精品解析：上海市松江一中2025-2026学年高二上学期阶段测试Ⅰ数学试题

松江一中2025学年度第一学期阶段测试1试卷 高二数学 本卷满分150分，考试时间120分钟，答案全部做在答题纸上． 一．填空题（本大题共有12题，满分54分.考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，第题每个空格填对得4分，第题每个空格填对得5分，否则一律得零分）． 1. 已知两个空间向量，，且，则实数的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】依题意可得，根据空间向量基本定理计算可得. 【详解】因为，，且， 所以，即，即，解得. 故答案为： 2. 用斜二测画法画出的水平放置的的直观图如图，其中，若原的面积为2，则____________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据斜二测画法原则可还原,利用面积公式计算即可求解. 【详解】由直观图可还原，如图： 其中，又， 因此， 所以. 故答案为： 3. 从不大于10的自然数中随机抽取一个数，这个数是奇数的概率为_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用古典概型概率公式计算即可. 【详解】易知不大于10的自然数是，共11个数字， 其中奇数有1，3，5，7，9，共5个， 所以随机抽取一个数，这个数是奇数的概率为. 故答案为： 4. 已知事件与事件为互斥事件，且，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由互斥事件概率加法公式可得答案. 【详解】由题意可得． 故答案为： 5. 如图，直三棱柱中，侧棱平面，若，，则异面直线与所成的角为_________. 【答案】 【解析】 【分析】连接，由，得或其补角是异面直线与所成的角，判断的形状，由此能求出异面直线与所成的角． 【详解】连接， 在三棱柱中，且，所以，四边形为平行四边形， ，所以，异面直线与所成的角为或其补角， 直三棱柱中，侧棱平面，、平面， ，，且，则， 同理可得，所以，为等边三角形，则. 因此，异面直线与所成的角为. 故答案为：. 【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 6. 如图所示，是的直径，所在的平面，是上一点，若，，则直线与平面所成角的正切值为________. 【答案】 【解析】 【分析】由线面角的定义可知直线与平面所成角为，设，求出的长，即可求出的正切值，即为所求. 【详解】因为平面，所以直线与平面所成角为， 不妨设，因为是上一点，，则，且， 因为平面，所以，故. 因此，直线与平面所成角的正切值为. 故答案为：. 7. 甲､乙两人每人投篮一次，投中的总次数记为.已知甲､乙投篮命中的概率分别为且甲､乙投篮命中的结果相互独立，则的概率是__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据独立事件的乘法公式、互斥事件的加法公式计算即可. 【详解】由题意可得. 故答案为： 8. 已知圆锥的顶点为，过母线、的切面切口为正三角形，与圆锥底面所成角为，若的面积为，则该圆锥的侧面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】设是圆锥底面圆的一条直径，设，，，，根据三角形的面积求得，由此能求出该圆锥的侧面积． 【详解】依题意画图，如图： 设是圆锥底面圆的一条直径，设，，则， ，由正弦定理得，， 由题意可知，是等边三角形，则， 的面积为，解得，， 则该圆锥的底面圆半径为， 因此，该圆锥的侧面积为． 故答案为：． 【点睛】本题考查圆锥的侧面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 9. 三棱锥的4个顶点在半径为的球面上，平面，是边长为的正三角形，则点到平面的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】将几何体补成三棱柱，作出草图，找到球心，由勾股定理可得，根据几何关系即可求出，再利用等体积法，即可求出结果． 【详解】将三棱锥补成三棱柱，如图所示， 上下底面中心连线段的中点为外接球的球心，则； 由于是边长为的正三角形， 所以，所以， 在直角三角形中，， 所以， 设到平面的距离为， 由，则， ∴， 所以 ， 解得. 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三棱锥的外接球的应用和等体积法求点到面的距离，找到外接球的球心是解决本题的关键. 10. 从棱长为1的正方体的八个顶点中任取两个不同的顶点，则所取两点间距离不超过的概率是_____． 【答案】 【解析】 【分析】求出样本空间中所有样本点，再利用对立事件与古典概型计算可得结果. 【详解】八个顶点中任取两个不同的顶点有种， 所取两点间距离分别为,其中两点间距离为的情况有4种, 则所取两点间距离不超过的概率是， 故答案为： 11. 已知三棱台上下底面均为正三角形，，，侧棱长，若，则此棱台的高为______． 【答案】 【解析】 【分析】由已知判定棱台为正棱台，还原成棱锥，棱锥的高为棱台的高的两倍，由正棱台性质得到BC⊥PA1，线面垂直的判定定理，可以证明侧棱AA1⊥平面PB1C1,得到A1P⊥PD1.然后利用直角三角形中的射影定理计算PO的长，即为OO1的长. 【详解】由已知可得该三棱台为正三棱台， 还原成棱锥如图所示，由于下底边是上底边的两倍， ∴大棱锥的高为棱台的高的两倍， 取BC的中点D,B1C1的中点D1, 连接PDD1,AD,A1D1,O,O1是上下底面的中心，连接POO1. 由正棱台性质可得BC⊥DD1，BC⊥PO,∴BC⊥平面PD1A1,∴BC⊥PA1， 又∵，故AA1⊥平面PB1C1,∴A1P⊥PD1. ，， , , 故答案为：. 【点睛】本题考查正棱台的判定与性质，线面垂直的判定与性质，属基础题，关键是利用线面垂直的判定定理得到侧棱AA1⊥平面PB1C1,得到A1P⊥PD1. 12. 如图，在棱长为2的正方体中，点是中点，动点在底面内（不包括边界），使四面体体积为，则的最小值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】由已知可得到的距离，再利用勾股定理知要使取得最小值，则需取得最小值，此时利用点到直线的距离可得解. 【详解】由已知得四面体体积 所以设到的距离为，则 解得所以在底面内（不包括边界）与平行且距离为的线段 上， 要使的最小，则此时是过作的垂线的垂足. 点到的距离为所以 此时 故答案为. 【点睛】本题考查立体几何的动点最值问题，将空间立体问题转化为平面问题是解题的关键，属于难度题. 二．选择题（本大题共有4题，满分18分，第题每题4分，第题每题5分），每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸相应位置上，将代表答案的小方格涂黑． 13. 已知事件，若与互斥，与互为对立事件，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用是否推出关系，可判断必要不充分条件. 【详解】由于对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件， 所以，即是的必要不充分条件， 故选：B. 14. 若是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间中点线面位置关系的判定定理和性质定理，逐一判断各选项正误，得出结果. 【详解】根据线面垂直的性质定理，垂直于同一平面的两直线相互平行，所以A正确； 若，则存在一条直线，且，由，所以， 因为，，，所以，B选项正确； 根据面面垂直的判定定理，若，则，所以C正确； 根据面面平行的判断定理，两条相交直线平行于一个面，则经过这两条相交直线的面与这个面平行，所以D错误； 故选：D. 15. 已知为空间中四点，任意三点不共线，且，若四点共面，O不在该平面上，则的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量四点共面定理和基本不等式“1”的妙用求解即可. 【详解】因为四点共面， 所以由共面定理可得，，即， 所以， 因为， 当且仅当，即，即时，等号成立， 所以， 故选：C. 16. 已知正三棱锥的底面的边长为4，直线与平面所成角的余弦值为，动点在以为直径的球面上，且直线平面，则点的轨迹长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用线面角的定义作出线面角，然后利用条件求出的长.取CD的中点E，连接AE，BE，则平面，取BC的中点F，BE的中点G，通过线面垂直的性质定理得所以平面ABE.再利用球的性质求得截面圆的半径，即可求得截面圆的周长，即点的轨迹长. 【详解】解：正三棱锥中，设点在底面上的投影为， 则为的中心，且平面. 连接，则为直线与平面所成的角.如图： 因为正三棱锥的底面的边长为4， 所以边上的高(中线)的长为，所以. 由题可知，所以，所以. 所以三棱锥为正四面体，其各个面均为正三角形. 因为动点在以为直径的球面上，且直线平面， 所以点的轨迹为过直线且垂直于的平面截以为直径的球面所得的截面圆. 如图所示，取的中点，连接AE，BE. 因为和均为正三角形，所以， 又平面ABE，故平面ABE. 所以平面, 平面即为平面. 取BC的中点F，BE的中点G，连接FG，则FG∥CD，所以平面MAB且. 因为F是BC的中点，所以F为以BC为直径的球的球心，所以FG是球心F到平面MAB的距离. 因为所以该球半径为2， 则点M的轨迹所形成的圆的半径为， 则其轨迹长为 故选：D． 三．解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17. 已知. （1）求向量的坐标； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量的坐标运算求出. （2）利用数量积的坐标表示及垂直关系的向量表示列式求出. 【小问1详解】 由，得. 【小问2详解】 由（1）知，， 由，得 ， 所以. 18. 如图，三棱柱的侧棱垂直于底面，其高为，底面三角形的三边长分别为，，． （1）以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分几何体的体积； （2）求该三棱柱的外接球的表面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出三棱柱的体积，得到的内切圆的半径，进而去除圆柱的体积，相减即可答案； （2）将三棱柱补形为长方体得到外接球半径，求出外接球的表面积. 【小问1详解】 因为底面三角形的三边长分别为，，， 所以底面三角形为直角三角形，两直角边长分别为，， 又因为三棱柱的侧棱垂直于底面，其高为， 所以． 设圆柱底面圆的半径为， 则， 圆柱体积． 所以剩余部分几何体的体积． 【小问2详解】 由（1）可知，直三棱柱可补形为棱长分别为，，的长方体， 它的外接球的半径满足，即． 所以，该直三棱柱的外接球的表面积为 19. 杨村四中高一年级甲、乙两位同学参加某项体能测试，甲同学通过的概率为，乙同学通过的概率为，并且在测试过程中甲、乙两同学互不影响，求下列事件的概率： （1）甲、乙两同学都能通过； （2）甲、乙两同学恰有一人通过； （3）甲、乙两同学中至少有一人通过． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）用独立事件概率乘法公式计算即可； （2）先应用对立事件求概率再通过独立事件概率乘法公式及互斥事件概率和公式计算即得； （3）根据独立事件概率乘法公式及互斥事件概率和公式计算即得. 【小问1详解】 甲、乙两同学都能通过的概率为； 【小问2详解】 甲、乙两同学恰有一人通过的概率为； 【小问3详解】 甲、乙两同学中至少有一人通过的概率为． 20. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，为棱的中点． （1）证明：平面； （2）求二面角的余弦值； （3）棱上是否存在点，使得点到平面的距离是?若存在，求出的长；若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）存在点， 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，由中位线性质以及线面平行判定定理即可证明出结论； （2）以为原点建立空间直角坐标系，求出平面平面的法向量，即可求得二面角的余弦值； （3）假设存在点到平面的距离是，设可得，利用点到平面距离的向量求法计算可得，即可求出. 【小问1详解】 取的中点，连接，如下图： 因为为棱的中点，所以， 又，所以， 所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面； 【小问2详解】 由题意知平面，且，可知两两垂直， 以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图， 易知 则， 设平面的一个法向量为， 则，令，可得，可得； 又， 设平面的一个法向量为， 可得，令，可得，即， 所以， 由图可知二面角为锐角， 所以二面角的余弦值为； 【小问3详解】 假设在棱上存在点，使得点到平面的距离是， 设，，即，可得, 所以， 则点到平面的距离是，又，可得, 所以，， 即存在点到平面的距离是,. 21. 在空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”．现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为，我们将这种坐标系称为“斜坐标系”．我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜坐标系”下向量的斜坐标：，，分别为“斜坐标系”下三条数轴（轴、轴、轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组相对应，称向量的斜坐标为，记作． （1）若，，求的斜坐标； （2）在平行六面体中，，，，如图，以为基底建立“空间斜坐标系”． ①若，求向量的斜坐标； ②若，且，求． 【答案】（1） （2）, 2 【解析】 【分析】（1）通过“空间斜60°坐标系”的定义，化简为，，再计算的斜60°坐标. （2）设分别为与同方向的单位向量，则，，，①中，通过平行六面体得到 ，从而得到求向量的斜坐标；②中，通过平行六面体得到，由，得到，并结合题目中的，从而计算出值，并得到的值. 【小问1详解】 ， 的斜坐标为． 【小问2详解】 设分别为与同方向的单位向量， 则，， ① ； ②由题， 由，知， 由， ， ，解得， 则． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 松江一中2025学年度第一学期阶段测试1试卷 高二数学 本卷满分150分，考试时间120分钟，答案全部做在答题纸上． 一．填空题（本大题共有12题，满分54分.考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，第题每个空格填对得4分，第题每个空格填对得5分，否则一律得零分）． 1. 已知两个空间向量，，且，则实数的值为__________． 2. 用斜二测画法画出的水平放置的的直观图如图，其中，若原的面积为2，则____________． 3. 从不大于10的自然数中随机抽取一个数，这个数是奇数的概率为_____． 4. 已知事件与事件为互斥事件，且，，则______． 5. 如图，直三棱柱中，侧棱平面，若，，则异面直线与所成的角为_________. 6. 如图所示，是的直径，所在的平面，是上一点，若，，则直线与平面所成角的正切值为________. 7. 甲､乙两人每人投篮一次，投中的总次数记为.已知甲､乙投篮命中的概率分别为且甲､乙投篮命中的结果相互独立，则的概率是__________. 8. 已知圆锥的顶点为，过母线、的切面切口为正三角形，与圆锥底面所成角为，若的面积为，则该圆锥的侧面积为__________． 9. 三棱锥的4个顶点在半径为的球面上，平面，是边长为的正三角形，则点到平面的距离为______． 10. 从棱长为1的正方体的八个顶点中任取两个不同的顶点，则所取两点间距离不超过的概率是_____． 11. 已知三棱台上下底面均为正三角形，，，侧棱长，若，则此棱台的高为______． 12. 如图，在棱长为2的正方体中，点是中点，动点在底面内（不包括边界），使四面体体积为，则的最小值是___________． 二．选择题（本大题共有4题，满分18分，第题每题4分，第题每题5分），每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸相应位置上，将代表答案的小方格涂黑． 13. 已知事件，若与互斥，与互为对立事件，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 若是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 15. 已知为空间中四点，任意三点不共线，且，若四点共面，O不在该平面上，则的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. D. 9 16. 已知正三棱锥的底面的边长为4，直线与平面所成角的余弦值为，动点在以为直径的球面上，且直线平面，则点的轨迹长为（ ） A. B. C. D. 三．解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17. 已知. （1）求向量的坐标； （2）若，求的值. 18. 如图，三棱柱的侧棱垂直于底面，其高为，底面三角形的三边长分别为，，． （1）以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分几何体的体积； （2）求该三棱柱的外接球的表面积． 19. 杨村四中高一年级甲、乙两位同学参加某项体能测试，甲同学通过的概率为，乙同学通过的概率为，并且在测试过程中甲、乙两同学互不影响，求下列事件的概率： （1）甲、乙两同学都能通过； （2）甲、乙两同学恰有一人通过； （3）甲、乙两同学中至少有一人通过． 20. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，为棱的中点． （1）证明：平面； （2）求二面角的余弦值； （3）棱上是否存在点，使得点到平面的距离是?若存在，求出的长；若不存在，说明理由． 21. 在空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”．现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为，我们将这种坐标系称为“斜坐标系”．我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜坐标系”下向量的斜坐标：，，分别为“斜坐标系”下三条数轴（轴、轴、轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组相对应，称向量的斜坐标为，记作． （1）若，，求的斜坐标； （2）在平行六面体中，，，，如图，以为基底建立“空间斜坐标系”． ①若，求向量的斜坐标； ②若，且，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $