4.4 解三角形（9大题型）（讲义+精练）-2027年新高考数学一轮总复习解题妙招精讲与题型整合（新高考专用）

该高中数学解三角形专题复习资料，覆盖正弦定理、余弦定理、面积公式及实际应用等核心考点，按“定理-公式-应用”逻辑架构知识点，通过考点梳理、方法技巧总结、真题回顾与题型归纳等环节，帮助学生系统突破多解判定、形状判断等难点，体现复习的系统性和针对性。 资料特色在于方法技巧可视化呈现（如多解情况对比表格）和题型精准分类（九类经典题型），通过“边化角”“角化边”变换原则训练数学思维，结合分层精练与真题演练，培养学生模型意识与应用能力，助力教师高效把控复习节奏，提升学生解题效率与应考能力。

4.4 解三角形 目录 01思维导图与题型归纳 2 02 基础知识点梳理 3 知识点一、正弦定理、余弦定理 3 知识点二、三角形的面积公式 3 知识点三、实际应用问题 3 方法技巧总结1：解三角形多解情况 4 方法技巧总结2：解三角形变换原则 4 方法技巧总结3：三角形中的射影定理 5 方法技巧总结4：三角形的形状判断 5 方法技巧总结5：正余弦平方和，平方差与倍角三角形 5 方法技巧总结6：正切恒等式 5 03 真题回顾 6 04 经典题型归纳总结 20 题型一：三角形解的个数判定 20 题型二：含倍角与正弦平方和差问题 24 题型三：三角形形状的判断 27 题型四：解三角形与平面几何综合问题 28 题型五：运用正余弦定理解三角形 33 题型六：三角形周长计算与最值 35 题型七：三角形面积相关计算 39 题型八：解三角形的实际应用 45 题型九：解三角形与三角函数性质综合应用 49 05 课后拓展精练 56 知识点一、正弦定理、余弦定理 1、正弦定理和余弦定理：指的内角的对边，指的外接圆半径 定理 正弦定理 余弦定理 基本公式 ； ； ． 常见 推论 （1），，； （2），，； （3）； （4）． ； ； ． 知识点二、三角形的面积公式 （1）； （2）； （3）； （4）； 知识点三、实际应用问题 （1）距离问题 类型 图形 方法 两点间不可到达的距离 余弦定理 两点间可视不可到达的距离 正弦定理 两个不可到达的点之间的距离 先用正弦定理， 再用余弦定理 （2）高度问题 类型 简图 计算方法 底部可达 测得BC＝a，∠BCA＝C，AB＝a·tanC. 底部不可达 点B与C，D共线 测得CD＝a及C与∠ADB的度数. 先由正弦定理求出AC或AD，再解三角形得AB的值. 点B与C，D不共线 测得CD＝a及∠BCD，∠BDC，∠ACB的度数. 在△BCD中由正弦定理求得BC，再解三角形得AB的值. 方法技巧总结1：解三角形多解情况 在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下： A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 解的个数 一解 两解 一解 一解 无解 方法技巧总结2：解三角形变换原则 在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用： （1）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”； （2）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”； （3）若式子含有的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”； （4）代数变形或者三角恒等变换前置； （5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用； （6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到． 方法技巧总结3：三角形中的射影定理 在中，；；． 方法技巧总结4：三角形的形状判断 ①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状. ②化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状. 方法技巧总结5：正余弦平方和，平方差与倍角三角形 1、正弦平方和： 2、余弦平方和：. 3、正余弦平方差公式: 4、倍角三角形 方法技巧总结6：正切恒等式 1、三角形正切恒等式 在中，恒有： 2、广义三角正切恒等式 当且时， 有 1．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）记的内角的对边分别为，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，则由正弦定理得. 由余弦定理可得:， 即:，根据正弦定理得， 所以， 因为为三角形内角，则，则. 故选：C. 2．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）在中，内角的对边分别是，若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意结合正弦定理可得， 即， 整理可得，由于，故， 据此可得， 则. 故选：C. 3．（2026年高考全国2卷数学高考真题（网络 收集版））已知球的体积为，A，B，C，D四点均在球O的球面上，为等边三角形，，则的面积为__________． 【答案】 【解析】由球的体积公式，，解得， 设的外心为，连接， 由题意知为该三棱锥的高，所以该三棱锥的外接球的球心在上， 不妨设在线段上，连接， 设的边长为，由正弦定理可得，， 再设，由题知，， 解得（负值表示球心在线段的延长线上，实际情况如右图）， 所以， 由三角形面积公式，. 4．（2024年上海春季高考练习数学试题）三角形中，，则______ 【答案】 【解析】三角形中，， ， 由正弦定理，，， 得． 故答案为：． 5．（2024年上海秋季高考数学试题（网络收集版））已知点B在点C正北方向，点D在点C的正东方向，,存在点A满足，则______(精确到0.1度) 【答案】 【解析】设， 在中，由正弦定理得， 即’ 即① 在中，由正弦定理得， 即，即，② 因为，得， 利用计算器即可得， 故答案为：. 6．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）在中，，的角平分线交BC于D，则_________． 【答案】 【解析】 如图所示：记， 方法一：由余弦定理可得，， 因为，解得：， 由可得， ， 解得：． 故答案为：． 方法二：由余弦定理可得，，因为，解得：， 由正弦定理可得，，解得：，， 因为，所以，， 又，所以，即． 故答案为：． 7．（2026年高考全国2卷数学高考真题（网络 收集版））在中，已知，． (1)证明：为钝角三角形； (2)若的面积为，求的周长． 【解析】（1）证明：由，则， 又，得，则， 由两角和的余弦公式，， 结合可知， 则异号，必然一个为负，一个为正. 又，即中必有一个是钝角； (2) （2）方法一：由正弦定理和三角形的面积公式， ， （是外接圆半径） 又，，则，解得， 又，则， 由余弦定理，即， 又，则， 于是，即， ，解得， 故周长为. 方法二：由，则， 即， 由正弦定理可得，， 由三角形面积公式，， 得到，则，其余同上. 8．（2026年高考全国1卷数学高考真题（网络 收集版））已知在中，，，． (1)求； (2)设，两点满足：在的延长线上，，．若，求． 【解析】（1）在中，，，. 由余弦定理可知， 故. 再由余弦定理得. （2）以为原点，为轴正方向建立平面直角坐标系如图： 则，，由，得. 在延长线上，设，则，，， 设，则. 由，得，故. 于是. 已知，则，则. 代入得，而， 故. 9．（2025年高考北京卷数学真题）在中，． (1)求c的值； (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求BC边上的高． 条件①：；条件②：；条件③：的面积为． 【解析】（1）因为，所以， 由正弦定理有，解得； （2）如图所示，若存在，则设其边上的高为， 若选①，，因为，所以，因为，这表明此时三角形有两个钝角， 而这是不可能的，所以此时不存在，故边上的高也不存在； 若选②，，由有，由正弦定理得,所以， 所以由余弦定理得, 此时三角形是存在的，且唯一确定， 所以,即， 所以边上的高； 若选③，的面积是，则， 解得，由余弦定理可得可以唯一确定， 进一步由余弦定理可得也可以唯一确定，即可以唯一确定， 这表明此时三角形是存在的，且边上的高满足：，即. 10．（2025年高考天津卷数学真题）在中，角的对边分别为．已知，，． (1)求A的值； (2)求c的值； (3)求的值． 【解析】（1）已知，由正弦定理， 得，显然， 得，由， 故； （2）由（1）知，且，， 由余弦定理， 则， 解得（舍去）， 故； （3）由正弦定理，且， 得，且，则为锐角， 故，故， 且； 故. 11．（2025年上海春季高考练习数学试题）在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且． (1)若，求a； (2)若，求的面积的最大值． 【解析】（1）由正弦定理可得即， 又，所以，即，解得， 所以. （2）因为，且，， 所以，当且仅当时等号成立， 当取最小值时，取最大值，最大值， 所以的面积的最大值为. 12．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， (1)求B； (2)若的面积为，求c． 【解析】（1）由余弦定理有，对比已知， 可得， 因为，所以， 从而， 又因为，即， 注意到， 所以. （2）由（1）可得，，，从而，， 而， 由正弦定理有， 从而， 由三角形面积公式可知，的面积可表示为 ， 由已知的面积为，可得， 所以. 13．（2024年北京高考数学真题）在中，内角的对边分别为，为钝角，，． (1)求； (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积． 条件①：；条件②：；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【解析】（1）由题意得，因为为钝角， 则，则，则，解得， 因为为钝角，则. （2）选择①，则，因为，则为锐角，则， 此时，不合题意，舍弃； 选择②，因为为三角形内角，则， 则代入得，解得， , 则. 选择③，则有，解得， 则由正弦定理得，即，解得， 因为为三角形内角，则， 则 ， 则 14．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A． (2)若，，求的周长． 【解析】（1）方法一：常规方法（辅助角公式） 由可得，即， 由于，故，解得 方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系） 由，又，消去得到： ，解得， 又，故 方法三：利用极值点求解 设，则， 显然时，，注意到， ，在开区间上取到最大值，于是必定是极值点， 即，即， 又，故 方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式） 设，由题意，， 根据向量的数量积公式， ， 则，此时，即同向共线， 根据向量共线条件，， 又，故 方法五：利用万能公式求解 设，根据万能公式，， 整理可得，， 解得，根据二倍角公式，， 又，故 （2）由题设条件和正弦定理 ， 又，则，进而，得到， 于是， ， 由正弦定理可得，，即， 解得， 故的周长为 15．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）记的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，求面积． 【解析】（1）因为，所以，解得：． （2）由正弦定理可得 ， 变形可得：，即， 而，所以，又，所以， 故的面积为． 16．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知在中，． (1)求； (2)设，求边上的高． 【解析】（1）， ，即， 又， ， ， ， 即，所以， . （2）由（1）知，， 由， 由正弦定理，，可得， ， . 17．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且． (1)若，求； (2)若，求． 【解析】（1）方法1：在中，因为为中点，，， 则，解得， 在中，，由余弦定理得， 即，解得，则， ， 所以. 方法2：在中，因为为中点，，， 则，解得， 在中，由余弦定理得， 即，解得，有，则， ，过作于，于是，， 所以. （2）方法1：在与中，由余弦定理得， 整理得，而，则， 又，解得，而，于是， 所以. 方法2：在中，因为为中点，则，又， 于是，即，解得， 又，解得，而，于是， 所以. 题型一：三角形解的个数判定 【典例1-1】已知的内角的对边分别为，若满足的有两解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在中，，， 由正弦定理可得， 有两解，则满足，所以， 综上，的取值范围为. 【典例1-2】（多选题）已知的内角，，所对的边分别为，，，边上的高为，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】对于A，，由，得，由正弦定理得 ，而，因此，A正确； 对于B，由及正弦定理得， 即，则 ，即，又， 因此，又，则，，B正确； 对于C，若，则，由正弦定理得，由选项B知， ，而 解得，即，矛盾，C错误； 对于D，由选项A知，，而， 则，整理得， 而，因此，又，则， ，D正确. 故选：ABD 【变式1-1】（多选题）（2026·湖南·一模）在中，是的中点，则下列结论正确的是（　　） A．可以是钝角三角形 B． C．若，则 D． 【答案】BCD 【解析】对于A， ， 即， 所以 所以， 即得，即， 因为，所以， 故，则， 所以， 故为直角三角形，故A错误； 对于B，由，则，所以， 由于，故，故B正确； 对于C，由，则， 所以， 其中， 又， 故，故C正确； 对于D，，所以必是锐角三角形， 即证， 又，即证，即，成立，故D正确. 故选：BCD. 【变式1-2】在锐角中，角，，的对边分别为，，，的面积为S，若，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】在中，，， ， ，即， 由余弦定理可得，， 故， 由正弦定理可得，，化简整理可得，， 故或（舍去）， 则， 为锐角三角形， ，解得， 故， 故答案为： 【变式1-3】在中，角，，的对边分别为，，，若满足，的有两个，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在中，，所以， 由有两个解，得， 即，解得，即的取值范围为. 【变式1-4】满足，，的恰有两解，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】若三角形有两个解，则，即， 所以的取值范围是. 【变式1-5】（2026·高三·安徽·期中）在中，内角的对边分别为，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】A选项，三角形的三个角确定，一条边确定，则三角形只有一个解，故A错； B选项，，所以三角形无解，故B错； C选项，，所以三角形有两个解，故C正确； D选项，，所以,三角形只有一个解，故D错. 故选：C. 【变式1-6】张老师整理旧资料时发现一题部分字迹模糊不清，只能看到：在中，，，分别是角，，的对边，已知，，求边，显然缺少条件，若他打算补充的大小，并使得只有一解，的取值不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可知三角形只有一个解， 由上图可知： 若只有一解，可知以为圆心，为半径的圆弧与有一个交点， 则或，即或， 所以的取值不可能为， 故选：B 【变式1-7】在中，分别为角所对边，已知，，，若满足条件的角有两个不同的值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由正弦定理，可得，所以， 若满足条件的角有两个不同的值，即三角形有两解， 所以，则，即，解得. 故选：C. 题型二：含倍角与正弦平方和差问题 【典例2-1】在锐角中，角、、的对边分别为、、，，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由及余弦定理可得，整理可得， 由正弦定理可得 ， 因为、，所以， 因为，故， 因为正弦函数在上为增函数，所以，故， 所以 ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为. 【典例2-2】（2026·湖北武汉·模拟预测）已知中，角所对的边分别为，若，，，则（   ） A．3 B．5 C． D． 【答案】D 【解析】由，得， 所以. 由余弦定理，得， 解得或. 若，则，得，又由且，得， 所以，与矛盾； 若，由余弦定理得， 又，且， 所以，符合题意． 综上所述，. 【变式2-1】（2026·海南儋州·一模）在中，内角，，的对边分别为，，，若，，则内切圆的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由 ,得 , . 由 及正弦定理 ,得 , 即 , 因为, 所以. 由余弦定理 ,代入 , 得 ,整理得 , 所以, . 由余弦定理 , 因为, 所以. 的面积 , 周长 . 设内切圆半径为 ,则 , 所以 . 【变式2-2】（2026·广东广州·模拟预测）记锐角三角形的内角所对的边分别为，已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以． 由正弦定理，有所以． 因为． 又， 所以． 因为是锐角三角形，所以 所以，所以． 所以，即的取值范围是， 故选：D． 题型三：三角形形状的判断 【典例3-1】（2026·江苏苏州·三模）已知钝角三角形的三边分别为，，，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可知钝角三角形的三边分别为，，， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 【典例3-2】（2026·湖南株洲·模拟预测）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则一定是（    ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形 【答案】B 【解析】由余弦定理得，由题意得， 即，因为，整理得， 即，即，故一定是等腰三角形. 【变式3-1】在中，角的对边分别为，已知，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【解析】在中，由正弦定理，为外接圆半径. 得，. 将其代入已知条件，可得. 化简得，因为，所以. 因此有两种情况： ①，即，此时为等腰三角形； ②，即，则，此时为直角三角形. 综上，的形状为等腰三角形或直角三角形. 【变式3-2】（2026·湖南湘潭·三模）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．无法确定的 【答案】B 【解析】由，可得，则， 则，则A为钝角， 故的形状是钝角三角形. 【变式3-3】（2026·湖北·二模）在中，角、、的对边分别为、、，的面积记为，若且，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰非等边三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 【答案】C 【解析】在中，， 又可得，从而； 利用余弦定理和面积公式可将化为， 所以，从而，故是等边三角形. 题型四：解三角形与平面几何综合问题 【典例4-1】如图，在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则_________，点为边上一点，且，则的面积为_________．    【答案】 10 【解析】因为，，，可知角为锐角， 由正弦定理可得，则， 可得，； 因为，则， 由余弦定理可得，即， 整理可得，解得或， 且，则，， 又因为，． 【典例4-2】如图，在平面四边形中，，，，，则_________. 【答案】/ 【解析】设，在中，由正弦定理可得①， 由可得，则，， 在中，由正弦定理可得②， ①②两式相除，得，即， 整理得，故. 故答案为： 【变式4-1】如图，在平面四边形ABCD中，，，，CD=4，AB=2，则AC=___________. 【答案】 【解析】在中，由正弦定理可得：， 所以①， 在中，由正弦定理可得：， 所以②， 又因为，所以由①②可得：， 解得：， 所以在中，由余弦定理得： ， 解得：. 故答案为: . 【变式4-2】（2026·高三·河南·阶段检测）已知在平面四边形中，，，，，四个内角满足，则四边形的面积为___________. 【答案】 【解析】由题意，，且，则. 在中，， 在中，， 故且，解得， 则 ， 故答案为：D. 【变式4-3】（2026·高三·浙江·开学考试）如图所示，在平面四边形中，，，，，则_______________，若，则_______________. 【答案】 5 【解析】在中，根据 ，，，利用正弦定理求得 ，然后再利用平方关系求解.在中根据，，结合（1）利用余弦定理求解BD.在中， ，，， 由正弦定理得：， 所以， 所以. 在中，，， 由余弦定理得：， ， 所以， 故答案为：；5 【变式4-4】如图，在平面四边形中，，，，，，.则______，的长为______. 【答案】 【解析】由余弦定理可得 即，解得或（舍） 在中，由正弦定理得，即 则 为锐角， 在直角三角形中 故答案为：； 题型五：运用正余弦定理解三角形 【典例5-1】在中，已知，，，则角为（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【解析】由正弦定理得，， 即，解得， 又， 所以或. 【典例5-2】在中，内角，，所对的边分别是，，．已知，，，则的大小为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【解析】在中，，，， 由正弦定理，得，解得， 因为，所以，所以， 所以，故选项A正确. 【变式5-1】已知，，分别为三个内角，，所对的边，若，，，则（     ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【解析】在中，由正弦定理可得，解得， 由于，则，即为锐角，故. 【变式5-2】（2026·湖南湘西·三模）在中，内角的对边分别为，已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以，所以， 在中，由以及正弦定理得：，得． 【变式5-3】在中，已知，，则的值为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【解析】在中，，则，得， 已知，，则是锐角，故， 已知，则也是锐角，故， 因此. 【变式5-4】已知的三边长分别为，且面积，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，且，又， 所以，得，即， 因为，则. 【变式5-5】在中，角的对边分别为，已知，，，则等于（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【解析】由余弦定理及已知，得，则（舍去）. 【变式5-6】在中，内角，，的对边分别是，，．若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由和正弦定理，可得， 又因为， 由余弦定理可得， 且，所以． 【变式5-7】（2026·高三·河南·阶段检测）在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意，，由正弦定理得，， 所以，由余弦定理可得，， 即，所以， 即，又因为，所以. 【变式5-8】（2026·河南·模拟预测）在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由余弦定理得，，即 解得，. 因为，所以. 所以. 题型六：三角形周长计算与最值 【典例6-1】（2026·山东聊城·一模）记的内角的对边分别为，已知，的面积为，． (1)求； (2)求的周长. 【解析】（1），由正弦定理知， 因为，， 所以，即． 又因为，所以． （2）因为的面积为，所以． 由（1）知，所以，所以． 由余弦定理知，， 所以， 所以，所以， 所以的周长为． 【典例6-2】（黑龙江哈尔滨市第五中学校2025-2026学年高三6月月考数学试卷）已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，向量，，且． (1)求 ； (2)若 ，且 的周长为 ，求 ， ． 【解析】（1）因为，，且， 所以 ，即 ， 由正弦定理得， ， 因为 ， 所以 ， 所以 ， 因为 ，所以 ，所以， 因为 ，所以 （2）由余弦定理可得 ， 则 ①， 因为 ，且 的周长为 ， 所以 ，② 联立①②，解得 ． 【变式6-1】（2026·江苏苏州·三模）已知锐角中，内角，，所对的边分别为，，，. (1)求的值； (2)若，，求的周长. 【解析】（1）由正弦定理得， 又因为， 所以， 所以. 因为在锐角中，所以. （2）因为，， 所以， 因为， 所以，所以，所以，， 由正弦定理，得，， 所以的周长为. 【变式6-2】（2026·福建莆田·模拟预测）在中，． (1)求； (2)若，求的周长． 【解析】（1），解得，或， 因为，所以方程无实数解； 由； （2）设所对的边分别为， 因为， 所以根据正弦定理，由， 由余弦定理，得， 所以的周长为. 【变式6-3】（2026·高三·安徽合肥·阶段检测）已知在中，角的对边分别为，且． (1)求的值； (2)若的周长为6，内切圆半径为，求的值． 【解析】（1）在中，由及正弦定理得： ， 则， 整理得：， 即， 由，得，则， 两边平方得， 即 由，得， 解得，故； （2）由的周长为6，内切圆半径为， 得， 解得， 由余弦定理得，即， 整理得， 解得， ，又，解得， 因此． 【变式6-4】（2026·河南许昌·三模）的内角A，B，C的对边分别为．已知，． (1)求； (2)若的面积为，求的周长． 【解析】（1）由， 又，所以．即， 由余弦定理得，得，即 ． 因为，所以，所以，所以． 所以． 因此或（舍去），所以． （2）因为的面积为，所以． 所以① 由正弦定理设，因为. 所以． 所以，，． 代入①式，解得，所以，，． 所以的周长为． 题型七：三角形面积相关计算 【典例7-1】（2026·重庆·三模）在中，分别为内角的对边，已知，． (1)若，求； (2)若的周长为7，求的面积． 【解析】（1）由余弦定理与条件， ①若，可得， 由且解得，，； ②若，则，不合题意； 综上，； （2）①当时，由及，得， 所以，因为, 所以 此时的面积． ②当时，则有， 由，得，则， 此时的面积． 【典例7-2】（2026·高三·广东深圳·阶段检测）记的内角的对边分别为a，b，c，已知． (1)求C； (2)若，，求的面积． 【解析】（1）依题意，， ∵，∴， ∴，∴. （2）∵，∴， ∴ ， 由正弦定理，得， ∴的面积为. 【变式7-1】（2026·高三·安徽六安·阶段检测）在中，内角A，B，C对边分别为a，b，c，其中A为钝角，，且满足 (1)求角B； (2)若，，求的面积． 【解析】（1）由题意可知：， 化简可知：， 得， ①时，，又，则，A为锐角，不符合题意； ②，此时可得（B为锐角），此时符合题意． 综上， （2）， 可得，， ， ，， ． 【变式7-2】（2026·山东淄博·三模）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且，． (1)求A，C； (2)若，求a，c． 【解析】（1），， 又，， ， ,所以, （舍）或， 当时，， ，， 综上，． （2）由（1）知，， 由正弦定理，， ， ． 【变式7-3】（2026·青海西宁·二模）在中，角对应边分别是．已知成等差数列，且． (1)求的值； (2)若，求的面积． 【解析】（1）由，得，即， 由题意可知，所以， 可知. （2）当时，， 因为，所以， 则. 【变式7-4】（2026·河南安阳·模拟预测）在中，内角的对边分别为，已知. (1)证明：； (2)若是锐角三角形，，求的面积. 【解析】（1），由正弦定理得，① 在中，， ， 代入①式，得， 整理得. 利用二倍角公式，得， 去括号整理得， ，， 两边同时除以，得， 两边同时除以，得，得证； （2），是锐角三角形，， ， 由（1）可知，， 为锐角，， ，解得， ， 由正弦定理得， . 【变式7-5】（2026·高三·陕西西安·阶段检测）在中，内角的对边分别为，且. (1)求的值； (2)若，求外接圆的面积. 【解析】（1）因为，由正弦定理得， 由余弦定理得， 所以，由正弦定理得， 因为，所以， 所以，故. （2）因为，又， 所以， 所以， 记外接圆的半径为，所以，解得， 所以外接圆的面积. 【变式7-6】（2026·高三·青海海东·阶段检测）设分别为三个内角的对边，且 (1)求角的大小； (2)已知，，求的面积. 【解析】（1）因为， 根据余弦定理可得，即， 所以代入可得， 化简可得， 由正弦定理可得， 因为是的内角，所以，即， 因为，所以. （2）因为，，， 由余弦定理可得， 代入可得，化简可得，即， 因为，所以， 因此. 题型八：解三角形的实际应用 【典例8-1】（2026·重庆·模拟预测）如图，某海滨城市附近海面上有一台风，在城市测得该台风中心位于南偏东，距离为的海面处，并以的速度沿北偏西的方向移动．如果台风侵袭的范围是半径为的圆形区域．则该城市开始受到台风侵袭的时间为（    ） A．5小时后 B．10小时后 C．15小时后 D．20小时后 【答案】B 【解析】设小时后台风中心移动到点，此时城市开始受到台风侵袭，即km， 已知，台风速度为，因此， 根据方位角关系可得， 在中，由余弦定理：， 代入数值， ， 化简得：，解得或， 依题意开始受到侵袭的时间，取较小值. 【典例8-2】（2026·广东珠海·模拟预测）龙辰塔，萧县“龙城”文化地标，矗立于岱湖中心，是一座仿唐宋形制的八角仿古景观塔．某中学社会实践小组为探究这座古塔的高度，开展了一次实地测量的活动，他们在塔底B所在的水平地面上选取C，D两点，测得米，， ，在点处测得塔顶的仰角为，则龙辰塔的高度约为（   ）（参考数据：取，） A．46米 B．48米 C．50米 D．52米 【答案】D 【解析】依题意，， 在中，由正弦定理得， 即， 在中，， 所以（米）. 【变式8-1】（2026·辽宁锦州·二模）《海岛算经》问题一：今有望海岛，立两表齐高三丈（五步），前后相去千步，令后表与前表参相直，从前表却行一百二十三步，人目著地取望海峰，与表末参合，从后表却行一百二十七步，人目著地取望海峰，亦与表末参合．问岛高几何大意为：现在有人观测海岛，立两根竿（表）皆高3丈（5步），前后相距步，令后表与前表及岛峰三者在同一平面内，从前表退行步，人目着地观测岛峰，与竿顶端重合，从后表退行步，人目着地观测岛峰，也与竿顶端重合，则岛高为（    ） A．步 B．步 C．步 D．步 【答案】C 【解析】设海岛到前表水平距离为，岛高为， 则，解得， 岛高为步． 【变式8-2】（2026·福建漳州·三模）为了测量某古塔的高度，设点为塔顶，点为在地平面上的投影，小张遥控无人机（将无人机视为质点）从地平面上的处竖直向上飞行6米后到达处，在处测得塔顶的仰角为，然后继续竖直向上飞行10米后到达处，在处测得塔顶的仰角为，则该古塔的高度为（    ） A．21米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【解析】如图，作于于， 则为矩形，， 则， 所以， 所以，， 所以（米）. 【变式8-3】最大视角问题是1471年德国数学家米勒提出的几何极值问题，故最大视角问题一般称为“米勒问题”．如图，树顶A离地面18米，树上另一点B离地面11米，若在离地面2米的C处看此树（树与底面垂直），则取最大值时，点C到树底的距离与值的积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图，过点作，交于点， 则，，， 设，，，在中，， 在中，， 所以， 其中，当且仅当，即时等号成立， 所以，即当时， 取得最大值， 点到树底的距离为水平距离，则 取得最大值时， 点C到树底的距离与值的积为. 【变式8-4】如图，在河岸上测量河对面，两点间的距离，测得，，，，，则（   ） A． B． C．4 D． 【答案】A 【解析】因为，， 在中，由正弦定理可得，则． 在中，由正弦定理可得，则． 在中，由余弦定理可得，则． 题型九：解三角形与三角函数性质综合应用 【典例9-1】（2026·辽宁盘锦·一模）已知向量，，设函数. (1)求函数的单调递增区间及其图象的对称中心； (2)已知a，b，c分别为钝角三角形的内角A，B，C对应的三边长，A为锐角，，，且，求三角形的面积. 【解析】（1）， . 所以. 由 ，得. 即 . 由 ， 得 ，即. 所以函数 的单调递增区间为 . 令 ，得 ， 此时 ，所以函数 的图象的对称中心为 . 综上所述，函数的单调递增区间为，图象的对称中心为 （2）由（1）知 ，由 得 ， 因为 为锐角，所以，则 ， 所以，解得 . 由余弦定理得 ，即 ，整理得 ，解得 或 . 当 时，，，此时 ，由正弦定理得 ， 即 ，解得 ，所以 或 ， 若 ，则 ，此时三角形为直角三角形，与钝角三角形矛盾; 若 ，则 ，此时三角形为钝角三角形，符合题意， 三角形面积 . 当 时，，，由余弦定理得 ， 所以，此时三角形为直角三角形，与钝角三角形矛盾，舍去. 综上所述，三角形 的面积为 . 【典例9-2】（2026·山东枣庄·模拟预测）已知向量．设． (1)求函数的单调增区间； (2)在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c．若，三角形的面积为，求边a的长． 【解析】（1）因为， 则 ， 令 得， 故函数的单调增区间为． （2）因为， 所以，又，则 所以，则，又， ，所以， 由余弦定理可得： 故． 【变式9-1】著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德·费马（1601－1665）于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”，费马问题中的所求点称为费马点.已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于120°时，使得的点即为费马点．在中，角的对边分别为，且．若是的“费马点”，． (1)求角； (2)若为锐角三角形，求的周长的取值范围； (3)若，且. ①求的周长 ②求的值. 【解析】（1）由已知，得， 由正弦定理，得， 即， 即， 由于，所以，所以. （2）由正弦定理可得， 则， 可得的周长 ， 又因为为锐角三角形，则，解得， 则，可得，， 所以的周长的取值范围为. （3）①设， 则． 所以，由得： ，即， 由余弦定理得，， 即，即， 又，联立解得． 所以的周长为； ③由在中，由余弦定理得， 联立求解可得， 则， 即，所以. 【变式9-2】（2026·高三·上海·期中）已知函数. (1)求的最小正周期和严格增区间; (2)若是三角形的内角，，求三角形的外接圆半径. 【解析】（1）， 由两角差的正弦公式得. 所以， 展开得，即. 再根据辅助角公式得.   根据周期公式得， 因为的单调增区间是. 令，则， 解得， 所以的严格增区间是. （2）已知. 因为是三角形内角，即，则. 所以，或，解得，或. 已知，根据正弦定理. 当，，则，解得. 当，，则，解得 则三角形的外接圆半径为1或2. 【变式9-3】（2026·辽宁鞍山·模拟预测）已知向量，，设函数． (1)求函数的单调递增区间及其图象的对称轴方程； (2)已知a，b，c分别为三角形ABC的内角A，B，C对应的三边长，，，，且恰是函数在上的最大值，求三角形ABC的面积． 【解析】（1） ， 由，，得， 所以函数的单调递增区间为，， 令，，解得， 所以函数的对称轴方程为，. （2）由（1）知， 当时，则当即时函数取得最大值， 又恰是函数在上的最大值，且为锐角，可得， 由余弦定理可得，解得或， 因为，所以，则， 所以三角形的面积. 所以三角形的面积为. 1．（2026·湖北武汉·三模）已知的内角，，所对的边分别为，，，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由正弦定理得，， 代入，得，即， 所以，即， 因为，所以，所以， 所以，所以当，即时， 2．（2026·山东聊城·二模）在中，已知，则（ ） A． B． C． D．4 【答案】A 【解析】在中，设， 因为，所以， 根据余弦定理可得，，又， 所以，故， 求解可得， 所以. 3．（2026·北京朝阳·模拟预测）已知、、是的三个内角，且，则下列结论中正确的是（     ） A． B．可以取到 C． D．可以取到 【答案】D 【解析】因为，又，所以，， 所以，，又，所以或， 若，则，由余弦定理可得， 所以，故A错误； 因为，又在上单调递增，所以， 又，所以取不到，故B错误； 若，又在上单调递增，所以， 若，可得，又，所以，故C错误； 因为或，又在上单调递减，所以， 又，所以可以取到，故D正确. 4．（2026·山东潍坊·三模）设的内角所对的边分别为，若，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，， 由正弦定理可得：. 又，，，. 又，可得. 5．（2026·北京石景山·二模）在中，，，D为BC边上的中点，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在中，由余弦定理得， 而，则， 两式联立解得，所以的面积为. 6．（2026·吉林延边·二模）在中，角、、的对边分别为、、，满足，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，， 根据正弦定理，可得， 化简得， 即， 又，所以， 所以， 所以①，即，不符合题意， ②，即， 所以， 又，所以. 7．（2026·陕西咸阳·三模）已知的面积为，若，，则（   ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【解析】由及正弦定理得，， 又，所以. 又，即， 所以. 8．（2026·广东广州·三模）在中，内角所对的边分别为，若，的面积为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在中，由及的面积为，得， 即，解得， 由正弦定理，得， 因此，所以. 9．（多选题）（2026·陕西西安·模拟预测）在 中，，，，则（    ） A．外接圆的半径为 B． C．是钝角三角形 D．内切圆的半径为 【答案】ABD 【解析】在 中，由，则， 对于A，设 外接圆的半径为 ， 则由正弦定理有，即，故A正确； 对于B，由余弦定理有， 即， 化简整理得， 解得，或（舍去），故B正确； 对于C，结合选项B知为最大边，且其对应的角为最大角， 又，所以的最大角为锐角， 所以 是锐角三角形，故C错误； 对于D，设 内切圆的半径为 ，结合选项B有， 则， 即，解得，故D正确． 10．（多选题）（2026·海南三亚·一模）已知中，与均为锐角，的面积为，且，则（） A． B． C．周长为 D． 【答案】ACD 【解析】由，可得. 因为， 所以， 则， 即. 因为与均为锐角，所以 当时，此时，. 当时，， 此时，，则， 且，，则， 此时与不能同时成立，同理，也不成立， 综上 ， 选项A正确. 因为，则，由可得成立， 又，则， 成立， 此时， 由正弦定理：，，即， 故. ，，即，所以，，选项B错误. ，选项D正确. 因为， 所以，所以周长选项C正确. 11．（多选题）（2026·山东烟台·模拟预测）在中，角，，的对边分别为，，，，，则下列结论正确的有（    ） A． B． C．外接圆半径为 D． 【答案】ABD 【解析】由及正弦定理得，， ， 代入得， 得， 即，在中，有，故A项正确； 由，得， 得， 因，则，得，故B项正确； 因为，，及， 联立解得， 由得，则， ，故D项正确； 外接圆半径为，故C项错误． 12．（2026·海南海口·模拟预测）记的内角，，所对的边分别为，，.已知，且，则的面积为________. 【答案】 【解析】由正弦定理得，. 则. ， 的面积是. 13．（2026·四川资阳·模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则________． 【答案】 【解析】由余弦定理，得， 而，所以. 14．（2026·陕西咸阳·二模）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则______． 【答案】或或 【解析】因为，，所以、均为方程的根， 对于方程，两根，，，， 所以当时，因为，所以为等边三角形， 则此时或， 当时，，，所以由余弦定理， 则，则此时. 15．（2026·上海浦东新·三模）设． (1)求函数在区间上的最小值； (2)在中，若且，求的面积． 【解析】（1）由题意得 ， 令，，． 对于，开口向下，对称轴． 由二次函数性质得在对称轴处取最大值；最小值在端点处： 当（即）时：； 当（即）时：． 故最小值为4（当时取得）． （2）由，设， 则，得到， 而在内无解．或． 若（此时超出三角形内角和，舍去）． ， 由知为等腰三角形，，． ． 16．（2026·广西·模拟预测）在三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角A； (2)若，，求边c的长． 【解析】（1）因为，由正弦定理得， 又因为，可得，所以，即， 因为，所以； （2）因为，且，所以， 由（1）知：，且，所以， 可得， 又因为，由正弦定理，可得. 17．（2026·高三·福建厦门·阶段检测）已知的内角所对的边分别为，且. (1)求； (2)若为边上一点，，求. 【解析】（1）因为，且， 则， 即， 得， 则， 因为，所以. （2）由（1）得，，因为，所以， 所以， 法①：如图在中，由余弦定理可得：   ， 即， 在中由正弦定理，即，所以， 因为，故， 在中，. 法②：同解法①， 在中由正弦定理，即， 所以， 又因为，即，所以. 法③：同上， 在直角中，，所以， 由（1）问知，所以， 即，得即， 所以，. 法④：由（1）知，则， 因为， 所以， 即，解得， 所以，即， 在中，由正弦定理，即， 解得. 18．（2026·山西忻州·模拟预测）在中，角，，的对边分别为，，，其内切圆半径为，半周长为．已知，，． (1)求； (2)求和的面积． 【解析】（1）已知，半周长， 由面积公式可得： ， 又因为，由面积公式可得： ，因为两式相等，所以约去得： ①，由余弦定理可得：， 又因为，， 所以 ② 将①代入②得：，整理得， 解得正根（负根舍去），因此. （2）由（1）已得，面积，代入可得：，， 所以. 19．已知分别为三个内角的对边，且 (1)求； (2)若，且△ABC的面积为，求. 【解析】（1）由， 结合正弦定理可得， 展开右侧三角式得， 消去同类项后化简为， 整理得， 由，得，解得. （2）由三角形面积公式， 代入，得， 由余弦定理， 代入、，得， 联立，解得. 27/27 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.4 解三角形 目录 01思维导图与题型归纳 2 02 基础知识点梳理 3 知识点一、正弦定理、余弦定理 3 知识点二、三角形的面积公式 3 知识点三、实际应用问题 3 方法技巧总结1：解三角形多解情况 4 方法技巧总结2：解三角形变换原则 4 方法技巧总结3：三角形中的射影定理 5 方法技巧总结4：三角形的形状判断 5 方法技巧总结5：正余弦平方和，平方差与倍角三角形 5 方法技巧总结6：正切恒等式 5 03 真题回顾 6 04 经典题型归纳总结 10 题型一：三角形解的个数判定 10 题型二：含倍角与正弦平方和差问题 11 题型三：三角形形状的判断 11 题型四：解三角形与平面几何综合问题 12 题型五：运用正余弦定理解三角形 13 题型六：三角形周长计算与最值 14 题型七：三角形面积相关计算 16 题型八：解三角形的实际应用 18 题型九：解三角形与三角函数性质综合应用 20 05 课后拓展精练 22 知识点一、正弦定理、余弦定理 1、正弦定理和余弦定理：指的内角的对边，指的外接圆半径 定理 正弦定理 余弦定理 基本公式 ； ； ． 常见 推论 （1），，； （2），，； （3）； （4）． ； ； ． 知识点二、三角形的面积公式 （1）； （2）； （3）； （4）； 知识点三、实际应用问题 （1）距离问题 类型 图形 方法 两点间不可到达的距离 余弦定理 两点间可视不可到达的距离 正弦定理 两个不可到达的点之间的距离 先用正弦定理， 再用余弦定理 （2）高度问题 类型 简图 计算方法 底部可达 测得BC＝a，∠BCA＝C，AB＝a·tanC. 底部不可达 点B与C，D共线 测得CD＝a及C与∠ADB的度数. 先由正弦定理求出AC或AD，再解三角形得AB的值. 点B与C，D不共线 测得CD＝a及∠BCD，∠BDC，∠ACB的度数. 在△BCD中由正弦定理求得BC，再解三角形得AB的值. 方法技巧总结1：解三角形多解情况 在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下： A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 解的个数 一解 两解 一解 一解 无解 方法技巧总结2：解三角形变换原则 在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用： （1）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”； （2）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”； （3）若式子含有的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”； （4）代数变形或者三角恒等变换前置； （5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用； （6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到． 方法技巧总结3：三角形中的射影定理 在中，；；． 方法技巧总结4：三角形的形状判断 ①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状. ②化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状. 方法技巧总结5：正余弦平方和，平方差与倍角三角形 1、正弦平方和： 2、余弦平方和：. 3、正余弦平方差公式: 4、倍角三角形 方法技巧总结6：正切恒等式 1、三角形正切恒等式 在中，恒有： 2、广义三角正切恒等式 当且时， 有 1．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）记的内角的对边分别为，若，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）在中，内角的对边分别是，若，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（2026年高考全国2卷数学高考真题（网络 收集版））已知球的体积为，A，B，C，D四点均在球O的球面上，为等边三角形，，则的面积为__________． 4．（2024年上海春季高考练习数学试题）三角形中，，则______ 5．（2024年上海秋季高考数学试题（网络收集版））已知点B在点C正北方向，点D在点C的正东方向，,存在点A满足，则______(精确到0.1度) 6．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）在中，，的角平分线交BC于D，则_________． 7．（2026年高考全国2卷数学高考真题（网络 收集版））在中，已知，． (1)证明：为钝角三角形； (2)若的面积为，求的周长． 8．（2026年高考全国1卷数学高考真题（网络 收集版））已知在中，，，． (1)求； (2)设，两点满足：在的延长线上，，．若，求． 9．（2025年高考北京卷数学真题）在中，． (1)求c的值； (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求BC边上的高． 条件①：；条件②：；条件③：的面积为． 10．（2025年高考天津卷数学真题）在中，角的对边分别为．已知，，． (1)求A的值； (2)求c的值； (3)求的值． 11．（2025年上海春季高考练习数学试题）在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且． (1)若，求a； (2)若，求的面积的最大值． 12．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， (1)求B； (2)若的面积为，求c． 13．（2024年北京高考数学真题）在中，内角的对边分别为，为钝角，，． (1)求； (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积． 条件①：；条件②：；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 14．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A． (2)若，，求的周长． 15．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）记的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，求面积． 16．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知在中，． (1)求； (2)设，求边上的高． 17．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且． (1)若，求； (2)若，求． 题型一：三角形解的个数判定 【典例1-1】已知的内角的对边分别为，若满足的有两解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【典例1-2】（多选题）已知的内角，，所对的边分别为，，，边上的高为，若，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（多选题）（2026·湖南·一模）在中，是的中点，则下列结论正确的是（　　） A．可以是钝角三角形 B． C．若，则 D． 【变式1-2】在锐角中，角，，的对边分别为，，，的面积为S，若，则的取值范围为______． 【变式1-3】在中，角，，的对边分别为，，，若满足，的有两个，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1-4】满足，，的恰有两解，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式1-5】（2026·高三·安徽·期中）在中，内角的对边分别为，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-6】张老师整理旧资料时发现一题部分字迹模糊不清，只能看到：在中，，，分别是角，，的对边，已知，，求边，显然缺少条件，若他打算补充的大小，并使得只有一解，的取值不可能是（    ） A． B． C． D． 【变式1-7】在中，分别为角所对边，已知，，，若满足条件的角有两个不同的值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型二：含倍角与正弦平方和差问题 【典例2-1】在锐角中，角、、的对边分别为、、，，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【典例2-2】（2026·湖北武汉·模拟预测）已知中，角所对的边分别为，若，，，则（   ） A．3 B．5 C． D． 【变式2-1】（2026·海南儋州·一模）在中，内角，，的对边分别为，，，若，，则内切圆的半径为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2026·广东广州·模拟预测）记锐角三角形的内角所对的边分别为，已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型三：三角形形状的判断 【典例3-1】（2026·江苏苏州·三模）已知钝角三角形的三边分别为，，，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【典例3-2】（2026·湖南株洲·模拟预测）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则一定是（    ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形 【变式3-1】在中，角的对边分别为，已知，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【变式3-2】（2026·湖南湘潭·三模）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．无法确定的 【变式3-3】（2026·湖北·二模）在中，角、、的对边分别为、、，的面积记为，若且，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰非等边三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 题型四：解三角形与平面几何综合问题 【典例4-1】如图，在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则_________，点为边上一点，且，则的面积为_________．    【典例4-2】如图，在平面四边形中，，，，，则_________. 【变式4-1】如图，在平面四边形ABCD中，，，，CD=4，AB=2，则AC=___________. 【变式4-2】（2026·高三·河南·阶段检测）已知在平面四边形中，，，，，四个内角满足，则四边形的面积为___________. 【变式4-3】（2026·高三·浙江·开学考试）如图所示，在平面四边形中，，，，，则_______________，若，则_______________. 【变式4-4】如图，在平面四边形中，，，，，，.则______，的长为______. 题型五：运用正余弦定理解三角形 【典例5-1】在中，已知，，，则角为（    ） A． B．或 C．或 D． 【典例5-2】在中，内角，，所对的边分别是，，．已知，，，则的大小为（   ） A． B． C．或 D．或 【变式5-1】已知，，分别为三个内角，，所对的边，若，，，则（     ） A． B． C．或 D． 【变式5-2】（2026·湖南湘西·三模）在中，内角的对边分别为，已知，则（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】在中，已知，，则的值为（   ） A． B． C．或 D． 【变式5-4】已知的三边长分别为，且面积，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式5-5】在中，角的对边分别为，已知，，，则等于（   ） A．1 B．2 C． D． 【变式5-6】在中，内角，，的对边分别是，，．若，，则（   ） A． B． C． D． 【变式5-7】（2026·高三·河南·阶段检测）在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-8】（2026·河南·模拟预测）在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 题型六：三角形周长计算与最值 【典例6-1】（2026·山东聊城·一模）记的内角的对边分别为，已知，的面积为，． (1)求； (2)求的周长. 【典例6-2】（黑龙江哈尔滨市第五中学校2025-2026学年高三6月月考数学试卷）已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，向量，，且． (1)求 ； (2)若 ，且 的周长为 ，求 ， ． 【变式6-1】（2026·江苏苏州·三模）已知锐角中，内角，，所对的边分别为，，，. (1)求的值； (2)若，，求的周长. 【变式6-2】（2026·福建莆田·模拟预测）在中，． (1)求； (2)若，求的周长． 【变式6-3】（2026·高三·安徽合肥·阶段检测）已知在中，角的对边分别为，且． (1)求的值； (2)若的周长为6，内切圆半径为，求的值． 【变式6-4】（2026·河南许昌·三模）的内角A，B，C的对边分别为．已知，． (1)求； (2)若的面积为，求的周长． 题型七：三角形面积相关计算 【典例7-1】（2026·重庆·三模）在中，分别为内角的对边，已知，． (1)若，求； (2)若的周长为7，求的面积． 【典例7-2】（2026·高三·广东深圳·阶段检测）记的内角的对边分别为a，b，c，已知． (1)求C； (2)若，，求的面积． 【变式7-1】（2026·高三·安徽六安·阶段检测）在中，内角A，B，C对边分别为a，b，c，其中A为钝角，，且满足 (1)求角B； (2)若，，求的面积． 【变式7-2】（2026·山东淄博·三模）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且，． (1)求A，C； (2)若，求a，c． 【变式7-3】（2026·青海西宁·二模）在中，角对应边分别是．已知成等差数列，且． (1)求的值； (2)若，求的面积． 【变式7-4】（2026·河南安阳·模拟预测）在中，内角的对边分别为，已知. (1)证明：； (2)若是锐角三角形，，求的面积. 【变式7-5】（2026·高三·陕西西安·阶段检测）在中，内角的对边分别为，且. (1)求的值； (2)若，求外接圆的面积. 【变式7-6】（2026·高三·青海海东·阶段检测）设分别为三个内角的对边，且 (1)求角的大小； (2)已知，，求的面积. 题型八：解三角形的实际应用 【典例8-1】（2026·重庆·模拟预测）如图，某海滨城市附近海面上有一台风，在城市测得该台风中心位于南偏东，距离为的海面处，并以的速度沿北偏西的方向移动．如果台风侵袭的范围是半径为的圆形区域．则该城市开始受到台风侵袭的时间为（    ） A．5小时后 B．10小时后 C．15小时后 D．20小时后 【典例8-2】（2026·广东珠海·模拟预测）龙辰塔，萧县“龙城”文化地标，矗立于岱湖中心，是一座仿唐宋形制的八角仿古景观塔．某中学社会实践小组为探究这座古塔的高度，开展了一次实地测量的活动，他们在塔底B所在的水平地面上选取C，D两点，测得米，， ，在点处测得塔顶的仰角为，则龙辰塔的高度约为（   ）（参考数据：取，） A．46米 B．48米 C．50米 D．52米 【变式8-1】（2026·辽宁锦州·二模）《海岛算经》问题一：今有望海岛，立两表齐高三丈（五步），前后相去千步，令后表与前表参相直，从前表却行一百二十三步，人目著地取望海峰，与表末参合，从后表却行一百二十七步，人目著地取望海峰，亦与表末参合．问岛高几何大意为：现在有人观测海岛，立两根竿（表）皆高3丈（5步），前后相距步，令后表与前表及岛峰三者在同一平面内，从前表退行步，人目着地观测岛峰，与竿顶端重合，从后表退行步，人目着地观测岛峰，也与竿顶端重合，则岛高为（    ） A．步 B．步 C．步 D．步 【变式8-2】（2026·福建漳州·三模）为了测量某古塔的高度，设点为塔顶，点为在地平面上的投影，小张遥控无人机（将无人机视为质点）从地平面上的处竖直向上飞行6米后到达处，在处测得塔顶的仰角为，然后继续竖直向上飞行10米后到达处，在处测得塔顶的仰角为，则该古塔的高度为（    ） A．21米 B．米 C．米 D．米 【变式8-3】最大视角问题是1471年德国数学家米勒提出的几何极值问题，故最大视角问题一般称为“米勒问题”．如图，树顶A离地面18米，树上另一点B离地面11米，若在离地面2米的C处看此树（树与底面垂直），则取最大值时，点C到树底的距离与值的积为（    ） A． B． C． D． 【变式8-4】如图，在河岸上测量河对面，两点间的距离，测得，，，，，则（   ） A． B． C．4 D． 题型九：解三角形与三角函数性质综合应用 【典例9-1】（2026·辽宁盘锦·一模）已知向量，，设函数. (1)求函数的单调递增区间及其图象的对称中心； (2)已知a，b，c分别为钝角三角形的内角A，B，C对应的三边长，A为锐角，，，且，求三角形的面积. 【典例9-2】（2026·山东枣庄·模拟预测）已知向量．设． (1)求函数的单调增区间； (2)在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c．若，三角形的面积为，求边a的长． 【变式9-1】著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德·费马（1601－1665）于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”，费马问题中的所求点称为费马点.已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于120°时，使得的点即为费马点．在中，角的对边分别为，且．若是的“费马点”，． (1)求角； (2)若为锐角三角形，求的周长的取值范围； (3)若，且. ①求的周长 ②求的值. 【变式9-2】（2026·高三·上海·期中）已知函数. (1)求的最小正周期和严格增区间; (2)若是三角形的内角，，求三角形的外接圆半径. 【变式9-3】（2026·辽宁鞍山·模拟预测）已知向量，，设函数． (1)求函数的单调递增区间及其图象的对称轴方程； (2)已知a，b，c分别为三角形ABC的内角A，B，C对应的三边长，，，，且恰是函数在上的最大值，求三角形ABC的面积． 1．（2026·湖北武汉·三模）已知的内角，，所对的边分别为，，，若，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2026·山东聊城·二模）在中，已知，则（ ） A． B． C． D．4 3．（2026·北京朝阳·模拟预测）已知、、是的三个内角，且，则下列结论中正确的是（     ） A． B．可以取到 C． D．可以取到 4．（2026·山东潍坊·三模）设的内角所对的边分别为，若，，则（     ） A． B． C． D． 5．（2026·北京石景山·二模）在中，，，D为BC边上的中点，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 6．（2026·吉林延边·二模）在中，角、、的对边分别为、、，满足，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．（2026·陕西咸阳·三模）已知的面积为，若，，则（   ） A． B． C．3 D． 8．（2026·广东广州·三模）在中，内角所对的边分别为，若，的面积为，则（ ） A． B． C． D． 9．（多选题）（2026·陕西西安·模拟预测）在 中，，，，则（    ） A．外接圆的半径为 B． C．是钝角三角形 D．内切圆的半径为 10．（多选题）（2026·海南三亚·一模）已知中，与均为锐角，的面积为，且，则（） A． B． C．周长为 D． 11．（多选题）（2026·山东烟台·模拟预测）在中，角，，的对边分别为，，，，，则下列结论正确的有（    ） A． B． C．外接圆半径为 D． 12．（2026·海南海口·模拟预测）记的内角，，所对的边分别为，，.已知，且，则的面积为________. 13．（2026·四川资阳·模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则________． 14．（2026·陕西咸阳·二模）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则______． 15．（2026·上海浦东新·三模）设． (1)求函数在区间上的最小值； (2)在中，若且，求的面积． 16．（2026·广西·模拟预测）在三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角A； (2)若，，求边c的长． 17．（2026·高三·福建厦门·阶段检测）已知的内角所对的边分别为，且. (1)求； (2)若为边上一点，，求. 18．（2026·山西忻州·模拟预测）在中，角，，的对边分别为，，，其内切圆半径为，半周长为．已知，，． (1)求； (2)求和的面积． 19．已知分别为三个内角的对边，且 (1)求； (2)若，且△ABC的面积为，求. 27/27 学科网（北京）股份有限公司 $