专题02 代数式章末易错压轴题型11易错+4压轴（专项训练）数学冀教版2024七年级上册

专题02 代数式章末易错压轴题型（11易错+4压轴） 目录 易错题型一、用字母表示数 易错题型二、列代数式 易错题型三、代数式的概念 易错题型四、代数式的书写方法 易错题型五、代数式表示的实际意义 易错题型六、用代数式表示数的规律 易错题型七、用代数式表示图形的规律 易错题型八、已知字母的值，求代数式的值 易错题型九、程序流程图与代数式求值 易错题型十、已知式子的值，求代数式的值 易错题型十一、代数式求值的实际问题 压轴题型一、代数式求值中的新定义问题 压轴题型二、代数式求值与数轴结合 压轴题型三、数字类规律探索问题 压轴题型四、图形类规律探索问题 易错题型一、用字母表示数 1．一个三位数，百位上的数是，十位上的数是，个位上的数是，这个三位数用字母表示为（    ） A． B． C． D． 2．某商场举行促销活动，促销的方法是“消费超过200元时，所购买的商品按原价打8折后，再减少20元”．若某商品的原价为x（）元，则购买该商品实际付款的金额是 ． 3．用字母表示图中阴影部分的面积． 易错题型二、列代数式 4．已知是一个两位数，也是一个三位数，将放在的左边构成一个新的五位数，则这个五位数可以表示为（   ） A． B． C． D． 5．中国古代《孙子算经》中有个问题：今有四人共车，一车空；二人共车，八人步，问人与车各几何？这道题的意思是：今有若干人乘车，每4人乘一车，恰好剩余1辆车无人坐；若每2人共乘一车，最终剩余8个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？如果设有辆车，则总人数可表示为（    ） A． B． C． D． 6．如图，要给这个长、宽、高分别为、、的箱子打包，其打包方式如图所示，则打包带的长至少要 ．（单位：）（用含、、的代数式表示） 易错题型三、代数式的概念 7．下列式子：，，，，32，中，代数式的个数是（    ） A．3 B．5 C．6 D．7 8．在下列各式：①；②：③；④；⑤，⑥中，代数式的有 个． 9．若代数式中的任意两个字母互换，代数式不变，则称这个代数式为完全对称式，如就是完全对称式，下列三个代数式：①；②；③；④，其中是完全对称式的有 ． 易错题型四、代数式的书写方法 10．有下列各式：下列代数式中，（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7），符合代数式书写要求的有 个 11．，，，，，中，其中符合书写要求的代数式的个数为 ． 12．下列各式是一些不规范的书写，请将规范写法写在横线处： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)米． 易错题型五、代数式表示的实际意义 13．代数式表示的意义是（   ） A．x与1的和的平方的3倍 B．x的3倍加1的平方 C．x与1的平方和的3倍 D．x加1的3倍 14．小高去超市买学习用品，已知每支中性笔m元，每支铅笔n元，则代数式的实际意义是 ． 15．用文字语言叙述下列代数式的意义： (1)； (2)； (3)． 易错题型六、用代数式表示数的规律 16．观察：下列各数：2，，8，，…，根据这些数的变化规律，可得第n个数为（    ）． A． B． C． D． 17．定义：a是不为1的有理数，把叫做a的差倒数．如2的差倒数是，的差倒数是，设，是的差倒数，是的差倒数，……那么 ． 18．阅读探究：；；；；… (1)根据上述规律，求的值； (2)你能用一个含有n（n为正整数）的算式表示这个规律吗？请直接写出这个算式（不化简）； (3)根据你发现的规律，计算下面算式的值：． 易错题型七、用代数式表示图形的规律 19．如图，将一张正方形纸片沿各边中点剪成4个小正方形，称为第一次操作；然后，将其中的一个正方形按同样的方式再剪成四个小正方形，共得到7个小正方形，称为第二次操作；再将其中的一个正方形按同样的方式再剪成四个小正方形，共得到10个小正方形，称为第三次操作；…，根据以上操作，若要得到100个小正方形，需要操作的次数是（　　） A．33 B．26 C．34 D．50 20．观察下图，回答问题： （1）设图形的周长为L，梯形的个数为n，试写出L与n的函数关系式： ； （2）当时，图形的周长是 ． 21．观察下面的点阵图形和与之相对应的等式探究其中的规律． ①； ②； ③； ④______； ⑤______． (1)请在④和⑤后面的横线上分别写出相对应的等式； (2)猜想第（是正整数）个图形相对应的等式为______． 易错题型八、已知字母的值，求代数式的值 22．若 ，则等于（ ） A． B． C．或 D．以上都不对 23．已知：，，，的值是 ． 24．请根据图示的对话，解答下列问题. 我不小心把老师布置的作业题弄丢了，只记得式子是． 我告诉你，的相反数是3，的绝对值是7，与的和是. (1)求，的值； (2)求的值． 易错题型九、程序流程图与代数式求值 25．如图所示为一个数值转换器的示意图． (1)请在图中填上适当的步骤； (2)当输入的值分别为和时，求输出的值． 26．如图是一个运算程序： (1)若，，求m的值． (2)若，，求m的值． (3)若，m的值为，则______． (4)当，m的值为0时，直接写出的值． 27．在计算机上可以设置运算程序，输入一组数据，计算机就会呈现运算结果，就好像一个“数值转换机”．如图是王老师设计的一个“数值转换机”． (1)输出的结果用代数式表示为___________； (2)完成下表． 0 1 0 2 输出 易错题型十、已知式子的值，求代数式的值 28．已知a，b互为相反数，且，c，d互为倒数，m的绝对值是最小的正整数，求的值． 29．（1）已知当时，的值为，求当时，的值． （2）已知代数式值为9，则的值． 30．（1）若有理数x，y满足，，且，求． （2）已知a，b互为相反数，且，c，d互为倒数，m的绝对值为5，求的值． 易错题型十一、代数式求值的实际问题 31．某公园出售的一次性使用门票，每张10元，为了吸引更多游客，新近推出购买“个人年票”的售票活动从购买日起，可供持票者使用一年．年票分A、B两类：A类年票每张100元，持票者每次进入公园无需再购买门票；B类年票每张60元，持票者进入公园时需再购买每次2元的门票． (1)某游客一年中进入该公园共有n次，如果不购买年票，则一年的费用为______元；如果购买A类年票，则一年的费用为______元；如果购买B类年票，则一年的费用为______元；用含n的代数式表示 (2)假如某游客一年中进入该公园共有20次，选择哪种购买方式比较优惠？请通过计算说明理由． 32．如图，正方形的边长为a． (1)根据图中数据，用含a，b的代数式表示阴影部分图形的面积S． (2)当，时，求阴影部分图形的面积． 33．万象洞位于武都县城东12公里处的白龙江南岸杨庞村半山腰，因为洞中钟乳石遍布，琳琅多姿，宛如包罗万象的问苑仙官而得名，在甘肃旅游热的带动下，万象洞成为来陇游客的必选之地，万象洞成人门票价格为60元/人，学生门票价格为40元/人．国庆期间，某旅游公司开展促销活动，向游客提供两种优惠购票方案： ①买一张成人票送一张学生票； ②成人票和学生票都按正常价格的8折优惠． 现某旅行团有10个成人，个学生． (1)若该旅行团按方案①购票，则需付款______元；若该旅行团按方案②购票，则需付款______元；（用含的代数式表示） (2)当时，请通过计算说明此时按哪种方案购票较为合算． 压轴题型一、代数式求值中的新定义问题 34．我们定义：若两个有理数的积等于这两个有理数的和，则称这两个数互为“友好数”如：有理数与，因为，所以与互为“友好数”． (1)判断与是否互为“友好数”，并说明理由； (2)若有理数与互为“友好数”，与互为相反数，求代数式的值； (3)对于有理数且，设的“友好数”为；的倒数为；的“友好数”为；的倒数为；；依次按如上的操作，得到一组数，，，，，，当时，求的值． 35．已知有理数、、满足以下条件：是最大的负整数；的绝对值是最小的正整数；是倒数等于它本身的有理数；定义运算：．回答下列问题： (1)求、、的值； (2)计算和，并判断运算是否满足交换律（即对所有有理数，成立）； (3)若，求，求的值． 36．已知（且n是自然数）是按顺序排列的若干个数．定义一种运算方式：第一个数为，第二个数开始，每个数都等于1与它前面的那个数的差的倒数． (1)试计算：________；________；________． (2)根据以上计算试求的值． (3)若表示不超过p的最大整数，如，记，当时， ________（直接写出答案）． 压轴题型二、代数式求值与数轴结合 37．在数轴上，把原点记作点O，表示数1的点记作点A，对于数轴上任意一点P（不与点O，点A重合），将线段与线段 的长度之比定义为点 P 的特征值，记作，即，例如：当点 P 是线段的中点时，因为，所以． (1)如图，点，，为数轴上三个点，点表示的数是，点与关于原点对称． ① ． ②比较，，的大小 ． (2)数轴上的点M满足，求M的值． (3)数轴上的点 P 表示有理数p，已知且为整数，求所有满足条件的p的倒数之和． 38．综合与实践 【背景知识】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，这种解决问题的思想叫作数形结合思想． 【回归课本】 （1）在数轴上，如果A，B两点分别表示互为相反数的两个数，点A在点B的左侧，并且两点之间的距离是5，那么这两个点表示的数分别是多少？ 【拓展延伸】 （2）在（1）的条件下，点A以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时点B以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，当点A运动到对应的点时． ①求A，B两点之间的距离； ②C是数轴上一点，对应的数是x，当A，C两点之间的距离与B，C两点之间的距离之和为最小值时，x可取的整数共有多少个？请直接写出答案． 【规律探究】 （3）点（n为正整数）都在数轴上，点在原点O的左边，且，O两点之间的距离为1，点在点的右边，且，两点之间的距离为2，点在点的左边，且，两点之间的距离为3……依照上述规律，请直接写出点，表示的数． 39．【问题背景】 已知点在数轴的负半轴上，且距离原点5个单位长度，点表示的数与点相距8个单位长度，且在点的右侧，点到点、的距离相等． 【初步探究】 （1）请在如图所示的数轴上标上点、、； （2）若点、、表示的数分别为、、，求的值； 【拓展提升】 （3）点、是数轴上的两个动点，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向数轴正方向移动，同时点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向数轴负半轴移动． ①当点移动到点时，点、均停止移动，求此时点在数轴上表示的数； ②当点移动到点时，点、均停止移动，若点到点的距离为3，求点与点之间的距离． 压轴题型三、数字类规律探索问题 40．对于一列数，已知，对于每一个都满足．有如下的4个结论：①的可能值为；②的可能值有2024个；③的最大可能值为6；④的最大可能值为5050．其中正确的结论个数是（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 41．大于1的正整数m的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和，如，，，…若分裂后，其中有一个奇数是501，则m的值是（　　） A．21 B．22 C．23 D．24 42．如图所示的运算程序中，如果开始输入的值为，我们发现第1次输出的结果为，第2次输出的结果为……，那么第2025次输出的结果为（   ） A． B． C． D． 压轴题型四、图形类规律探索问题 43．如图，甲、乙两动点分别从正方形的顶点A、C同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行．若甲的速度是乙的速度的3倍，则它们第2025次相遇的位置在（   ） A．边上 B．边上 C．边上 D．边上 44．用火柴棍拼成如下图案，其中如图，第个图案由个小等边三角形围成个小四边形，如图，第个图案由个小等边三角形围成个小四边形，，若按此规律拼下去，则第个图案需要火柴棍的根数为 （用含的式子表示）． 45．古希腊著名的毕达哥拉斯学派对“三角形数、正方形数、五边形数”等形数有所研究． （1）他们把1、3、6、10、15……这样的数称作“三角形数”（如图）．第6个三角形数是 ；第n个三角形数是 ． （2）他们把1、4、9、16……称作“正方形数”．第n个正方形数是 ． （3）如果用一条斜线把正方形数分成了两部分（如图），那么可以发现：任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和． 以此类推，第n幅图为 ＝ ＋ ． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 代数式章末易错压轴题型（11易错+4压轴） 目录 易错题型一、用字母表示数 易错题型二、列代数式 易错题型三、代数式的概念 易错题型四、代数式的书写方法 易错题型五、代数式表示的实际意义 易错题型六、用代数式表示数的规律 易错题型七、用代数式表示图形的规律 易错题型八、已知字母的值，求代数式的值 易错题型九、程序流程图与代数式求值 易错题型十、已知式子的值，求代数式的值 易错题型十一、代数式求值的实际问题 压轴题型一、代数式求值中的新定义问题 压轴题型二、代数式求值与数轴结合 压轴题型三、数字类规律探索问题 压轴题型四、图形类规律探索问题 易错题型一、用字母表示数 1．一个三位数，百位上的数是，十位上的数是，个位上的数是，这个三位数用字母表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列代数式，也就是把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来； 百位上的数字是，表示个百，十位上的数字是，表示个十，个位上的数字是，表示个一，所以表示这个三位数的式子应该是． 【详解】因为百位上的数字是，表示个百，即， 因为十位上的数字是，表示个十，即， 因为个位上的数字是，表示个一，即， 所以表示这个三位数的式子应该是． 故选：D． 2．某商场举行促销活动，促销的方法是“消费超过200元时，所购买的商品按原价打8折后，再减少20元”．若某商品的原价为x（）元，则购买该商品实际付款的金额是 ． 【答案】元 【分析】本题主要考查了用字母表示数，根据消费超过200元时，所购买的商品按原价打8折后，再减少20元，用x表示出实际金额即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴购买该商品实际付款的金额是元， 故答案为： 3．用字母表示图中阴影部分的面积． 【答案】（1）ab﹣bx；（2）R2πR2 【分析】（1）读图可得，阴影部分的面积＝大长方形的面积﹣小长方形的面积； （2）阴影部分的面积＝正方形的面积﹣扇形的面积． 【详解】解：（1）阴影部分的面积＝ab﹣bx； （2）阴影部分的面积＝R2πR2． 【点睛】本题考查代数式的应用，解决问题的关键是看懂图，找到所求的阴影部分的面积和各部分之间的等量关系． 易错题型二、列代数式 4．已知是一个两位数，也是一个三位数，将放在的左边构成一个新的五位数，则这个五位数可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是列代数式，将两位数x放在三位数y的左边，相当于x乘以1000（使x左移三位）后加上y，从而得到五位数． 【详解】解：∵ x是两位数，y是三位数，将x放在y的左边构成五位数时，x需左移三位，即乘以1000； ∴新五位数为， 故选：D． 5．中国古代《孙子算经》中有个问题：今有四人共车，一车空；二人共车，八人步，问人与车各几何？这道题的意思是：今有若干人乘车，每4人乘一车，恰好剩余1辆车无人坐；若每2人共乘一车，最终剩余8个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？如果设有辆车，则总人数可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查列代数式，由4人乘一车，恰好剩余1辆车无人坐，求总人数为；若每2人共乘一车，最终剩余8个人无车可乘，求总人数为；依此即可求解． 【详解】解：∵有x辆车， ∴总人数为或． 故选：A． 6．如图，要给这个长、宽、高分别为、、的箱子打包，其打包方式如图所示，则打包带的长至少要 ．（单位：）（用含、、的代数式表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了列代数式，根据题意可得打包带的总长为该长方体的长的2倍，加上宽的4倍，加上高的6倍，据此列式求解即可． 【详解】解：由题意得，总长为， 故答案为：． 易错题型三、代数式的概念 7．下列式子：，，，，32，中，代数式的个数是（    ） A．3 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题主要考查了代数式，根据代数式的概念，用运算符号把数字与字母连接而成的式子叫做代数式．单独的一个数或一个字母也是代数式． 【详解】解：式子，，，，32，符合代数式的定义，是代数式； 式子，是等式，不是代数式． 故代数式有5个． 故选：B． 8．在下列各式：①；②：③；④；⑤，⑥中，代数式的有 个． 【答案】4 【分析】本题考查了代数式的定义，根据代数式即用运算符号把数或字母连起来的式子，逐项判断即可，熟练掌握代数式的定义是解此题的关键． 【详解】解：①是整式，是代数式； ②，是等式，不是整式，不是代数式； ③是整式，是代数式； ④是不等式，不是整式，不是代数式； ⑤是分式，不是整式，是代数式； ⑥是整式，是代数式； 综上所述，代数式有①③⑤⑥， 故答案为：4． 9．若代数式中的任意两个字母互换，代数式不变，则称这个代数式为完全对称式，如就是完全对称式，下列三个代数式：①；②；③；④，其中是完全对称式的有 ． 【答案】①②③ 【分析】对所给的代数式，任意交换两个字母，然后进行分析判断即可得到答案． 【详解】解：①代数式交换字母顺序后得，因为，所以代数式是完全对称式； ②代数式交换字母顺序后得，因为，所以代数式是完全对称式； ③中，任意交换，得到的代数式都是，故是完全对称式； ④，交换得到，与原代数式不一样，所以不是完全对称式． 所以是完全对称式的是：①②③． 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查代数式的基本概念，根据所给的完全对称式的定义进行判断分析是解题的关键． 易错题型四、代数式的书写方法 10．有下列各式：下列代数式中，（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7），符合代数式书写要求的有 个 【答案】2 【分析】本题考查代数书写方法，解题的关键是掌握代数式的书写规范：（1）数与字母，字母与字母相乘，乘号可以省略，数字与数字相乘，乘号不能省略，数字要写在前面；（2）带分数与字母相乘一定要写成假分数；（3）在含有字母的除法中，一般不用“÷”号，而写成分数的形式；（4）式子后面有单位时，和差形式的代数式要在单位前把代数式括起来．据此依次分析进行判断． 【详解】解：（1）应书写成，书写形式不规范，不符合题意； （2）应书写成，书写形式不规范，不符合题意； （3）书写形式规范，符合题意； （4）书写形式规范，符合题意； （5）应书写成，书写形式不规范，不符合题意； （6）应书写成，书写形式不规范，不符合题意； （7）应书写成，书写形式不规范，不符合题意； ∴符合书写要求的有2个． 故答案为：． 11．，，，，，中，其中符合书写要求的代数式的个数为 ． 【答案】 【分析】此题考查了代数式的书写要求：（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式．解题关键是掌握代数式的书写要求．根据代数式的书写要求分别进行判断即可． 【详解】解：用字母表示数的式子中，符合书写要求的有：，，，共3个， 应该写成或，应该写成， 应该写成中， 故答案为：． 12．下列各式是一些不规范的书写，请将规范写法写在横线处： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)米． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6)米 【分析】本题考查了代数式．解题的关键是掌握代数式的书写要求：（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式，1通常省略不写；(4)多项式后带单位时，这个多项式要加括号．根据代数式的书写格式解答即可． 【详解】（1）解：应写作：；(数字与数字的乘法用“”) 故答案为：； （2）解：应写作：，(带分数要化成假分数) 故答案为：； （3）解：应写作：，(数字因式写在前面) 故答案为：； （4）解：应写作：，(除法写成分数形式) 故答案为：； （5）解：应写作：，(乘法中1省略不写) 故答案为：； （6）解：米应写作：米，(多项式后带单位要加括号) 故答案为：米． 易错题型五、代数式表示的实际意义 13．代数式表示的意义是（   ） A．x与1的和的平方的3倍 B．x的3倍加1的平方 C．x与1的平方和的3倍 D．x加1的3倍 【答案】A 【分析】本题考查的是代数式的应用，根据运算顺序先求和，再平方，再3倍，从而可得答案． 【详解】解：代数式表示的意义是x与1的和的平方的3倍， 故选：A． 14．小高去超市买学习用品，已知每支中性笔m元，每支铅笔n元，则代数式的实际意义是 ． 【答案】5支中性笔和3支铅笔的总钱数 【分析】本题主要考查了代数式的实际意义，解题的关键理解题意，根据代数式的运算关系表示实际意义． 根据代数式的运算关系，联系实际场景，表示出实际意义即可． 【详解】解：代数式的实际意义是：5支中性笔和3支铅笔的总钱数， 故答案为：5支中性笔和3支铅笔的总钱数． 15．用文字语言叙述下列代数式的意义： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)与3的差的一半 (2)的平方与的平方的差 (3)的倒数与的倒数之和 【分析】本题考查了代数式的意义，能结合代数式的结构特点表示意义是解题的关键． 根据代数式的特点，结合运算符号解答即可. 【详解】（1）解：从运算过程看先算括号内的运算再乘以，故其意义为：与3的差的一半， （2）解：从运算过程看先平方再求差，故其意义为：的平方与的平方的差， （3）解：从运算过程看先求倒数再求和，故其意义为：的倒数与的倒数之和. 易错题型六、用代数式表示数的规律 16．观察：下列各数：2，，8，，…，根据这些数的变化规律，可得第n个数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是数字类的规律探究，由条件可得按规律排列的数是2的整数指数幂，从而可得答案． 【详解】解：根据题意可得：，，，，… 则第n个数为． 故选：C． 17．定义：a是不为1的有理数，把叫做a的差倒数．如2的差倒数是，的差倒数是，设，是的差倒数，是的差倒数，……那么 ． 【答案】3 【分析】此题主要考查了新定义以及数字变化规律，根据已知得出数据之间的变化规律是解题关键．理解差倒数的概念，要根据定义去做．通过计算，寻找差倒数出现的规律，依据规律解答即可． 【详解】解：根据差倒数定义可得：，． ∴每三个循环一次，又余 1 ， 故和的值相等． 故答案为：3． 18．阅读探究：；；；；… (1)根据上述规律，求的值； (2)你能用一个含有n（n为正整数）的算式表示这个规律吗？请直接写出这个算式（不化简）； (3)根据你发现的规律，计算下面算式的值：． 【答案】(1)55 (2) (3)960 【分析】本题主要考查了数字变化规律问题，用代数式表示， 对于（1），仿照阅读内容解答； 对于（2），结合（1）解答即可； 对于（3），先根据（1）得，再根据题意求出，然后作差即可得出答案. 【详解】（1）解：根据题意，得； （2）解：根据题意，得（n为正整数）； （3）解：根据（1），得 ， 则，得. 易错题型七、用代数式表示图形的规律 19．如图，将一张正方形纸片沿各边中点剪成4个小正方形，称为第一次操作；然后，将其中的一个正方形按同样的方式再剪成四个小正方形，共得到7个小正方形，称为第二次操作；再将其中的一个正方形按同样的方式再剪成四个小正方形，共得到10个小正方形，称为第三次操作；…，根据以上操作，若要得到100个小正方形，需要操作的次数是（　　） A．33 B．26 C．34 D．50 【答案】A 【分析】本题考查图形中的数字规律，读懂题意，找准规律是解决问题的关键．先由题中操作得到第次操作，除去其中一个正方形，得到个正方形，从而得到若要得到100个小正方形，则，解得，即可得到答案． 【详解】解：根据题意， 第一次操作，除去其中一个正方形，得到3个正方形； 第二次操作，除去其中一个正方形，得到6个正方形； 第三次操作，除去其中一个正方形，得到9个正方形； 第四次操作，除去其中一个正方形，得到12个正方形； 第次操作，除去其中一个正方形，得到个正方形； 若要得到100个小正方形，则，解得，即需要操作的次数是33次， 故选：A． 20．观察下图，回答问题： （1）设图形的周长为L，梯形的个数为n，试写出L与n的函数关系式： ； （2）当时，图形的周长是 ． 【答案】 35 【分析】本题考查了图形规律，理解图示找出规律是关键． 根据图示，得到梯形个数与周长的数量关系列式即可，将代入即可求解． 【详解】解：梯形的个数增加1个，周长L增加3， ∴L与n的函数关系式：； 时，代入所求解析式为：． 故答案为：①；② ． 21．观察下面的点阵图形和与之相对应的等式探究其中的规律． ①； ②； ③； ④______； ⑤______． (1)请在④和⑤后面的横线上分别写出相对应的等式； (2)猜想第（是正整数）个图形相对应的等式为______． 【答案】(1)④；⑤ (2) 【分析】本题是对图形变化规律的考查． （1）根据从同一顶点向外作出的四条线上的点的个数解答； （2）根据变化的连续自然数和相应的图形的序数解答． 【详解】（1）解：①； ②； ③； ④； ⑤； 故答案为：；； （2）解：由（1）可得：第n个图形对应的等式为：． 故答案为：． 易错题型八、已知字母的值，求代数式的值 22．若 ，则等于（ ） A． B． C．或 D．以上都不对 【答案】A 【分析】本题考查了非负数的性质，代数式求值；根据非负数的性质，平方项和绝对值项均非负，它们的和为零则每个必须为零，由此可求出和的值，再代入表达式计算即可． 【详解】解：∵ ，，且 ， ∴ 且 ， ∴ ，即 ， ，即 ， ∴ ． 故选：A． 23．已知：，，，的值是 ． 【答案】1或 【分析】本题考查了绝对值，代数式求值，有理数的乘方、乘法运算，熟练掌握 知识点是解题的关键． 由可得，由可得，再根据确定a与b异号，从而分情况计算的值． 【详解】∵， ∴或， ∵， ∴或， 又∵， ∴ a与b异号， 当时，，则； 当时，，则， 故的值为1或， 故答案为：1或． 24．请根据图示的对话，解答下列问题. 我不小心把老师布置的作业题弄丢了，只记得式子是． 我告诉你，的相反数是3，的绝对值是7，与的和是. (1)求，的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2)33或5 【分析】本题主要考查了代数式求值，相反数，绝对值，有理数的加减， 对于（1），根据相反数和绝对值的定义解答； 对于（2），分两种情况求出c，再求出代数式的值即可． 【详解】（1）解：因为a的相反数是3，b的绝对值是7， 所以； （2）解：因为c与b的和是，且， 当时，，解得，则； 当时，，解得，则． 所以的值是33或5． 易错题型九、程序流程图与代数式求值 25．如图所示为一个数值转换器的示意图． (1)请在图中填上适当的步骤； (2)当输入的值分别为和时，求输出的值． 【答案】(1)平方，乘以5，减去1 (2)4， 【分析】本题考查了求代数式的值，解题关键是正确理解示意图． （1）根据示意图的结果，即可得的计算步骤； （2）把和分别代入中，即可求出相应的值． 【详解】（1）解：根据示意图的结果，可得的计算步骤如下：第一次运算为对进行平方，第二次运算为乘以5，第三次运算为减去1； （2）解：根据图形，可得代数式为：， 当时，则； 当时，则． 26．如图是一个运算程序： (1)若，，求m的值． (2)若，，求m的值． (3)若，m的值为，则______． (4)当，m的值为0时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)0 (4)或2 【分析】本题考查了程序流程图与代数式求值，已知字母的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，把，代入进行计算，即可作答． （2）理解题意，把，代入进行计算，即可作答． （3）理解题意，结合，故，再解得的值，即可作答． （4）理解题意，进行分类讨论且分别列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵，，且， ∴， （2）解：∵，，且， 则； （3）解：依题意，，m的值为， ∵， 则， 则， 解得， （4）解：依题意，当时，即， 则， ∴， 解得，满足， ∴ 当时，即， 则， ∴， 检验：，即满足； 综上：当，m的值为0时，的值为或2． 27．在计算机上可以设置运算程序，输入一组数据，计算机就会呈现运算结果，就好像一个“数值转换机”．如图是王老师设计的一个“数值转换机”． (1)输出的结果用代数式表示为___________； (2)完成下表． 0 1 0 2 输出 【答案】(1) (2)1，，，3 【分析】本题考查了代数式的求值，根据题意正确列式是解题的关键； （1）根据运算程序图列式即可； （2）把x，y分别代入求值即可． 【详解】（1）解：由题意，输出的结果用代数式表示为， 故答案为：． （2）解：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 故答案为：1，，，3． 易错题型十、已知式子的值，求代数式的值 28．已知a，b互为相反数，且，c，d互为倒数，m的绝对值是最小的正整数，求的值． 【答案】1 【分析】本题考查了相反数，倒数，绝对值，已知式子的值求代数式的值，先根据a，b互为相反数，且，c，d互为倒数，m的绝对值是最小的正整数，得出，，，，再代入进行计算，即可作答． 【详解】.解：∵a，b互为相反数，且， ∴， ∴． ∵c，d互为倒数， ∴． ∵m的绝对值是最小的正整数， ∴． ∴ ． 29．（1）已知当时，的值为，求当时，的值． （2）已知代数式值为9，则的值． 【答案】（1）；（2）7 【分析】本题考查了代数式求值，正确应用已知条件整体代入是解题的关键． （1）把代入代数式求出a、b的关系式，再把代入代数式整理即可得解； （2）利用已知可得出，然后整体代入求解即可． 【详解】解：（1）∵当时，的值为， ∴，即， ∴当时， ； （2）∵代数式值为9， ∴， ∴， ∴， ∴. 30．（1）若有理数x，y满足，，且，求． （2）已知a，b互为相反数，且，c，d互为倒数，m的绝对值为5，求的值． 【答案】（1）或；（2）或4 【分析】本题考查代数式求值，主要涉及绝对值，相反数，倒数，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据绝对值的性质确定x、y的值，然后代入中计算即可； （2）由相反数的定义，倒数的定义，绝对值的定义易得，，，，将已知数值代入原式计算即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴或. ∴的值为或． （2）∵a，b互为相反数，且，c，d互为倒数，m的绝对值为5， ∴，，，， ∴当时， 原式； 当时， 原式； ∴原式的值为或4． 易错题型十一、代数式求值的实际问题 31．某公园出售的一次性使用门票，每张10元，为了吸引更多游客，新近推出购买“个人年票”的售票活动从购买日起，可供持票者使用一年．年票分A、B两类：A类年票每张100元，持票者每次进入公园无需再购买门票；B类年票每张60元，持票者进入公园时需再购买每次2元的门票． (1)某游客一年中进入该公园共有n次，如果不购买年票，则一年的费用为______元；如果购买A类年票，则一年的费用为______元；如果购买B类年票，则一年的费用为______元；用含n的代数式表示 (2)假如某游客一年中进入该公园共有20次，选择哪种购买方式比较优惠？请通过计算说明理由． 【答案】(1)，， (2)购买类年票和购买类年票两种方式比较优惠，理由见解析 【分析】本题考查了用代数式表示数及方案选择问题． （1）一次性使用门票，每张元，根据总价单价数量即可求出不购买年票的费用，类年票每张元，且不论次数，即可得出一年的费用是元，类门票除了要交元，每次进入公园还要购买元，因此一年费用为； （2）根据（1）分别计算出一年进入公园次，每种购买方式的费用，即可得出最有优惠的购买方式． 【小题1】不购买年票，则每张元， 一年进入公园次，需要的费用为元， 类年票是元，且不论次数， 购买类年票，则一年的费用为元， 类门票除了要交元，每次进入公园还要购买元， 购买类年票，则一年的费用元； 【小题2】当购买一次性门票时，所需费用为元， 当购买类年票时，所需费用为元， 当购买类年票时，所需费用为元， ， 购买类年票和购买类年票两种方式比较优惠． 32．如图，正方形的边长为a． (1)根据图中数据，用含a，b的代数式表示阴影部分图形的面积S． (2)当，时，求阴影部分图形的面积． 【答案】(1) (2)32 【分析】本题考查了列代数式，已知字母的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据阴影部分图形的面积等于正方形的面积减去三角形的面积，进行列式，即可作答． （2）理解题意，直接把，代入，进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：观察图形，得出阴影部分图形的面积； （2）解：由（1）得， 则把，代入， 得． 33．万象洞位于武都县城东12公里处的白龙江南岸杨庞村半山腰，因为洞中钟乳石遍布，琳琅多姿，宛如包罗万象的问苑仙官而得名，在甘肃旅游热的带动下，万象洞成为来陇游客的必选之地，万象洞成人门票价格为60元/人，学生门票价格为40元/人．国庆期间，某旅游公司开展促销活动，向游客提供两种优惠购票方案： ①买一张成人票送一张学生票； ②成人票和学生票都按正常价格的8折优惠． 现某旅行团有10个成人，个学生． (1)若该旅行团按方案①购票，则需付款______元；若该旅行团按方案②购票，则需付款______元；（用含的代数式表示） (2)当时，请通过计算说明此时按哪种方案购票较为合算． 【答案】(1)； (2)按方案①购票较为合算 【分析】本题考查了代数式求值、列代数式，正确理解两种优惠购票方案是解题关键． （1）方案①：需付款10个成人和个学生的门票即可得；方案②：将10个成人和个学生的门票，乘以即可得； （2）将代入（1）中的结果，再比较大小即可得． 【详解】（1）解：若该旅行团按方案①购票，则需付款（元）， 若该旅行团按方案②购票，则需付款（元）， 故答案为：；． （2）解：当时， 方案①购票费用为（元）， 方案②购票费用为（元）， 因为， 所以此时按方案①购票较为合算． 压轴题型一、代数式求值中的新定义问题 34．我们定义：若两个有理数的积等于这两个有理数的和，则称这两个数互为“友好数”如：有理数与，因为，所以与互为“友好数”． (1)判断与是否互为“友好数”，并说明理由； (2)若有理数与互为“友好数”，与互为相反数，求代数式的值； (3)对于有理数且，设的“友好数”为；的倒数为；的“友好数”为；的倒数为；；依次按如上的操作，得到一组数，，，，，，当时，求的值． 【答案】(1)是，见解析； (2)； (3)． 【分析】本题考查了对新定义“友好数”的理解与应用、相反数的性质、代数式的化简求值以及数字循环规律的探究，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据“友好数”定义即可求解； （）因为有理数与互为“友好数”，与互为相反数，所以， ，然后化简，最后代入即可求解； （）先求出，，，，，，，，则这组数每次一个循环，故有，即． 【详解】（1）解：与是互为“友好数”，理由： 因为，， 所以与是互为“友好数”； （2）解：因为有理数与互为“友好数”，与互为相反数， 所以， ， 所以 ； （3）解：由题意得，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴这组数每次一个循环，因为， ∴ ∴的值为． 35．已知有理数、、满足以下条件：是最大的负整数；的绝对值是最小的正整数；是倒数等于它本身的有理数；定义运算：．回答下列问题： (1)求、、的值； (2)计算和，并判断运算是否满足交换律（即对所有有理数，成立）； (3)若，求，求的值． 【答案】(1)，或，或 (2)当，时，，；当，时，，；运算不满足交换律 (3)的值为或3或 【分析】（1）根据题意即可求解； （2）分类讨论：①当，时，求出，，所以运算不满足交换律；②当，时，求出，，所以运算满足交换律，综合两种情况即可解答； （3）分类讨论：①，；②，；③，；④，；分别代入先求出，再代入求得值即可． 【详解】（1）解：∵是最大的负整数， ∴， ∵的绝对值是最小的正整数， ∴或， ∵是倒数等于它本身的有理数， ∴或， ∴，或，或； （2）解：①当，时， ， ， 因为，所以运算不满足交换律； ②当，时， ， ， 因为，所以运算满足交换律； 综上可知，当时，运算不满足交换律；当时，运算满足交换律． ∴运算不满足交换律； （3）分四种情况讨论： ①当，时： ， ； ②当，时： ， ； ③当，时： ， ； ④当，时： ， ； 综上可知，的值为或3或． 【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，最大（小）的特殊整数，绝对值，倒数等，理解并掌握分类讨论解题方法和代入法求代数式的值是解题的关键． 36．已知（且n是自然数）是按顺序排列的若干个数．定义一种运算方式：第一个数为，第二个数开始，每个数都等于1与它前面的那个数的差的倒数． (1)试计算：________；________；________． (2)根据以上计算试求的值． (3)若表示不超过p的最大整数，如，记，当时， ________（直接写出答案）． 【答案】(1)，3， (2) (3)648或650 【分析】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的定义总结出数列存在的规律． （1）根据定义的运算进行求解即可； （2）根据（1）可看出该数列以，，3这3个数不断循环出现，从而可求解； （3）根据题意，可得，当时求得相应的值，再分析即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， 故答案为：，3，； （2）解：由（1）可得：该数列以，，3这3个数不断循环出现， ， ， ， ； （3）解：表示不超过的最大整数，， ， 当，且为3的倍数时，有， 解得：， 则当时，， 综上所述：或650． 故答案为：648或650． 压轴题型二、代数式求值与数轴结合 37．在数轴上，把原点记作点O，表示数1的点记作点A，对于数轴上任意一点P（不与点O，点A重合），将线段与线段 的长度之比定义为点 P 的特征值，记作，即，例如：当点 P 是线段的中点时，因为，所以． (1)如图，点，，为数轴上三个点，点表示的数是，点与关于原点对称． ① ． ②比较，，的大小 ． (2)数轴上的点M满足，求M的值． (3)数轴上的点 P 表示有理数p，已知且为整数，求所有满足条件的p的倒数之和． 【答案】(1)①；② (2)M表示的数为或 (3)98 【分析】（1）①先求出点表示的数为，再根据特征值的定义进行求解即可； ②分别求出三个特征值即可得到答案； （2）先求出，再分点M在原点左边和右边两种情况求解即可； （3）根据题意可知是整数，即，分点P在点O左边和右边两种情况求出对应特征值下p的值，由此找到规律求解即可． 【详解】（1）解：①∵点表示的数是，点与关于原点对称，即， ∴， ∴点表示的数为， ∴， ∴； ②由题意得， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）解： ∵点A表示的数为1， ∴， ∵， ∴， ∴点M表示的数为或； （3）解：∵ 且为整数， ∴是整数， 当时，即点P为的中点， ∴， 当，点P在之间时，则 ∴， 当点P在点A右边时，则， ∴， ∴，p的值为或2； 同理当，p的值为或； 当，p的值为或； … ∴当（n为大于1的整数），p的值为或； ∴所有满足条件的p的倒数之和为： ． 【点睛】本题主要考查了数轴上两点的距离，数字类的规律探索，倒数，有理数加减简便计算等，正确理解题意是解题的关键． 38．综合与实践 【背景知识】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，这种解决问题的思想叫作数形结合思想． 【回归课本】 （1）在数轴上，如果A，B两点分别表示互为相反数的两个数，点A在点B的左侧，并且两点之间的距离是5，那么这两个点表示的数分别是多少？ 【拓展延伸】 （2）在（1）的条件下，点A以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时点B以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，当点A运动到对应的点时． ①求A，B两点之间的距离； ②C是数轴上一点，对应的数是x，当A，C两点之间的距离与B，C两点之间的距离之和为最小值时，x可取的整数共有多少个？请直接写出答案． 【规律探究】 （3）点（n为正整数）都在数轴上，点在原点O的左边，且，O两点之间的距离为1，点在点的右边，且，两点之间的距离为2，点在点的左边，且，两点之间的距离为3……依照上述规律，请直接写出点，表示的数． 【答案】（1）A，B两点表示的数分别是和；（2）①A，B两点之间的距离是个单位长度；②x可取的整数共有22个；（3）点表示的数为，点表示的数为1013 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、列代数式，熟练掌握以上知识点，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）利用两点之间的距离公式结合相反数的定义即可求解； （2）①先求得运动的时间，再求得A，B两点之间的距离； ②先判断当C点在A，B两点之间时，A，C两点之间的距离与B，C两点之间的距离之和为最小值，据此求解即可； （3）先找到规律，求得表示的数为（n为奇数），表示的数为（n为偶数），据此求解即可． 【详解】解：（1）因为A，B两点分别表示互为相反数的两个数， 所以A，B两点在原点异侧. 因为A，B两点之间的距离是5， 所以， 因为点A在点B的左侧，所以A，B两点表示的数分别是和； （2）①因为（秒）， ， ， 所以此时A，B两点之间的距离是个单位长度； ②由题意，当C点在A，B两点之间时，A，C两点之间的距离与B，C两点之间的距离之和为最小值， 此时，x可取的整数共有22个； （3）点，分别表示的数为，1013. 因为点在原点O的左边，且，O两点之间的距离为1， 所以点表示的数是， 因为点在点的右边，且，两点之间的距离为2， 所以点表示的数是1， 因为点在点的左边，且，两点之间的距离为3， 所以点表示的数是， 因为点在点的右边，且，两点之间的距离为4， 所以点表示的数是2， …… 所以表示的数为（n为奇数），表示的数为（n为偶数）， 所以点表示的数为，点表示的数为1013． 39．【问题背景】 已知点在数轴的负半轴上，且距离原点5个单位长度，点表示的数与点相距8个单位长度，且在点的右侧，点到点、的距离相等． 【初步探究】 （1）请在如图所示的数轴上标上点、、； （2）若点、、表示的数分别为、、，求的值； 【拓展提升】 （3）点、是数轴上的两个动点，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向数轴正方向移动，同时点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向数轴负半轴移动． ①当点移动到点时，点、均停止移动，求此时点在数轴上表示的数； ②当点移动到点时，点、均停止移动，若点到点的距离为3，求点与点之间的距离． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）①；②或． 【分析】本题考查了在数轴上表示有理数，有理数的动点问题，代数式求值； （1）根据点在数轴负半轴且距离原点个单位，确定；点在右侧个单位，确定；点为、中点，．标出各点即可． （2）代入，，计算的值． （3）①求点到达的时间，计算点的位置； ②分情况讨论点的位置（），分别计算点的位置及与的距离． 【详解】（1）设点、、表示的数分别为、、， ∵点在数轴负半轴，距离原点5个单位， ∴ ∵点表示的数与点相距8个单位长度，且在点的右侧， ∴， ∵点到点、的距离相等． ∴ 如图所示， （2）由（1）可得，， ∴ （3）①点从（）到（）需移动个单位，速度单位秒，时间秒． 点从原点出发向负方向移动，速度单位秒，秒后移动距离为，故点表示的数为． ②点移动到（）需时间秒 此时点移动距离为单位，从（）向正方向移动，位置为，即点在处． 点到（）的距离为，故点表示的数为：或 分情况计算： 当为时，点（）与（）的距离为； 当为时，点（）与（）的距离为． 综上所述，点与点之间的距离为或． 压轴题型三、数字类规律探索问题 40．对于一列数，已知，对于每一个都满足．有如下的4个结论：①的可能值为；②的可能值有2024个；③的最大可能值为6；④的最大可能值为5050．其中正确的结论个数是（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】题目主要考查数字的规律探索，绝对值的化简，有理数的加法运算，理解题意，找出相应规律是解题关键． 根据已知条件和得出相应规律，逐项分析序列的可能取值和的最大值，依次判断即可． 【详解】解：∵， ∴或， 若，则， ∴或； 若，则， ∴或； 若，则， ∴或； 若，则， ∴； ∴或； ∴的可能值为，故正确； 由此得的可能值有个，的可能值有2025个，结论错误； ∵要使得最大化， ∴当时，；其他情况均， ∴最大可能值为6，结论正确； 根据题意得：，且当且时取得等号， ∴， 当时，，结论错误； 综上，正确结论为①和③，共2个， 故选：B． 41．大于1的正整数m的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和，如，，，…若分裂后，其中有一个奇数是501，则m的值是（　　） A．21 B．22 C．23 D．24 【答案】B 【分析】本题考查规律探索问题，有理数的乘方，根据题意总结规律后即可求得答案． 【详解】解：∵，…， ∴底数是2的分裂成2个奇数，底数是3的分裂成3个奇数，底数是4的分裂成4个奇数， ∴分裂成m个奇数，前个整数分裂的整数个数和为， ∵， ∴奇数501是从3开始的第250个奇数， ∴， ∵，， ∴第250个奇数是底数为22的数的立方分裂的奇数中的一个， 即， 故选：B． 42．如图所示的运算程序中，如果开始输入的值为，我们发现第1次输出的结果为，第2次输出的结果为……，那么第2025次输出的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要要考查有理数的乘法和减法运算，关键在于每次输出的结果总结出规律．根据运算程序可推出第三次输出的结果为，第四次输出的结果为，第五次输出的结果为，第六次输出的结果为，，依此类推，即可推出从第二次开始，第偶数次输出的为，第奇数次输出的为，可得第2025次输出的结果为． 【详解】解：分析运算程序，继续向下计算： 第3次的输出结果是， 第4次的输出结果是； 第5次的输出结果是， 第6次的输出结果是； ……； 如此下去就开始循环和， 从第2次运算开始，运算次数为奇数时输出， 运算次数为偶数时输出； ∴第2025次输出的数是. 故选：B． 压轴题型四、图形类规律探索问题 43．如图，甲、乙两动点分别从正方形的顶点A、C同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行．若甲的速度是乙的速度的3倍，则它们第2025次相遇的位置在（   ） A．边上 B．边上 C．边上 D．边上 【答案】A 【分析】本题考查了图形类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键． 先根据甲、乙的运动速度和运动方向分别得出第1、2、3、4、5次相遇位置，再归纳类推出一般规律，由此即可得． 【详解】解：解：设正方形的边长为，乙的速度为，则甲的速度为， 则第1次相遇时，乙行走的路程为，即它们相遇在边的中点处， 第2次相遇时，乙行走的路程为，即它们相遇在边的中点处， 第3次相遇时，乙行走的路程为，即它们相遇在边的中点处， 第4次相遇时，乙行走的路程为，即它们相遇在边的中点处， 第5次相遇时，乙行走的路程为，即它们相遇在边的中点处， 归纳类推得：它们相遇位置每四次一循环， ∴甲、乙相遇位置每四次一循环， ∵， ∴甲、乙第2025次相遇在边上． 故选：A． 44．用火柴棍拼成如下图案，其中如图，第个图案由个小等边三角形围成个小四边形，如图，第个图案由个小等边三角形围成个小四边形，，若按此规律拼下去，则第个图案需要火柴棍的根数为 （用含的式子表示）． 【答案】 【分析】本题属于图形变化类规律题，关键在于通过观察前几个图案的数量特征，归纳出通用的数学表达式．解题时需仔细统计每个图案的火柴棍数量，分析其与序号n的线性关系，从而确定规律． 通过观察前几个图案中火柴棍的数量，找出数量随图案序号n变化的规律，进而推导出第n个图案所需火柴棍的根数． 【详解】解：根据题意，第1个图案有个小三角形，需要的火柴棍的根数为：根； 根据题意，第2个图案有个小三角形，需要的火柴棍的根数为：根； 根据题意，第3个图案有个小三角形，需要的火柴棍的根数为：根； 发现规律，第个图案有个小三角形，需要的火柴棍的根数为：根； 故第个图案需要火柴棍的根数为：． 故答案为：． 45．古希腊著名的毕达哥拉斯学派对“三角形数、正方形数、五边形数”等形数有所研究． （1）他们把1、3、6、10、15……这样的数称作“三角形数”（如图）．第6个三角形数是 ；第n个三角形数是 ． （2）他们把1、4、9、16……称作“正方形数”．第n个正方形数是 ． （3）如果用一条斜线把正方形数分成了两部分（如图），那么可以发现：任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和． 以此类推，第n幅图为 ＝ ＋ ． 【答案】 21 【分析】本题主要考查了代数式的规律题，根据题目规律得到连续自然数相加，再根据连续自然数相加的规律得到答案即可； 【详解】解：（1）他们把1、3、6、10、15……这样的数称作“三角形数”， ，即第6个三角形数是21； ，即第n个三角形数是． （2）他们把1、4、9、16……称作“正方形数”．第n个正方形数是． （3）如果用一条斜线把正方形数分成了两部分，那么可以发现：任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和．以此类推，第n幅图为． 故答案为：（1）21，；（2）；（3），，． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $