27.1反比例函数的概念（教学设计）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学教学设计聚焦反比例函数概念，涵盖定义、三种表达式、判定及待定系数法求解析式。通过路程、矩形面积等实际问题列式，对比正比例函数引出课题，承接一次函数等旧知，为后续图像性质学习搭建支架。 该资料以核心素养为导向，情境建模培养数学眼光，类比推理发展数学思维，分层例题与中考真题强化数学语言应用。如自主归纳定义、实际应用题建模，助学生深化概念理解提升解题能力，为教师提供清晰教学流程与实用资源。

27.1反比例函数的概念（教学设计） 1.教学内容 本节课是人教版2024版九年级上册第27章《反比例函数》27.1反比例函数的概念.主要内容包括：结合实际情境抽象变量之间的反比例关系，归纳反比例函数的定义、三种基本表达式，明确自变量取值范围；掌握反比例函数的判定方法，运用待定系数法求简单反比例函数解析式，初步建立反比例函数数学模型,是整章反比例函数图像、性质、综合应用的基础起始课. 2. 内容解析 本节课是初中函数体系的重要组成部分，承接学生已学的一次函数、正比例函数、函数基本概念，是继一次函数、二次函数后又一基础初等函数.教材以生活实际问题为切入点，通过路程、速度、时间，总价、数量、单价等经典数量关系，引导学生列式、观察、对比、归纳，抽象出反比例函数概念.本节课核心价值在于完善学生函数建模体系，让学生掌握“两个变量积为定值”的反比例变化规律，区别于一次函数“和差、倍数”的变化规律，为后续学习反比例函数图像性质、实际应用、函数综合题型奠定概念基础，同时渗透数学建模、类比推理的核心数学思想，落实新课标核心素养要求. 基于以上分析，本节课的教学重点为：反比例函数的概念及三种表达形式；反比例函数的判定；用待定系数法求反比例函数解析式. 教学目标 (1)理解反比例函数的定义，掌握反比例函数的三种表达形式；能准确判断一个函数是否为反比例函数；明确反比例函数自变量的取值范围；会用待定系数法求解反比例函数解析式. (2)经历“实际情境—列关系式—观察特征—归纳定义—应用巩固”的完整探究过程，通过类比正比例函数，培养观察归纳、类比推理、数学建模的能力. (3)感受反比例函数在生活中的广泛应用，体会变量之间的对应关系，养成严谨的数学思维习惯，提升运用函数知识解决实际问题的意识. 2.目标解析 目标1通过课本实例探究，让学生精准掌握反比例函数核心定义及k≠0、自变量x≠0两大关键条件，能区分正比例函数与反比例函数的本质差异，夯实本章基础知识. 目标2依托列式探究、例题演练，让学生掌握从实际问题中提炼变量关系、建立函数模型的方法，熟练运用待定系数法，提升抽象概括与运算解题能力. 目标3通过类比旧知探究新知，培养学生迁移学习能力；通过情境建模，强化数学建模、逻辑推理的核心素养，适配初中函数模块的学习要求. 九年级学生已经系统学习了函数的定义、自变量与函数值、正比例函数、一次函数、二次函数的相关知识，熟悉“变量对应关系”的函数本质，具备通过实例归纳函数概念、利用待定系数法求解析式的基础能力。但学生存在明显认知短板：对积定型的反比例变化规律较为陌生，容易与正比例函数的商定型变化规律混淆；容易忽略反比例函数k≠0、x≠0的隐含条件；在实际情境中，难以快速提炼反比例变量关系，建模能力薄弱，需要通过具象实例、对比辨析、专项例题突破难点. 基于以上分析，本节课的教学难点确定为理解反比例函数的本质特征（两个变量的积为定值）；结合实际问题建立反比例函数模型；区分易混淆的函数关系式. 创设情景，引入新课 情境设问，列式探究 出示3个生活实际问题，引导学生列出变量关系式： （1）路程一定（120km），行驶速度v与行驶时间t的关系； （2）矩形面积一定（24㎡），长x与宽y的关系； （3）总电量一定，电器功率P与工作时间t的关系。 提问：以上关系式与正比例函数y=kx(k≠0)有什么不同？变量之间存在什么规律？ 小组讨论后总结：式子均为分式形式，两个变量的乘积是固定常数，一个变量增大，另一个变量随之减小.引出课题. （设计意图：立足课本真实情境，让学生自主列式感知反比例变量关系，通过与旧知正比例函数对比，形成认知冲突，自然引出课题） 探究点1 反比例函数定义 活动1.在下列问题中，变量之间具有函数关系吗?如果有，它们的解析式有什么共同特点? (1)京沪高铁全程为1318km，某次列车的平均速度v(单位:km/h)随此次列车的全程运行时间t(单位:h)的变化而变化; (2)某住宅小区要种植一块面积为1000m的矩形草坪，草坪相邻两边的一边长y(单位:m)随另一边长x(单位:m)的变化而变化; (3)李明计划在一段时间内使用完5GB手机流量，平均每天使用的流量Q(单位:GB)随使用完流量的总时间t(单位:天)的变化而变化. 学生讨论：在问题(1)中，有两个变量t与v，当一个量t变化时，另一个量v随着t的变化而变化，而且对于t的每一个确定的值，v都有唯一确定的值与其对应.问题(2)(3)也一样.所以这些变量之间具有函数关系，它们的解析式分别为：v=，y=，Q=.上述解析式都具有y=的形式，其中k是非零常数. 函数的定义：一般地，形如y=（k为常数，k≠0）的函数，叫做反比例函数.其中x是自变量，y是x的函数. （设计意图：从具体实例中，让学生自主列式感知反比例变量关系形成反比例函数定义，避免概念被动灌输，培养学生观察归纳能力.) 探究点2 反比例函数不同表达形式及自变量取值范围 活动2.反比例函数不同表达形式 ① 分式型：y=(k≠0)（常用的表达形式） ② 乘积型：xy=k(k≠0) ③ 负指数型：y=k(k≠0) 活动3.反比例函数y=（k为常数，k≠0）中自变量x的取值范围是什么？ 自变量x≠0，函数值y≠0（分母不能为0，乘积定值不为0）. (设计意图:精准对标课本定义，完整呈现反比例函数三种常用形式，明确核心限制条件，构建完整的概念知识体系，为函数判定、解题纠错奠定基础.) 探究点3 待定系数法求反比例函数解析式 问题：已知y是x的反比例函数，且当x=2时，y=6. (1)写出y关于x的函数解析式; (2)当x=4时，求y的值. 分析:因为y是x的反比例函数，所以设y=.把x=2，y=6 代入上式，就可求出常数k的值. 解:(1) 设y=，因为当x=2时，y=6，所以6= 解得 k=12，因此y=. (2) 把x=4代人y=，得y==-3. 总结：待定系数法求反比例函数解析式，解题步骤：设解析式→代入已知值→求k→定解析式. （设计意图：函数判定、待定系数法两大核心考点，完整展示审题、分析、规范学生答题格式，突破学生易错的参数取值问题，夯实新知应用能力.） 典型例题 例1．已知一个反比例函数为，求的值． 【分析】由反比例函数为，可得且，从而可得答案． 【详解】解：∵反比例函数为， ∴且， 解得：． 例2．汽车从甲地开往乙地，记汽车行驶时间为小时，平均速度为千米/小时（汽车行时速度不超过千米/小时），根据经验，，的一组对应值如下表； （千米/小时） （小时） (1)根据表中的数据，分析说明平均速度（千米/小时）关于行驶时间（小时）的函数关系，并求出其表达式； (2)汽车上午从甲地出发，能否在上午之前到达乙地？请说明理由． 【分析】（1）根据表格中数据，可知是的反比例函数，设，利用待定系数法即可求解； （2）上午出发，到上午之前，可知时间为小时，根据（1）中的函数关系，即可求解． 【详解】（1）解：∵，，即每一对与的对应值乘积为一定值，在减小，在增大， ∴与成反比关系，设， 把，代入反比例函数得，， ∴与的表达式为， ∵汽车行时速度不超过千米/小时， ∴， ∴， ∴平均速度（千米/小时）关于行驶时间（小时）的函数关系是反比例函数，表达式为． （2）解：∵（小时）， ∴（千米/小时）， ∵汽车行时速度不超过千米/小时，， ∴不能． （设计意图：例题分层设计，基础辨析题夯实概念核心，解决学生“概念模糊、判断出错”的问题；实际应用题对接课堂导入情境，强化数学建模能力，实现知识从理解到应用的转化.同时通过详细分析与详解，规范学生解题步骤，培养严谨的解题习惯.） 课本课堂练习（P65）. （设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略） 1．心理学家研究发现，一般情况下，一节课分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化：开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x（分钟）的变化规律如图所示（其中分别为线段，轴，为双曲线的一部分），其中段的关系式为． (1)点B坐标为_______； (2)根据图中数据，求出段双曲线的表达式； (3)一道数学竞赛题，需要讲分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目? 【详解】（1）∵段的关系式为，点B的横坐标为， ∴， ∴点B坐标为； 故答案为： （2）解：如图，轴，点B坐标为， ∴点C的坐标为，                 设C、D所在双曲线的解析式为， 把代入得，， ， ∴． （3）令， ∴．                令， ∴，           ∵， ∴经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目． 1.（2026六安校考）在下列式子中，y是x的反比例函数的有哪些？每一个反比例函数中，相应的k值是多少？ (1)；(2)；(3)；(4)． 【详解】（1），是反比例函数，； （2），不是反比例函数； （3），不是反比例函数； （4），是反比例函数，． 2．（2026四川省成都）人的视觉机能受运动速度的影响很大．在一定条件下，某人驾驶车辆时的视野f（单位：）与车速v（单位：）之间的关系式是．当车速为时，他的视野为______． 【详解】解：由题意，将代入得：， 即他的视野为． 3．（2025•山西）氢气是一种绿色清洁能源，可通过电解水获得．实践小组通过实验发现，在电解水的过程中，生成物氢气的质量y（g）与分解的水的质量x（g）满足我们学过的某种函数关系．如表是一组实验数据，根据表中数据，y与x之间的函数关系式为（　　） 水的质量x/g 4.5 9 18 36 45 氢气的质量y/g 0.5 1 2 4 5 A．y B．y＝9x C．yx D．y 【解答】解：通过观察表格数据可知：， 故y与x之间的函数关系式为yx， 故选：C． （设计意图：在学习完知识后加入中考等真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力） 知识技能：本节课掌握了反比例函数的标准定义和三种表达形式；能根据定义判定一个函数是否为反比例函数；明确了自变量和函数值均不为0的取值要求；熟练掌握利用待定系数法求解反比例函数解析式的基本步骤，能初步辨析正比例函数与反比例函数的区别. 思想方法：（1）类比思想：类比正比例函数的定义、形式、学习方法，探究反比例函数新知，实现旧知迁移、新知建构；（2）建模思想：从生活实际情境中提炼变量关系，抽象为反比例函数数学模型，体会函数刻画现实变化规律的作用；（3）方程思想：利用方程、不等式求解参数取值，解决反比例函数判定问题. 易错提醒：（1）忽略核心条件：判定反比例函数时，忘记验证k≠0，导致参数取值错误；（2）概念混淆：混淆正比例函数y=kx与反比例函数y=(k≠0)的解析式形式和变化规律；（3）取值遗漏：忽略反比例函数自变量x≠0的隐含条件；（4）格式错误：不会灵活运用乘积型、负指数型变式，解题形式单一. (设计意图：对本课的知识进行总结，有利于学生对增强学习的主动性与连贯性. ） 必做题：课本习题26.1第1、2、3题. 探究性作业：课本习题26.1第4题. （设计意图：对本节课的知识进行巩固训练 ） 主板书 27.1 反比例函数的概念 一、定义 二、三种形式及自变量取出范围 三、判定条件 四、求解析式（待定系数法） 五、易错点 副板书 典型例题 （预留区域，课堂书写化简、检验例题） 例题 学生练习板演 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $