2.7有理数的混合运算（知识精讲+题型讲解+课后练习） 2026-2027学年苏科版数学七年级上册

本初中数学讲义聚焦有理数混合运算核心知识点，系统梳理运算顺序规则（先乘方、后乘除、再加减，同级从左到右，有括号先算括号内）及易混算式（如−a²与(−a)²等）辨析，通过回顾小学四则混合运算引入初中负数与乘方，构建新旧知识衔接的学习支架。 资料以情境类比导入激发兴趣，设易混算式对照表强化符号意识，分层练习（基础达标、能力提升、拓展挑战）提升运算能力，易错警示直击高频错误。课中辅助教师系统授课，课后助力学生巩固提升，有效培养严谨思维与规则意识。

2.7 有理数的混合运算 一、学习目标 （知识与技能） 能准确复述有理数混合运算的顺序规则（先乘方、后乘除、再加减；同级从左到右；有括号先算括号内，按小括号→中括号→大括号），并运用规则正确计算含加、减、乘、除及乘方的混合运算。 （知识与技能） 能辨析并正确计算 −a² 与 (−a)²、−1ⁿ 与 (−1)ⁿ、6÷(−3)²与 6÷(−3²)等易混算式，避免符号与优先级错误。 （过程与方法） 经历"回顾旧知—归纳顺序—辨析易错—巩固提升"的学习过程，体会"法则对照"与"有序思考"的方法，提升运算能力与符号意识。 （情感态度与价值观·数学素养） 在纠错与辨析中养成严谨、有序的思维习惯，增强"按规则办事"的数学规则意识与学习自信心。 二、情境导入与知识回顾 2.1 情境导入（类比引入） 在小学，我们已经学过整数、小数的四则混合运算，那时就建立了两条基本约定： 先乘除，后加减； 有括号时，先算括号里面的。 进入初中后，数的范围从非负数扩充到了有理数（出现了负数），运算家族又增加了乘方（第 2.6 节）。当"负数 + 乘方"一起出现时，运算顺序就必须统一、明确地规定下来，否则同一个式子会算出不同的结果。 教材引例（据苏科版 2024 第 2 章）： 计算 8－2³÷(−4)×(−7＋5)。 这个式子同时出现了加法、减法、乘法、除法和乘方，还带了小括号——像这样含加、减、乘、除及乘方的运算，就叫做有理数的混合运算。本节课，我们就来系统解决"混合运算到底先算谁、后算谁"。 2.2 知识回顾 在开始新规则前，先回顾已经学过的"零件"： 有理数加减乘除（第 2.1～2.4 节）：运算法则、符号规律（同号得正、异号得负等）； 乘方（第 2.6 节）：aⁿ 表示 n个 a 相乘，特别注意底数的符号与括号； 简单去括号：如 −(a−b) = −a + b（系统去括号法则在第 3 章学习，本讲义不越位）； 运算律（第 2.5 节）：加法交换/结合律、乘法交换/结合/分配律，可在混合运算中合理简化计算（见第四节④）。 三、核心概念 3.1 有理数混合运算的定义 含有加、减、乘、除及乘方的运算，叫做有理数的混合运算。 3.2 三级运算 按运算的"等级"高低，可分为三级： 第一级运算：加法、减法； 第二级运算：乘法、除法； 第三级运算：乘方。 总原则：先算高级运算，再算低级运算。 3.3 有理数混合运算的顺序（三条规则，务必记牢） 先乘方，后乘除，再加减； 同级运算，从左到右进行； 如果有括号，先做括号内的运算，按小括号（ ）、中括号 [ ]、大括号 { } 依次进行。 3.4 即时小填空 计算 18−3²÷(−2)²×5时，先算 乘方（3² 与 (−2)²），再算 乘除（从左到右：先 ÷ 后 ×），最后算 加减（18 − 结果）。 （参考过程：18 − 9 ÷ 4 × 5 = 18 − (9÷4)×5 = 18 − 45/4 = 27/4。） 四、运算要点详解 4.1 ① 乘方优先级最高 乘方是第三级运算，优先级高于乘除和加减。特别注意底数是否带括号、负号是否在括号内，这是混合运算中最容易"爆雷"的地方： −1⁴ = −(1⁴) = −1（不是 1）； −3² = −(3²) = −9（不是 9）； (−3)² = 9（底数 −3 带括号，结果才为正）； 6÷(−3)² = 6 ÷ 9 = 2/3； 6÷(−3²) = 6 ÷ (−9) = −2/3。 二者差别源于：(−3)²先平方再定号，−3² 先算 3² 再取负。 4.2 ② 同级运算从左到右 加减速算一级、乘除算一级。同一级内必须从左往右，不能"跳着算"或随意结合： 6÷(−2)×3 = (−3)×3 = −9； 不能算成 6÷[(−2)×3] = 6÷(−6) = −1（✕，这相当于擅自加了括号、改变了顺序）。 4.3 ③ 括号层级由内到外 有多层括号时，严格按 小括号（ ）→ 中括号 [ ] → 大括号 { } 的顺序，先算最内层： 例：−1⁴−[2−(−3)²] 中，先算小括号里的 (−3)²=9，再算中括号里的 2−9=−7，最后算外层（详见第六节例 2）。 4.4 ④ 可合理用运算律简化 结合第 2.5 节运算律，在含括号或分数的混合运算中，可合理运用加法交换/结合律、乘法交换/结合/分配律简化计算（教材例 2 即含"分数的混合运算，常借助乘法分配律简化"）。 4.5 正误对比范例：10−2³÷(−2) 做法 过程 结果 评价 正确 10 − 2³ ÷ (−2) = 10 − 8 ÷ (−2) = 10 − (−4) = 14 14 先乘方，再乘除，后加减 ✓ 错误 误把 10−2 当整体先算：(10−2)³ ÷ (−2) = 8³ ÷ (−2) = −256 −256 违背"先乘方"规则 ✕ 五、易混辨析 5.1 易混算式对照表 表达式 运算顺序（含义） 当 a = −3时的值 −a² 先算 a²，再取负 −(−3)² = −9 (−a)² a 的相反数再平方 (−(−3))² = 3² = 9 −1ⁿ 先算 1ⁿ = 1，再取负（恒为 −1） −1 (−1)ⁿ −1的 n 次方（奇偶不同） n 偶为 1，n奇为 −1 6÷(−3)² 先算平方，再作除法 6 ÷ 9 = 2/3 6÷(−3²) 先算 −3² = −9，再作除法 6 ÷ (−9) = −2/3 5.2 辨析例题 例题： 当 a = −3`时，分别求 −a²与 (−a)² 的值，并比较大小。 解： −a² = −(−3)² = −9； (−a)² = [−(−3)]² = 3² = 9； 比较：-9 < 9，即 −a² < (−a)²。 结论：负号在括号外与在括号内，结果可能完全不同，混合运算中务必看清括号范围。 六、典型例题与常考题型 6.1 例 1 基础计算（教材例 1 + 跟踪训练） （教材例 1(1)，据苏科版 2024 第 2 章） 计算：9＋5×(−3)−(−2)²÷4 解： 原式 = 9 + 5×(−3) − 4÷4 = 9 − 15 − 1 = −7 （教材例 1(2)） 计算：(−5)³×[2−(−6)]−300÷5 解： 原式 = (−125) × 8 − 300÷5 = −1000 − 60 = −1060 （跟踪训练 1(1)） 计算：16−8÷(−4)×(−2) 解： 原式 = 16 − (−2) × (−2) = 16 − 4 = 12 （跟踪训练 1(2)） 计算：(−2)⁵÷(4−2³) 解： 原式 = (−32) ÷ (4 − 8) = (−32) ÷ (−4) = 8 6.2 例 2 含中括号 / 易错符号（跟踪训练） （跟踪训练 2(2)） 计算：−1⁴−[2−(−3)²] 解： 原式 = −1 − (2 − 9) = −1 − (−7) = −1 + 7 = 6 ⚠️ 易错警示： −1⁴ = −(1⁴) = −1，不是 1；中括号内先算乘方 (−3)² = 9，再算 2 − 9 = −7。 6.3 例 3 化简求值 例题： 已知 a³ = −8，b 的倒数为 −1/2，|c| = 2，求 a + b + c²的值。 解： 由 a³ = −8，得 a = −2； 由 b的倒数为 −1/2，得 b = −2； 由 |c| = 2，得 c = ±2，故 c² = 4。 代入原式： a + b + c² = (−2) + (−2) + 4 = 0 答：值为 0。 6.4 例 4（拓展）实际应用 例题（拓展情境）： 某火星探测器往返行程约 2×34 000 000 km，从地球发射后经历约 (3×365 − 449)天、每天 24 小时，求这段旅程的平均速度（千米/时，保留整数）。 解： 平均速度 = 总路程 ÷ 总时间 = 2×34 000 000 ÷ [(3×365 − 449) × 24] = 68 000 000 ÷ [(1095 − 449) × 24] = 68 000 000 ÷ (646 × 24) = 68 000 000 ÷ 15 504 ≈ 4386（千米/时） 答：平均速度约为 4386 千米/时。 6.5 例 5（拓展）用计算器 / 24 点游戏 苏科版 2024 第 2.7 节包含"用计算器进行有理数混合运算"内容。此处以"24 点"游戏体验混合运算： 例题（拓展）： 用−2、4、−6、8各一次（可加、减、乘、除、括号），列一个结果为 24 的算式。 参考算式： 8 × (−6) ÷ [4 ÷ (−2)] = 24 验证：4 ÷ (−2) = −2；8 × (−6) = −48；−48 ÷ (−2) = 24 ✓ 6.6 常考题型地图（小结） 编号 题型 关键能力 ① 直接计算型（含乘方、括号） 顺序规则熟练运用 ② 化简求值型 由条件定值再代入 ③ 非负性 / 绝对值综合 a +b²=0，见拓展 4、作业 6） 非负数性质 ④ 规律 / 新定义型（(−1)ⁿ 等） 分类与归纳 ⑤ 实际应用型 列综合算式 ⑥ 用计算器 / 24 点 工具与趣练（以教材为准） 七、易错警示 以下 6 条为有理数混合运算高频易错点，请逐条对照"错解 vs 正解"。 ① 运算顺序错误 ❌ 错解：2 + 3² = 5² = 25 ✅ 正解：先乘方，2 + 3² = 2 + 9 = 11 同类：同级运算未从左到右（见第四节 6÷(−2)×3）。 ② 乘方符号混淆 ❌ 错解：−(−3)² = 9；或 −3² = 9 ✅ 正解：−(−3)² = −9；−3² = −9（先平方再取负） ③ 括号处理不当 ❌ 错解：2(3 − 4) = 6 − 4 = 2（漏乘） ✅ 正解：2(3 − 4) = 6 − 8 = −2 同类：多层括号遗漏内层（小→中→大，由内到外）。 ④ 运算律滥用 ❌ 错解：3 − 5 × 2 = (3 − 5) × 2 = −4（擅自加括号改变顺序） ✅ 正解：先乘后减，3 − 10 = −7 提醒：除法没有分配律，不能把 a ÷ (b + c) 写成 a÷b + a÷c。 ⑤ 顺序对比强化（10−2³÷(−2)） ✅ 正确：10 − 8 ÷ (−2) = 10 + 4 = 14 ❌ 若先算 10−2：(10−2)³ ÷ (−2) = −256（严重错误） ⑥ 绝对值符号类 ❌ 错解：−|−2| = 2 ✅ 正解：|−2| = 2，故 −|−2| = −2 八、巩固练习（分层） 基础达标（计算基本功） 计算：15 − 2³ ÷ (−4) 计算：(−2)³ + 6 ÷ (−3) 计算：20 − 4 × (−3)² ÷ 6 计算：−1⁴ + 3 × (−2)² 基础达标 参考答案 1. 15 − 2³ ÷ (−4) = 15 − 8 ÷ (−4) = 15 − (−2) = 17 2. (−2)³ + 6 ÷ (−3) = −8 + (−2) = −10 3. 20 − 4 × (−3)² ÷ 6 = 20 − 4 × 9 ÷ 6 = 20 − 36 ÷ 6 = 20 − 6 = 14 4. −1⁴ + 3 × (−2)² = −1 + 3 × 4 = −1 + 12 = 11 能力提升（符号 · 括号 · 求值） 计算：−2² − [4 − (−3)²] 计算：(−3)² × [−2 − (−5)] − 12 ÷ 3 化简求值：已知 m² = 9，n = −4，p的倒数为 1/2，求 m² + n − p的值 辨析计算：分别计算 6÷(−3)² 与 6÷(−3²)，并比较结果。 能力提升 参考答案 1. −2² − [4 − (−3)²] = −4 − (4 − 9) = −4 − (−5) = −4 + 5 = 1 2. (−3)² × [−2 − (−5)] − 12 ÷ 3 = 9 × 3 − 4 = 27 − 4 = 23 3. 由 p的倒数为 1/2 得 p = 2；m² = 9，n = −4。 原式 = 9 + (−4) − 2 = 3。 4. 6÷(−3)² = 6 ÷ 9 = 2/3；6÷(−3²) = 6 ÷ (−9) = −2/3。 二者结果互为相反数（一正一负，绝对值相等）。 拓展挑战（应用 · 规律 · 趣味） （拓展·实际应用）某火星探测器往返行程约 2×34 000 000 km，耗时约 (3×365 − 449)天、每天 24 小时，求平均速度（千米/时，保留整数）。 （规律探究）化简 (−1)ⁿ + (−1)ⁿ⁺¹（n为整数）。 （拓展·24 点）用 3、−4、6、10各一次，列一个结果为 24 的算式。 （非负性）已知 |x| + y² = 0，求 2x − 3y的值。 拓展挑战 参考答案 1. 2×34 000 000 ÷ [(3×365−449)×24] = 68 000 000 ÷ [(1095−449)×24] = 68 000 000 ÷ (646×24) = 68 000 000 ÷ 15 504 ≈ 4386（千米/时）。 2. (−1)ⁿ + (−1)ⁿ⁺¹ = (−1)ⁿ × [1 + (−1)] = (−1)ⁿ × 0 = 0，结果恒为 0。 3. 参考算式：6 × 10 ÷ 3 − (−4) = 20 + 4 = 24。（验证：6×10=60，60÷3=20，20−(−4)=24） 4. 由非负数性质，|x| ≥ 0、y² ≥ 0，和为 0 则 x = 0、y = 0。 原式 = 2×0 − 3×0 = 0。 九、课堂小结 9.1 要点回顾 定义：含加、减、乘、除及乘方的运算叫有理数的混合运算。 三级运算：加减（一级）＜ 乘除（二级）＜ 乘方（三级），先高后低。 三条顺序：① 先乘方，后乘除，再加减；② 同级从左到右；③ 有括号先算括号内，按小括号→中括号→大括号。 易混核心： −a² 与 (−a)² 、 −1ⁿ 与 (−1)ⁿ 、 6÷(−3)² 与 6÷(−3²) 必须看清括号与负号位置。 可简化：在含括号/分数时合理用运算律（分配律等），但不越位到第三章去括号系统法则。 9.2 自我检测清单 [ ] 我能默写三条运算顺序规则； [ ] 我看到 −3²会先算 3² 再取负（得 −9）； [ ] 我看到 6÷(−3²) 会先算 −3² = −9； [ ] 同级运算我坚持从左到右； [ ] 多层括号我按小→中→大由内到外计算； [ ] 我能独立完成一道含乘方与中括号的混合运算题且结果正确。 十、课后作业 计算：12 + 4 × (−3)² ÷ 6 计算：(−3)² − 4 × [2 − (−1)] ÷ 2 符号辨析：分别求出 −3²、(−3)²、−1⁴、(−1)⁴ 的值。 计算（含中括号）：−2³ + [5 − (−2)²] 化简求值：若 a³ = −8，b的倒数为 −1/2，|c| = 2，求 a + b + c²的值。 非负性：已知 |m| + n² = 0，求 m² − 2n`的值。 规律探究：计算 (−1)¹ + (−1)² + (−1)³ + … + (−1)¹⁰⁰。 （拓展·实际应用）某登山队从海拔 2000 m 营地出发，每日海拔变化为：第 1 天 +350 m，第 2 天−(2³×10) m，第 3 天 +500 m，第 4 天 −(4²×20) m。求第 4 天结束时的海拔高度，以及四天平均每日海拔变化。 课后作业 参考答案 1. 12 + 4 × (−3)² ÷ 6 = 12 + 4 × 9 ÷ 6 = 12 + 36 ÷ 6 = 12 + 6 = 18 2. (−3)² − 4 × [2 − (−1)] ÷ 2 = 9 − 4 × 3 ÷ 2 = 9 − 12 ÷ 2 = 9 − 6 = 3 3. −3² = −(3²) = −9 (−3)² = 9 −1⁴ = −(1⁴) = −1 (−1)⁴ = 1 4. −2³ + [5 − (−2)²] = −8 + (5 − 4) = −8 + 1 = −7 5. 由a³ = −8 得 a = −2；b的倒数为 −1/2 得 b = −2；|c| = 2得 c² = 4 原式 = (−2) + (−2) + 4 = 0。 6. 由 |m| + n² = 0 得 m = 0、n = 0（非负数性质）。 原式 = 0² − 2×0 = 0。 7. (−1)¹ = −1，(−1)² = 1，奇偶交替。100 项中奇数项 50 个（各 −1）、偶数项 50 个（各 1），总和 = 50×(−1) + 50×1 = 0。 8. 第 2 天：−(2³×10) = −(8×10) = −80（m）； 第 4 天：−(4²×20) = −(16×20) = −320（m）。 四天总变化：350 + (−80) + 500 + (−320) = 450（m）； 第 4 天结束时海拔：2000 + 450 = 2450（m）； 平均每日海拔变化：450 ÷ 4 = 112.5（m）。 答：第 4 天结束时海拔 2450 m，平均每日上升 112.5 m。 学科网（北京）股份有限公司 $