第二十六章二次函数复习与小结教学设计2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦二次函数复习，涵盖概念、三种表达式转化、图象性质、平移规律、与一元二次方程关系及实际最值问题。通过师生回顾概念关键条件，归纳解析式形式，构建知识网络作为学习支架。 特色在于用表格对比不同形式二次函数性质培养几何直观，通过配方法转化解析式提升推理能力，结合文化衫盈利问题建立模型发展模型意识。精讲精练与变式训练助学生系统掌握知识，为教师提供清晰教学框架和典型例题，提升教学效率。

第二十六章 二次函数复习与小结 教学设计 一、课标要求 1. 通过对二次函数概念、图象和性质的复习，进一步理解二次函数的本质，体会函数思想在数学中的应用。 1. 能够熟练地将二次函数的三种表达式（一般式、顶点式、交点式）进行相互转化，理解不同表达式的特点和适用场景。 1. 掌握二次函数图象的平移规律，理解系数 ，， 对图象形状和位置的影响。 1. 理解二次函数与一元二次方程的关系，能够利用二次函数图象求解一元二次方程的近似根或判断根的情况。 1. 能够运用二次函数解决简单的实际问题，体会数学建模的思想。 二、教学目标 知识与技能 1. 理解二次函数的概念，能根据具体问题中的数量关系列出二次函数的解析式。 1. 熟练掌握二次函数 ，，， 的图象和性质。 1. 掌握二次函数图象的平移规律，能够根据平移规律写出平移后的函数解析式。 1. 理解二次函数与一元二次方程的内在联系，能利用判别式判断抛物线与 轴的交点个数。 1. 能够运用二次函数的性质解决实际问题中的最值问题。 过程与方法 1. 通过知识框架的梳理，体会二次函数各知识点之间的内在联系，形成系统化的认知结构。 1. 通过典型例题的分析与解答，提高分析问题和解决问题的能力，培养逻辑思维和运算能力。 1. 通过变式训练，学会从不同角度思考问题，提高思维的灵活性和深刻性。 情感态度与价值观 1. 在复习过程中，体会数学知识的系统性和逻辑性，感受数学的内在美。 1. 通过解决实际应用问题，感受数学与生活的密切联系，增强应用意识。 1. 在合作探究中，培养严谨的科学态度和勇于探索的精神。 三、教学重点与难点 教学重点 1. 二次函数的图象和性质的系统归纳与灵活应用。 1. 二次函数解析式的求法及图象的平移变换。 1. 二次函数与一元二次方程的关系。 教学难点 1. 二次函数性质的综合应用，特别是利用数形结合思想解决问题。 1. 利用二次函数解决实际问题中的最值问题。 1. 灵活运用二次函数的知识进行综合推理和计算。 四、教学准备 多媒体课件、典型例题卡片、坐标纸 五、教学过程 （一）知识梳理，构建网络（约10分钟） 1. 二次函数的概念 师生活动：教师引导学生回顾二次函数的定义，强调三个关键条件。 设计意图：通过回顾概念，强化对二次函数本质的理解。 知识点归纳： 一般地，形如 （，， 为常数，）的函数，叫做二次函数。其中 是自变量，，， 分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。 二次函数解析式必须同时满足的三个条件： （1）函数解析式是整式； （2）化简整理后自变量的最高次数是 ； （3）二次项系数不为 ，即 。 例题1：已知 是关于 的二次函数。 （1）求 的值； （2）写出二次项系数、一次项系数及常数项。 解： （1）因为 是关于 的二次函数， 所以 且 。 由 ，得 ，解得 。 当 时，，不符合条件。 当 时，，符合条件。 所以 。 （2）当 时，。 所以二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 。 2. 二次函数的解析式 师生活动：教师引导学生总结二次函数的几种特殊形式。 设计意图：理解一般式与特殊式的关系，为后续学习打下基础。 知识点归纳： 二次函数的一般形式：（，， 为常数，） 二次函数的特殊形式： · 当 ， 时，（） · 当 时，（） · 当 时，（） （二）图象与性质的系统归纳（约15分钟） 1. 各类二次函数的图象与性质 师生活动：教师引导学生通过表格对比，系统归纳各类二次函数的图象与性质。 设计意图：通过对比分析，加深对不同形式二次函数性质的理解，培养归纳总结能力。 知识点归纳： （1）（）的图象与性质 性质 开口方向 向上 向下 对称轴 轴（直线 ） 轴（直线 ） 顶点坐标 增减性 当 时， 随 的增大而减小；当 时， 随 的增大而增大 当 时， 随 的增大而增大；当 时， 随 的增大而减小 最值 当 时， 当 时， 补充说明 顶点是抛物线的最低点 顶点是抛物线的最高点 （2）（）的图象与性质 性质 开口方向 向上 向下 对称轴 轴（直线 ） 轴（直线 ） 顶点坐标 增减性 当 时， 随 的增大而减小；当 时， 随 的增大而增大 当 时， 随 的增大而增大；当 时， 随 的增大而减小 最值 当 时， 当 时， （3）（）的图象与性质 性质 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 增减性 当 时， 随 的增大而减小；当 时， 随 的增大而增大 当 时， 随 的增大而增大；当 时， 随 的增大而减小 最值 当 时， 当 时， （4）（）的图象与性质 性质 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 增减性 当 时， 随 的增大而减小；当 时， 随 的增大而增大 当 时， 随 的增大而增大；当 时， 随 的增大而减小 最值 当 时， 当 时， 2. 二次函数图象的平移变换 师生活动：教师引导学生总结平移规律，强调“左加右减、上加下减”的口诀。 设计意图：通过规律总结，帮助学生快速掌握图象平移的本质。 知识点归纳： 平移规律： 向右（）或向左（）平移 个单位长度，得 向上（）或向下（）平移 个单位长度，得 向上（）或向下（）平移 个单位长度，得 向右（）或向左（）平移 个单位长度，得 口诀：上下平移，括号外上加下减；左右平移，括号内左加右减。二次项系数 不变。 例题2：在平面直角坐标系中，作抛物线 关于 轴的对称变换，将所得抛物线再向右平移 个单位长度，向下平移 个单位长度，得到抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 解： 抛物线 关于 轴的对称变换，得 。 将 向右平移 个单位长度，得 。 将 向下平移 个单位长度，得 。 所以答案为 C。 （三）典型例题，精讲精练（约20分钟） 例题3：求二次函数的解析式与性质 师生活动：教师引导学生通过配方法将一般式化为顶点式，进而求解相关问题。 设计意图：培养学生将一般式转化为顶点式的能力，掌握利用顶点式求解最值和增减性的方法。 题目：已知抛物线 。 （1）当 为何值时， 有最小值，最小值是多少？ （2）当 为何值时， 随 的增大而减小？ （3）将该抛物线向右平移 个单位，再向上平移 个单位，请直接写出新抛物线的表达式。 解： 所以抛物线开口向上，顶点为 ，对称轴为直线 。 （1）当 时， 有最小值，最小值为 。 （2）当 时， 随 的增大而减小。 （3）将 向右平移 个单位，得 。 将 向上平移 个单位，得 。 所以新抛物线的表达式为 。 例题4：二次函数与几何图形 师生活动：教师引导学生将二次函数与几何知识结合，培养综合运用能力。 设计意图：通过综合性问题，提高学生分析问题和解决问题的能力。 题目：已知二次函数 。 （1）将函数 的解析式化为 的形式，并指出该函数图象顶点 的坐标。 （2）在平面直角坐标系 中，设抛物线 与 轴交点为 ，抛物线的对称轴与 轴交点为 ，求四边形 的面积。 解： （1） 所以该函数图象顶点 的坐标为 。 （2）由 ，得 ，。 当 时，。 所以 。 四边形 的四个顶点为：，，，。 例题5：二次函数与一元二次方程的关系 师生活动：教师引导学生理解二次函数与一元二次方程的内在联系。 设计意图：通过数形结合，加深对函数与方程关系的理解。 知识点归纳： 二次函数 的图象与 轴交点的坐标与一元二次方程 根的关系： 二次函数 的图象与 轴交点 一元二次方程 的根 有两个交点 有两个不相等的实数根 有一个交点 有两个相等的实数根 没有交点 没有实数根 例题6：若抛物线 与 轴有公共点，则 的取值范围是___________。 解： 因为抛物线 与 轴有公共点， 所以方程 有实数根， 所以 且 。 又因为 ，所以 。 所以 的取值范围是 且 。 例题7：实际问题中的最值问题 师生活动：教师引导学生将实际问题转化为数学问题，建立二次函数模型。 设计意图：培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，体会数学建模的思想。 题目：某种文化衫以每件盈利 元的价格出售，每天可售出 件。若每件降价 元，则每天可多售 件，如果每天要盈利最多，每件应降价多少元？ 解： 设每件应降价 元，每天的利润为 元。 由题意得： （） 因为 ，所以当 时， 取最大值 。 即当每件降价 元时，每天盈利最多。 （四）课堂小结，反思提升（约5分钟） 师生活动：教师引导学生总结本节课复习的主要内容，强调重点和易错点。 设计意图：通过总结归纳，帮助学生形成系统化的知识网络。 课堂小结： 1. 二次函数的概念和三种表达式（一般式、顶点式、交点式）的相互转化。 1. 二次函数图象的平移规律：“左加右减、上加下减”。 1. 二次函数与一元二次方程的关系，利用判别式判断交点个数。 1. 运用二次函数解决实际问题的最值问题，注意自变量的取值范围。 （五）布置作业 完成课本复习题第 、、 题。 六、教学反思 本节课是二次函数的复习与小结课，通过系统的知识梳理和典型例题的讲解，帮助学生构建完整的知识网络。在教学过程中，注重以下几点： 1. 知识系统化：通过表格对比和知识框架图，将零散的知识点整合成有机整体，帮助学生形成系统化的认知结构。 1. 方法多样化：在例题讲解中，注重一题多解和多题一解，培养学生灵活运用知识的能力。 1. 思想渗透：在教学过程中渗透数形结合、分类讨论、转化等数学思想，提升学生的数学素养。 1. 应用导向：通过实际问题引入，让学生感受数学的实用价值，增强应用意识。 教学中的不足之处在于，部分综合性较强的题目对学生的思维能力要求较高，需要在后续教学中继续加强训练。 学科网（北京）股份有限公司 $