2027届高考数学一轮复习----3.2 导数与函数的单调性（8大题型）（讲义+精练）-2027年新高考数学一轮总复习解题妙招精讲与题型整合（新高考专用）

该高中数学高考复习讲义围绕导数与函数单调性核心考点，按基础知识点梳理、方法总结、真题回顾、分层题型归纳的逻辑架构展开，通过考点梳理明确导数与单调性关系，方法指导提炼含参讨论步骤，真题训练对接高考题型，帮助学生系统突破难点。 资料以8类经典题型（含无参、一次型、指对结合等）为载体，采用“典例+变式”教学模式，通过六步讨论法培养学生数学思维，设置课后拓展精练实现分层提升，确保复习效率，助力学生构建解题逻辑，为教师把控复习节奏提供实战化指导。

3.2　导数与函数的单调性 目录 01 思维导图与题型归纳 2 02 基础知识点梳理 3 知识点一、导数研究单调性 3 方法总结1：含参数单调性讨论 3 方法总结2：根据函数单调性求参数 4 03 真题回顾 5 04 经典题型归纳总结 7 题型一：无参函数的单调性讨论 7 题型二：含参函数单调性 —— 一次型分类讨论 7 题型三：含参函数单调性 —— 指对结合一次型 8 题型四：含参函数单调性 —— 可因式分解二次型 9 题型五：含参函数单调性 —— 不可因式分解二次型 10 题型六：含参函数单调性 —— 指对结合二次型 11 题型七：单调性的应用：比较大小与解不等式 13 题型八：根据单调性逆向求解参数范围 14 05 课后拓展精练 16 知识点一、导数研究单调性 1、函数的单调性与其导函数的正负有如下关系： 在某个区间内，①如果，那么函数在这个区间内单调递增 ②如果，那么函数在这个区间内单调递减 ③如果，那么函数在这个区间内为常数函数 2、求单调区间的方法： ①通过解不等式或(等号可要可不要)； ②求，并可适当整理，尽量将整理成，，…，之积商的形式，借助数轴分段确定单调性，或直接观察解析式得出单调性． 注意：⑴写单调区间时，正确表示方法是：多个单调区间之间用逗号隔开，绝对不能用符号“”． ⑵若在某个区间上单调递增，则；若在某个区间上单调递减，则； ⑶设，，且，那么 ①在是增函数恒成立 ②在是减函数恒成立 方法总结1：含参数单调性讨论 第一步：求导化简定义域(化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的区间) 第二步：变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分) 第三步：恒正恒负先讨论(变号部分因为参数的取值恒正恒负) 第四步：然后再求有效根 第五步：根的分布来定参(此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系) 第六步：导数图像定区间 方法总结2：根据函数单调性求参数 1、函数在区间内单调递增(或递减)，可得(或)在该区间恒成立，而不是(或)恒成立，“＝”不能少.必要时还需对“＝”进行检验. 2、若函数在内存在单调递增区间，则当时，有解；若函数f(x)在(a,b)内存在单调递减区间，则当时，有解. 1．（2026·北京·高考真题）下列函数是奇函数且在定义域上单调递增的是（     ） A． B． C． D． 2．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（    ）． A． B．e C． D． 3．（2023·全国乙卷·高考真题）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是______. 4．（2023·北京·高考真题）设函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求的值； (2)设函数，求的单调区间； (3)求的极值点个数． 5．（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数． (1)求的单调区间； (2)当时，证明：当时，恒成立． 6．（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程． (2)若函数在单调递增，求的取值范围． 7．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数 (1)当时，讨论的单调性； (2)若恒成立，求a的取值范围． 8．（2022·北京·高考真题）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)设，讨论函数在上的单调性； (3)证明：对任意的，有． 9．（2021·全国甲卷·高考真题）设函数，其中. （1）讨论的单调性； （2）若的图象与轴没有公共点，求a的取值范围. 10．（2021·全国甲卷·高考真题）已知且，函数． （1）当时，求的单调区间； （2）若曲线与直线有且仅有两个交点，求a的取值范围． 题型一：无参函数的单调性讨论 【典例1-1】下列区间中，函数单调递增的区间是（     ） A． B． C． D． 【典例1-2】函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】已知函数，则的单调递增区间为（     ） A． B． C． D．和 【变式1-2】函数的单调递增区间为（    ） A． B． C．， D．， 【变式1-3】设函数的导函数为，若函数在区间上是减函数，且函数在区间上是增函数，称在区间上是“缓减函数”，区间称为的“缓减区间”，若，下列区间不是的“缓减区间”的是（   ） A． B． C． D． 题型二：含参函数单调性 —— 一次型分类讨论 【典例2-1】（2026·陕西咸阳·三模）已知函数. (1)讨论的单调性； 【典例2-2】已知函数． (1)讨论的单调性； 【变式2-1】已知函数（）．求函数的单调区间； 【变式2-2】已知函数，． (1)讨论函数的单调性； 【变式2-3】已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性． 题型三：含参函数单调性 —— 指对结合一次型 【典例3-1】已知函数，． (1)讨论函数的单调性； 【典例3-2】已知函数，其中． (1)讨论的单调性； 【变式3-1】已知函数，． (1)求的单调区间； 【变式3-2】已知函数． (1)讨论函数的单调性； 【变式3-3】已知函数. (1)讨论的单调性； 题型四：含参函数单调性 —— 可因式分解二次型 【典例4-1】已知函数，． (1)讨论函数的单调性； 【典例4-2】已知函数，其中． (1)讨论函数的单调性； 【变式4-1】已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； 【变式4-2】已知函数． (1)若，求的极值； (2)讨论函数的单调性； 题型五：含参函数单调性 —— 不可因式分解二次型 【典例5-1】已知函数 (1)求的值． (2)讨论的单调性． 【典例5-2】已知函数，. (1)当时，求曲线在点处的切线的斜率； (2)当时，讨论函数的单调性； 【变式5-1】已知函数. (1)当时，求的图象在处的切线方程； (2)当时，讨论的单调性； 【变式5-2】（2026·河北张家口·三模）已知函数，，． (1)讨论的单调性； 题型六：含参函数单调性 —— 指对结合二次型 【典例6-1】已知函数． (1)当时，求的极值； (2)讨论函数的单调性． 【典例6-2】已知函数. (1)讨论的单调性； 【变式6-1】已知函数. (1)若，求函数的极值； (2)讨论的单调性. 【变式6-2】（2026·山东青岛·模拟预测）已知函数， (1)当时，讨论的单调性； 【变式6-3】已知函数，． (1)讨论的单调性； 题型七：单调性的应用：比较大小与解不等式 【典例7-1】（2026·广东肇庆·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【典例7-2】若定义在上的函数的图象如图所示，其导函数为，且，则不等式的解集为（    ）    A． B． C． D． 【变式7-1】已知函数，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】已知函数在定义域内可导，其图象如图所示，记的导数为，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】已知函数，则不等式 的解集为（   ） A． B． C． D． 题型八：根据单调性逆向求解参数范围 【典例8-1】设函数，已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【典例8-2】若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式8-1】已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式8-3】若函数的单调递减区间是，则（    ） A． B． C．1 D．4 【变式8-4】已知函数在区间上是减函数，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式8-5】已知，函数在区间上不单调，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式8-6】（2026·高三·山东淄博·开学考试）已知函数在单调递增，则的取值范围是 （    ） A． B． C． D． 【变式8-7】已知，设函数在上是增函数，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【变式8-8】函数在上存在单调递增区间，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 1．（2026·陕西西安·模拟预测）已知函数，若对任意的，都有，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·北京海淀·三模）以下函数既是偶函数又在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·江西九江·模拟预测）已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（2026·山西·模拟预测）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 5．在平面直角坐标系中，将函数的图象绕坐标原点逆时针方向旋转后，所得到的曲线仍然是某个函数的图象，则称为“旋转函数”．现有以下4个命题，其中所有的真命题为（   ）． ①存在“旋转函数”； ②“旋转函数”一定是“旋转函数”； ③若为“旋转函数”，则； ④若为“旋转函数”，则． A．①③④ B．①②④ C．①④ D．①③ 6．已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（2026·高三·云南曲靖·阶段检测）已知函数为增函数，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 8．（2026·河南·三模）已知函数 ，正数满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 9．若函数在是增函数，则的取值范围是__________． 10．（2026·海南三亚·一模）若函数的减区间为，则函数的值域为______． 11．（2026·陕西西安·模拟预测）已知函数，对于，，且当时，恒有，则实数的取值范围为________． 12．设函数，当时单调递增，则的取值范围是______. 13．（2026·山东济南·模拟预测）已知函数是上的单调递增函数，则的值为______. 14．若函数在上不单调，求满足的条件为_____. 15．已知函数．若函数在处的切线与直线垂直，求函数的单调区间． 16．已知函数． (1)当时，曲线的一条切线方程为，求实数的值； (2)求函数的单调区间． 17．已知函数，求在内的单调性． 18．已知函数，若为增函数，求实数a的取值范围． 19．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知函数，其中. (1)讨论的单调性； 20．已知函数. (1)若，求函数在的最值； (2)讨论的单调性； 21．已知函数 . (1)求函数的单调性； 22．已知函数． (1)当时，求函数的最大值； (2)当时，求的单调区间． 23．已知函数，a∈R. (1)讨论的单调性； 27/27 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2　导数与函数的单调性 目录 01 思维导图与题型归纳 2 02 基础知识点梳理 3 知识点一、导数研究单调性 3 方法总结1：含参数单调性讨论 3 方法总结2：根据函数单调性求参数 4 03 真题回顾 5 04 经典题型归纳总结 15 题型一：无参函数的单调性讨论 15 题型二：含参函数单调性 —— 一次型分类讨论 17 题型三：含参函数单调性 —— 指对结合一次型 19 题型四：含参函数单调性 —— 可因式分解二次型 21 题型五：含参函数单调性 —— 不可因式分解二次型 24 题型六：含参函数单调性 —— 指对结合二次型 27 题型七：单调性的应用：比较大小与解不等式 30 题型八：根据单调性逆向求解参数范围 32 05 课后拓展精练 38 知识点一、导数研究单调性 1、函数的单调性与其导函数的正负有如下关系： 在某个区间内，①如果，那么函数在这个区间内单调递增 ②如果，那么函数在这个区间内单调递减 ③如果，那么函数在这个区间内为常数函数 2、求单调区间的方法： ①通过解不等式或(等号可要可不要)； ②求，并可适当整理，尽量将整理成，，…，之积商的形式，借助数轴分段确定单调性，或直接观察解析式得出单调性． 注意：⑴写单调区间时，正确表示方法是：多个单调区间之间用逗号隔开，绝对不能用符号“”． ⑵若在某个区间上单调递增，则；若在某个区间上单调递减，则； ⑶设，，且，那么 ①在是增函数恒成立 ②在是减函数恒成立 方法总结1：含参数单调性讨论 第一步：求导化简定义域(化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的区间) 第二步：变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分) 第三步：恒正恒负先讨论(变号部分因为参数的取值恒正恒负) 第四步：然后再求有效根 第五步：根的分布来定参(此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系) 第六步：导数图像定区间 方法总结2：根据函数单调性求参数 1、函数在区间内单调递增(或递减)，可得(或)在该区间恒成立，而不是(或)恒成立，“＝”不能少.必要时还需对“＝”进行检验. 2、若函数在内存在单调递增区间，则当时，有解；若函数f(x)在(a,b)内存在单调递减区间，则当时，有解. 1．（2026·北京·高考真题）下列函数是奇函数且在定义域上单调递增的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】A，在中，，则，函数为偶函数，故错误； B，在中，，函数为奇函数，但在定义域上不单调递增，故错误； 方法一： C，在中，，则， ，函数单调递减，故错误； D，在中，，解得， ，则为奇函数， ，即函数在定义域上单调递增，故正确. 法二： C，在中，，则，为奇函数， ∵和是减函数， ∴函数单调递减，故错误； D，在中，，解得， ，为奇函数， ∵和是增函数，则为增函数， ∴函数单调递增，故正确. 2．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（    ）． A． B．e C． D． 【答案】C 【解析】依题可知，在上恒成立，显然，所以， 设，所以，所以在上单调递增， ，故，即，即a的最小值为． 故选：C． 3．（2023·全国乙卷·高考真题）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是______. 【答案】 【解析】由函数的解析式可得在区间上恒成立， 则，即在区间上恒成立， 故，而，故， 故即，故， 结合题意可得实数的取值范围是. 故答案为：. 4．（2023·北京·高考真题）设函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求的值； (2)设函数，求的单调区间； (3)求的极值点个数． 【解析】（1）因为，所以， 因为在处的切线方程为， 所以，， 则，解得， 所以. （2）由（1）得， 则， 令，解得，不妨设，，则， 易知恒成立， 所以令，解得或；令，解得或； 所以在，上单调递减，在，上单调递增， 即的单调递减区间为和，单调递增区间为和. （3）由（1）得，， 由（2）知在，上单调递减，在，上单调递增， 当时，，，即 所以在上存在唯一零点，不妨设为，则， 此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增； 所以在上有一个极小值点； 当时，在上单调递减， 则，故， 所以在上存在唯一零点，不妨设为，则， 此时，当时，，则单调递增；当时，，则单调递减； 所以在上有一个极大值点； 当时，在上单调递增， 则，故， 所以在上存在唯一零点，不妨设为，则， 此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增； 所以在上有一个极小值点； 当时，， 所以，则单调递增， 所以在上无极值点； 综上：在和上各有一个极小值点，在上有一个极大值点，共有个极值点. 5．（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数． (1)求的单调区间； (2)当时，证明：当时，恒成立． 【解析】（1）定义域为， 当时，，故在上单调递减； 当时，时，，单调递增， 当时，，单调递减. 综上所述，当时，的单调递减区间为； 时，的单调递增区间为，单调递减区间为. （2），且时，， 令，下证即可. ，再令，则， 显然在上递增，则， 即在上递增， 故，即在上单调递增， 故，问题得证 6．（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程． (2)若函数在单调递增，求的取值范围． 【解析】（1）当时，， 则， 据此可得， 所以函数在处的切线方程为，即. （2）由函数的解析式可得， 满足题意时在区间上恒成立. 令，则， 令，原问题等价于在区间上恒成立， 则， 当时，由于，故，在区间上单调递减， 此时，不合题意; 令，则， 当，时，由于，所以在区间上单调递增， 即在区间上单调递增， 所以，在区间上单调递增，，满足题意. 当时，由可得， 当时，在区间上单调递减，即单调递减， 注意到，故当时，，单调递减， 由于，故当时，，不合题意. 综上可知：实数得取值范围是. 7．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数 (1)当时，讨论的单调性； (2)若恒成立，求a的取值范围． 【解析】（1） 令,则 则 当 当,即. 当,即. 所以在上单调递增,在上单调递减 （2）设 设 所以. 若, 即在上单调递减,所以. 所以当,符合题意. 若 当,所以. . 所以,使得,即,使得. 当,即当单调递增. 所以当,不合题意. 综上,的取值范围为. 8．（2022·北京·高考真题）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)设，讨论函数在上的单调性； (3)证明：对任意的，有． 【解析】（1）因为，所以， 即切点坐标为， 又， ∴切线斜率 ∴切线方程为： （2）因为，     所以， 令， 则， ∴在上单调递增， ∴ ∴在上恒成立， ∴在上单调递增. （3）证明如下： 原不等式等价于， 令，， 即证， ∵， ， 由（2）知在上单调递增， ∴， ∴ ∴在上单调递增，又因为， ∴，所以命题得证. 9．（2021·全国甲卷·高考真题）设函数，其中. （1）讨论的单调性； （2）若的图象与轴没有公共点，求a的取值范围. 【解析】（1）函数的定义域为， 又， 因为，故， 当时，；当时，； 所以的减区间为，增区间为. （2）因为且的图与轴没有公共点， 所以的图象在轴的上方， 由（1）中函数的单调性可得， 故即. 10．（2021·全国甲卷·高考真题）已知且，函数． （1）当时，求的单调区间； （2）若曲线与直线有且仅有两个交点，求a的取值范围． 【解析】（1）当时，, 令得,当时，,当时，, ∴函数在上单调递增；上单调递减； （2）[方法一]【最优解】：分离参数 ,设函数, 则,令，得, 在内,单调递增； 在上,单调递减； , 又，当趋近于时，趋近于0， 所以曲线与直线有且仅有两个交点，即曲线与直线有两个交点的充分必要条件是,这即是, 所以的取值范围是. [方法二]：构造差函数 由与直线有且仅有两个交点知，即在区间内有两个解，取对数得方程在区间内有两个解． 构造函数，求导数得． 当时，在区间内单调递增，所以，在内最多只有一个零点，不符合题意； 当时，，令得，当时，；当时，；所以，函数的递增区间为，递减区间为． 由于， 当时，有，即，由函数在内有两个零点知，所以，即． 构造函数，则，所以的递减区间为，递增区间为，所以，当且仅当时取等号，故的解为且． 所以，实数a的取值范围为． [方法三]分离法：一曲一直 曲线与有且仅有两个交点等价为在区间内有两个不相同的解． 因为，所以两边取对数得，即，问题等价为与有且仅有两个交点． ①当时，与只有一个交点，不符合题意． ②当时，取上一点在点的切线方程为，即． 当与为同一直线时有得 直线的斜率满足：时，与有且仅有两个交点． 记，令，有．在区间内单调递增；在区间内单调递减；时，最大值为，所以当且时有． 综上所述，实数a的取值范围为． [方法四]：直接法 ． 因为，由得． 当时，在区间内单调递增，不满足题意； 当时，，由得在区间内单调递增，由得在区间内单调递减． 因为，且，所以，即，即，两边取对数，得，即． 令，则，令，则，所以在区间内单调递增，在区间内单调递减，所以，所以，则的解为，所以，即． 故实数a的范围为．] 【整体点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，根据曲线和直线的交点个数求参数的取值范围问题，属较难试题， 方法一：将问题进行等价转化，分离参数，构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值，图象，利用数形结合思想求解. 方法二：将问题取对，构造差函数，利用导数研究函数的单调性和最值. 方法三：将问题取对，分成与两个函数，研究对数函数过原点的切线问题，将切线斜率与一次函数的斜率比较得到结论． 方法四：直接求导研究极值，单调性，最值，得到结论. 题型一：无参函数的单调性讨论 【典例1-1】下列区间中，函数单调递增的区间是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵ 函数的定义域为，对其求导得. 函数单调递增等价于，即. 对选项A，当时，且，∴ ，即，故在上单调递增，A符合要求. 对选项B，当时，但，∴ ，即，故在上单调递减，B不符合要求. 对选项C，当时，但，∴ ，即，故在上单调递减，C不符合要求. 对选项D，当时，时，此时；时，此时，故在上不是单调递增，D不符合要求. 【典例1-2】函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数的定义域为， ， 当时，，当时，， 所以函数的单调递减区间是. 【变式1-1】已知函数，则的单调递增区间为（     ） A． B． C． D．和 【答案】A 【解析】，， ，令，解得， 所以的单调递增区间为. 【变式1-2】函数的单调递增区间为（    ） A． B． C．， D．， 【答案】C 【解析】由题设，且， 若，则或， 所以函数的单调递增区间为，. 【变式1-3】设函数的导函数为，若函数在区间上是减函数，且函数在区间上是增函数，称在区间上是“缓减函数”，区间称为的“缓减区间”，若，下列区间不是的“缓减区间”的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得， 又，由，得，解得，， 即的单调递减区间为，． 设， 则． 由得，即， 又，则，解得，， 即的单调递增区间为，． 由“缓减区间”的定义可得的“缓减区间”为，， 而是的子集，是“缓减区间”； 不是的子集，不是“缓减区间”； 是的子集，是“缓减区间”； 是的子集，是“缓减区间”. 题型二：含参函数单调性 —— 一次型分类讨论 【典例2-1】（2026·陕西咸阳·三模）已知函数. (1)讨论的单调性； 【解析】（1）易知的定义域为，， 当时，恒成立，此时在区间上单调递增， 当时，令，得到，当时，，当时，， 此时，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 综上所述，当时，在区间上单调递增， 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增. 【典例2-2】已知函数． (1)讨论的单调性； 【解析】（1）函数的定义域为， 求导， 因为，所以，故的符号只取决于的符号， 当时，则恒成立，即，在上单调递增， 当时： 若，则，在上单调递减， 若，则，在上单调递增， 综上： 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增；​ 【变式2-1】已知函数（）．求函数的单调区间； 【解析】， ①当时， 对任意，都有，因此恒成立， 此时，在上单调递增， ②当时， 令，解得，因为，所以， 当时，，此时，单调递增， 当时，，此时，单调递减. 综上，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间， 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. 【变式2-2】已知函数，． (1)讨论函数的单调性； 【解析】（1）由题得，， ①当时，恒成立，所以在上单调递减； ②当时， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增． 综上所述，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增． 【变式2-3】已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性． 【解析】（1）当时，，可得， 则，且，即切线的斜率为，切点为， 所以曲线在点处的切线方程为，即． （2）由函数，其定义域为，且， 当时，，则在上单调递减； 当时，令，可得， 令，得；令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增． 题型三：含参函数单调性 —— 指对结合一次型 【典例3-1】已知函数，． (1)讨论函数的单调性； 【解析】（1） 当时，恒成立，故函数在单调递增； 当时，令得． 令得． 故当时，，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 综上，当时，在单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【典例3-2】已知函数，其中． (1)讨论的单调性； 【解析】（1）函数的定义域为，对其求导得，， 当时，恒成立，因此恒成立，故在上单调递增， 当时，令，解得， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增. 综上所述，若，在上单调递增， 若，在上单调递减，在上单调递增. 【变式3-1】已知函数，． (1)求的单调区间； 【解析】（1）由题意可得， 当时，，函数在R上单调递减． 当时，令，得， 因在R上单调递增， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 综上所述：当时，的单调递减区间是； 当时，单调递减区间是，单调递增区间是； 【变式3-2】已知函数． (1)讨论函数的单调性； 【解析】（1）因为，所以，， 当时，，则在上单调递增； 当时，令，得；令，得. 综上：当时，在上单调递增； 当时，在单调递减，在单调递增. 【变式3-3】已知函数. (1)讨论的单调性； 【解析】（1）因为. 若，则在上恒成立，所以在上单调递增； 若，由可得，由可得. 所以在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 题型四：含参函数单调性 —— 可因式分解二次型 【典例4-1】已知函数，． (1)讨论函数的单调性； 【解析】（1） 则， 当时，在上递减，在上递增； 当时，在上单调递增； 当时在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 当时在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 【典例4-2】已知函数，其中． (1)讨论函数的单调性； 【解析】（1）函数的定义域为， ， 若，则，，， 在上单调递增，在上单调递减， 若，令，则或， 当，即时，或，， 在，上单调递增，在上单调递减； 当，即时，在上恒成立，此时在上单调递增； 当，即时，或，， 在，上单调递增，在上单调递减； 综上： 时，在上单调递增，在上单调递减； 时，在，上单调递增，在上单调递减； 时，在上单调递增； 时，在，上单调递增，在上单调递减． 【变式4-1】已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； 【解析】（1）当时，， 则， 所以曲线在点处的切线方程为，即． （2）的定义域为． 若，则当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增． 若，则当或时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． 若，则恒成立，所以在上单调递增． 若，则当或时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． 【变式4-2】已知函数． (1)若，求的极值； (2)讨论函数的单调性； 【解析】（1）当时，， 对函数求导得：， 解得或；解得， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 则的极大值为，极小值为. （2）， 对求导得， 当时，恒成立， 时，单调递减；时，单调递增， 当时，令得或， ①若，则， 时，单调递增； 时，单调递减； 时，单调递增； ②若，则，恒成立，在R上单调递增； ③若，则， 时，单调递增； 时，单调递减； 时，单调递增； 综上所述，时，在上单调递减，在单调递增； 时，在和上单调递增，在上单调递减； 时，在R上单调递增； 时， 在和上单调递增，在上单调递减. 题型五：含参函数单调性 —— 不可因式分解二次型 【典例5-1】已知函数 (1)求的值． (2)讨论的单调性． 【解析】（1）. （2）定义域为，． 令， 1°时,，即，则在单调递增； 2°时，当，即时，，在单调递增； 当，即时，由可解得， 所以或时， 在，上单调递增， 时，，在上单调递减． 综上，时，在单调递增； 时，在上单调递减， 在，上单调递增. 【典例5-2】已知函数，. (1)当时，求曲线在点处的切线的斜率； (2)当时，讨论函数的单调性； 【解析】（1）当时，. 求导得，. 所以曲线在点处的切线的斜率为. （2）的定义域为. 求导得. 令，则，即. 令，因为，则. 当，即时，恒成立，故， 所以在上单调递增. 当，即时，的两根为，，且. 因为，，所以，. 所以当或时，，，单调递增； 当时，，，单调递减. 综上，当时，在上单调递增；当时，在、上单调递增，在上单调递减，其中，，. 【变式5-1】已知函数. (1)当时，求的图象在处的切线方程； (2)当时，讨论的单调性； 【解析】（1）当时，，所以， 所以， 所以的图象在处的切线方程为，即； （2）的定义域为， 当时，若，即，所以在上单调递增； 若，即，令， 解得或， 令，解得， 所以在上单调递增， 在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增， 在上单调递减，在上单调递增. 【变式5-2】（2026·河北张家口·三模）已知函数，，． (1)讨论的单调性； 【解析】（1）因为，， 所以， 对于，， 当时，，，单调递增； 当时，， 由，得， 则当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 题型六：含参函数单调性 —— 指对结合二次型 【典例6-1】已知函数． (1)当时，求的极值； (2)讨论函数的单调性． 【解析】（1）当时，，易知的定义域为， ，又恒成立， 当时，，当时，， 所以是的极小值点，极小值为，无极大值. （2）的定义域为，, 当时，恒成立，当时，，当时，， 当，由，得到或， 若时，，时，，时，， 若时，，此时恒成立，当且仅当时取等号， 若时，，时，，时，， 综上所述，当时，的减区间为，增区间为， 当时，的减区间为，增区间为， 当时，的增区间为， 当时，的减区间为，增区间为. 【典例6-2】已知函数. (1)讨论的单调性； 【解析】（1）由题意得 令， 当时，恒成立，恒成立，在上单调递增； 当时，， 此时在单调递增，在上单调递减； 综上所述：当时， 在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 【变式6-1】已知函数. (1)若，求函数的极值； (2)讨论的单调性. 【解析】（1）当时，，所以， 由，得， 0 - 0 + 单调递减 极小值 单调递增 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以函数的极小值为，无极大值； （2）因为函数， 所以， （ⅰ）当时，若，则， 若，则， 若，则， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， （ⅱ）当时，由，得或， 若或，则， 若，则， 所以函数在区间和上单调递减，在区间上单调递增， （ⅲ）当时，，所以函数在区间上单调递减， （ⅳ）当时，由，得或， 若或，则， 若，则， 所以函数在区间和上单调递减，在区间上单调递增， 综上所述：当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增； 当时，函数在区间和上单调递减， 在区间上单调递增； 当时，函数在区间上单调递减； 当时，函数在区间和上单调递减， 在区间上单调递增. 【变式6-2】（2026·山东青岛·模拟预测）已知函数， (1)当时，讨论的单调性； 【解析】（1）的定义域为，， ，则由得，． （ⅰ）当时，则，当时，； 当时，；当时，； 所以在单调递减，在单调递增，在单调递减． （ⅱ）当时，则，此时，所以在单调递减． （ⅲ）当时，则，当时，； 当时，；当时，； 所以在单调递减，在单调递增，在单调递减． 综上所述， 当时，在和上单调递减， 在上单调递增； 当时，在上单调递减； 当时，在和上单调递减， 在上单调递增． 【变式6-3】已知函数，． (1)讨论的单调性； 【解析】（1），恒成立， 当时，恒成立，故，在上单调递减； 当时，令得： 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 题型七：单调性的应用：比较大小与解不等式 【典例7-1】（2026·广东肇庆·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】的定义域为R， 因为，所以函数是R上的增函数. 因为，所以函数是奇函数， 所以由得， 则，解得. 所以不等式的解集为. 【典例7-2】若定义在上的函数的图象如图所示，其导函数为，且，则不等式的解集为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由的图象可知，当时，；当时，；当或时，； 当时，；当时，；当或时，； 若不等式，则与同号，分情况讨论： ①当且时，交集为； ②当且时，交集为； 因此，不等式的解集为，故D正确. 【变式7-1】已知函数，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数的定义域为， 则 对任意的恒成立， 所以，函数在上为增函数， 由可得，解得或， 因此，不等式的解集为． 【变式7-2】已知函数在定义域内可导，其图象如图所示，记的导数为，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据函数的图像和导数的性质可知当的函数值下降时，， 故观察图像解得当时，的函数值下降，故. 【变式7-3】已知函数，则不等式 的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可得函数的定义域为，， 因为，，当且仅当，即时等号成立， 因为，所以恒成立，函数在上单调递增， 又，所以函数为奇函数， 则不等式，解得， 所以不等式的解集为. 题型八：根据单调性逆向求解参数范围 【典例8-1】设函数，已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】函数， 求导可得， 因为恒成立， 所以，即， 解得，即的单调递减区间为， 因为在上单调递减， 所以，即， 解得，即实数的取值范围是，故选项D正确. 【典例8-2】若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，所以，， 函数在区间内存在单调递增区间， 则，，即，使得 ， 即， 设，， 则，，单调递减； ，，单调递增， ，， ，故在上最大值为， 只要，即，就存在满足， 即，函数存在递增区间. 【变式8-1】已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对求导得：，由题意在恒成立， 即在恒成立， 时，，故. 【变式8-2】已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】函数求导得， 已知在区间上单调递减，则在上恒成立， 即在上恒成立， 令，，求导得，令，解得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 则是极小值点， ，， 在的上确界为3， ． 【变式8-3】若函数的单调递减区间是，则（    ） A． B． C．1 D．4 【答案】A 【解析】易知，由题意知的解集为， 则与4是方程的两个根，故． 故选：A． 【变式8-4】已知函数在区间上是减函数，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由求导得， 当时，则，在上单调递增，不合题意； 当时，由，得，即， 由,得,即, 此时在上单调递减，在上单调递增， 由题意，函数在区间上是减函数， 所以，结合，解得， 即的取值范围是. 【变式8-5】已知，函数在区间上不单调，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得：，令， 所以，所以在单调递增，且，， 又因为在上不单调，所以，解得. 【变式8-6】（2026·高三·山东淄博·开学考试）已知函数在单调递增，则的取值范围是 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由得，令，得． 当时，，所以的单调增区间为， 因为在单调递增，所以， 所以. 故选：D. 【变式8-7】已知，设函数在上是增函数，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】分段函数在上为增函数，需同时满足以下三个条件： 当时，二次函数单调递增： 该二次函数开口向下，对称轴为， 需对称轴位于区间的右侧，即，解得； 当时，单调递增： 对求导得，需对任意恒成立， 即对恒成立，故； 分段点处，左段的极限函数值不大于右段的函数值： 左段在时的函数值为， 右段在处的函数值为， 故，解得； 综上：实数的取值范围是. 【变式8-8】函数在上存在单调递增区间，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数在上存在单调递增区间，等价于在上有解， 对求导得：， 有解等价于：有解， 令，则只需，求导得：， 当时，，，故，即在上单调递减， 因此的最小值在处取得：， ，故的取值范围是. 1．（2026·陕西西安·模拟预测）已知函数，若对任意的，都有，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由两边同乘得. 设，， 由题意得在上严格递增，则对任意恒成立，即对任意恒成立. 令，，则， 当时，单调递增，当时，单调递减， 所以的最大值为，因此. 当时，， 令，，易得且仅在处取等， 故且最多有一个实数解，严格递增，所以的取值范围是. 2．（2026·北京海淀·三模）以下函数既是偶函数又在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】选项A：，定义域为， 因为在单调递减，在单调递增，且是周期函数，在单调递增，在单调递减， 所以在上不能满足单调递增，所以A错误； 选项B：，定义域为，，是奇函数，所以B错误； 选项C：，定义域为，不关于原点对称，为非奇非偶函数，所以C错误； 选项D：，定义域为，，是偶函数； 又， 且当时，，所以， 所以在上单调递增，所以D正确. 3．（2026·江西九江·模拟预测）已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， ， 因为在上单调递增，所以在上恒成立， 即： ，即 ， 因为时，所以， 令，则只需（）， ， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以在处取得唯一极大值，也是区间上的最大值， 且，则. 则实数的取值范围是. 4．（2026·山西·模拟预测）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得函数的定义域为， 则，令 ，解得 ， 当时， ， 所以函数的单调递增区间是， 5．在平面直角坐标系中，将函数的图象绕坐标原点逆时针方向旋转后，所得到的曲线仍然是某个函数的图象，则称为“旋转函数”．现有以下4个命题，其中所有的真命题为（   ）． ①存在“旋转函数”； ②“旋转函数”一定是“旋转函数”； ③若为“旋转函数”，则； ④若为“旋转函数”，则． A．①③④ B．①②④ C．①④ D．①③ 【答案】A 【解析】由题意， 对于①，如，逆时针旋转后函数为，故①正确； 对于②，如倾斜角为的直线， 旋转后是倾斜角为函数，旋转后是垂直于轴的一条直线，不是函数， ∴ “旋转函数”不一定是“旋转函数”，②错误； 对于③， 在中，函数为“旋转函数”， ∴函数逆时针旋转后，不存在垂直于轴的直线，使得直线与函数有两个及以上交点， ∴不存在倾斜角为的直线，使其与函数有两个及以上交点， 即倾斜角为的直线与函数有至多1个交点， 直曲联立，解得， 当，即时，，至多一解，符合题意， 当，即时，为一元二次方程，， 对，都，使得，即方程有不止一个解， 故不合题意，舍去， ∴，③正确； 对于④， 在中，函数为“旋转函数”， ∴函数逆时针旋转后，不存在垂直于轴的直线，使得直线与函数有两个及以上交点， ∴不存在倾斜角为的直线，使其与函数有两个及以上交点， 即倾斜角为的直线与函数有至多1个交点， ∴即至多有1解， 在中，函数为单调函数， ， 为使为使函数为单调函数，其导数需恒为非正或恒为非负， ∵， ∴恒成立，单调递减， 即恒成立， 当时，，符合题意， 当时， 在中，， 当时，解得， ∴， 当即时，函数单调递减， 当即时，函数单调递增， ∴在处取得最小值， ， 解得：， 综上，，④正确. 6．已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，得在区间上恒成立， 设，在区间上恒成立，所以在区间上单调递增， 所以，则，即，则的取值范围是. 7．（2026·高三·云南曲靖·阶段检测）已知函数为增函数，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数的定义域为R，求导得， 由函数是增函数，得，恒成立， 令函数，求导得， 令函数，求导得， 函数，即在R上单调递增，当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，，则， 所以的取值范围是. 8．（2026·河南·三模）已知函数 ，正数满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】已知函数 ，则， 因此函数是一个奇函数， 又因为在上恒成立，因此函数是上的增函数， 由于正数满足 ，则有，即得 ， 从而有 ， 因此， 根据基本不等式有，即， 当且仅当，即时取等号，满足为正数的条件， 所以的最小值为. 9．若函数在是增函数，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】函数的定义域为， . 因为在上是增函数，所以在上恒成立， 所以 ，即在恒成立. 当时，，当且仅当，即时等号成立. 因此，即. 故的取值范围是. 10．（2026·海南三亚·一模）若函数的减区间为，则函数的值域为______． 【答案】 【解析】因为，， 由题意，函数在上单调递减，在上单调递增，所以. 因为，由. 此时，. 由；由. 所以在上单调递减，在上单调递增，故满足题意. 