，无论，为何值，成立，此时无法判断，的大小，则充分条件不成立， 若，两边同乘以大于等于零的数，根据不等式的性质可知，则必要性成立， 故选：. 4．（24-25高一上·山东德州·阶段检测）下列不等式中，可以作为的一个充分不必要条件的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】找的真子集即可. 【详解】因为可以作为的一个充分不必要条件对应的集合为的真子集． 集合都不是的真子集， 只有集合是的真子集， 故选：C． 5.（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）“方程有两个不等实数根”的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出的范围，再根据充分不必要条件的概念得答案即可. 【详解】由方程有两个不等实数根可得， 解得， 观察选项可得“方程有两个不等实数根”的一个充分不必要条件是， 故选：C. 6．（25-26高一上·安徽合肥·期中）在平面内，下列是“四边形是平行四边形”的必要条件的是（   ） A．四边形是矩形 B．四边形的对角线互相平分 C．四边形四条边相等 D．四边形的对角线垂直 【答案】B 【分析】由必要条件的概念逐个判断即可. 【详解】对于A：四边形是矩形是四边形是平行四边形的充分条件不必要条件，错误； 对于C：四边形四条边相等即为菱形，是四边形是平行四边形的充分条件不必要条件，错误； 对于D:由“四边形是平行四边形”得不到四边形的对角线垂直，故四边形的对角线垂直不是“四边形是平行四边形”的必要条件，错误； 对于B：若四边形是平行四边形，则四边形的对角线互相平分，即“四边形的对角线互相平分”是“四边形是平行四边形”的必要条件. 故选：B． 7．（24-25高一上·贵州遵义·期末）（多选）“”的一个充分不必要条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据题意结合包含关系分析充分、必要，进而逐项分析判断. 【详解】因为集合和均是集合的真子集， 可知和均是的充分不必要条件，故BD正确； 又因为集合是集合的真子集， 可知是的必要不充分条件，故A错误； 且集合与集合之间不存在包含关系， 所以是的既不充分也不必要条件，故C错误； 故选：BD. 8．（25-26高一上·内蒙古鄂尔多斯·期末）（多选）已知集合，，若是的充分条件，则实数的值可能为（   ） A． B． C．0 D． 【答案】ACD 【分析】先根据题意得到，再分类讨论是空集、不是空集，利用集合的包含关系得到关于的不等式（组），解之即可得解. 【详解】因为是的充分条件，所以， 若是空集，显然满足题意，此时，解得， 若不是空集，由得，解得， 综上，或， 对比选项可知，ACD符合题意． 故选：ACD． 9．（25-26高一上·广西南宁·阶段检测）命题“”是命题“”的____________条件． 【答案】必要不充分 【分析】按充分性、必要性的定义判断即可. 【详解】设命题，命题， 由推不出，如时，满足，但， 所以充分性不满足； 由能推出， 因为，即， 所以且， 所以是的必要不充分条件. 即命题“”是命题“”的必要不充分条件. 10．（25-26高一上·上海·期中）设命题，，如果是的充分非必要条件，则的取值范围 是______． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用充分非必要条件的定义列式求解. 【详解】命题，，由是的充分非必要条件，得，解得， 所以的取值范围是. 故答案为： 11．（25-26高一上·湖南岳阳·期末）已知，，全集. (1)若，求； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据交集和补集的概念直接求解即可； （2）将充分不必要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合关系列不等式组可求. 【详解】（1）若，则， 又或，所以； （2）因为是的充分不必要条件，所以是的真子集， 则需满足，解得， 所以实数的取值范围是. 12．（24-25高一上·广西桂林·期中）设集合，. (1)当时，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解出集合，当时，写出集合，利用交集的定义可得出集合； （2）由题意可知，，根据集合的包含关系可得出实数的不等式，即可得出实数的取值范围. 【详解】（1）解：由得，解得，则， 当时，，所以. （2）解：若“”是“”的充分不必要条件，则， 所以，，解得， 因此，实数的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $