2.5 函数图像与零点（14大题型）（讲义+精练）-2027年新高考数学一轮总复习解题妙招精讲与题型整合（新高考专用）

该高中数学高考复习讲义聚焦函数图像与零点核心考点，按图像变换、零点定理、二分法及二次方程根分布、类对勾函数等方法模块系统梳理，通过知识点精讲、方法总结、真题回顾、14类经典题型归纳及课后精练，构建从基础到综合的复习体系，助力学生突破图像辨识、零点参数范围等高考难点。 讲义创新采用题型分类突破策略，如嵌套函数零点问题通过换元转化培养数学思维，由图象匹配解析式强化几何直观，结合分层练习与即时反馈，确保高效复习。为教师提供清晰教学路径，帮助学生提升解题能力与应考技巧，把控复习节奏。

2.5 函数图像与零点 目录 01思维导图与题型归纳 2 02 基础知识点梳理 3 知识点一、函数图像问题 3 知识点二、函数的零点 4 知识点三、二分法 4 方法总结1：二次方程根的分布 5 方法总结2：指数复合对勾类对勾函数 6 03 真题回顾 7 04 经典题型归纳总结 10 题型1：函数图象辨识判断 10 题型2：图象辅助分析函数性质 10 题型3：图象法求解不等式 11 题型4：图象法求参数取值范围 12 题型5：实际问题函数图象绘制 13 题型6：函数图象变换及应用 15 题型7：由图象匹配函数解析式 18 题型8：函数零点区间判定 20 题型9：零点与图象交点个数问题 21 题型10：数形结合求零点参数范围 22 题型11：嵌套函数零点问题 23 题型12：零点和与积范围求解 24 题型13：对勾与类对勾函数应用 25 题型14：复杂曲线函数性质探究 27 05 课后拓展精练 29 知识点一、函数图像问题 1、利用描点法作函数图象的步骤：列表、描点、连线. 2、利用图象变换法作函数的图象 平移变换：①； 注意：； ②； 翻折变换：③；④（偶函数）； 伸缩变换：⑤；⑥. 对称变换：①关于直线（即轴）对称 ②关于直线（即轴）对称： ③关于原点对称 ④关于直线对称 ⑤关于直线对称 ⑥关于点对称 知识点二、函数的零点 （1）函数零点的概念 对于函数，使的实数叫做函数的零点. （2）方程根与函数零点的关系 方程有实数根函数有零点函数的图象与轴有交点，且交点横坐标为. （3）方程有实数根函数与函数有交点，且交点横坐标为. （4）零点存在性定理 如果函数在上的图象是连续不断的，且，那么函数在至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解. 注意：①符合该定理的条件，能确定在区间内有零点，但零点不一定唯一． ②并不是所有的零点都可以用该定理来判定．不满足该定理的函数也可能有零点． 函数的零点有“变号零点”和“不变号零点”，零点存在性定理只适用“变号零点”． ③若在区间内有零点，且在区间上单调，则在内有唯一零点． ④设，若在上有零点，则． 知识点三、二分法 ①二分法的概念 对于在区间上连续不断且的函数，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法. ②用二分法求方程近似解的步骤 （1）确定区间，验证，给定精确度； （2）求区间的中点； （3）计算， （i）若，则就是函数的零点； （ii）若，则令 （iii）若，则令 （4）判断是否达到精确度：即若，则得到零点近似值为（或）；否则重复（2）~（4） 方法总结1：二次方程根的分布 ①两根与的大小比较（以为例） 分布情况 两根都小于， 即 两根都大于， 即 一根小于，一根大于，即 大致图像 得出的结论 ②两根分别在区间外 大致图像 得出的结论 ③根在区间上的分布（以为例） 分布情况 两根都在内 两根有且仅有一根在内 一根内，另一根在内 大致图像 得出的结论 或 方法总结2：指数复合对勾类对勾函数 指数复合对勾类对勾函数 （1）函数 必是偶函数，图像关于 轴对称. 如图. （2）函数 的图像必关于直线 对称，如图. （3）函数 必是奇函数，图像关于原点对称，如图. （4）函数 的图像必关于点 对称，如图. 1．（2026年高考天津卷数学高考真题）函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（     ） A． B． C． D． 2．（2025年高考天津卷数学真题）已知函数的图象如下，则的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 3．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）函数在区间的图象大致为（    ） A． B． C． D． 4．（2023年天津高考数学真题）已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（    ）      A． B． C． D． 5．（2022年新高考天津数学高考真题）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 6．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是（    ） A． B． C． D． 7．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）函数在区间的图象大致为（    ） A． B． C． D． 8．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（    ） A． B． C．1 D．2 9．（2025年高考天津卷数学真题）函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 10．（2022年新高考天津数学高考真题）设，对任意实数x，用表示中的较小者．若函数至少有3个零点，则的取值范围为______. 11．（2023年天津高考数学真题）设,函数,若恰有两个零点，则的取值范围为_________． 12．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是________． 13．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为______． 14．（2024年天津高考数学真题）设，函数.若恰有一个零点，则的取值范围为______． 15．（2026年高考全国2卷数学高考真题（网络 收集版））若函数有两个零点，则的取值范围是__________． 题型1：函数图象辨识判断 【典例1-1】（2026·高三·辽宁·阶段检测）函数的图象为（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】（2026·天津北辰·三模）函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2026·天津·模拟预测）函数，的图象大致为（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2026·河北衡水·模拟预测）函数在区间上的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2026·天津西青·三模）已知函数在区间上的图象大致为（    ） A． B． C． D． 题型2：图象辅助分析函数性质 【典例2-1】（多选题）（2026·湖北武汉·二模）已知函数，则（   ） A．是的极小值点 B．当时， C．当时， D．当时， 【典例2-2】（多选题）（2026·湖南岳阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正三角形ABC沿着x轴连续滚动(滚动时无滑动)，若顶点A在滚动中恰好经过坐标原点，设顶点满足函数关系式，则下列判断正确的有（   ） A． B．函数图象的对称轴方程为 C．不等式的解集为 D．直线与函数的图象恰有3个交点 【变式2-1】（多选题）（2026·辽宁抚顺·模拟预测）已知是定义域为的奇函数，当时，，则下列叙述正确的有（   ） A． B．当时，有 C．当时，的最小值为4，则 D．若关于的方程有实数根，则所有实数根之和为零 【变式2-2】（多选题）设函数，其中表示，，中的最小者，下列说法正确的有（   ） A． B．对任意的，都有 C．对任意的，有 D．当时，的最大值为1 【变式2-3】（多选题）（2026·高三·河北邢台·阶段检测）若直线与函数在上的图象有三个交点，则的值可能为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 题型3：图象法求解不等式 【典例3-1】（2026·高三·全国·一轮复习）已知是定义在上的偶函数，当时，的图象如图所示，则不等式的解集为________． 【典例3-2】已知是偶函数，是奇函数，它们的定义域均为，且它们在上的图象如图所示，则不等式的解集是________. 【变式3-1】（2026·高三·北京·阶段检测）如图，已知函数的图象是圆心在原点的单位圆的两段弧，则不等式的解集为_____．    【变式3-2】（2026·高三·北京·一轮复习）已知函数是定义在上的奇函数，且单调递增，则的解集为_____. 【变式3-3】（2026·高三·全国·一轮复习）已知函数，则不等式的解集是______. 题型4：图象法求参数取值范围 【典例4-1】（多选题）（多选）下列可能是函数（其中的图象的是（    ） A． B． C． D． 【典例4-2】（多选题）函数的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（多选题）函数，（，，是实数且，，），则的图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式4-2】（多选题）函数的图象可能是　　 A． B． C． D． 【变式4-3】（多选题）（2026·高三·江苏·开学考试）已知，则函数的图象可能是（    ） A．   B．     C． D．   【变式4-4】（多选题）函数的部分图象可能为（    ） A．   B．   C．   D．   题型5：实际问题函数图象绘制 【典例5-1】某同学离家去学校，刚开始心情轻松缓慢行进，走了一段路程后，发现时间紧张，加快速度跑步前进.图中轴表示该学生离家的距离，轴表示所用的时间，下列图象与该同学走法相吻合的是（    ） A． B． C． D． 【典例5-2】一列快车从甲地驶往乙地，一列特快车从乙地驶往甲地，快车的速度为100千米/小时，特快车的速度为150千米/小时，甲乙两地之间的距离为1000千米，两车同时出发，则图中折线大致表示两车之间的距离y（千米）与快车行驶时间t（小时）之间的函数图象是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2026·高三·山东济南·阶段检测）如图，公园里有一处扇形花坛，小明同学从点出发，沿花坛外侧的小路顺时针方向匀速走了一圈路线为，则小明到点的直线距离与他从点出发后运动的时间之间的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2026·安徽·模拟预测）如图，直线在初始位置与等边的底边重合，之后开始在平面上按逆时针方向绕点匀速转动（转动角度不超过），它扫过的三角形内阴影部分的面积是时间的函数．这个函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2026·山东·二模）如图所示，动点在边长为1的正方形的边上沿运动，表示动点由A点出发所经过的路程，表示的面积，则函数的大致图像是（    ）． A． B． C． D． 题型6：函数图象变换及应用 【典例6-1】函数的图象如图所示，那么函数的图象是（    ） A． B． C． D． 【典例6-2】若图中所示为在同一直角坐标平面上的图像及的图像，则（　　） A． B． C． D． 【变式6-1】将函数向左、向下分别平移2个、3个单位长度，所得图象为（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2026·河北秦皇岛·三模）已知函数的图象如图所示，则的图象大致为（     ） A． B． C． D． 【变式6-3】已知函数．甲同学将的图象向左平移1个单位长度，得到图象；乙同学将的图象上所有点的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），得到图象．若与恰好重合，则下列给出的中符合题意的是（   ） A． B． C． D． 题型7：由图象匹配函数解析式 【典例7-1】函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（     ） A． B． C． D． 【典例7-2】（2026·湖南长沙·一模）如图是下列四个函数中的某个函数在区间[-π,π]的大致图象，则该函数是（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（2026·浙江宁波·三模）某函数的图像如图所示，则该函数解析式可能为（        ） A． B． C． D． 【变式7-2】（2026·北京东城·二模）已知函数的部分图象如图所示，若，则可以为（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】（2026·天津滨海新区·三模）已知函数的部分图象如图，则的解析式可能为：（    ） A． B． C． D． 题型8：函数零点区间判定 【典例8-1】函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 【典例8-2】（2026·高三·全国·一轮复习）方程的根所在区间为（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（2026·高三·全国·一轮复习）已知函数的图象是连续不断的，有如下的x，对应值表 x 1 2 3 4 5 6 7 136.136 15.552 10.88 11.238 由表可知函数存在零点的区间有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式8-2】函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】已知，则的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 题型9：零点与图象交点个数问题 【典例9-1】（2026·贵州遵义·模拟预测）若函数在定义域上恰有三个零点，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【典例9-2】（2026·高三·天津·阶段检测）已知函数若有3个实数解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】函数的零点个数为 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式9-2】已知函数是偶函数，当时，若的图象与轴恰有4个公共点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式9-3】已知函数有两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型10：数形结合求零点参数范围 【典例10-1】已知函数若函数有三个不同的零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【典例10-2】已知函数，，若与的图象有唯一公共点，则的值为（    ） A．-1 B．0 C． D．1 【变式10-1】已知函数则有（   ） A． B．的值域为 C．在上单调递增 D．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为 【变式10-2】（2026·江西上饶·二模）已知函数，若恰有3个正整数解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式10-3】定义在上的函数满足：若函数有且仅有3个零点，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式10-4】已知函数有两个零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式10-5】（2026·广东深圳·模拟预测）已知函数，若函数仅有一个零点，则的取值范围（     ） A． B． C． D． 题型11：嵌套函数零点问题 【典例11-1】已知函数，关于的方程有且仅有4个不同的实根，则正数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【典例11-2】已知函数，关于的方程有个不同的根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式11-1】已知函数，若函数恰有3个不同的零点，则实数的取值范围（      ） A． B． C． D． 【变式11-2】已知函数，若函数有8个不同的零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式11-3】（江苏姜堰中学2026届高三年级5月学情调研数学试题）已知是定义在上的奇函数，当时，，若关于x的方程 恰有4个互不相等的实数根，则实数a的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式11-4】已知函数，若方程有五个不同的实数根，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式11-5】已知函数，若关于x的方程有四个不同的实数解，它们从小到大依次记为，，，，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 题型12：零点和与积范围求解 【典例12-1】（2026·高三·江苏泰州·开学考试）已知函数若关于的方程（为实常数）有四个不同的解，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【典例12-2】已知函数，若存在实数、、且，使得，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式12-1】已知函数若实数满足且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式12-2】设函数，若关于的方程有四个不同的解，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式12-3】已知函数，若存在实数，使得，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【变式12-4】已知函数，若方程有四个不同的实数解，它们从小到大记为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型13：对勾与类对勾函数应用 【典例13-1】已知函数，若存在实数，使得方程有个不同的实数根、、、，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【典例13-2】已知函数，若关于的方程恰有6个不同的实数解，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式13-1】若存在实数，使得成立，则实数的取值范围（     ） A． B． C． D． 【变式13-2】设函数，，若曲线与恰有一个交点，则（   ） A． B． C． D． 【变式13-3】关于的方程有且仅有2个不同的实数根，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D．，且 题型14：复杂曲线函数性质探究 【典例14-1】已知函数的对称中心在直线上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【典例14-2】（2026·高三·河南·阶段检测）函数的对称中心是（    ） A． B． C． D． 【变式14-1】（2026·高三·河南·阶段检测）对于函数，时， ，则函数的图象关于点成中心对称．探究函数图象的对称中心，并利用它求的值为（    ） A． B． C． D． 【变式14-2】（2026·高三·重庆沙坪坝·阶段检测）设函数，下列说法中正确的是（    ） A．的单调递增区间为 B．图象的对称中心为 C．图象的对称中心为 D．的值域为 【变式14-3】已知函数，则的值域为__________，曲线的对称中心为__________． 【变式14-4】对于函数，时，，则函数的图象关于点成中心对称.探究函数图象的对称中心，并利用它求的值为________. 【变式14-5】函数（，且）图象的对称中心是______． 1．（2026·高三·全国·一轮复习）已知函数，若的零点个数为，则实数取值范围为（     ） A． B． C． D． 2．已知函数，若函数有个不同的零点，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 3．已知函数，若恰有3个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．设，若函数有4个不同的零点，，，，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．已知函数，若关于的方程有四个不同的实数解、、、，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．已知函数，若存在实数，，，使得且，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 7．已知函数若，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（2026·高三·四川遂宁·阶段检测）设函数，若关于x的方程有四个实根，则的最小值为（    ） A． B． C．10 D．9 9．已知函数若方程有四个不相等的实数根，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 10．已知函数，，若恰有4个零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 11．（2026·北京石景山·二模）已知函数．若存在2个零点，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．（2026·高三·全国·一轮复习）已知函数，，若对任意，存在，使得成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 13．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数，若方程只有一个实数解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 14．（2026·山西临汾·二模）已知函数若方程有三个不同的实数根，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 15．已知函数，关于的方程，，恰有6个不同实数解，则的取值范围是 A． B． C． D． 16．（2026·高三·全国·一轮复习）已知函数，若函数与函数的图象的交点有个，记为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 17．（多选题）（2026·山东聊城·二模）已知函数则（    ） A． B．为的极大值点 C．有2个零点 D．若，则在上的值域为 18．（多选题）已知函数．则下列说法正确的是（   ） A．在处取得最小值 B．方程有且仅有一个实根 C．对任意，函数关于单调递增 D．对任意，都有 19．（多选题）（2026·河南郑州·模拟预测）已知函数，若函数有三个互不相等的零点，且，则下列结论正确的是（   ） A．实数的取值范围是 B．的单调递减区间为， C． D．函数有4个零点 20．（2026·高三·全国·一轮复习）已知，关于的方程恰有三个不同的实数解，，，则的值为____________． 27/27 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.5 函数图像与零点 目录 01思维导图与题型归纳 2 02 基础知识点梳理 3 知识点一、函数图像问题 3 知识点二、函数的零点 4 知识点三、二分法 4 方法总结1：二次方程根的分布 5 方法总结2：指数复合对勾类对勾函数 6 03 真题回顾 7 04 经典题型归纳总结 19 题型1：函数图象辨识判断 19 题型2：图象辅助分析函数性质 19 题型3：图象法求解不等式 22 题型4：图象法求参数取值范围 27 题型5：实际问题函数图象绘制 31 题型6：函数图象变换及应用 35 题型7：由图象匹配函数解析式 38 题型8：函数零点区间判定 41 题型9：零点与图象交点个数问题 44 题型10：数形结合求零点参数范围 46 题型11：嵌套函数零点问题 49 题型12：零点和与积范围求解 54 题型13：对勾与类对勾函数应用 60 题型14：复杂曲线函数性质探究 69 05 课后拓展精练 74 知识点一、函数图像问题 1、利用描点法作函数图象的步骤：列表、描点、连线. 2、利用图象变换法作函数的图象 平移变换：①； 注意：； ②； 翻折变换：③；④（偶函数）； 伸缩变换：⑤；⑥. 对称变换：①关于直线（即轴）对称 ②关于直线（即轴）对称： ③关于原点对称 ④关于直线对称 ⑤关于直线对称 ⑥关于点对称 知识点二、函数的零点 （1）函数零点的概念 对于函数，使的实数叫做函数的零点. （2）方程根与函数零点的关系 方程有实数根函数有零点函数的图象与轴有交点，且交点横坐标为. （3）方程有实数根函数与函数有交点，且交点横坐标为. （4）零点存在性定理 如果函数在上的图象是连续不断的，且，那么函数在至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解. 注意：①符合该定理的条件，能确定在区间内有零点，但零点不一定唯一. ②并不是所有的零点都可以用该定理来判定.不满足该定理的函数也可能有零点. 函数的零点有“变号零点”和“不变号零点”，零点存在性定理只适用“变号零点”. ③若在区间内有零点，且在区间上单调，则在内有唯一零点． ④设，若在上有零点，则． 知识点三、二分法 ①二分法的概念 对于在区间上连续不断且的函数，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法. ②用二分法求方程近似解的步骤 （1）确定区间，验证，给定精确度； （2）求区间的中点； （3）计算， （i）若，则就是函数的零点； （ii）若，则令 （iii）若，则令 （4）判断是否达到精确度：即若，则得到零点近似值为（或）；否则重复（2）~（4） 方法总结1：二次方程根的分布 ①两根与的大小比较（以为例） 分布情况 两根都小于， 即 两根都大于， 即 一根小于，一根大于，即 大致图像 得出的结论 ②两根分别在区间外 大致图像 得出的结论 ③根在区间上的分布（以为例） 分布情况 两根都在内 两根有且仅有一根在内 一根内，另一根在内 大致图像 得出的结论 或 方法总结2：指数复合对勾类对勾函数 指数复合对勾类对勾函数 （1）函数 必是偶函数，图像关于 轴对称. 如图. （2）函数 的图像必关于直线 对称，如图. （3）函数 必是奇函数，图像关于原点对称，如图. （4）函数 的图像必关于点 对称，如图. 1．（2026年高考天津卷数学高考真题）函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意， 由题意及图得，函数为奇函数，且当时，， 对A选项，当时，，与图象不符，故A错误； 对B选项，当时，，与图象不符，故B错误； 对D选项，当时，，与图象不符，故D错误； 对C选项，在中， ，即该函数为奇函数， ，与图象相符，故C正确. 2．（2025年高考天津卷数学真题）已知函数的图象如下，则的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由图可知函数为偶函数，而函数和函数为奇函数，故排除选项AB； 又当时，此时， 由图可知当时，，故C不符合，D符合. 故选：D 3．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）函数在区间的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， 又函数定义域为，故该函数为偶函数，可排除A、C， 又， 故可排除D. 故选：B. 4．（2023年天津高考数学真题）已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（    ）      A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由图知：函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且， 由且定义域为R，即B中函数为奇函数，排除； 当时、，即A、C中上函数值为正，排除； 故选：D 5．（2022年新高考天津数学高考真题）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数的定义域为， 且， 函数为奇函数，CD选项错误； 又当时，，B选项错误. 故选：A. 6．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，则，故排除B; 设，当时，， 所以，故排除C; 设，则，故排除D. 故选：A. 7．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）函数在区间的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令， 则， 所以为奇函数，排除BD； 又当时，，所以，排除C. 故选：A. 8．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【解析】解法一：令，即，可得， 令， 原题意等价于当时，曲线与恰有一个交点， 注意到均为偶函数，可知该交点只能在y轴上， 可得，即，解得， 若，令，可得 因为，则，当且仅当时，等号成立， 可得，当且仅当时，等号成立， 则方程有且仅有一个实根0，即曲线与恰有一个交点， 所以符合题意； 综上所述：. 解法二：令， 原题意等价于有且仅有一个零点， 因为， 则为偶函数， 根据偶函数的对称性可知的零点只能为0， 即，解得， 若，则， 又因为当且仅当时，等号成立， 可得，当且仅当时，等号成立， 即有且仅有一个零点0，所以符合题意； 故选：D. 9．（2025年高考天津卷数学真题）函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由指数函数、幂函数的单调性可知：在上单调递减，在单调递增， 所以在定义域上单调递减， 显然， 所以根据零点存在性定理可知的零点位于. 故选：B 10．（2022年新高考天津数学高考真题）设，对任意实数x，用表示中的较小者．若函数至少有3个零点，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】设，，由可得. 要使得函数至少有个零点，则函数至少有一个零点，则， 解得或. ①当时，，作出函数、的图象如下图所示： 此时函数只有两个零点，不合乎题意； ②当时，设函数的两个零点分别为、， 要使得函数至少有个零点，则， 所以，，解得； ③当时，，作出函数、的图象如下图所示： 由图可知，函数的零点个数为，合乎题意； ④当时，设函数的两个零点分别为、， 要使得函数至少有个零点，则， 可得，解得，此时. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 11．（2023年天津高考数学真题）设,函数,若恰有两个零点，则的取值范围为_________． 【答案】 【解析】（1）当时，， 即， 若时，，此时成立； 若时，或， 若方程有一根为，则，即且； 若方程有一根为，则，解得：且； 若时，，此时成立． （2）当时，， 即， 若时，，显然不成立； 若时，或， 若方程有一根为，则，即； 若方程有一根为，则，解得：； 若时，，显然不成立； 综上， 当时，零点为，； 当时，零点为，； 当时，只有一个零点； 当时，零点为，； 当时，只有一个零点； 当时，零点为，； 当时，零点为． 所以，当函数有两个零点时，且． 故答案为：． 12．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】因为，所以， 令，则有3个根， 令，则有3个根，其中， 结合余弦函数的图像性质可得，故， 故答案为：. 13．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】令，即，令 则，令得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增，， 因为曲线与在上有两个不同的交点， 所以等价于与有两个交点，所以. 故答案为： 14．（2024年天津高考数学真题）设，函数.若恰有一个零点，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】令，即， 由题可得， 当时，，有，则，不符合要求，舍去； 当时，则， 即函数与函数有唯一交点， 由，可得或， 当时，则，则， 即，整理得， 当时，即，即， 当，或（正值舍去）， 当时，或，有两解，舍去， 即当时，在时有唯一解， 则当时，在时需无解， 当，且时， 由函数关于对称，令，可得或， 且函数在上单调递减，在上单调递增， 令，即， 故时，图象为双曲线右支的轴上方部分向右平移所得， 由的渐近线方程为， 即部分的渐近线方程为，其斜率为， 又，即在时的斜率， 令，可得或（舍去）， 且函数在上单调递增， 故有，解得，故符合要求； 当时，则， 即函数与函数有唯一交点， 由，可得或， 当时，则，则， 即，整理得， 当时，即，即， 当，（负值舍去）或， 当时，或，有两解，舍去， 即当时，在时有唯一解， 则当时，在时需无解， 当，且时， 由函数关于对称，令，可得或， 且函数在上单调递减，在上单调递增， 同理可得：时，图象为双曲线左支的轴上方部分向左平移所得， 部分的渐近线方程为，其斜率为， 又，即在时的斜率， 令，可得或（舍去）， 且函数在上单调递减， 故有，解得，故符合要求； 综上所述，. 故答案为：. 15．（2026年高考全国2卷数学高考真题（网络 收集版））若函数有两个零点，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】令，得，即， 方法一： 令，则，即，, 则一元二次方程有两个正根， 那么， 所以，的取值范围是. 方法二： 设，那么设，则， 由于在上单调递减，在上单调递增， 故在上单调递减，在上单调递增，且， 根据函数图象可知，函数有两个零点，则的取值范围是. 题型1：函数图象辨识判断 【典例1-1】（2026·高三·辽宁·阶段检测）函数的图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，且定义域为R， 所以为偶函数，所以图象关于y轴对称，排除B，D项， 并且在y轴右侧，趋近于0时，，故， 故只有选项满足题意. 【典例1-2】（2026·天津北辰·三模）函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由函数，可得其定义域为，关于原点对称， 且满足， 所以函数为奇函数，图象关于原点对称，可排除B、D选项； 又由，可排除C选项，所以选项A符合题意. 【变式1-1】（2026·天津·模拟预测）函数，的图象大致为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，， 可得， 所以函数为奇函数，其图像关于原点对称，故可排除选项C、D， 当时，可得，可排除选项B， 所以该函数的图象大致为选项A． 【变式1-2】（2026·河北衡水·模拟预测）函数在区间上的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】易知函数的定义域为， 因为， 所以为奇函数，图象关于原点对称，排除C，D； 当时，令，则， 因为在上单调递增，在上单调递增， 所以在区间上为增函数，且， 又在区间上为增函数，且， 所以在区间上为增函数，排除B． 【变式1-3】（2026·天津西青·三模）已知函数在区间上的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为,因此 是奇函数，图像关于原点对称， 排除选项 C（偶函数图像，关于 轴对称）； 当 时，分子 ，分母 ， 因此 ，选项 B 中 时函数值为负，矛盾，排除 B； 取 ，计算 的值接近 8，说明 附近函数值仍接近 8， 选项 A 中 的函数值和8相差比较大，排除 A； 因此，只有选项 D 符合所有特征. 题型2：图象辅助分析函数性质 【典例2-1】（多选题）（2026·湖北武汉·二模）已知函数，则（   ） A．是的极小值点 B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】AD 【解析】A.时，，时，单调递减，时，单调递增， 所以是的极小值点，故A正确； 如图，画出函数的图象， B.当，，得或 所以当，， 当，单调递增，由增加到1， ，由1减小到，存在点时，，故B错误； C.如图，当时，，，，此时，不满足，故C错误； D.当时，，，此时， ，所以，故D正确. 【典例2-2】（多选题）（2026·湖南岳阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正三角形ABC沿着x轴连续滚动(滚动时无滑动)，若顶点A在滚动中恰好经过坐标原点，设顶点满足函数关系式，则下列判断正确的有（   ） A． B．函数图象的对称轴方程为 C．不等式的解集为 D．直线与函数的图象恰有3个交点 【答案】ACD 【解析】如图，在图中一段一段的扇形上运动， 对于选项A：初始时在原点，当时，即为正三角形的高， 所以，故A正确； 对于选项B：由图可知：的一条对称轴为，周期为6，每经过半个周期均为的对称轴， 所以函数的对称轴方程为，故B错误； 对于选项C：如图所示， 若，解得， 所以不等式的解集为，故C正确； 对于选项D：令，解得， 结合图象可知：直线与函数的图象恰有3个交点，故D正确. 【变式2-1】（多选题）（2026·辽宁抚顺·模拟预测）已知是定义域为的奇函数，当时，，则下列叙述正确的有（   ） A． B．当时，有 C．当时，的最小值为4，则 D．若关于的方程有实数根，则所有实数根之和为零 【答案】ACD 【解析】因为是定义域为的奇函数， 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，， 综上可得， 所以，故A正确； 画出函数的图象，如图， 当时，单调递增，故当时，有，故B错误； 由图象可知，当时，的最小值为4，则，故C正确； 因为函数和均是定义域为的奇函数， 故方程的所有除0外的实数根成对出现，且关于原点对称， 所以所有实数根之和为零，故D正确. 【变式2-2】（多选题）设函数，其中表示，，中的最小者，下列说法正确的有（   ） A． B．对任意的，都有 C．对任意的，有 D．当时，的最大值为1 【答案】ABD 【解析】因， 当时，，显然， 因，故； 当时，，显然， 由，解得， 则当时，，当时，； 当时，，显然， 由，解得， 则当时，，当时，； 当时，，显然， 因，故. 即. 作出函数的图象如下： 对于：由上函数的解析式易得 ，故正确； 对于，：由图可知，函数的图象关于轴对称， 所以任意的，都有，故正确；错误； 对于：由图知，与在轴右侧的交点横坐标为， 且在和上单调递增，在上单调递减， 而， 因函数的图象关于轴对称，在上都有. 故当时，的最大值为1，故正确. 故选：ABD. 【变式2-3】（多选题）（2026·高三·河北邢台·阶段检测）若直线与函数在上的图象有三个交点，则的值可能为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】AB 【解析】当时，；当时，， 故，有，如下图所示： 由直线与函数有三个交点， 可知或. 故选：AB. 题型3：图象法求解不等式 【典例3-1】（2026·高三·全国·一轮复习）已知是定义在上的偶函数，当时，的图象如图所示，则不等式的解集为________． 【答案】 【解析】因为是定义在上的偶函数，所以其图象关于轴对称. 结合图象可知，当时，； 当时，. 由得或. 由或； 由. 所以或或. 所以不等式的解集为：. 故答案为： 【典例3-2】已知是偶函数，是奇函数，它们的定义域均为，且它们在上的图象如图所示，则不等式的解集是________. 【答案】或或. 【解析】因为，所以或， 因为是偶函数，是奇函数， 所以时，，时，，时，，时，； 所以时，，时，，时，，时，， 所以当时，解得：或， 当时，解得：. 所以不等式的解集为或或. 故答案为：或或 【变式3-1】（2026·高三·北京·阶段检测）如图，已知函数的图象是圆心在原点的单位圆的两段弧，则不等式的解集为_____．    【答案】或 【解析】 由图象可知，函数为奇函数，故原不等式， 在同一坐标系中画出函数的函数图象，当时，求解方程得， 结合图象可得在第一象限， 同理，根据图形对称性，可得在第三象限部分，满足条件， 综上所述，解集为或. 故答案为：或. 【变式3-2】（2026·高三·北京·一轮复习）已知函数是定义在上的奇函数，且单调递增，则的解集为_____. 【答案】 【解析】因为函数是定义在上的奇函数， 所以由得： ， 即 又单调递增，所以有， 画出曲线与曲线的图象， 如图所示： 可以看出与有两个交点， 且与分别为两交点横坐标， 所以不等式的解集为， 即不等式的解集为：， 故答案为：. 【变式3-3】（2026·高三·全国·一轮复习）已知函数，则不等式的解集是______. 【答案】 【解析】解析  画出函数的图象如图所示： 所以函数在上为增函数， 由，得， 即，解得. 故答案为：. 题型4：图象法求参数取值范围 【典例4-1】（多选题）（多选）下列可能是函数（其中的图象的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】A选项中的图象关于轴对称，是常函数但是不能是常函数，A选项错误； B选项中的图象关于原点对称，可得函数的定义域为，可得，，，函数满足题意，B选项正确； C选项中的图象，由定义域得，由图象在轴截距为正得，当时，符合条件，C选项正确； D选项中的图象，由定义域得，由图象在轴截距为零得，当时，符合条件，D选项正确； 故选：BCD． 【典例4-2】（多选题）函数的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】因为，所以． 当时，，可能是A中的图象； 当时，恒成立， 所以在上单调递增，可能是B中的图象； 当时，令，得或，令，得， 故在上单调递减，在上单调递增， 可能是C中的图象，但不可能是D中的图象． 【变式4-1】（多选题）函数，（，，是实数且，，），则的图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】BCD 【解析】由，，，当时，函数值恒小于零，无负零点，故A错误. 当，如，，时，，定义域为， 该函数图象和B相符，B可能； 当时，如，，时， 该函数图象和C相符，可以是C； 当，如，时，， 即把的图象向右平移，故D有可能， 故选：BCD 【变式4-2】（多选题）函数的图象可能是　　 A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】根据题意， 当时，，，其图象与选项对应， 当时，，在区间上，，其图象在第一象限先减后增，在区间上，为减函数，其图象与选项对应， 当时，，在区间上，为增函数，在区间上，，其图象在第二象限先减后增，其图象与选项对应， 故选：． 【变式4-3】（多选题）（2026·高三·江苏·开学考试）已知，则函数的图象可能是（    ） A．   B．     C． D．   【答案】BC 【解析】由题意知是的两个零点，由选项可知，即 当时，，， ACD错，B对. 当时，，，ABD错，C对. 故选：BC. 【变式4-4】（多选题）函数的部分图象可能为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】ABD 【解析】当时，，为偶函数，且在上单调递增，A符合题意； 当时，，为奇函数，当时，，B符合题意，C不符合题意； 当时，，为奇函数，且， 当时，且单调递减，D符合题意. 故选：ABD 题型5：实际问题函数图象绘制 【典例5-1】某同学离家去学校，刚开始心情轻松缓慢行进，走了一段路程后，发现时间紧张，加快速度跑步前进.图中轴表示该学生离家的距离，轴表示所用的时间，下列图象与该同学走法相吻合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意可知，关于的函数图象呈上升趋势，故B和D都错误； 由于该同学是先走后跑，所以关于的函数图象上升速度是先慢后快，故A错误，C正确. 故选：C 【典例5-2】一列快车从甲地驶往乙地，一列特快车从乙地驶往甲地，快车的速度为100千米/小时，特快车的速度为150千米/小时，甲乙两地之间的距离为1000千米，两车同时出发，则图中折线大致表示两车之间的距离y（千米）与快车行驶时间t（小时）之间的函数图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当两车同时相向出发时，相遇时间小时， 此时两车距离为0，快车行驶时间为4小时，故排除B选项； 相遇时，快车已经行驶的路程为千米， 还需要行驶小时才能到达乙地，故排除A选项； 特快车相遇时已经行驶的路程为千米， 只需要再行驶小时才能到达甲地， 所以当特快车停止行驶时，快车还在行驶，此时直线的倾斜程度要变小一些，故排除D选项. 故选：C. 【变式5-1】（2026·高三·山东济南·阶段检测）如图，公园里有一处扇形花坛，小明同学从点出发，沿花坛外侧的小路顺时针方向匀速走了一圈路线为，则小明到点的直线距离与他从点出发后运动的时间之间的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】小明沿走时，与点的直线距离保持不变， 沿走时，随时间增加与点的距离越来越小， 沿走时，随时间增加与点的距离越来越大.故D选项的函数图象符合题意. 故选：D 【变式5-2】（2026·安徽·模拟预测）如图，直线在初始位置与等边的底边重合，之后开始在平面上按逆时针方向绕点匀速转动（转动角度不超过），它扫过的三角形内阴影部分的面积是时间的函数．这个函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图所示，取的中点，连接，因为为等边三角形，可得， 设等边的边长为，且，其中， 可得， 又由的面积为，可得， 且， 则的面积为， 令，其中， 可得，所以为单调递增函数， 又由余弦函数的性质得，当时，函数取得最小值， 所以阴影部分的面积一直在增加，但是增加速度先快后慢再快， 结合选项，可得选项C符合题意. 故选：C. 【变式5-3】（2026·山东·二模）如图所示，动点在边长为1的正方形的边上沿运动，表示动点由A点出发所经过的路程，表示的面积，则函数的大致图像是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，，是一条过原点的线段； 当时，，是一段平行于轴的线段； 当时，，图象为一条线段. 故选：A． 题型6：函数图象变换及应用 【典例6-1】函数的图象如图所示，那么函数的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数的图象可由先关于轴对称，再向右平移两个单位得到， 结合各选项，可知只有C选项的图象符合． 【典例6-2】若图中所示为在同一直角坐标平面上的图像及的图像，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由图像可知图像上点的横坐标变为原来的一半，纵坐标变为原来的两倍得到函数的图像， 所以. 故选：A 【变式6-1】将函数向左、向下分别平移2个、3个单位长度，所得图象为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】， 函数的大致图象如图所示， 将其向左、向下分别平移2个、3个单位长度， 则C选项符合所得函数图象. 故选：C. 【变式6-2】（2026·河北秦皇岛·三模）已知函数的图象如图所示，则的图象大致为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】将图象向右平移1个单位，可得图象. 将图象x轴下方部分，沿x轴翻折至上方，x轴上方部分不变可得图象. 将图象向上平移1个单位，可得图象.故选项C满足题意. 故选：C 【变式6-3】已知函数．甲同学将的图象向左平移1个单位长度，得到图象；乙同学将的图象上所有点的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），得到图象．若与恰好重合，则下列给出的中符合题意的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据图象变换规则，甲得到的对应的函数为，乙得到的对应的函数为. 因为与重合，故. 选项A，，则，， 两者不相等，排除. 选项B，，则，， 两者不相等，排除. 选项C，，则，， 两者不相等，排除. 选项D，，则，， 两者相等，符合条件. 故选：D 题型7：由图象匹配函数解析式 【典例7-1】函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意， 由题意及图得，函数为奇函数，且当时，， 对A选项，当时，，与图象不符，故A错误； 对B选项，当时，，与图象不符，故B错误； 对D选项，当时，，与图象不符，故D错误； 对C选项，在中， ，即该函数为奇函数， ，与图象相符，故C正确. 【典例7-2】（2026·湖南长沙·一模）如图是下列四个函数中的某个函数在区间[-π,π]的大致图象，则该函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设图象对应函数为，由图可得为奇函数， 注意到为偶函数，为奇函数. 则为偶函数，不满足题设，故BC错误； 又由图可得，，则D不满足题意，故选A 【变式7-1】（2026·浙江宁波·三模）某函数的图像如图所示，则该函数解析式可能为（        ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】图像中函数与轴有两个交点（即两个零点）， 选项A ，只有1个零点，选项C，没有零点，因此排除A、C. 图像中时，函数值趋近于0，选项D ，当时，，不符合趋势，排除D. 选项B：，零点为（两个零点，一负一正，符合图像）； 时，，，且时，，符合图像左半部分趋势； 时，，，时，符合； 时，，求导得，可得时函数先增后减，且时，指数函数增长快于多项式，，完全符合图像特征. 【变式7-2】（2026·北京东城·二模）已知函数的部分图象如图所示，若，则可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由图象可知：为奇函数； 对于A，，为偶函数，A错误； 对于D，，为偶函数，D错误； 对于BC，不妨设，， 令，解得：；令，解得：或； 则在轴右侧接近的两个零点依次为和；在轴右侧接近的两个零点依次为和， ，， 由图象可知：B错误，C正确. 【变式7-3】（2026·天津滨海新区·三模）已知函数的部分图象如图，则的解析式可能为：（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由图可知，关于原点中心对称，且不是上的单调函数； 对于B，是偶函数，不符合，排除B； 对于C， 的定义域不含，不符合，排除C； 对于D，由复合函数的单调性知是单调递增函数，排除D； 所以A正确. 题型8：函数零点区间判定 【典例8-1】函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可知函数的定义域为， 又因为与在均单调递减， 所以在均单调递减且连续， 因为，， 所以函数的唯一零点所在区间为. 【典例8-2】（2026·高三·全国·一轮复习）方程的根所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】原方程的根等价于函数 的零点，的定义域为 ， 函数 在 上单调递增，函数 在 上单调递增， 因此 在 上单调递增，在定义域内最多只有 1 个零点， ， 因此 时，，无零点，A 选项错误； ，因此 时，， 无零点，B选项错误； ， 因为 ，因此 ， 此时 且 ，，根据零点存在定理，存在 ，使得 ， 即方程的根在区间 内，C选项正确； ， 结合 单调递增， 时 ，故区间 内无零点，D选项错误. 【变式8-1】（2026·高三·全国·一轮复习）已知函数的图象是连续不断的，有如下的x，对应值表 x 1 2 3 4 5 6 7 136.136 15.552 10.88 11.238 由表可知函数存在零点的区间有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【解析】∵，，，， ∴函数存在零点的区间有共4个. 【变式8-2】函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为是增函数，是增函数，所以函数是增函数. 又， 所以由零点存在性定理可得，函数的零点所在的区间为. 【变式8-3】已知，则的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令的值即的零点． 而，即，， 而，所以， 所以函数的零点就是，． 要比较与的大小，等价于比较2与的大小，等价于比较与大小， 显然，，． 题型9：零点与图象交点个数问题 【典例9-1】（2026·贵州遵义·模拟预测）若函数在定义域上恰有三个零点，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】①当时，，则，所以在上单调递增， 因为，而， 由零点存在定理得，函数在上有且只有一个零点； ②时，，该二次函数的图象开口向上，对称轴为， 要使原分段函数在定义域上恰有三个零点，则需使在上要有2个零点， 即需使在上有两个不相等的实数根， 即，解得， 综上可得. 【典例9-2】（2026·高三·天津·阶段检测）已知函数若有3个实数解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】时，，， 解得，解得， 在上单调递减，在上单调递增， ，，， 所以方程在和上各有1个实数解， 时，，函数在上单调递减， 依题意，在上有1个实数解， 则，解得. 实数的取值范围为. 故选：B 【变式9-1】函数的零点个数为 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【解析】因为函数在定义域内单调递增，且 所以函数有且只有一个零点，故选B. 【变式9-2】已知函数是偶函数，当时，若的图象与轴恰有4个公共点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由于函数是偶函数，且其图像与轴恰有4个公共点，因此，在上有两个不同的零点， 当时，令，则，共有两个实数根， 由于函数和均为定义域内的单调函数， 因此有一个实数根，有一个实数根， 故时，， 时，， 因此当时，. 【变式9-3】已知函数有两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】函数有两个零点，则方程有两个实根， 即有两个实根，即直线与函数的图象有两个交点. 结合函数的图象，可得， 所以的取值范围是. 题型10：数形结合求零点参数范围 【典例10-1】已知函数若函数有三个不同的零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 解法1：令得．由题意可知函数的图象与直线有三个交点，由图可知． 解法2：当时，． 令，得或， 解得或，不满足题意，因此排除B、D选项． 当时，， 令，得或， 解得或，不满足题意，因此排除C选项，故选A． 【典例10-2】已知函数，，若与的图象有唯一公共点，则的值为（    ） A．-1 B．0 C． D．1 【答案】A 【解析】由函数，可得其周期为，且， 又由，所以的图象关于对称， 又由函数，可得函数的图象也关于对称， 将，代入，可得， 因为与的图象有唯一公共点，如图所示， 可得函数与的图象有唯一的公共点， 将代入，可得，解得， 所以实数的值为. 【变式10-1】已知函数则有（   ） A． B．的值域为 C．在上单调递增 D．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为 【答案】D 【解析】对于A选项，，故，A错； 对于B选项，当时，；当时，. 因此，函数的值域为，B错； 对于C选项，因为，，则， 故函数在不是增函数，C错； 对于D选项，如下图所示： 当时，直线与函数的图象有两个交点， 此时关于的方程有两个不相等的实数根， 故实数的取值范围是，D对. 故选：D. 【变式10-2】（2026·江西上饶·二模）已知函数，若恰有3个正整数解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，恰有3个正整数解，转换为的图象与的图象交点问题， 作出和的图象，如图： 要使恰有3个正整数解， 则需满足：， 解得：， 故选：A． 【变式10-3】定义在上的函数满足：若函数有且仅有3个零点，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令，则恒过定点，将和的大致图象画在同一直角坐标系， 有3个零点等价于与图象有3个交点，设， 由图可知，，即． 【变式10-4】已知函数有两个零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】法一：由得到：； 令，由题意得与有两个交点： 则，其中， 是单调递减的，并且时，； 因此函数存在唯一零点，； 当时，；时，；； 得如下函数图像： 显然当时，与有两个交点： 法二：由题意得，显然恒成立， ①当时，，故恒成立， 故在R上单调递减，至多有一个零点，不符合题意： ②当时，令得，令得， 故在上单调递减，在上单调递增， 在处取到最小值．要使有两个零点，需， 解得． 当时，令，则， 故， 又在上单调递减，所以在区间上存在唯一的零点． 接下来证明，记， 当单调递增，所以，故， 令，则， 故 ．而在上单调递增， 所以在区间上存在唯一的零点． 综上，a的取值范围是． 【变式10-5】（2026·广东深圳·模拟预测）已知函数，若函数仅有一个零点，则的取值范围（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】为二次函数，对称轴为， 所以时，单调递减， 令，， 所以在单调递增， 则函数的图象如下： 函数仅有一个零点，即只有一个交点， ． 题型11：嵌套函数零点问题 【典例11-1】已知函数，关于的方程有且仅有4个不同的实根，则正数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】易得． 当或时，，在区间单调递增； 当时，，在区间单调递减． ．作出的图象，如图所示． 方程可化为，得或． 因为，所以且，解得． 【典例11-2】已知函数，关于的方程有个不同的根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，的定义域为. ，则函数为偶函数. 当时，，函数在上单调递减，且，时，； 函数为偶函数，函数在上单调递增； 函数的值域为，图象如图所示： ， ，解得或. 方程有个不同的根， 函数的图象与直线和直线的图象共有3个交点. ，得. 实数的取值范围为. 【变式11-1】已知函数，若函数恰有3个不同的零点，则实数的取值范围（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，可画出函数的图象，如图所示， 易知处的函数值为，即如图中的点，所以， 令，则，由图可知， 当时，与无交点； 当时，与有2个交点； 当时，与有1个交点. 令，则，化简得，解得，， 要使函数恰有3个不同的零点， 则当时，有2个零点，且当时，有1个零点，共3个零点， 满足题意，此时的取值范围为； 或者，当时，有2个零点，且当时，有1个零点，共3个零点， 满足题意，此时的取值范围为， 当时，，此时只有1个零点，不合题意， 综上，函数恰有3个不同的零点时，的取值范围为. 【变式11-2】已知函数，若函数有8个不同的零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，，开口向下，对称轴为， ； 当时，，，函数在单调递减，在单调递增； 作出的大致图象如下， 设，则关于的方程有2个不同的根和， 且关于的方程分别有4个不同的根． 不妨设，则关于的方程需满足：， ①若，则，故， 且，即， 解得； ②若，则，此时，符合题意，故． 【变式11-3】（江苏姜堰中学2026届高三年级5月学情调研数学试题）已知是定义在上的奇函数，当时，，若关于x的方程 恰有4个互不相等的实数根，则实数a的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】由因式分解得： 即或. 是定义在上的奇函数，则； 由题意知当 时， ， 当 时，，则， 当 时，，则， 以此类推，可作出当时时的图象，再由奇函数对称性可得时时的图象，如图所示： 结合图象可知，和的图象有2个交点，即有2个根； 当时，和的图象有2个交点，即有2个根， 结合图象可知其他选项不合题意， 所以，满足原方程恰有4个互不相等的实数根. 【变式11-4】已知函数，若方程有五个不同的实数根，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令，由可得， 即，解得或， 当时，即当时，， 当时，，， 作出函数的图象如下图所示： 由图可知，直线与函数的图象有两个交点， 又因为原方程有五个不同的实数根，所以直线与函数的图象有三个交点， 由图可得，故实数的取值范围是. 故选：A. 【变式11-5】已知函数，若关于x的方程有四个不同的实数解，它们从小到大依次记为，，，，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令，则， 当时，，在单调递减，， 在单调递增，； 当时，，在单调递减，， 在单调递增，，作出的图象如下： 若关于x的方程有四个不同的实数解，结合图像可知，在只有一个解， 记， ①当有两个零点时，则一个零点为负数，另一个零点在， 由题意，有，解得； ②当有且仅有一个零点时，，即或时，需要才行，无解， 所以综上①②，a的取值范围是，故D正确； 因为，由得，所以，故B错误； 又，根据韦达定理可知中， ，， 所以，故C错误，A错误.     故选：D. 题型12：零点和与积范围求解 【典例12-1】（2026·高三·江苏泰州·开学考试）已知函数若关于的方程（为实常数）有四个不同的解，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据函数解析式，可得函数大致图象如下， 由图知，且， 由，得，即，故， 由，则，由，则， 所以，且在上单调递增， 所以. 故选：A 【典例12-2】已知函数，若存在实数、、且，使得，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如下图所示： 令，解得， 故当时，对称轴为直线，则， 因为，所以，， 又因为， ， 由可得，则，则， 所以，. 故选：D. 【变式12-1】已知函数若实数满足且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】作出函数的图象，如图， 因为，， 由图可知，即，又，解得， 又，即，即，即， 故，即，所以， 由对勾函数的单调性可知在单调递减， 所以，即 所以由图可知，，即， 所以 故的取值范围为. 故选：C. 【变式12-2】设函数，若关于的方程有四个不同的解，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】作出函数的图象如下图所示： 若关于的方程有四个不同的实数解、、、，且， 由可得或，解得或， 所以，， 由得，即，所以， 由图可知，点、关于直线对称，则， 所以，其中， 令函数，其中，则函数在上单调递增， 所以，即，即. 故选：D. 【变式12-3】已知函数，若存在实数，使得，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】作出函数的图象，如图所示， 由图可得：设，， 所以，解得：，，解得：，， 所以，， 令，则在上单调递减， 则①， 方法一：排除法， 令，则在上单调递增， 则②， 由①②可得,选项AD不合题意； 设， 又因为,所以C错误； 故选：B. 方法二：单调性法（该方法超纲） 由于该函数求导过于复杂，则采用作图软件知：在上减， 所以, 又因为， 所以的取值范围为 所以C选项不合题意， 故选：B． 【变式12-4】已知函数，若方程有四个不同的实数解，它们从小到大记为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，，其图象开口向上，对称轴为， 又，故在上单调递减，此时， 在上单调递增，此时， 当时，， 则可知在单调递减，此时， 在单调递增，此时， 于是，作出函数的图象如下所示， 依题意，，且是方程的实数根，则， 而满足等式，故可得，即， 所以． 故选：D． 题型13：对勾与类对勾函数应用 【典例13-1】已知函数，若存在实数，使得方程有个不同的实数根、、、，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】作出函数与的图象如下图所示： 由图可得， 当时，， 由题意可知，关于的方程的两根分别为、， 即关于的方程的两根分别为、，由韦达定理可得， 由图可得， 由得，则， 可得，，所以，， 所以，， 因为函数在上为增函数， 故当时，，因此，的取值范围为. 故选：C. 【典例13-2】已知函数，若关于的方程恰有6个不同的实数解，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得，的定义域为关于原点对称， 且，所以为偶函数， ，作出函数的图象如下： 由题意关于的方程恰有6个不同的解， 令，由的图象得当时，方程有四个根； 当时，方程有两个根； 当时，方程无解． 设方程的两根分别为，则，， 令，则，解得，即， 因此实数的取值范围是． 【变式13-1】若存在实数，使得成立，则实数的取值范围（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由已知存在，使得成立， 去掉绝对值，方程等价于，即， 记 因为函数与在上单调递增，故在上单调递增， 因为，所以值域为； 因为是对勾函数，如图，根据对勾函数单调性知在上单调递增， 因为，所以函数值域为， 存在使得等式成立，等价于属于或的值域， 即， 故实数的取值范围是. 【变式13-2】设函数，，若曲线与恰有一个交点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】已知函数，， 令，定义域为， 由于曲线与恰有一个交点，即函数只有一个零点， 又因为，所以函数是偶函数， 因此的零点只能是，即，代入函数，得，解得，故D正确. 【变式13-3】关于的方程有且仅有2个不同的实数根，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D．，且 【答案】D 【解析】若关于的方程有且仅有2个不同的实数根， 则函数与有两个交点， 作出函数的图像如下： 当时，则，当且仅当时等号成立，要使函数与有两个交点，则，解得：且， 当时，则，当且仅当时等号成立，要使函数与有两个交点，则，解得：且， 当时，无意义， 综上，实数的取值范围是，且； 故选：D 题型14：复杂曲线函数性质探究 【典例14-1】已知函数的对称中心在直线上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，则， 所以，即函数的对称中心为， 由在直线上，则，即， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 综上，的最小值为. 故选：C 【典例14-2】（2026·高三·河南·阶段检测）函数的对称中心是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对任意的，，即函数的定义域为， 又因为 ， 所以，故函数的对称中心为. 故选：D. 【变式14-1】（2026·高三·河南·阶段检测）对于函数，时， ，则函数的图象关于点成中心对称．探究函数图象的对称中心，并利用它求的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因， 令， 则， 两式相加得：，解得， 所以的值为2021. 故选：D 【变式14-2】（2026·高三·重庆沙坪坝·阶段检测）设函数，下列说法中正确的是（    ） A．的单调递增区间为 B．图象的对称中心为 C．图象的对称中心为 D．的值域为 【答案】B 【解析】由题意，函数，可得函数的定义域为， 又由， 所以函数的单调递增区间为，所以A不正确； 由， 因为，则，则，可得， 即函数的值域为，所以D不正确； 又由，可得，则， 所以函数关于对称，故B正确，C不正确. 故选：B. 【变式14-3】已知函数，则的值域为__________，曲线的对称中心为__________． 【答案】 / 【解析】因为， 因为，则，故，即函数的值域为， 因为， 所以，， 因此，函数的对称中心为. 故答案为：；. 【变式14-4】对于函数，时，，则函数的图象关于点成中心对称.探究函数图象的对称中心，并利用它求的值为________. 【答案】2024 【解析】因， 令， 则， 两式相加得：，解得， 所以的值为2024. 故答案为：2024. 【变式14-5】函数（，且）图象的对称中心是______． 【答案】 【解析】方法一：． 设（，且）， 因为，， 所以是奇函数，其图象关于点对称， 故函数的图象关于点对称， 从而的图象关于点对称； 方法二：， 设函数， 对比系数得，解得， 所以， 设（，且）， 因为，， 所以是奇函数，其图象关于点对称， 所以函数图象的对称中心是． 故答案为：. 1．（2026·高三·全国·一轮复习）已知函数，若的零点个数为，则实数取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据解析式知的图象如图所示： 由题意，有4个不相等的实数根， 设，结合图象可知有两个不等实根， 设此关于方程的解为、，其中均不为零且． 由题设可得关于的方程和共有4个不同的解，， 故不能都大于2，不能都小于等于1， 故（舍）或或（舍）． 令，其开口向上， 需满足，即，解得. 2．已知函数，若函数有个不同的零点，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题当时，，所以， 所以当时，，当时，； 所以在区间上单调递增，在上单调递减， 当时，当时，； 当时，； 所以可作出函数的图象，如下图， 若要使函数有个不同的零点， 所以的图象与直线有个交点， 即，解得. 即实数的取值范围是. 3．已知函数，若恰有3个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】的零点，即为函数的图象与直线交点的横坐标，作出的大致图象及直线，如图，它们有三个交点， 由于，，因此，，， 而，即，所以， 所以， 故选：B． 4．设，若函数有4个不同的零点，，，，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，，函数 当时，，可得的图象关于直线对称. 作出的大致图象，如图所示. 由，可知. 由对勾函数的单调性可知，函数在上单调递增， 所以当时，， 所以， 则 . 由对勾函数的单调性可知，函数在上单调递增， 所以， 即， 即的取值范围是. 故选：A. 5．已知函数，若关于的方程有四个不同的实数解、、、，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】作出函数的图象如下图所示： 若关于的方程有四个不同的实数解、、、，且， 由可得或，解得或， 所以，， 由得，即，所以，， 由图可知，点、关于直线对称，则， 所以，，其中， 令函数，其中，则函数在上单调递增， 所以，，即，即. 故选：D. 6．已知函数，若存在实数，，，使得且，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】做出函数图像如下图所示： ，， ， 根据三角函数的对称性，+=12，且， =, . 故选:D 7．已知函数若，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，作出的大致图象，如图所示， 要使得， 即函数与的图象有4个不同交点，则， 所以实数的取值范围是． 故选：A. 8．（2026·高三·四川遂宁·阶段检测）设函数，若关于x的方程有四个实根，则的最小值为（    ） A． B． C．10 D．9 【答案】D 【解析】作函数的大致图象，如图所示： 当时，对称轴为，所以， 关于的方程有四个实根， 则，由，得或，则， 又，所以， 所以，所以，且， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 故选：D. 9．已知函数若方程有四个不相等的实数根，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数即为，其图象如图所示： 因为方程有四个不相等的实数根，且， 由图象知：，且， 则， 所以， 因为在上递增， 所以 故选：C 10．已知函数，，若恰有4个零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，的定义域为. ，为奇函数，图象关于原点对称. ，恰有4个零点， 可得时，恰有2个零点；时，恰有2个零点，且这4个零点关于原点对称. ， 当时，，得. 时，， 当且时，令，得，即. 时，恰有2个零点，等价于且时，有2个解； 即与在且时有两个交点. 令（且），则； ； ，； 当且时，，即在和上单调递减； 当时，；时，；，；时，；如图所示： 由图可知，当时，与有两个交点； 恰有4个零点时，实数k的取值范围是． 11．（2026·北京石景山·二模）已知函数．若存在2个零点，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】若存在2个零点，则有2个解，即有2个解， 即函数与的图象有2个交点. 当时，单调递减，值域为， 当时，单调递增，值域为， 先求与相切的情况： 设切点为，因为，所以，所以，所以切点为， 代入切线方程，得. 当时，直线与相切于点， 同时与有个交点，此时共2个交点； 当时，直线与有个交点， 与有个交点，共2个交点； 当时，直线与无交点，与有个交点，共个交点； 当时，直线与无交点，与无交点，共个交点； 综上，存在2个零点时，的取值范围是. 12．（2026·高三·全国·一轮复习）已知函数，，若对任意，存在，使得成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于，当时，，则； 当时，，故函数的值域为； 设，则的值域为. 因对任意，存在，使得成立,即成立， 故函数的值域是函数值域的子集， 故只需，即，解得. 13．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数，若方程只有一个实数解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在上单调递减， 在单调递增， 则的图像如下： 方程只有一个实数解，则的取值范围为． 14．（2026·山西临汾·二模）已知函数若方程有三个不同的实数根，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由可得或， 当时，； 当时，； 当时，. 作出函数、、的图象如下图所示： 由图可知，直线与曲线有个交点，即方程无解， 所以由题方程有个不同的解，即直线与曲线有个交点，则. 15．已知函数，关于的方程，，恰有6个不同实数解，则的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，； 当时，； 当时，； 当时， 即，则作出函数的图象如下图： 设，，则方程等价为 有图像可知：方程，，恰有个不同实数解等价于方程有两个不同的根且满足， 当时，，即 此时方程等价为 则判别式： 又，则，即 同时，得 ，得 综上所述：，即的取值范围是 本题正确选项： 16．（2026·高三·全国·一轮复习）已知函数，若函数与函数的图象的交点有个，记为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】因为， 且， 所以的图象关于点中心对称； 又因为， 由，可得， 即函数的定义域为， 且， 易知函数在上单调递增， 又， 所以的图象关于点中心对称； 所以两函数的交点也关于点中心对称； 作出两函数的图象，如图所示： 由此可得两函数图象共有3个交点，其中一个交点为， 设另外两个交点分别为， 则， 所以. 17．（多选题）（2026·山东聊城·二模）已知函数则（    ） A． B．为的极大值点 C．有2个零点 D．若，则在上的值域为 【答案】BCD 【解析】对于，故A错误； 对于B，当时，， 令，则， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 故在处取极大值，故B正确； 对于C，当时，，结合B选项知在时仅有一个零点. 当时，令，解得， 所以共2个零点，故C正确； 对于D，结合B，C选项，在上的图象为 由图象可知， 若，则函数在上的值域为， 故D正确. 18．（多选题）已知函数．则下列说法正确的是（   ） A．在处取得最小值 B．方程有且仅有一个实根 C．对任意，函数关于单调递增 D．对任意，都有 【答案】ABC 【解析】由，得． 当时，；当时，． 所以在处取得最小值．故A正确； 方程 等价于， 即， 令． 则， 且． 除外，， 故严格递增，只有一个零点0．所以方程有且仅有一个实根．故B正确． 对任意，． 对求导得． 所以关于单调递增．故C正确． 当时，． 令，有． 故不可能对任意都有．D错误． 19．（多选题）（2026·河南郑州·模拟预测）已知函数，若函数有三个互不相等的零点，且，则下列结论正确的是（   ） A．实数的取值范围是 B．的单调递减区间为， C． D．函数有4个零点 【答案】BCD 【解析】作出函数的大致图象，如图． 对于A，因为函数有三个互不相等的零点，则函数与的图象有三个不同的交点． 结合图象可得，故A不正确． 对于B，由函数的图象可知其单调递减区间为， ，故B正确． 对于C，由函数的图象可知，且，所以， 即，所以，故C正确． 对于D，设，则． 令，由函数的图象，得或． 当，即时，则，解得； 当，即时，所以或，解得或或， 所以函数有4个零点，故D正确． 20．（2026·高三·全国·一轮复习）已知，关于的方程恰有三个不同的实数解，，，则的值为____________． 【答案】4 【解析】令 ，则 ， 由均值不等式可知， 的取值范围是 原方程可转化为，即， 对于方程 ，整理为 ，其判别式 ， 当 时，，有2 个不同实数解； 当 时，，有1 个实数解（重根）； 当 时，，无实数解， 原方程有 3 个不同实数解，说明关于 的方程的两个根中， 一个根满足 ，另一个根满足 ， 由韦达定理，方程 的两根之和为 5， 两根之积为 ，因此两根均为正数，故一个根是，另一个根 ， 当 时，方程 的解为 ， 当 时，方程 即 ，由韦达定理，两根之和 ， 因此，三个解的和为. 27/27 学科网（北京）股份有限公司 $