第二十六章 二次函数 单元复习 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 二次函数单元复习同步练，通过基础巩固、能力提升、综合拓展三层设计，覆盖从概念辨析到实际应用的完整知识链，适配单元复习的分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|二次函数定义、图像基本性质、简单计算|单选1-5题、填空9-13题，聚焦概念辨析与基础运算，培养抽象能力与运算能力| |能力提升|含参数问题、函数与方程不等式关系、几何应用|单选6-8题、填空14-16题、解答17-21题，强化推理意识与模型意识| |综合拓展|实际问题建模、综合证明、跨知识整合|解答22-27题，结合运动轨迹、利润最值等情境，发展应用意识与创新意识|

第二十六章 二次函数 单元复习 一、单选题 1．下列函数中，是二次函数的有（    ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．抛物线与轴的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 3．下列各点中，不在二次函数图象上的点是（   ） A． B． C． D． 4．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则关于x的方程的解为（    ）    A． ， B．， C．， D．， 5．下列关于抛物线的说法正确的是（   ） A．图象开口向下 B．对称轴是轴 C．有最高点 D．随的增大而增大 6．已知二次函数 （m为常数）在自变量x满足的情况下，与其对应的函数值y的最小值为6，则m的值为 （    ） A．0或 B．0或6 C．2或 D．2或6 7．由下列表格的对应值，并根据二次函数的图象的对称性，由此可以判断方程正数解的分布范围是（   ） x A． B． C． D． 8．如图，正方形的四个顶点坐标依次为，，，，若抛物线的图象与正方形有公共点，则实数a的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 二、填空题 9．已知二次函数的图象有最高点，那么的取值范围是____． 10．已知二次函数的图象经过原点，则的值为________． 11．若抛物线（a为常数）与轴有且只有一个公共点，则的值为______． 12．已知点，，在抛物线的图像上，则，，的大小关系是________．（用“”连接） 13．已知汽车刹车后行驶的距离 s（单位：）关于行驶时间 t（单位：）的函数解析式是，则汽车从刹车到停止所用时间为_____． 14．若函数的图像过点，将该函数图像向右平移，当它再次经过点P时，所得的图像对应的函数表达式为__________． 15．如图，一次函数与二次函数的图象相交于点，，则能使成立的x的取值范围是______． 16．我们把对称轩和开口方向都相同的抛物线称作“同向共轴抛物线”．例如抛物线与的对称轴都是直线，且开口方向都向下，则这两条抛物线称作“同向共轴抛物线”．若抛物线与是“同向共轴抛物线”，且两抛物线的顶点相距3个单位长度，则该抛物线的解析式为______． 三、解答题 17．如图，已知抛物线经过点．    (1)求出此抛物线的顶点坐标； (2)当时，直接写出的取值范围． 18．某校开辟了一块矩形菜地作为劳动教育基地，如图所示，已知矩形菜地的一面靠墙（墙的最大可用长度为20米），其余用长为39米的篱笆围成，菜地靠前的边上预留了一个宽为1米的小门（小门不用篱笆） (1)设菜地的宽为米，则_____米（用含的代数式表示）； (2)当为何值时，围成的菜地面积最大？ 19．如图，抛物线的顶点为，且与轴交于点． (1)求，两点的坐标； (2)若点为点关于对称轴对称的点，点在抛物线上且在第一象限内，且，求点的坐标． 20．已知二次函数（为常数）． (1)若点在该函数图象上，则_________； (2)证明：该二次函数的图象与轴有两个不同的公共点． 21．某厂商投产一种新型科技产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数． (1)写出每月的利润L（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式； (2)当销售单价为多少元时，厂商每月能获得312万元的利润？当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？ 22．如图①是一款优雅且稳定的抛物线型落地灯，其示意图如图②，防滑螺母为抛物线支架的最高点，且最高点离灯柱的水平距离为1.8米，灯柱米．已知茶几摆放在距灯柱的水平距离为3米处，且茶几的高为0.8米．使用发现，当灯罩距离茶几面的距离在0.8米～1.2米之间时，光线最佳．请通过计算说明此时台灯光线是否为最佳？ 23．投掷实心球是2025年我市中考体育选考考试项目，一名男生在投掷实心球时，得到一条抛物线，实心球的行进高度（米）与水平距离（米）之间的函数关系如图所示，已知掷出时起点处高度为2米，当水平距离达到4米时，实心球行进至最高点，此时的行进高度为3.6米． (1)求关于的函数表达式； (2)根据2025年我市中考体育考试评分标准（男生），实心球从起点到落地点的水平距离大于等于9.8米时，此项考试得分为满分10分；请你按此评分标准，判断该生在此项考试中是否得满分，并说明理由． 24．在直角坐标系中，抛物线（是常数，）与轴相交于点． (1)若抛物线经过点，求的值； (2)已知，若，有最大值9，求的值； (3)①求点坐标； ②已知，若抛物线经过，和，且，求的取值范围． 25．如图，抛物线经过、、三点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是抛物线上一点，且在x轴上方，连接、，若的面积为6，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，点是抛物线的对称轴上一点，连接，求的最小值． 26．已知抛物线与轴交于两点A，B（在的左侧），抛物线与轴交于两点在的左侧），且． (1)若抛物线经过点，求实数的值； (2)求与的交点坐标； (3)求证：． 27．甲、乙两汽车出租公司均有辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话： 甲公司经理：如果我公司每辆汽车月租费元，那么辆汽车可以全部租出，如果每辆汽车的月租费每增加元，那么将少租出辆汽车，另外，公司为每辆租出的汽车支付月维护费元． 乙公司经理：我公司每辆汽车月租费元，无论是否租出汽车，公司均需一次性支付月维护费共计元． 说明：①汽车数量为整数；②月利润月租车费月维护费； 在两公司租出的汽车数量相等且都为（单位：辆，）的条件下，甲的利润用表示（单位：元），乙的利润用（单位：元）表示，根据上述信息，解决下列问题： (1)分别表示出甲、乙的利润，什么情况下甲、乙的利润相同？ (2)甲公司最多比乙公司利润多多少元？ (3)甲公司热心公益事业，每租出辆汽车捐出元（）给慈善机构，如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，且仅当两公司租出的汽车均为辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大，求的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【分析】根据二次函数的定义，即可求解． 【详解】解：①，是二次函数，符合题意； ②，不符合二次函数的定义，不是二次函数； ③，是二次函数，符合题意； ④，不符合二次函数的定义，不是二次函数； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，熟练掌握形如：这样的函数是二次函数是解题的关键． 2．B 【分析】将代入抛物线解析式，求出相应的y的值，即可得到抛物线与y轴的交点坐标． 【详解】解：∵抛物线， ∴当时，， 即抛物线与y轴的交点坐标是， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数与y轴的交点，解答本题的关键是明确抛物线与y轴的交点就是时y的值． 3．B 【分析】本题考查了二次函数的性质，将各选项的点逐一代入即可判断，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：、当时，， ∴在二次函数图象上，不符合题意； 、当时，， ∴不在二次函数图象上，符合题意； 、当时，， ∴在二次函数图象上，不符合题意； 、当时，， ∴在二次函数图象上，不符合题意； 故选：． 4．B 【分析】直接根据图像求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴方程的解为抛物线与直线的两个交点的横坐标， ∵两个交点坐标分别为，， ∴方程的解为，，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题考查抛物线与一元二次方程的关系，解题的关键是灵活运用所学知识，学会利用图象法解决实际问题，属于中考常考题型． 5．B 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，解题的关键是：熟练掌握二次函数的图象及性质． 由抛物线解析式可求得其开口方向、对称轴、最值及增减性，则可判断四个选项，可求得答案． 【详解】解：抛物线的开口向上，有最低点，对称轴为y轴， 当时，函数值随x的增大而减小， ∴四个选项中只有B选项的说法正确， 故选：B． 6．B 【分析】本题考查了二次函数的性质（顶点式、x的范围内的最值），解题的关键是根据对称轴与自变量x的范围的位置关系分情况讨论． 由二次函数开口向上，对称轴为，顶点纵坐标为2（最小值），但题目中最小值为6，故对称轴不在这个范围内；分（时取最小值）和（时取最小值）两种情况，代入函数求并验证． 【详解】解：二次函数开口向上，对称轴为，顶点纵坐标为2． ∵时，的最小值为， ∴不在这个范围内． ①当时，时取最小值，代入得， 即， 解得或（舍去）． ②当时，时取最小值，代入得， 即， 解得（舍去）或． 综上，或6， 故选：B． 7．B 【分析】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程的解，根据表格可得方程的解在，根据二次函数图象的对称性，即可求解． 【详解】解：根据表格可得方程的一个解的范围在， ∵二次函数的图象的对称轴为直线， ∴方程正数解的分布范围是， 故选：B． 8．A 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上的点的坐标特征等知识，解题的关键求出抛物线经过两个特殊点时的a的值． 【详解】解：当抛物线经过时，， 当抛物线经过时，， 观察图象可知， 故选A． 9． 【分析】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的基本性质是解题关键； 根据二次函数的图象有最高点，可得到抛物线的开口向下，进而可列出不等式，解不等式即可． 【详解】解：∵二次函数的图象有最高点， ∴抛物线的开口向下， ∴， 解得：， 故答案为：． 10．3 【分析】根据二次函数的定义可得，再将点代入二次函数的解析式即可得． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴， 解得， ∵二次函数的图象经过原点， ∴， 解得或（舍去）， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了二次函数的定义、二次函数的图象，熟练掌握二次函数的图象是解题关键． 11． 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，根的判别式，根据题意得到，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线（a为常数）与轴有且只有一个公共点， ∴， ∴， 故答案为：． 12． 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质． 抛物线开口向下，对称轴为，通过比较各点与对称轴的距离确定y值大小关系． 【详解】解：由解析式得， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴抛物线上的点距离对称轴越远，函数值越小， 对称轴为直线， 点到对称轴的距离为， 点 到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， ∵， ∴， 故答案为：． 13． 【分析】本题主要考查二次函数的应用，根据题意理解其最大值的实际意义是解题的关键．利用配方法把二次函数解析式配方成顶点式即可求解． 【详解】解：根据二次函数解析式， 当时，s取得最大值， 即汽车从刹车到停止所用时间为 故答案为： ． 14． 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数图像的平移，解题的关键是熟练掌握待定系数法．先根据点P在原始函数上求出c的值，得到点P坐标；再设函数向右平移h个单位，新函数为，代入点P坐标求解h，排除的情况，得到，从而得出平移后的函数表达式． 【详解】解：由点在函数上，代入得：，故， 设函数图像向右平移h个单位后，函数表达式为， 因其经过点，代入得， 化简得： 解得或，即或 其中对应原始函数，不符合“再次经过”的条件，故取， 因此平移后的函数表达式为． 故答案为：． 15． 【分析】此题主要考查了二次函数与不等式．利用一次函数图象在二次函数图象上方时，，据此可得的取值范围． 【详解】解：∵一次函数与二次函数的图象相交于点，， ∴一次函数图象在二次函数图象上方时，，即， 故答案为：． 16．或 【分析】本题考查了的图象和性质，对于二次函数，其顶点坐标为，对称轴为直线，据此及可求解． 【详解】解：由题得抛物线的顶点为，抛物线的对称轴为直线 两抛物线为“同向共轴抛物线”，且顶点相距3个单位长度， 的顶点为或，且 ∴该抛物线的解析式为或． 故答案为：或 17．(1)抛物线的顶点坐标为 (2)或 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式和二次函数的性质． （1）把点代入得到关于m的方程，再解方程可确定抛物线解析式，再化为顶点式求顶点坐标； （2）分别确定时x对应的函数值，然后结合函数图象和二次函数的性质求解． 【详解】（1）把代入得： ， 解得， ∴， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）∵， ∴抛物线开口向下，有最大值4， ∵当时，或， ∴当时，x的取值范围是或． 18．(1) (2)当为米，围成的菜地面积最大． 【分析】本题考查了列代数式，二次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据长为39米的篱笆围成，菜地靠前的边上预留了一个宽为1米的小门（小门不用篱笆）,且设菜地的宽为米，进行列式化简，即可作答． （2）结合长方形的面积等于长乘宽，则，再根据二次函数的图象性质进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：∵长为39米的篱笆围成，菜地靠前的边上预留了一个宽为1米的小门（小门不用篱笆）,且设菜地的宽为米， ∴（米） （2）解：设围成的菜地面积为， 依题意， ， ∵， ∴在时， 此时（米），取得最大值，且为平方米， ∴当为米，围成的菜地面积最大． 19．(1)， (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质： （1）根据二次函数的性质解答即可； （2）设点的坐标为，根据抛物线的对称性可求出点的坐标，再由，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为， ∴点， 当时，， ∴点； （2）设点的坐标为， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点为点关于对称轴对称的点，点， ∴点， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， ∵点在抛物线上，将代入抛物线得， ， 解得：， ∵在第一象限内， ∴， ∴点的坐标为． 20．(1) (2)证明见解析 【分析】（）利用待定系数法解答即可求解； （）根据一元二次方程根的判别式即可求证； 本题考查了用待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与的交点问题，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：∵点在函数图象上， ∴， 解得， 故答案为：； （2）证明：∵， ∴该二次函数的图象与轴有两个不同的公共点． 21．(1) (2)当销售单价为24元或44元时，厂商每月能获得312万元的利润；当销售单价为34元时，厂商每月能获得最大利润，最大利润是512万元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的最值，最大利润问题，数形结合思想，熟练掌握一元二次方程的应用，二次函数的最值是解题的关键． （1）根据销售单价为x元，每件的盈利元，每月可售出件，根据题意，得即可． （2）根据，当时，构造方程解答即可．根据，构造二次函数，根据二次函数的最值，即可求得． 【详解】（1）解：销售单价为x元，每件的盈利元，每月可售出件，根据题意得： ． 故． （2）解：由（1）可得， 当时，， ∴， 解得：， 根据题意，销售量且售价应高于成本，故且，解得， 答：销售单价应定为24元或44元时，厂商每月能够获得312万元的利润． 由（1）可得 ． ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， ∴当时，L取得最大值，最大值为． 答：当销售单价定为34元/件时，每月的销售利润最大，最大利润是512万元． 22．此时台灯光线最佳，理由见解析 【分析】本题考查二次函数的实际应用，涉及待定系数法确定函数关系式、求函数值等知识，由题意，设抛物线顶点式，由题意得到，利用待定系数法确定函数关系式即可求出，将代入求值，进而由当灯罩距离茶几面的距离在0.8米～1.2米之间时，光线最佳．熟练掌握二次函数图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：根据题意，抛物线支架的最高点， ∴设该抛物线的函数关系式为， 由灯柱米得到， 将代入得，解得， ∴抛物线的函数关系式为， 当时，， ∵茶几高为0.8米， ∴， ∵， ∴此时台灯光线最佳． 23．(1) (2)该生在此项考试中可以得满分 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的求出函数解析式是解题的关键： （1）根据题意易得抛物线的顶点坐标坐标为，且经过点，设出顶点式，利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出时的函数值，进行判断即可． 【详解】（1）解：依题意设关于的函数表达式为：， 将代入得：， 解得． 关于的函数表达式为； （2）解：该生在此项考试中可以得满分，理由如下： 令，则， 解得舍去， ∵， 该生在此项考试中可以得满分． 24．(1)的值分别为 (2)或 (3)①点坐标为；② 【分析】本题考查二次函数综合，涉及待定系数法确定函数关系式、二次函数图象与性质，熟记二次函数图象与性质是解决问题的关键． （1）由待定系数法，将点代入表达式解方程组即可得到答案； （2）由得到抛物线为，化为顶点式得到抛物线顶点坐标为，根据开口方向，分类讨论求解即可得到答案； （3）①当时，，则点坐标为；②将，代入得到，再由抛物线经过，，得到求解即可得到答案． 【详解】（1）解：将点代入， 得， 解得， ∴的值分别为； （2）解：∵， ， ∴抛物线为， ∵， ∴抛物线顶点坐标为， ①当时，抛物线开口向上，， ∴当时，为最大值， 即，解得； ②当时，抛物线开口向下， ∴当时，为最大值， 即，解得； 综上所述，或 （3）解：①∵抛物线， 当时，，则点坐标为； ②∵，均在抛物线上， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线经过，， ， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴． 25．(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查待定系数法，求抛物线上点的坐标，二次函数的图象及性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）把点、、代入抛物线，求出a，b，c的值，即可解答； （2）设点（），根据求出y的值，再代入抛物线解析式，即可得到点P的坐标； （3）根据垂线段最短可得当垂直对称轴时，取得最小值，其值是点P到对称轴的距离，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过、、三点， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为 （2）解：∵，， ∴， 设点（），则， 即，解得， 将代入抛物线解析式，得， 解得， ∴点P的坐标为或． （3）解：抛物线的对称轴为直线， ∵点Q在对称轴上， ∴当垂直对称轴时，取得最小值，其值是点P到对称轴的距离，为． 26．(1) (2) (3)证明见解析 【分析】该题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数与轴的交点等知识点，解题的关键是掌握二次函数与轴的交点求解方法． （1）将点代入即可求解． （2）联立和，结合，解出，即可解答． （3）分别求出，结合即可证明． 【详解】（1）解：将点代入得， 解得：． （2）解：由题意得， ， ， ∴解得：． 当时，， 与的交点坐标为． （3）证明：当时，， 解得：， ； 当时，，解得：， ， ， ， 即， ， 则有：， ， ． 27．(1)；；当每个公司租出的汽车为辆时，两公司的月利润相等 (2)甲公司最多比乙公司利润多18050元 (3) 【分析】（1）设每个公司租出的汽车为辆，根据月利润相等得到方程，解之即可得到结果； （2）设两公司的月利润分别为，，月利润差为，由（1）可得和的表达式，再列出关于的表达式，根据二次函数的性质，结合的范围求出最值即可； （3）根据题意得到利润差为，得到对称轴，再根据两公司租出的汽车均为辆，结合为整数可得关于的不等式，即可求出的范围． 【详解】（1）解：设每个公司租出的汽车为辆， 由题意可得：， 而， 两公司的月利润相等可得：， 解得：或舍， 当每个公司租出的汽车为辆时，两公司的月利润相等； （2）解：设两公司的月利润分别为，，月利润差为， 则， ， 当甲公司的利润大于乙公司时，， ， ∴当时，函数有最大值18050， ∴甲公司最多比乙公司利润多18050元； （3）解：∵捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润， 则利润差为， 对称轴为直线， 只能取整数，且当两公司租出的汽车均为16辆时，月利润之差最大， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，二次函数的图象和性质，解题时要读懂题意，列出二次函数关系式，尤其（3）中要根据为整数得到的不等式． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $