第二章 一元一次方程（单元分层自测·培优冲刺卷）数学新教材北京版七年级上册

**基本信息** 本卷为七年级上册数学第二章一元一次方程培优冲刺单元卷，通过基础巩固、能力提升与创新应用三层设计，融合古代数学文化、社会热点情境，考查方程解法、实际应用及数学抽象能力，适配单元复习与培优训练。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|方程变形、代数式、实际应用|结合月历图表考查方程思想，体现几何直观| |填空题|6/18|古代算题、日历问题、代数式表示|融入《算法统宗》诗句，培养文化传承与模型意识| |解答题|8/52|解方程、实际应用、创新定义|设计“对立方程”“关联点”等创新题，结合阅兵、研学情境，发展推理能力与应用意识|

2026-2027学年七年级上册数学单元自测 第二章 一元一次方程·培优冲刺 建议用时：120分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．把方程写成用含x的代数式表示y的形式，正确的是（     ） A． B． C． D． 2．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．下列说法正确的是（　　） A．单项式的次数是2 B．单项式的系数为0 C．多项式的次数是2 D．多项式的二次项系数是1 4．下列方程的变形中，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．如图1，长方形的长为，宽为．用剪刀沿图中虚线剪成六个相同的小长方形．然后按照图2的方式拼成一个新的长方形，则下列代数式不能表示图中阴影部分面积的是（   ） A． B． C． D． 6．已知关于x的一元一次方程的解是，那么关于y的一元一次方程的解是（    ） A．21 B． C．23 D．24 7．下列结论： ①若是关于x的方程的一个解，则； ②若有唯一的解，则； ③若，则关于x的方程的解为； ④若，且，则一定是方程的解； 其中结论正确个数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 8．现用140张白铁皮制作一批盒子，每张白铁皮可做18个盒身或做20个盒底，而一个盒身和两个盒底配成一个完整的盒子．设用张白铁皮制盒身，可以使盒身和盒底正好配套，则可列方程是（   ） A． B． C． D． 9．如图是2025年11月的月历．现用“”这一形状（也可以将此形状竖放“”或倒放“”）的轮廓对齐月历中的格线，会在月历中框出4个数，所得4个数的和可能是（　　） A．99 B．87 C．40 D．21 10．历史上数学家欧拉最先把关于x的多项式用记号来表示，把x等于某数a时的多项式的值用来表示．例如，对于多项式当时，多项式的值为，若，则的值为（　　） A． B．7 C． D．17 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．若是关于x的一元一次方程，则这个方程的解为__________． 12．写出一个系数是负数，次数是4，且含有字母a，b的单项式可以是________（写出一个即可）． 13．我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．设有x间客房，可列方程为：________________． 14．如图，是2026年1月的日历，用如图所示的十字方框去圈住图中的五个数字，当正中间的数字是9时，这五个数字的和为______；移动十字方框，若被圈住的五个数字之和为105，则被圈住的五个数字正中间的一个为______． 15．为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，2025年9月3日在北京天安门广场举行盛大阅兵．阅兵时，徒步方队步伐铿锵、气势如虹．根据中国人民解放军正步的标准步幅（每步0.75米），每名官兵从东华表到西华表踢正步128步，用时66秒．在阅兵前的训练中，每名官兵按照这样的要求进行正步训练，若每名官兵每天踢正步的训练路程是米，则每名官兵每天踢正步的训练时间是_____秒（用含的式子表示）． 16．如图，大小两个正方形的各顶点处都有一个“圆圈”，将，，，，0，1，2，3分别填入“圆圈”中，使大正方形顶点处、小正方形顶点处以及大正方形的每条对角线上的四个“圆圈”内的数之和都相等，若，0已填入如图所示的位置．则表示的两个数的和为______，所表示的数分别为______（填出一种即可）． 三、解答题（共8小题，共52分） 17．（4分）已知，求代数式的值． 18．（9分）解方程： (1)； (2) ； (3) 19．（5分）本学期学习了一元一次方程的解法，下面是小菲同学的解题过程： 解方程：． 解：原方程可化为：．…第①步 方程两边同时乘以15，去分母，得：．…第②步 去括号，得：．…第③步 移项，得：．…第④步 合并同类项，得：．…第⑤步 系数化为1，得：．…第⑥步 所以为原方程的解． 上述小菲的解题过程中 (1)第①步的依据是________，第②步的依据是________； (2)第________（填序号）步开始出现错误，请从错误的一步开始，写出解方程的正确过程． 20．（5分）已知，用如图1所示5个完全相同的长方形拼成图2所示的大长方形，请根据图中标注的尺寸回答以下问题： (1)图2中大长方形的长为_____（用含的代数式表示）； (2)图2中阴影部分长方形的宽为_____（用含的代数式表示）； (3)当，时，则图2中阴影部分长方形的面积为_____． 21．（6分）在一次机器人跑步比赛中，自主导航机器人（以下称A类机器人）与遥控机器人（以下称B类机器人）在同一赛道比赛，统一排名．为鼓励自主导航技术研发，主办方制定了以下计算完赛成绩的规则： ·A类机器人的完赛成绩为从起点跑到终点的时间（包含途中维护时间）； ·B类机器人的完赛成绩为从起点跑到终点的时间（包含途中维护时间）的倍． 已知比赛中，一台A类机器人全程保持匀速，途中没有维护，完赛成绩为；一台B类机器人起跑后，前保持匀速，速度是这台A类机器人的倍，之后原地维护，维护后匀速跑至终点，速度比维护前增加了，完赛成绩为．求这台A类机器人的速度和此次比赛从起点到终点的路程． 22．（7分）金秋十月，丹桂飘香．2025年10月15日下午，北师大二附中西城实验学校初一年级全体师生走出校园，前往有着七百余年历史的北京国子监，开展了一场以“礼敬先师，成规立范”为主题的研学活动．在辟雍大殿前，正逢国子监的工作人员为一块古典园林区域的景观升级进行规划．升级的区域为中央广场的一块长为米、宽为5米的长方形土地，想借鉴古典园林中‘花径’与‘草坪’相映成趣的设计，于是设计了如图的阴影区域，并准备在该阴影区域种花，其余区域则种植常绿草坪．根据设计，工作人员通过不同的方式计算花卉的种植面积，小英采用的方法（如图1）是（S表示面积，表示三角形），小智采用的方法是连接（如图2），将阴影部分的面积分成两部分，则． (1)用含或的式子表示：的长为__________米，的长为__________米： (2)请你选择上面其中一位工作人员的方法表示阴影部分的面积； (3)当米，米时，求阴影部分的面积； (4)国子监景观升级负责人员打算实施该种植方案，当米时，按市场价格：种植草坪的费用为每平方米20元，种植花卉的费用为每平方米110元．恰逢“双十一”，，两家园林绿化公司都推出了促销优惠方案，具体如下表： 绿化公司 种植草的价格 种植花的价格 公司 20 不超过8平方米的部分，120元/平方米；超过8平方米的部分，100元/平方米 公司 25 110元/平方米，每种植一平方米花送平方米草 设种植花的面积为平方米，请你用含的代数式分别表示选择，两公司完成种花种草所需的总费用．如果在（3）的条件下，请你通过计算帮忙选择，两家公司最优惠的一家． 23．（8分）如果两个关于x的方程的解互为倒数，则称这两个方程互为“对立方程”．例如：方程与方程互为“对立方程”． (1)若关于x的方程与方程互为“对立方程”， 则c= ___________； (2)若关于x的方程与方程互为“对立方程”， 则m，n满足怎样的数量关系，并说明理由？ (3)若关于x的方程与其“对立方程”的解都是整数，则整数k的值为___________ 24．（8分）我们将数轴上点T表示的数记为，对于数轴上的点P和线段，给出如下定义：若线段上存在点Q，使得，则称点P是线段的关联点． 例如，如图，数轴上点M，N，P表示的数分别为，，，则．∵线段上存在点Q，，，∴点P是线段的关联点． (1)已知数轴上点A，B表示的数分别为，，点C是线段的关联点． ①在，0，5中，的值可以是______； ②的最大值为 ，最小值为______； (2)已知线段的长为a，线段的长为b，线段，的关联点分别为G，H． ①若的最大值与最小值的差为9，求a的值； ②若数轴上存在点K，使得点K既是线段的关联点，也是线段的关联点，记的最大值为m，的最小值为n，，直接写出d的最大值．（用含a，b的代数式表示） 6/7 1/7 学科网（北京）股份有限公司 $ ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年七年级上册数学单元自测 第二章 一元一次方程·培优冲刺 建议用时：120分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．把方程写成用含x的代数式表示y的形式，正确的是（     ） A． B． C． D． 2．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．下列说法正确的是（　　） A．单项式的次数是2 B．单项式的系数为0 C．多项式的次数是2 D．多项式的二次项系数是1 4．下列方程的变形中，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．如图1，长方形的长为，宽为．用剪刀沿图中虚线剪成六个相同的小长方形．然后按照图2的方式拼成一个新的长方形，则下列代数式不能表示图中阴影部分面积的是（   ） A． B． C． D． 6．已知关于x的一元一次方程的解是，那么关于y的一元一次方程的解是（    ） A．21 B． C．23 D．24 7．下列结论： ①若是关于x的方程的一个解，则； ②若有唯一的解，则； ③若，则关于x的方程的解为； ④若，且，则一定是方程的解； 其中结论正确个数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 8．现用140张白铁皮制作一批盒子，每张白铁皮可做18个盒身或做20个盒底，而一个盒身和两个盒底配成一个完整的盒子．设用张白铁皮制盒身，可以使盒身和盒底正好配套，则可列方程是（   ） A． B． C． D． 9．如图是2025年11月的月历．现用“”这一形状（也可以将此形状竖放“”或倒放“”）的轮廓对齐月历中的格线，会在月历中框出4个数，所得4个数的和可能是（　　） A．99 B．87 C．40 D．21 10．历史上数学家欧拉最先把关于x的多项式用记号来表示，把x等于某数a时的多项式的值用来表示．例如，对于多项式当时，多项式的值为，若，则的值为（　　） A． B．7 C． D．17 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．若是关于x的一元一次方程，则这个方程的解为__________． 12．写出一个系数是负数，次数是4，且含有字母a，b的单项式可以是________（写出一个即可）． 13．我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．设有x间客房，可列方程为：________________． 14．如图，是2026年1月的日历，用如图所示的十字方框去圈住图中的五个数字，当正中间的数字是9时，这五个数字的和为______；移动十字方框，若被圈住的五个数字之和为105，则被圈住的五个数字正中间的一个为______． 15．为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，2025年9月3日在北京天安门广场举行盛大阅兵．阅兵时，徒步方队步伐铿锵、气势如虹．根据中国人民解放军正步的标准步幅（每步0.75米），每名官兵从东华表到西华表踢正步128步，用时66秒．在阅兵前的训练中，每名官兵按照这样的要求进行正步训练，若每名官兵每天踢正步的训练路程是米，则每名官兵每天踢正步的训练时间是_____秒（用含的式子表示）． 16．如图，大小两个正方形的各顶点处都有一个“圆圈”，将，，，，0，1，2，3分别填入“圆圈”中，使大正方形顶点处、小正方形顶点处以及大正方形的每条对角线上的四个“圆圈”内的数之和都相等，若，0已填入如图所示的位置．则表示的两个数的和为______，所表示的数分别为______（填出一种即可）． 三、解答题（共8小题，共52分） 17．（4分）已知，求代数式的值． 18．（9分）解方程： (1)； (2) ； (3) 19．（5分）本学期学习了一元一次方程的解法，下面是小菲同学的解题过程： 解方程：． 解：原方程可化为：．…第①步 方程两边同时乘以15，去分母，得：．…第②步 去括号，得：．…第③步 移项，得：．…第④步 合并同类项，得：．…第⑤步 系数化为1，得：．…第⑥步 所以为原方程的解． 上述小菲的解题过程中 (1)第①步的依据是________，第②步的依据是________； (2)第________（填序号）步开始出现错误，请从错误的一步开始，写出解方程的正确过程． 20．（5分）已知，用如图1所示5个完全相同的长方形拼成图2所示的大长方形，请根据图中标注的尺寸回答以下问题： (1)图2中大长方形的长为_____（用含的代数式表示）； (2)图2中阴影部分长方形的宽为_____（用含的代数式表示）； (3)当，时，则图2中阴影部分长方形的面积为_____． 21．（6分）在一次机器人跑步比赛中，自主导航机器人（以下称A类机器人）与遥控机器人（以下称B类机器人）在同一赛道比赛，统一排名．为鼓励自主导航技术研发，主办方制定了以下计算完赛成绩的规则： ·A类机器人的完赛成绩为从起点跑到终点的时间（包含途中维护时间）； ·B类机器人的完赛成绩为从起点跑到终点的时间（包含途中维护时间）的倍． 已知比赛中，一台A类机器人全程保持匀速，途中没有维护，完赛成绩为；一台B类机器人起跑后，前保持匀速，速度是这台A类机器人的倍，之后原地维护，维护后匀速跑至终点，速度比维护前增加了，完赛成绩为．求这台A类机器人的速度和此次比赛从起点到终点的路程． 22．（7分）金秋十月，丹桂飘香．2025年10月15日下午，北师大二附中西城实验学校初一年级全体师生走出校园，前往有着七百余年历史的北京国子监，开展了一场以“礼敬先师，成规立范”为主题的研学活动．在辟雍大殿前，正逢国子监的工作人员为一块古典园林区域的景观升级进行规划．升级的区域为中央广场的一块长为米、宽为5米的长方形土地，想借鉴古典园林中‘花径’与‘草坪’相映成趣的设计，于是设计了如图的阴影区域，并准备在该阴影区域种花，其余区域则种植常绿草坪．根据设计，工作人员通过不同的方式计算花卉的种植面积，小英采用的方法（如图1）是（S表示面积，表示三角形），小智采用的方法是连接（如图2），将阴影部分的面积分成两部分，则． (1)用含或的式子表示：的长为__________米，的长为__________米： (2)请你选择上面其中一位工作人员的方法表示阴影部分的面积； (3)当米，米时，求阴影部分的面积； (4)国子监景观升级负责人员打算实施该种植方案，当米时，按市场价格：种植草坪的费用为每平方米20元，种植花卉的费用为每平方米110元．恰逢“双十一”，，两家园林绿化公司都推出了促销优惠方案，具体如下表： 绿化公司 种植草的价格 种植花的价格 公司 20 不超过8平方米的部分，120元/平方米；超过8平方米的部分，100元/平方米 公司 25 110元/平方米，每种植一平方米花送平方米草 设种植花的面积为平方米，请你用含的代数式分别表示选择，两公司完成种花种草所需的总费用．如果在（3）的条件下，请你通过计算帮忙选择，两家公司最优惠的一家． 23．（8分）如果两个关于x的方程的解互为倒数，则称这两个方程互为“对立方程”．例如：方程与方程互为“对立方程”． (1)若关于x的方程与方程互为“对立方程”， 则c= ___________； (2)若关于x的方程与方程互为“对立方程”， 则m，n满足怎样的数量关系，并说明理由？ (3)若关于x的方程与其“对立方程”的解都是整数，则整数k的值为___________ 24．（8分）我们将数轴上点T表示的数记为，对于数轴上的点P和线段，给出如下定义：若线段上存在点Q，使得，则称点P是线段的关联点． 例如，如图，数轴上点M，N，P表示的数分别为，，，则．∵线段上存在点Q，，，∴点P是线段的关联点． (1)已知数轴上点A，B表示的数分别为，，点C是线段的关联点． ①在，0，5中，的值可以是______； ②的最大值为 ，最小值为______； (2)已知线段的长为a，线段的长为b，线段，的关联点分别为G，H． ①若的最大值与最小值的差为9，求a的值； ②若数轴上存在点K，使得点K既是线段的关联点，也是线段的关联点，记的最大值为m，的最小值为n，，直接写出d的最大值．（用含a，b的代数式表示） 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第5页（共8页） 试题 第6页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年七年级上册数学单元自测 第二章一元一次方程培优冲刺（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 题号 2 6 8 9 10 答案 B D D B B A B 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.x=4 12.-2ab3(答案不唯一) 13 7x+7=9(x-1) 14 45 21 11 15.16m 16. 1,-3,-2,2(答案不唯一) 三、解答题（共8小题，共52分） 17.(4分) 【详解】解：原式=6m-3n-4m+4n-5n+1 =2m-4n+1 =2(m-2n)+1 当m-2n=3时， 原式=2×3+1 =7 18.(9分) 【详解】(1)解：5x+5=2x+17 移项，得 5x-2x=17-5: 合并同类项，得 1/7 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3x=12: 系数化为1，得 x=4. 2(3-x)=-4(x+5) (2)解： 去括号得 6-2x=-4x-20; 移项得 -2x+4x=-20-6: 合并同类项得 2x=-26; 系数化为1，得 x=-13 (3)解：1--1_3x+8 3 15 去分母，两边同乘分母的最小公倍数15，得 15-5(x-1)=3x+8」 去括号得 15-5x+5=3x+8: 移项得 -5x-3x=8-15-5: 合并同类项得 -8x=-12: 系数化为1，得 3 x22 19.(5分) 【详解】(1)解：第①步的依据是分数的基本性质，第②步的依据是：等式基本性质2： 故答案为：分数的基本性质；等式基本性质2； (2)解：从第③步开始，正确过程为： 去括号，得：60x-9-50x-20=15: 2/7 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 移项，得：60x-50x=15+9+20: 合并同类项，得：10x=44； 系数化为1，得：x=4.4. 20.(5分) 【详解】(1)解：根据图形的特点，可知长为a+3b, 故答案为：a+3b; (2)解：图2中阴影部分长方形的宽为a-2b, 故答案为：a-2b; (a-2b) (3)解：根据题意，阴影面积为 当a=8,b=2时， a(a-2b)=8×(8-4)=32 故答案为：32 21.(5分) 【详解】设这台A类机器人的速度为m/min, 2-25-10(1.1x+70)=60x 由题意可知， 25×1.1x+1.2 解得x=350 所以60x=21000」 答：这台A类机器人的速度为350mmin,此次比赛从起点到终点的路程为21000m, 22.(7分) 【详解】(1)解：根据题意得，BF=BC-CF=5-b(米)，AE=AB-BE=a-4(米)， 故答案为：5-b,a-4; S。ABC-SEBF (2)解：采用小英的方法：阴影面积 AB.BC-EB.BF 2 202×45-b) 51 3/7 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =3a+26-0m =S.AEC +S.CEF 采用小智的方法：根据题意得，阴影面积 =)x5(a-4)x4b -3a+26-0 5 (3)解：当a=8,b=2时，2a+2h-10 5 =×8+2×2-10 2 =20+4-10 =14m2, ∴.阴影部分面积为14m2: (4)解：长方形总面积为8×5=40平方米， A公司总费用：种花面积为m,种草面积为 40-x)m2 当0<x≤8时，种花的费用为120x元，种草的费用 20×(40-x)=(800-20)元. =120x+(800-20x) 总费用 =120x+800-20x =100x+800(元)； 当8<r<40时，种花的费用 120x8+100×(x-8)=(10x+160)元，种草的费用为 20×(40-x)=(800-20x) 元， 总费用 =(100x+160)+(800-20x) =100x+160+800-20x =80x+960(元)； 4/7 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B公司总费用：种花面积为m,种草面积为 0-x-0.5x=(40-1.5x)m2 种花的费用为10x元，种草的费用为 5×(40-1.5x)=(1000-37.5x) 元， =110x+(1000-37.5x） 总费用 =110x+1000-37.5x =72.5x+1000（元)： 在(3)的条件下时，种植花的面积为14m2,即x=14, .A公司费用=80x+960=80×14+960=2080(元)， B公司费用=72.5x+1000=72.5×14+1000=2015(元)， 2080>2015, ,B家公司是最优惠的一家 23.(8分) 【详解】(1)解：，x-3=0, 解得：x=3, 3x-c=0, 第得。 ,方程x-3=0与方程3x-c=0互为“对立方程”， 3x=1 3 .c=1. 故答案为：1. (2),x+3=0 小解行品 6x-(n-2)=0 ·解得xn2 6, 关于x的方程mx+3=0m≠0)与方程6r-(u-2)=0 为“对立方程”， 517 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x2-1 m 6 化简可得到2m+n=2: （)解：由2x-人+1=0得，- 2 2 “其“对立方程”的解为x=k一， :2x-k+1=0与(k-0小x-2=0 的解均为整数， k-12 ·2与k一1都为整数， k-12 ∴.2k-1 k-1=2, 解得：k=3或k=-1, 24.(8分) 【详解】(1)解：，点A表示的数为4，点B表示的数为-1， 六线段B的长度为K-x=4-(-=5 根据关联点定义，存在点Q在线段4AB上，使得K。-。=5 ①当e=6时，6-。5. 解得。 或名1 在线段AB上， 6 符合条件. 当e=0时，0-2=5 解得。=5成6=-5 或 .5和-5均不在线段AB上， 6/7 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :七0 符合条件， 当=5时， 5-x2=5 解得。=0或。=10 :龙s0 线段AB上， :5 符合条件. 因此的值可以是6,5， Xc 故答案为：-6,5： ②：要使k。-。-5且在线段上， 当。4 （点A)时，-4到=5 解得=96=-1 或 当。=1（点B)时k-(H=5 或女6 解得 因此的最大值为9，最小值为6 Xc 如图 C B C 0 (2)解：设o>,(当<C时，思路相同) 由题意，得 (xp-xc=a xr-xg =b ①如图， 717 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 G G是CD的关联点，且取得最大值。 .CD=DG=a, :G是C”的关联点，且0取得最小值，记为G, .'CD=CG'=a, :0的最大值与最小值的差为9， :.G'C+CD+DG=9, 即a+a+a=9, 解得a=3; @设<，当>时，思路相同. :“取得最大值，“取得最小值 m=xp+a n=xg-b :d=m-n=(+a）-(e-)=(。-X)+a+b 要使d最大，需让”尽可能大，尽可能小，且数轴上存在点K,使得点K既是线段CD 的关联点，也是线段EF的关联点， KC=CD=DG=a,KF=EF=HE=b 如图 H E F K D dmax=KC+CD+DG+KF+EF+HE=3a+3b 8/7 2026-2027学年七年级上册数学单元自测 第二章 一元一次方程·培优冲刺 建议用时：120分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．把方程写成用含x的代数式表示y的形式，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等式的性质，变形求解即可； 【详解】解：∵原方程为 ，移项得 ，将y的系数化为1，等式两边同乘，得；故A正确，其余都是错误的； 2．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了合并同类项，去括号，掌握相关运算法则是解题的关键． 根据合并同类项与去括号的运算法则，逐一验证各选项的正确性，即可求解． 【详解】解： A、和不是同类项，不能合并，则选项A错误，不符合题目要求； B、和为同类项，相减后为0，则选项B正确，符合题目要求； C、，则选项C错误，不符合题目要求； D、，则选项D错误，不符合题目要求． 故选：B． 3．下列说法正确的是（　　） A．单项式的次数是2 B．单项式的系数为0 C．多项式的次数是2 D．多项式的二次项系数是1 【答案】D 【分析】本题考查单项式和多项式的次数与系数的概念，分清楚多项式的次数是解题的关键． 首先根据单项式和多项式的次数与系数的概念，逐一判断各选项即可． 【详解】解：对于A：单项式的次数是所有字母指数之和，∴单项式的次数为3，∴不符合题意； 对于B：单项式的系数是数字因数，∴单项式的系数为1，∴不符合题意； 对于C：多项式的次数是最高次项的次数，∴多项式的次数是3，∴不符合题意； 对于D：多项式的二次项是，其系数为1，∴符合题意； 故选：D． 4．下列方程的变形中，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】对选项A，∵，移项，得，与选项变形不符，∴A错误； 对选项B，∵，去括号，得，与选项变形不符，∴B错误； 对选项C，∵，等式两边同时除以，得，与选项变形不符，∴C错误； 对选项D，∵，等式两边同时乘去分母，得，变形正确，∴D正确． 5．如图1，长方形的长为，宽为．用剪刀沿图中虚线剪成六个相同的小长方形．然后按照图2的方式拼成一个新的长方形，则下列代数式不能表示图中阴影部分面积的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了列代数式，阴影部分是一个长为，宽为的长方形的面积，阴影部分的面积等于一个长为，宽为的长方形面积减去6个长为a，宽为b的长方形面积，阴影部分的面积等于一个边长为a的正方形面积，减去2个长为a，宽为b的长方形面积，再减去一个长为，宽为的长方形面积，阴影部分的面积等于一个长为，宽为a的长方形面积，减去2个长为，宽为的长方形面积，再减去3个长为a，宽为b的长方形面积，据此分别表示出对应的阴影部分的面积即可得到答案． 【详解】解：阴影部分是一个长为，宽为的长方形的面积，则其面积为，故A不符合题意； 阴影部分的面积等于一个长为，宽为的长方形面积减去6个长为a，宽为b的长方形面积，则其面积为，故D不符合题意； 阴影部分的面积等于一个边长为a的正方形面积，减去2个长为a，宽为b的长方形面积，再减去一个长为，宽为的长方形面积，则其面积为，故C不符合题意； 阴影部分的面积等于一个长为，宽为a的长方形面积，减去2个长为，宽为的长方形面积，再减去3个长为a，宽为b的长方形面积，则其面积为，故B符合题意； 故选：B． 6．已知关于x的一元一次方程的解是，那么关于y的一元一次方程的解是（    ） A．21 B． C．23 D．24 【答案】B 【分析】本题主要考查一元一次方程的解及其解法，熟练掌握一元一次方程的解及其解法是解题的关键；通过变量替换，将关于y的方程转化为与原方程相同的形式，利用已知解求解即可． 【详解】解：设，则关于y的方程化为， ∵关于x的一元一次方程的解是， ∴关于z的一元一次方程，的解是， ∴， ∴； 故选B． 7．下列结论： ①若是关于x的方程的一个解，则； ②若有唯一的解，则； ③若，则关于x的方程的解为； ④若，且，则一定是方程的解； 其中结论正确个数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题主要考查了方程解的定义，解一元一次方程；方程的解就是能够使方程两边左右相等的未知数的值，理解定义是关键．方程的解就是能够使方程两边左右相等的未知数的值，即利用方程的解代替方程中的未知数，所得到的式子左右两边相等，根据方程的解的定义，逐项分析判断，即可求解． 【详解】①把代入得：，故结论①正确； ②方程可化简为． 若，则方程解为（唯一解）． 若，方程变为，有无穷多解． 题目中“有唯一解”需满足，故结论②正确． ③，则，方程移项，得：，则，则结论③错误； ④把代入1，方程一定成立，则一定是方程的解，结论④正确． 故选：B． 8．现用140张白铁皮制作一批盒子，每张白铁皮可做18个盒身或做20个盒底，而一个盒身和两个盒底配成一个完整的盒子．设用张白铁皮制盒身，可以使盒身和盒底正好配套，则可列方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，根据配套关系找等量关系即可列方程.总铁皮共140张，张制盒身，剩余张制盒底，根据一个盒身配两个盒底的要求，得到盒身与盒底的数量比为，即可列出方程． 【详解】解：设用张白铁皮制盒身， ∵总铁皮共140张， ∴制盒底的铁皮数量为张，可得盒身总数量为，盒底总数量为 ， 又∵一个盒身和两个盒底配成一个完整的盒子，即盒身数量与盒底数量的比为， ∴可列方程． 9．如图是2025年11月的月历．现用“”这一形状（也可以将此形状竖放“”或倒放“”）的轮廓对齐月历中的格线，会在月历中框出4个数，所得4个数的和可能是（　　） A．99 B．87 C．40 D．21 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键是掌握月历上的数字规律． 根据题意分为四种情况求解即可． 【详解】解：由题意得，当形状为如下图时， 设中间的数为x，则左边的数为，右边的数为，上边的数为， ∴这4个数的和为 ， 当和为99时， 解得，不是正整数，故A选项不符合题意； 当和为87时， 解得，不是正整数，故B选项不符合题意； 当和为40时， 解得，不是正整数，故C选项不符合题意； 当和为21时， 解得， ∴上边的数为，故D选项不符合题意； 当形状为如下图时， 设中间的数为x，则左边的数为，上边的数为，下边的数为， ∴这4个数的和为 ， 当和为99时， 解得， ∴下边的数为，故A选项不符合题意； 当和为87时， 解得， ∴左边的数为，上边的数为，下边的数为，故B选项符合题意； 当和为40时， 解得，不是正整数，故C选项不符合题意； 当和为21时， 解得，不是正整数，故D选项不符合题意； 当形状为如下图时， 设中间的数为x，则右边的数为，上边的数为，下边的数为， ∴这4个数的和为 ， 当和为99时， 解得，不是正整数，故A选项不符合题意； 当和为87时， 解得，不是正整数，故B选项不符合题意； 当和为40时， 解得，不是正整数，故C选项不符合题意； 当和为21时， 解得， ∴上边的数为，故D选项不符合题意； 当形状为如下图时， 设中间的数为x，则左边的数为，右边的数为，下边的数为， ∴这4个数的和为 ， 当和为99时， 解得， ∴右边的数为，但24不在23右边，故A选项不符合题意； 当和为87时， 解得， ∴左边的数为，右边的数为，下边的数为，故B选项符合题意； 当和为40时， 解得，不是正整数，故C选项不符合题意； 当和为21时， 解得，不是正整数，故D选项不符合题意． 综上所述，B选项正确． 故选B． 10．历史上数学家欧拉最先把关于x的多项式用记号来表示，把x等于某数a时的多项式的值用来表示．例如，对于多项式当时，多项式的值为，若，则的值为（　　） A． B．7 C． D．17 【答案】C 【分析】本题主要考查了代数式求值，熟练掌握整体代入思想是解题的关键． 根据已知条件求出的值，再代入的表达式计算． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．若是关于x的一元一次方程，则这个方程的解为__________． 【答案】 【分析】根据一元一次方程的定义求出m的值，再代入方程求解即可 【详解】解：是关于x的一元一次方程， ，解得 ， 将代入原方程得：， 移项合并同类项得 ， 系数化为1得 . 12．写出一个系数是负数，次数是4，且含有字母a，b的单项式可以是________（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查单项式的系数和次数的概念，系数是单项式中的数字因数且为负数，次数是所有字母的指数之和为4，进行解答即可． 【详解】解：根据题意，系数为负数，次数为4，且含有字母和，因此可构造单项式如，其中系数为，次数为；其他符合条件的有（系数为，次数为）或（系数为，次数为）等． 故答案为：．（答案不唯一） 13．我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．设有x间客房，可列方程为：________________． 【答案】 【分析】根据题意一房七客多七客，一房九客一房空得出方程即可．本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程， 【详解】解：根据题意得：， 故答案为：． 14．如图，是2026年1月的日历，用如图所示的十字方框去圈住图中的五个数字，当正中间的数字是9时，这五个数字的和为______；移动十字方框，若被圈住的五个数字之和为105，则被圈住的五个数字正中间的一个为______． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程与日历有关的应用题，列代数式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，设十字方框的正中间的数字为，则其他四个数分别为，得出这五个数字的和为，结合当正中间的数字是9时，算出这五个数字的和；然后根据被圈住的五个数字之和为105，进行列方程，再解方程，即可作答． 【详解】解：设十字方框的正中间的数字为， 则其他四个数分别为， ∴， 则这五个数字的和为， ∵正中间的数字是9， ∴这五个数字的和为， ∵被圈住的五个数字之和为， ∴， ∴， ∴被圈住的五个数字正中间的一个为， 故答案为：， 15．为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，2025年9月3日在北京天安门广场举行盛大阅兵．阅兵时，徒步方队步伐铿锵、气势如虹．根据中国人民解放军正步的标准步幅（每步0.75米），每名官兵从东华表到西华表踢正步128步，用时66秒．在阅兵前的训练中，每名官兵按照这样的要求进行正步训练，若每名官兵每天踢正步的训练路程是米，则每名官兵每天踢正步的训练时间是_____秒（用含的式子表示）． 【答案】 【分析】本题考查了列代数式等知识点，解题关键是掌握列代数式的方法． 先计算128步所走的距离，走96米用了66秒，求出每米所用的时间，再求走m米所需时间． 【详解】解：∵正步步幅：每步米， ∴128步走过的距离：米， ∵走完这段距离所用时间：66秒， ∴走96米用了66秒，因此每米所用的时间是：（​秒/米）， ∴走m米所需时间为：（秒）， 故答案为：． 16．如图，大小两个正方形的各顶点处都有一个“圆圈”，将，，，，0，1，2，3分别填入“圆圈”中，使大正方形顶点处、小正方形顶点处以及大正方形的每条对角线上的四个“圆圈”内的数之和都相等，若，0已填入如图所示的位置．则表示的两个数的和为______，所表示的数分别为______（填出一种即可）． 【答案】 2 （答案不唯一） 【分析】本题考查了有理数加减法的应用、有理数除法的应用，正确列式是解题关键．先求出大正方形顶点处、小正方形顶点处以及大正方形的每条对角线上的四个“圆圈”内的数之和都为，再利用减去即可得表示的两个数的和；假设所表示的数为3，则所表示的数为，然后分别求出表示的两个数的和、表示的两个数的和，据此解答即可得． 【详解】解：∵，， ∴大正方形顶点处、小正方形顶点处以及大正方形的每条对角线上的四个“圆圈”内的数之和都为， ∴表示的两个数的和为． 若所表示的数为3，则所表示的数为， ∴表示的两个数的和为， 表示的两个数的和为， ∴此时所表示的数分别为， 故答案为：2；（答案不唯一）． 三、解答题（共8小题，共52分） 17．（4分）已知，求代数式的值． 【答案】7 【分析】本题考查代数式的化简与整体代入思想的应用．通过代数变形将原式转化为与已知条件相关的形式，避免了解方程的繁琐步骤，体现了代数运算中的技巧性与简洁性．关键在于合并同类项后识别出结构中的整体表达式． 【详解】解：原式= = =． 当时， 原式 ． 18．（9分）解方程： (1)； (2) ； (3) 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： 移项，得 ； 合并同类项，得 ； 系数化为1，得 ． （2）解： 去括号得 ； 移项得 ； 合并同类项得 ； 系数化为1，得 ． （3）解： 去分母，两边同乘分母的最小公倍数15，得 ； 去括号得 ； 移项得 ； 合并同类项得 ； 系数化为1，得 ． 19．（5分）本学期学习了一元一次方程的解法，下面是小菲同学的解题过程： 解方程：． 解：原方程可化为：．…第①步 方程两边同时乘以15，去分母，得：．…第②步 去括号，得：．…第③步 移项，得：．…第④步 合并同类项，得：．…第⑤步 系数化为1，得：．…第⑥步 所以为原方程的解． 上述小菲的解题过程中 (1)第①步的依据是________，第②步的依据是________； (2)第________（填序号）步开始出现错误，请从错误的一步开始，写出解方程的正确过程． 【答案】(1)分数的基本性质；等式的基本性质2 (2)③，见解析 【分析】本题主要考查解一元一次方程，去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向形式转化． （1）根据解一元一次方程的基本步骤和依据逐一判断即可得； （2）依次去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得． 【详解】（1）解：第①步的依据是分数的基本性质，第②步的依据是：等式基本性质2； 故答案为：分数的基本性质；等式基本性质2； （2）解：从第③步开始，正确过程为： 去括号，得：； 移项，得：； 合并同类项，得：； 系数化为1，得：． 20．（5分）已知，用如图1所示5个完全相同的长方形拼成图2所示的大长方形，请根据图中标注的尺寸回答以下问题： (1)图2中大长方形的长为_____（用含的代数式表示）； (2)图2中阴影部分长方形的宽为_____（用含的代数式表示）； (3)当，时，则图2中阴影部分长方形的面积为_____． 【答案】(1) (2) (3)32 【分析】（1）根据图形的特点，可知长为； （2）图2中阴影部分长方形的宽为； （3）面积为，计算当，时，代数式的值即可． 本题考查了列代数式，求代数式的值，熟练掌握列代数式，求代数式的值是解题的关键． 【详解】（1）解：根据图形的特点，可知长为， 故答案为：； （2）解：图2中阴影部分长方形的宽为， 故答案为：； （3）解：根据题意，阴影面积为， 当，时， ， 故答案为：32． 21．（6分）在一次机器人跑步比赛中，自主导航机器人（以下称A类机器人）与遥控机器人（以下称B类机器人）在同一赛道比赛，统一排名．为鼓励自主导航技术研发，主办方制定了以下计算完赛成绩的规则： ·A类机器人的完赛成绩为从起点跑到终点的时间（包含途中维护时间）； ·B类机器人的完赛成绩为从起点跑到终点的时间（包含途中维护时间）的倍． 已知比赛中，一台A类机器人全程保持匀速，途中没有维护，完赛成绩为；一台B类机器人起跑后，前保持匀速，速度是这台A类机器人的倍，之后原地维护，维护后匀速跑至终点，速度比维护前增加了，完赛成绩为．求这台A类机器人的速度和此次比赛从起点到终点的路程． 【答案】A类机器人的速度为，比赛起点到终点的路程为 【分析】根据赛道总路程不变，设A类机器人速度为，得出全程路程；再根据B类成绩规则，由公示成绩算出它含维护的实际总耗时，拆分出两段行驶时长与对应速度，将两段行驶路程相加，与总路程相等建立方程求解． 【详解】设这台A类机器人的速度为， 由题意可知，， 解得， 所以， 答：这台A类机器人的速度为，此次比赛从起点到终点的路程为． 22．（7分）金秋十月，丹桂飘香．2025年10月15日下午，北师大二附中西城实验学校初一年级全体师生走出校园，前往有着七百余年历史的北京国子监，开展了一场以“礼敬先师，成规立范”为主题的研学活动．在辟雍大殿前，正逢国子监的工作人员为一块古典园林区域的景观升级进行规划．升级的区域为中央广场的一块长为米、宽为5米的长方形土地，想借鉴古典园林中‘花径’与‘草坪’相映成趣的设计，于是设计了如图的阴影区域，并准备在该阴影区域种花，其余区域则种植常绿草坪．根据设计，工作人员通过不同的方式计算花卉的种植面积，小英采用的方法（如图1）是（S表示面积，表示三角形），小智采用的方法是连接（如图2），将阴影部分的面积分成两部分，则． (1)用含或的式子表示：的长为__________米，的长为__________米： (2)请你选择上面其中一位工作人员的方法表示阴影部分的面积； (3)当米，米时，求阴影部分的面积； (4)国子监景观升级负责人员打算实施该种植方案，当米时，按市场价格：种植草坪的费用为每平方米20元，种植花卉的费用为每平方米110元．恰逢“双十一”，，两家园林绿化公司都推出了促销优惠方案，具体如下表： 绿化公司 种植草的价格 种植花的价格 公司 20 不超过8平方米的部分，120元/平方米；超过8平方米的部分，100元/平方米 公司 25 110元/平方米，每种植一平方米花送平方米草 设种植花的面积为平方米，请你用含的代数式分别表示选择，两公司完成种花种草所需的总费用．如果在（3）的条件下，请你通过计算帮忙选择，两家公司最优惠的一家． 【答案】(1)； (2)阴影面积为 (3)阴影部分面积为 (4)A公司总费用为元或元，B公司总费用为元；家公司是最优惠的一家 【分析】本题主要考查了列代数式，代数式的实际应用，理解题意是解决本题的关键． （1）根据题意即可求解； （2）分别根据小英和小智的方法即可得到答案； （3）根据（2）所求，直接代值计算求解即可； （4）先求出总面积，分别求出A、B公司的费用，并进行比较，即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意得，（米），（米）， 故答案为：，； （2）解：采用小英的方法：阴影面积 ； 采用小智的方法：根据题意得，阴影面积 ； （3）解：当时， ， ∴阴影部分面积为； （4）解：长方形总面积为平方米， ∴A公司总费用：种花面积为，种草面积为， 当时，种花的费用为元，种草的费用为元， 总费用 （元）； 当时，种花的费用为元，种草的费用为元， 总费用 （元）； B公司总费用：种花面积为，种草面积为， 种花的费用为元，种草的费用为元， 总费用 （元）； 在（3）的条件下时，种植花的面积为，即， ∴A公司费用（元）， B公司费用（元）， ∵， ∴家公司是最优惠的一家． 23．（8分）如果两个关于x的方程的解互为倒数，则称这两个方程互为“对立方程”．例如：方程与方程互为“对立方程”． (1)若关于x的方程与方程互为“对立方程”， 则c= ___________； (2)若关于x的方程与方程互为“对立方程”， 则m，n满足怎样的数量关系，并说明理由？ (3)若关于x的方程与其“对立方程”的解都是整数，则整数k的值为___________ 【答案】(1)1 (2)；理由 解：∵， ∴解得， ∵， ∴解得， ∵关于x的方程与方程互为“对立方程”， ∴， 化简可得到； (3)或 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，能够正确理解概念是解题的关键． （1）根据“对立方程”的定义直接可得答案； （2）分别解出两个方程，然后利用两个方程的解为互为倒数，列出关于的关系式，可得答案； （3）先由方程解得其解为：，再通过“对立方程”的概念可得到其对立方程的解为：，可得与都为整数，由此可得答案． 【详解】（1）解：∵， 解得：， ， 解得：， ∵方程与方程互为“对立方程”， ∴， ∴． 故答案为：1． （2）略 （3）解：由得，， ∴其“对立方程”的解为， ∵与的解均为整数， ∴与都为整数， ∴， ∴， 解得：或． 24．（8分）我们将数轴上点T表示的数记为，对于数轴上的点P和线段，给出如下定义：若线段上存在点Q，使得，则称点P是线段的关联点． 例如，如图，数轴上点M，N，P表示的数分别为，，，则．∵线段上存在点Q，，，∴点P是线段的关联点． (1)已知数轴上点A，B表示的数分别为，，点C是线段的关联点． ①在，0，5中，的值可以是______； ②的最大值为 ，最小值为______； (2)已知线段的长为a，线段的长为b，线段，的关联点分别为G，H． ①若的最大值与最小值的差为9，求a的值； ②若数轴上存在点K，使得点K既是线段的关联点，也是线段的关联点，记的最大值为m，的最小值为n，，直接写出d的最大值．（用含a，b的代数式表示） 【答案】(1)①，5；②9， (2)①，②d的最大值为 【分析】本题考查数轴上的动点问题，数轴上两点之间的距离，绝对值的应用，一元一次方程的应用，正确理解题意、掌握知识点的应用是解题的关键． （1）①根据关联点定义，逐个分析判断即可；②根据关联点定义，逐个分析判断即可； （2）①设，（当时，思路相同），得到，，推导出，，由的最大值与最小值的差为9，列方程求解即可； ②设，(当时，思路相同)，求出，要使d最大，需让尽可能大，尽可能小，继而推导出，则，即可解答． 【详解】（1）解：∵点A表示的数为4，点B表示的数为， ∴线段的长度为． 根据关联点定义，存在点Q在线段AB上，使得． ①当时，， 解得或， ∵在线段上， ∴符合条件． 当时， 解得或， ∵5和均不在线段上， ∴不符合条件， 当时，， 解得或． ∵在线段AB上， ∴符合条件． 因此的值可以是，5． 故答案为：，5； ②∵要使且在线段上， ∴当（点A）时，， 解得或， 当（点B）时， 解得或， 因此的最大值为9，最小值为． 如图 （2）解：设，（当时，思路相同） 由题意，得 ， ①如图， ∵G是的关联点，且取得最大值， ∴， ∵G是的关联点，且取得最小值，记为， ∴， ∵的最大值与最小值的差为9， ∴， 即， 解得； ②设，(当时，思路相同)， ∵取得最大值，取得最小值 ∴，， ∴． 要使d最大，需让尽可能大，尽可能小，且数轴上存在点K，使得点K既是线段的关联点，也是线段的关联点， ∴， 如图 ∴． 20/23 21/23 学科网（北京）股份有限公司 $