26.2.3 二次函数 y=ax²+bx+c 的图象和性质 导学案 2026--2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学导学案聚焦二次函数y＝ax²＋bx＋c的图象和性质，通过“温故”环节回顾y＝a(x－h)²+k的平移规律及性质，搭建学习支架，引导学生用配方法将一般式转化为顶点式，实现新旧知识的自然衔接。 资料突出数学思维与数学眼光的培养，通过配方法转化训练运算与推理能力，对比平移规律与性质发展几何直观，自测题和预习任务强化模型意识。融入拉格朗日数学史内容，激发学习兴趣，助力学生自主探究，提升核心素养。

26.2.3 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质 1.回顾二次函数y＝a(x－h)2+k的图象和性质，结合新课内容，探究二次函数y＝ax2+bx+c的图象和性质； 2.阅读课本P42—P43内容，自主探究二次函数y＝ax2+bx+c的图象和性质小节基础知识内容，并根据阅读内容填写本节预习任务，把握本课重难点。 温故——课前知识链接 二次函数与图象间的关系： 法一：二次函数的图象先向______平移_____个单位长度得到_________________， 再向_________平移______个单位长度得到. 法二：二次函数的图象先向______平移_____个单位长度得到_________________， 再向_________平移______个单位长度得到. 二次函数的图象和性质 函数 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 _________ 顶点坐标 _________ 增减性 在对称轴左侧，即当时，随的增大而_______；在对称轴右侧，即当时，随的增大而_______. 在对称轴左侧，即当时，随的增大而______；在对称轴右侧，即当时，随的增大而_____. 最值 当_____时，____. 当_____时，______. 知新——课本研习梳理 1.将变成的形式：＝_____________________； 二次函数的对称轴为：x＝________，顶点坐标为___________________. 2.当时，的开口向_____，在对称轴左侧，即当时，y随x的增大而________；在对称轴右侧，即当时，y随x的增大而________，当时，y有最____值y＝________. 3.当时，的开口向_____，在对称轴左侧，即当时，y随x的增大而________；在对称轴右侧，即当时，y随x的增大而________，当时，y有最____值y＝________. 1.将二次函数通过配方法，化为顶点式的形式，结果是( ) A. B. C. D. 2.抛物线的对称轴是( ) A. B. C. D. 3.抛物线的顶点坐标是( ) A. B. C. D. 4.在平面直角坐标系中，将抛物线向左平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度，得到的抛物线顶点坐标为( ) A. B. C. D. 5.已知二次函数，关于该函数在的取值范围内，下列说法正确的是( ) A.有最大值7，最小值-20 B.有最大值-7，最小值-20 C.有最大值-5，最小值-20 D.有最大值7，最小值-5 拉格朗日——函数标准化与最值理论奠基人 法国著名数学家约瑟夫·路易斯·拉格朗日，在欧拉、柯西的函数变换理论基础上，完善了二次函数标准化体系。他首创通过配方法将一般二次函数转化为顶点标准式，系统论证了顶点坐标与函数最值、单调性的对应关系。 拉格朗日明确提出：所有抛物型二次函数，均可通过平移变换归为标准母函数形态，顶点坐标是判定函数位置与最值的核心依据。我们如今学习的顶点式结构、平移整合规律、顶点最值判定方法，均源自拉格朗日的标准化函数理论，为后续多元函数最值、高等数学极值问题奠定了基础。 把预习中发现的问题记录一下吧 ... 答案及解析 温故知新·基础填空 温故——课前知识链接 左右；；；上下； 上下；；；左右； 函数 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 顶点坐标 增减性 在对称轴左侧，即当时，随的增大而减小；在对称轴右侧，即当时，随的增大而增大. 在对称轴左侧，即当时，随的增大而增大；在对称轴右侧，即当时，随的增大而减小. 最值 当时，. 当时，.. 知新——课本研习梳理 1.；； 2.上；减小；增大；小； 3.下；增大；减小；大； 基础过关·课前自测 1.答案：B 解析： 顶点式为， 故选：B. 2.答案：A 解析：，， 抛物线的对称轴是直线， 故选：A. 3.答案：A 解析：， ∴抛物线的顶点坐标为． 故选A. 4.答案：D 解析：，即抛物线的顶点坐标为， 把点向左平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度得到. 故选：D. 5.答案：A 解析：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴当时，函数有最小值为； 当时，函数有最大值为； 故选A. 学科网（北京）股份有限公司 $