此时， 所以函数的值域为. 11．（2026·陕西西安·模拟预测）已知函数，对于，，且当时，恒有，则实数的取值范围为________． 【答案】 【解析】， 又，，则， 即对于，，且时，恒成立， 所以函数在上单调递减， 因，则在上恒成立， 即在上恒成立，又， 所以，所以实数的取值范围为 12．设函数，当时单调递增，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】由已知有当时，恒成立. 即当时，恒成立. 令，则，，. 故时，.从而当时，. 因此时，，单调递增. 若，令，则，. 故时，，此时单调递减，从而时，. 因此时，，即. 此时不满足时单调递增. 故的取值范围是. 13．（2026·山东济南·模拟预测）已知函数是上的单调递增函数，则的值为______. 【答案】/ 【解析】，令，， ① 当时，，在上单调递增， 又，所以当时，；当时，， 所以的单调增区间为，单调减区间为，不符合题意； ② 当时，令，解得， 所以当时，；当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以当时，有最小值， 所以当在上单调递增时，有， 令，，得， 所以时，；时，. 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以， 又要求，所以，即. 14．若函数在上不单调，求满足的条件为_____. 【答案】 【解析】已知函数在上不单调， 则  有两不等实根 ， 即. 15．已知函数．若函数在处的切线与直线垂直，求函数的单调区间． 【解析】因为， 直线斜率为1，切线与垂直，故切线斜率， 代入得：，解得，符合． 此时， 当时，，，所以，故，单调递减； 当时，，，所以，故，单调递增． 结论：的单调递减区间为，单调递增区间为． 16．已知函数． (1)当时，曲线的一条切线方程为，求实数的值； (2)求函数的单调区间． 【解析】（1）当时，，则， 由切线方程为，则，即，解得， 所以，则切点坐标为， 代入切线方程得，则． （2）由，则， 若，则为常数函数，无严格单调区间； 若，当时，解得；当时，解得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增； 若，当时，解得；当时，解得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增． 综上，当时，函数无严格单调区间； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增． 17．已知函数，求在内的单调性． 【解析】因为，所以， 当时，，，单调递增， 当时，，，单调递减， 所以函数在上单调递增，在上单调递减． 18．已知函数，若为增函数，求实数a的取值范围． 【解析】由题可知，定义域为，则， 若为增函数，则对，， 即对任意恒成立，即恒成立． 令，则， 令，得， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增， 所以，即的取值范围是． 19．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知函数，其中. (1)讨论的单调性； 【解析】（1）的定义域为，， ，当且仅当时，即时，等号成立， 故当时，， 则，所以在上单调递增； 当时，令，即， 则的两个根为，； 又，则， 则的解为或，的解为， 则在上单调递增，在上递减，在上递增； 综上所述： 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增， 在上递减，在上递增. 20．已知函数. (1)若，求函数在的最值； (2)讨论的单调性； 【解析】（1），则； ，即在内单调递减. ，； 即函数在时的最大值为，最小值为. （2），则函数的定义域为. . 当时，，即在上单调递减； 当时，令，即，解得. 若，则，即在上单调递增； 若，则，即在上单调递减； 综上所述，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 21．已知函数 . (1)求函数的单调性； 【解析】（1）由已知， 当时，令的图象开口向下，且， 所以时，，即，则在上单调递增， 时，，即，则在上单调递减； 当时，，则， 所以时，，则在上单调递增， 时，，则在上单调递减； 当时，的图象开口向上，且， 或时，，即， 则在上单调递增， 时，，即， 则在上单调递减. 当时，的图象开口向上，且且不恒为0， 此时，即，则在上单调递增； 综上所述：当时，在上单调递增，在上单调递减， 当时，在上单调递增，在上单调递减， 当时，在上单调递增，在上单调递减， 当时，在上单调递增； 22．已知函数． (1)当时，求函数的最大值； (2)当时，求的单调区间． 【解析】（1）当时，，定义域为， 则， 令，则. ，随的变化情况如下： 1 + 0 - 单调递增 极大值 单调递减 所以当时，取最大值，为． （2）， 当时，令，解得或， ①当时，由，得或，由，得， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减； ②当时，由，得或，由，得， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减； ③当时，由，得，由，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减； ④当时， ，则函数在上单调递增． 综上： 当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为； 当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为； 当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间． 23．已知函数，a∈R. (1)讨论的单调性； 【解析】（1）的定义域为， 且. ①当时，恒成立， 所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减； ②当，即时恒成立， 所以在上单调递增； ③当，即时， 当或时，当时， 所以在和上单调递增，在上单调递减； ④当，即时， 当或时，当时， 所以在和上单调递增，在上单调递减. 综上，当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在和上单调递增，在上单调递减. 27/27 学科网（北京）股份有限公司 $