考点培优练04 导数中凹凸反转与端点效应的应用（高效培优专项训练）（全国通用）2027年高考数学一轮复习高效培优系列

**基本信息** 聚焦导数中端点效应与凹凸反转，构建“问题分类-方法提炼-典例验证”三阶体系，通过分层突破与反套路设计培养逻辑推理与创新意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |端点效应（一阶至失效）|4考点+4典例+5跟踪训练|“先猜后证”五步逻辑（必要性探路→充分性证明），高阶探路与矛盾取点法|从基础端点到高阶导数判断，再到失效场景处理，形成完整参数范围求解链条| |凹凸反转|1考点+5典例+4跟踪训练|函数拆分（指数对数分离）与凹凸性判断（二阶导符号）|从几何特征（凹凸函数定义）到不等式证明、零点问题等应用，实现复杂问题转化|

考点培优练04 导数中端点效应与凹凸反转的应用 考点预览 目录 考点01 一阶端点效应 2 考点02 二阶端点效应 2 考点03 高阶端点效应 3 考点04 端点效应失效 4 考点05 凹凸反转‑ 证明不等式 7 凹凸反转‑ 解决比较复杂的恒成立（存在性）问题求参数 7 凹凸反转‑ 解决不等式问题 7 凹凸反转‑ 解决指对函数问题 7 凹凸反转‑ 解决零点问题 8 考点通关 端点效应的基本逻辑是“先猜后证”，即先利用函数在区间端点处必须满足的条件，求出参数的一个必要条件（猜），再证明这个条件也是充分条件（证）其核心解题思路可分为： 1.必要性探路：取定义域内的特殊点（通常是区间端点），代入不等式恒成立的条件，从而获得参数的一个取值范围。这是不等式成立所​​必须满足必要的条件，能有效缩小参数的讨论范围。 2.充分性证明：在第一步得到的参数范围内，验证不等式是否在整个定义域内恒成立。常用的方法是判断函数在该参数范围内是否具有单调性。 第一步：确定端点或极限点 明确不等式成立的区间I（如[a,b] 或[a,+∞)）。找到使 f(x) 取等号或极限值为0的特殊点，通常为区间的端点x=a 或 极限点 x→a+。 第二步：利用端点值建立必要条件 若f(a)=0 且 f(x)≥0 在I 上恒成立，则函数在x=a 处不能递减，即： • 若 a 为左端点，则需f′(a)≥0； • 若 a 为右端点，则需f′(a)≤0； • 若I 为开区间(a,b)，可考虑x→a+ 时的极限与导数符号。 注意：此条件为参数必须满足的必要条件，可据此求出参数的可能范围。 第三步：缩小参数范围 根据第二步得到的关于参数的不等式，解出参数的候选范围。此范围通常比直接处理原不等式简单得多。 第四步：验证充分性（关键步骤） 在得到的参数候选范围内，必须验证原不等式是否确实恒成立。常用方法： • 构造新函数g(x)，证明其在 I 上单调递增（或递减）； • 利用导数分析f(x) 在I 上的最小值是否 ≥0。 若验证通过，则候选范围即为最终答案；若不通过，则需调整或结合其他方法。 第五步：综合结论 将必要性与充分性结合，得到参数的精确取值范围 考点01 一阶端点效应 1.（原函数端点效应）如果函数在区间上,恒成立,则或. 2.（一阶端点效应）如果函数在区间上,恒成立,且(或),则或. 【典例1】（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)若，求的取值范围． 【跟踪训练】1.已知函数. (1)若为的极值点，求； (2)当时，恒成立，求的取值范围. 考点02 二阶端点效应 如果函数在区间上,恒成立,且(或,则或. 【典例2】（2026·全国二卷·高考真题）已知函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求，； (2)当时，，求的取值范围； (3)当时，，求的最小值． 【跟踪训练】1.（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)当时，，求a的取值范围； (3)设，证明：． 2．（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数． (1)当时，求的极值； (2)当时，，求的取值范围． 考点03 高阶端点效应 高阶探路法 当端点处一阶导数 （一阶导数无法判断单调性）时，继续求高阶导数（三阶、四阶），直到找到非零的高阶导数，通过该高阶导数的符号判断函数在端点附近的单调性，进而锁定参数范围。 核心规律：一阶导为 0，二阶导判断；二阶导为 0，三阶导判断，以此类推，直到找到能判断单调性的高阶导数。 矛盾取点法 当端点效应判断为“矛盾”（即 ）时，需严格证明存在某点 ，使得 （或 ），证明思路：对 进行放缩，构造简单函数 ，找到 的点 ，进而确定 的零点，证明 在该零点左侧递减，出现矛盾。 【典例3】（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数 (1)若，且，求的最小值； (2)证明：曲线是中心对称图形； (3)若当且仅当，求的取值范围． 【跟踪训练】1.已知函数f(x)＝a(x2－1)－ln x，a∈R. (1)讨论f(x)的单调性； (2)求实数a的取值范围，使得f(x)>a sin (x－1)＋－e1-x在区间(1，＋∞)内恒成立(e＝2.718 28…为自然对数的底数)． 考点04 端点效应失效 端点效应失效场景 1.端点处二阶导数 ，此时端点是拐点而非极值点，端点效应无法直接判断，需用高阶探路法或参变分离法； 2.一阶导数 单调性不确定（即 变号），此时端点处导数值的符号无法决定整个区间的单调性，需结合分类讨论； 3.区间端点函数值不为 0，端点效应失效时, 可以考虑内点效应. 关键是如何找到“内点”,一般可以通过方程组 解出内点 ,但有些题目很难找出来, 此时往往可用 “导中切”来解答. 【典例4】（2020·全国I卷·高考真题）已知函数. （1）当时，讨论的单调性； （2）当时，，求a的取值范围. 【跟踪训练】1. 考点05 凹凸翻转 1、凹凸函数的几何特征（形状特征） 一般地，对于函数的定义域内某个区间上的不同的任意两个自变量的值， （1）总有（当且仅当时，取等号），则函数在上是凸函数，其几何意义：函数的图象上的任意两点所连的线段都不落在图象的上方.，则单调 递减，在上为凸函数； （2）总有（当且仅当时，取等号），则函数在上是凹函数，其几何意义：函数的图象上的任意两点所连的线段都不落在图象的下方.，则单调递增，在上为凹函数. 关于凹凸性的判断： 二阶导数 凹凸性与开口 凹函数，开口向上 凸函数，开口向下 2.凹凸反转 很多时候，我们需要证明函数,但不定就要，因为大多数情况下的零点是解不出来的.这时候我们可以尝试凹凸反转.，如果能够证明，则显然成立，（PS:反过来不一定成立）所以就成立.很明显是凹函数，是凸函数；因为这两个函数的凹凸性刚好相反，所以称为凹凸反转. 3.凹凸反转法的几点技巧 （1）遇到解析式简单的，首选构造差值函数，即构造一个函数. （2）当解析式略微复杂，先尝试构造差值函数，如果导函数的零点不易求出，可再尝试凹凸反转法 （3）凹凸反转法即是拆分函数法，如何拆成两个函数是关键，最常见的是指数、对数型分离 （4）熟练掌握常见指数、对数型函数的图象和最值. 【典例5】（2022全国卷）设函数,曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程为y=e(x-1)+2. (1)求； (2)证明: . 【典例6】若，，求a的取值范围． 【典例7】已知函数，，． (1)讨论函数的单调性； (2)若，，使得，求实数的取值范围． 【典例8】已知函数． （1）求函数的最小值； （2）证明：． 【典例9】．已知函数为常数）是实数集上的奇函数，其中为自然对数的底数． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）讨论关于的方程的根的个数． 【跟踪训练】1.（新课标2卷）已知函数． （1）设是的极值点，求m，并讨论的单调性； （2）当时，证明． 2.已知函数，其中e=2.71828…为自然对数的底数． （1）求的单调区间； （2）对恒成立，记，证明：． 3.已知函数． （1）求曲线在点（0，-1）处的切线方程； （2）证明：当时，． 4.已知函数． （1）设是的极值点．求a，并求的单调区间； （2）证明：当时，． 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点培优练04 导数中端点效应与凹凸反转的应用 考点预览 目录 考点01 一阶端点效应 2 考点02 二阶端点效应 5 考点03 高阶端点效应 14 考点04 端点效应失效 18 考点05 凹凸反转‑ 证明不等式 26 凹凸反转‑ 解决比较复杂的恒成立（存在性）问题求参数 27 凹凸反转‑ 解决不等式问题 27 凹凸反转‑ 解决指对函数问题 28 凹凸反转‑ 解决零点问题 29 考点通关 端点效应的基本逻辑是“先猜后证”，即先利用函数在区间端点处必须满足的条件，求出参数的一个必要条件（猜），再证明这个条件也是充分条件（证）其核心解题思路可分为： 1.必要性探路：取定义域内的特殊点（通常是区间端点），代入不等式恒成立的条件，从而获得参数的一个取值范围。这是不等式成立所​​必须满足必要的条件，能有效缩小参数的讨论范围。 2.充分性证明：在第一步得到的参数范围内，验证不等式是否在整个定义域内恒成立。常用的方法是判断函数在该参数范围内是否具有单调性。 第一步：确定端点或极限点 明确不等式成立的区间I（如[a,b] 或[a,+∞)）。找到使 f(x) 取等号或极限值为0的特殊点，通常为区间的端点x=a 或 极限点 x→a+。 第二步：利用端点值建立必要条件 若f(a)=0 且 f(x)≥0 在I 上恒成立，则函数在x=a 处不能递减，即： • 若 a 为左端点，则需f′(a)≥0； • 若 a 为右端点，则需f′(a)≤0； • 若I 为开区间(a,b)，可考虑x→a+ 时的极限与导数符号。 注意：此条件为参数必须满足的必要条件，可据此求出参数的可能范围。 第三步：缩小参数范围 根据第二步得到的关于参数的不等式，解出参数的候选范围。此范围通常比直接处理原不等式简单得多。 第四步：验证充分性（关键步骤） 在得到的参数候选范围内，必须验证原不等式是否确实恒成立。常用方法： • 构造新函数g(x)，证明其在 I 上单调递增（或递减）； • 利用导数分析f(x) 在I 上的最小值是否 ≥0。 若验证通过，则候选范围即为最终答案；若不通过，则需调整或结合其他方法。 第五步：综合结论 将必要性与充分性结合，得到参数的精确取值范围 考点01 一阶端点效应 1.（原函数端点效应）如果函数在区间上,恒成立,则或. 2.（一阶端点效应）如果函数在区间上,恒成立,且(或),则或. 【典例1】 （一阶端点效应）（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)在上单调递减 (2) 【分析】（1）代入后，再对求导，同时利用三角函数的平方关系化简，再利用换元法判断得其分子与分母的正负情况，从而得解； （2）法一：构造函数，从而得到，注意到，从而得到，进而得到，再分类讨论与两种情况即可得解； 法二：先化简并判断得恒成立，再分类讨论，与三种情况，利用零点存在定理与隐零点的知识判断得时不满足题意，从而得解. 【详解】（1）因为，所以， 则 ， 令，由于，所以， 所以， 因为，，， 所以在上恒成立， 所以在上单调递减. （2）法一： 构建， 则， 若，且， 则，解得， 当时，因为， 又，所以，，则， 所以，满足题意； 当时，由于，显然， 所以，满足题意； 综上所述：若，等价于， 所以的取值范围为. 法二： 因为， 因为，所以，， 故在上恒成立， 所以当时，，满足题意； 当时，由于，显然， 所以，满足题意； 当时，因为， 令，则， 注意到， 若，，则在上单调递增， 注意到，所以，即，不满足题意； 若，，则， 所以在上最靠近处必存在零点，使得， 此时在上有，所以在上单调递增， 则在上有，即，不满足题意； 综上：. 【点睛】关键点睛：本题方法二第2小问讨论这种情况的关键是，注意到，从而分类讨论在上的正负情况，得到总存在靠近处的一个区间，使得，从而推得存在，由此得解. 【跟踪训练】 已知函数. (1)若为的极值点，求； (2)当时，恒成立，求的取值范围. 【解析】（1），由于为的极值点， 所以，解得， 当时，令，则， 所以在上单调递增，又， 所以当时，单调递减， 所以当时，单调递增， 故； （2）法一（分离参数法）：由题意有对于恒成立， 即对于恒成立， 当时，，故对于恒成立， 令， 则时，， 当且仅当时，成立， 所以在上单调递增，所以，所以， 法二（端点效应）：当时，有，即当时，有，解得； 下证充分性，即证当时，时，有， 即证当时，有，记， ，故在上单调递减， 则， 记，则， 当时，，当且仅当时，成立， 即在上单调递增，故， 故当时，有恒成立. 【解后反思】比较两种解法，明显可以发现端点效应避开了繁杂的转化或讨论，直接探求得结果，但还要注意的是，求得结果后还需证明充分性. 考点02 二阶端点效应 如果函数在区间上,恒成立,且(或,则或. 【典例2】 1．（2026·全国二卷·高考真题）已知函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求，； (2)当时，，求的取值范围； (3)当时，，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）结合导数几何意义建立方程求解； （2）法一：构造差函数，结合导函数符号的变化分类讨论函数的单调性，进而由恒成立求解参数范围即可；法二：先由必要性探路分析界点，当，确定界点；再结合界点分类讨论即可； （3）法一：构造差函数，结合端点效应分析界点，再分类讨论可得；法二：分离参数，结合洛必达法则求解. 【详解】（1）， 由切点在直线上，也在函数图象上， 可知且，可得； 由，则切线的斜率为， 解得； 故. （2）由（1）知，， 则 ， 故题意可转化为对任意恒成立， 法一：令，， 则， 当时，由且， 则，即， 则在上单调递增，又， 要使对任意恒成立， 则，解得； 当时，不成立； 当时，，，且， 则， 即，则在上单调递减， 又当时，，不满足题意； 综上所述，的取值范围为. 法二： 不等式可转化为， 即对任意恒成立， 当时，不成立； 当时，设，， 当时，由，可知， ， 这与对任意恒成立矛盾； 当时，， ， 由，故在上单调递增， 故在上存在唯一零点，设为， 且当时，，即， 此时不等式不成立； 当时，， 则在上单调递增， 由，故， 故不等式，即恒成立， 综上所述，的取值范围为； （3）法一：设， 则 ， 令， 则， 其中，，. 当时，， 则在上单调递增，故， 故在上单调递增，故， 即当时，恒成立，满足题意； 当时，设 ， 由，可知且， 则，可知在上单调递增， 故，即， 故在上单调递增，故， 故在上单调递增，故， 即当时，恒成立，满足题意； 当时，此时，又， 则存在正实数，使得，， 则在上单调递减，则， 即当，，不满足题意； 综上所述，，即的最小值为. 法二：由可得 ， 则，即， 则， 由，可知，则， 故原不等式可转化为， 由， 设，， 则， 设，，令， 则，， 由， 再令， ，故在上单调递增， 故，则，故在上单调递增， 所以，即， 故在上单调递减， 又由洛必达法则可知， 故要使当时，恒成立，则， 即的最小值为. 【跟踪训练】 （二阶端点效应）（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)当时，，求a的取值范围； (3)设，证明：． 【答案】(1)的减区间为，增区间为. (2) (3)证明如下： 取，则，总有成立， 令，则， 故即对任意的恒成立. 所以对任意的，有， 整理得到：， 故 ， 故不等式成立. 【分析】（1）求出，讨论其符号后可得的单调性. （2）设，求出，先讨论时题设中的不等式不成立，再就结合放缩法讨论符号，最后就结合放缩法讨论的范围后可得参数的取值范围. （3）由（2）可得对任意的恒成立，从而可得对任意的恒成立，结合裂项相消法可证题设中的不等式. 【详解】（1）当时，，则， 当时，，当时，， 故的减区间为，增区间为. （2）设，则， 又，设， 则， 若，则， 因为为连续不间断函数， 故存在，使得，总有， 故在为增函数，故， 故在为增函数，故，与题设矛盾. 若，则， 下证：对任意，总有成立， 证明：设，故， 故在上为减函数，故即成立. 由上述不等式有， 故总成立，即在上为减函数， 所以. 当时，有，     所以在上为减函数，所以. 综上，. （3）略 【点睛】思路点睛：函数参数的不等式的恒成立问题，应该利用导数讨论函数的单调性，注意结合端点处导数的符号合理分类讨论，导数背景下数列不等式的证明，应根据已有的函数不等式合理构建数列不等式. 3．（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数． (1)当时，求的极值； (2)当时，，求的取值范围． 【答案】(1)极小值为，无极大值. (2) 【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的单调性和零点可求函数的极值. （2）求出函数的二阶导数，就、、分类讨论后可得参数的取值范围. 【详解】（1）当时，， 故， 因为在上为增函数， 故在上为增函数，而， 故当时，，当时，， 故在处取极小值且极小值为，无极大值. （2） （2）另解， 设， 则， 当时，，故在上为增函数， 故，即， 所以在上为增函数，故. 当时，当时，， 故在上为减函数，故在上， 即在上即为减函数， 故在上，不合题意，舍. 当，此时在上恒成立， 同理可得在上恒成立，不合题意，舍； 综上，. 【点睛】思路点睛：导数背景下不等式恒成立问题，往往需要利用导数判断函数单调性，有时还需要对导数进一步利用导数研究其符号特征，处理此类问题时注意利用范围端点的性质来确定如何分类. 考点03 高阶端点效应 高阶探路法 当端点处一阶导数 （一阶导数无法判断单调性）时，继续求高阶导数（三阶、四阶），直到找到非零的高阶导数，通过该高阶导数的符号判断函数在端点附近的单调性，进而锁定参数范围。 核心规律：一阶导为 0，二阶导判断；二阶导为 0，三阶导判断，以此类推，直到找到能判断单调性的高阶导数。 矛盾取点法 当端点效应判断为“矛盾”（即 ）时，需严格证明存在某点 ，使得 （或 ），证明思路：对 进行放缩，构造简单函数 ，找到 的点 ，进而确定 的零点，证明 在该零点左侧递减，出现矛盾。 【典例3】 2．（三阶端点效应）（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数 (1)若，且，求的最小值； (2)证明：曲线是中心对称图形； (3)若当且仅当，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 的定义域为， 设为图象上任意一点， 关于的对称点为， 因为在图象上，故， 而， ， 所以也在图象上， 由的任意性可得图象为中心对称图形，且对称中心为. (3) 【分析】（1）求出后根据可求的最小值； （2）设为图象上任意一点，可证关于的对称点为也在函数的图像上，从而可证对称性； （3）根据题设可判断即，再根据在上恒成立可求得. 【详解】（1）时，，其中， 则， 因为，当且仅当时等号成立， 故，而成立，故即， 所以的最小值为.， （2）略 （3） （3）【方法一：换元法】 因为当且仅当，故为的一个解， 所以即， 先考虑时，恒成立. 此时即为在上恒成立， 设，则在上恒成立， 设， 则， 当，， 故恒成立，故在上为增函数， 故即在上恒成立. 当时，， 故恒成立，故在上为增函数， 故即在上恒成立. 当，则当时， 故在上为减函数，故，不合题意，舍； 综上，在上恒成立时. 而当时， 而时，由上述过程可得在递增，故的解为， 即的解为. 综上，. 【方法二：端点效应一】 (3)由(1)知， . 因为 , 否则解集中含有 . 故 . (a)若 , 即 时， 即 是 上的单调递增函数， , 符合题意； (b)若 , 即 时，令 得 , (舍)，或 . 当 时， , 此时， , 不符合题意 综上可知， 的取值范围是 . 【方法三：端点效应二】 由题意得： , 必有 , 所以 , 解得 , 故 . 问题等价于研究当 恒成立，仅需 , 令 令 . 发现： , 当且仅当 时，若 , 即 . 易证当 时，由 知， , 所以 在 上单调递增， , 所以b≥- 2成立. 3另一方面，当 时， 在 必定有解， 令, 则 在 上必存在 m, 使得 成立，所以h(x)在 单调递减，在 单调递增， 所以 , 这与 在 恒成立矛盾，故 舍去. 【点睛】思路点睛：一个函数不等式成立的充分必要条件就是函数不等式对应的解，而解的端点为函数对一个方程的根或定义域的端点，另外，根据函数不等式的解确定参数范围时，可先由恒成立得到参数的范围，再根据得到的参数的范围重新考虑不等式的解的情况. 【跟踪训练】 已知函数f(x)＝a(x2－1)－ln x，a∈R. (1)讨论f(x)的单调性； (2)求实数a的取值范围，使得f(x)>a sin (x－1)＋－e1-x在区间(1，＋∞)内恒成立(e＝2.718 28…为自然对数的底数)． 【解析】(1)因为a＝2，所以f(x)＝2e2x－2(2x＋1)ln (2x＋1)， 所以函数f(x)的定义域为，且f′(x)＝4[e2x－ln (2x＋1)－1]， 构造函数F(x)＝ex－x－1，则F′(x)＝ex－1， 令F′(x)＝0，得x＝0， ∴当x>0时，F′(x)>0，F(x)在(0，＋∞)上单调递增； 当x<0时，F′(x)<0，F(x)在(－∞，0)上单调递减． ∴F(x)≥F(0)＝0，∴ex≥x＋1， ∴当x>－1时，x≥ln (x＋1)， 所以当x>－时，e2x≥2x＋1，当且仅当x＝0时等号成立， 所以当x>－时，2x≥ln (2x＋1)，当且仅当x＝0时等号成立， ∴e2x－ln (2x＋1)－1≥2x－ln (2x＋1)≥0，当且仅当x＝0时等号成立， ∴f′(x)≥0，当且仅当x＝0时等号成立， ∴f(x)在上单调递增． (2)∵f(x)≥2cos2x－2(a－2)x，x∈，等价于 2e2x－a(2x＋1)ln (2x＋1)－cos2x＋(a－2)(2x)－1≥0， 令t＝2x，t∈[0，π]，构造函数h(t)＝2et－a(t＋1)ln (t＋1)－cos t＋(a－2)t－1， ∴h(0)＝0，h′(t)＝2et－a ln (t＋1)＋sin t－2，h′(0)＝0. 令g(x)＝2ex－a ln (x＋1)＋sin x－2，g′(x)＝2ex－＋cos x，x∈[0，π]， 注意到g′(0)＝3－a. 当a>3时，g′(0)<0， ∴∃x0>0，当x∈[0，x0]时，g(x)<0，即当t∈[0，x0]时，h′(t)<0， 所以h(t)在[0，x0]上单调递减，所以h(x0)<0，不符合题意． 当0≤a≤3时，令m(x)＝2ex－＋cos x，x∈[0，π]， m′(x)＝2ex＋－sin x>2＋－sin x>0， ∴m(x)单调递增，则m(x)≥m(0)＝3－a≥0， 当a<0时，则m(x)＝2ex－＋cos x>2＋cos x－>0， g′(x)≥0，g(x)单调递增，g(x)≥g(0)＝0. ∴h′(t)≥0，h(t)单调递增，h(t)≥h(0)＝0，符合题意． 综上所述a≤3. 考点04 端点效应失效 端点效应失效场景 1.端点处二阶导数 ，此时端点是拐点而非极值点，端点效应无法直接判断，需用高阶探路法或参变分离法； 2.一阶导数 单调性不确定（即 变号），此时端点处导数值的符号无法决定整个区间的单调性，需结合分类讨论； 3.区间端点函数值不为 0，端点效应失效时, 可以考虑内点效应. 关键是如何找到“内点”,一般可以通过方程组 解出内点 ,但有些题目很难找出来, 此时往往可用 “导中切”来解答. 【典例4】（端点效应失效）（2020·全国I卷·高考真题）已知函数. （1）当时，讨论的单调性； （2）当时，，求a的取值范围. 【答案】（1）当时，单调递减，当时，单调递增.（2） 【分析】(1)由题意首先对函数二次求导，然后确定导函数的符号，最后确定原函数的单调性即可. (2)方法一：首先讨论x=0的情况，然后分离参数，构造新函数，结合导函数研究构造所得的函数的最大值即可确定实数a的取值范围. 【详解】(1)当时，，， 由于，故单调递增，注意到，故： 当时，单调递减， 当时，单调递增. (2) [方法一]【最优解】：分离参数 由得，，其中， ①.当x=0时，不等式为：，显然成立，符合题意； ②.当时，分离参数a得，， 记，， 令， 则，， 故单调递增，， 故函数单调递增，， 由可得：恒成立， 故当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 因此，, 综上可得，实数a的取值范围是. [方法二]：端点效应失效-“内点”效应 [方法三]：指数集中 当时，恒成立， 记， ， ①.当即时，，则当时，，单调递增，又，所以当时，，不合题意； ②.若即时，则当时，，单调递减，当时，，单调递增，又， 所以若满足，只需，即，所以当时，成立； ③当即时，，又由②可知时，成立，所以时，恒成立， 所以时，满足题意. 综上，. 【整体点评】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，本题主要考查利用导数解决恒成立问题，常用方法技巧有： 方法一，分离参数，优势在于分离后的函数是具体函数，容易研究； 方法二，端点效应失效-“内点”效应，可以快速缩小范围甚至得到结果，但是解答题需要证明，具有风险性； 方法三，利用指数集中，可以在求导后省去研究指数函数，有利于进行分类讨论，具有一定的技巧性！ 【跟踪训练】 考点05 凹凸翻转 1、凹凸函数的几何特征（形状特征） 一般地，对于函数的定义域内某个区间上的不同的任意两个自变量的值， （1）总有（当且仅当时，取等号），则函数在上是凸函数，其几何意义：函数的图象上的任意两点所连的线段都不落在图象的上方.，则单调 递减，在上为凸函数； （2）总有（当且仅当时，取等号），则函数在上是凹函数，其几何意义：函数的图象上的任意两点所连的线段都不落在图象的下方.，则单调递增，在上为凹函数. 图形上任意弧段位于所在弦的上方的函数为凸函数 图形上任意弧段位于所在弦的下方的函数为凹函数 关于凹凸性的判断： 二阶导数 凹凸性与开口 凹函数，开口向上 凸函数，开口向下 2.凹凸反转 很多时候，我们需要证明函数,但不定就要，因为大多数情况下的零点是解不出来的.这时候我们可以尝试凹凸反转.，如果能够证明，则显然成立，（PS:反过来不一定成立）所以就成立.很明显是凹函数，是凸函数；因为这两个函数的凹凸性刚好相反，所以称为凹凸反转. 3.凹凸反转法的几点技巧 （1）遇到解析式简单的，首选构造差值函数，即构造一个函数. （2）当解析式略微复杂，先尝试构造差值函数，如果导函数的零点不易求出，可再尝试凹凸反转法 （3）凹凸反转法即是拆分函数法，如何拆成两个函数是关键，最常见的是指数、对数型分离 （4）熟练掌握常见指数、对数型函数的图象和最值. 4. 凹凸反转中常用6个经典函数（熟记） 5. 【典例5】（2022全国卷）设函数,曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程为y=e(x-1)+2. (1)求； (2)证明: 【解析】（1）函数的定义域为， . 由题意可得，.故，. （2）证明：由（1）知，， 从而等价于. 设函数，则. 所以当，； 当时，. 故在上单调递减，上单调递增，从而在上的最小值为. 设函数，则. 所以当时，；当时，.故在上单调递增，在上单调递减，从而在上的最大值为. 综上，当时，，即. 【典例6】若，，求a的取值范围． 答案： ，即，成立． 令，． ，极大值 ， 因此，． 所以只需，即，解得 【典例7】已知函数，，． (1)讨论函数的单调性； (2)若，，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）求导后，分别在和的情况下，根据的正负得到单调性； （2）当时，可知恒成立，知不合题意；当时，取，，通过放缩可得，符合题意；当时，将不等式转化为，根据单调性可分别求得和，由此可构造不等式求得结果；综合三种情况可得的取值范围. 【详解】（1）由题意知：的定义域为，， 当时，恒成立，在上单调递增； 当时，若，则；若，则； 在上单调递减，在上单调递增； 综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）当时，，；，； 恒成立，不合题意； 当时，取，， 则，符合题意； 当时，若，，使得，则； 由（1）知：； ，，在上单调递增， ， ，即，，解得：； 综上所述：实数的取值范围为. 【典例8】已知函数． （1）求函数的最小值； （2）证明：． 答案： （1）略 （2）证明：即证．等价于证：． 令，．时，． 即．令，则． 当，，单调递增；当，，单调递减； 即．所以．综上，． 【典例9】．已知函数为常数）是实数集上的奇函数，其中为自然对数的底数． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）讨论关于的方程的根的个数． 【解答】解：（Ⅰ） 因为函数为常数）是实数集上的奇函数， 所以，即， 则， 解得， 显然时，是实数集上的奇函数； （Ⅱ）由（Ⅰ）得， 方程可转化为， 令，， 因为，令，得， 当时，，所以在上为增函数， 当时，，所以在上为减函数， 当时，， 又 所以在上为减函数，在上为增函数， 当时，， 所以当，即时，方程无解， 当，即时，方程有一个根， 当，即时，方程有两个根， 综上得： 当时，方程无解， 当时，方程有一个根， 当时，方程有两个根． 【跟踪训练】 1.（新课标2卷）已知函数． （1）设是的极值点，求m，并讨论的单调性； （2）当时，证明． 【解析】（1）略 （2）证明：当时，． 故只需证：．即证：． 令，，则． 当，，单调递减； 当，，单调递增；即． 令，则． 当，，单调递增； 当，，单调递减； 即．不能同时取“=”所以． 综上，当时，． 2.已知函数，其中e=2.71828…为自然对数的底数． （1）求的单调区间； （2）对恒成立，记，证明：． 解 方法1：（1）， 易证当时，，则，即， 所以，故在，上单调递增； （2）由题意得，， 令，要证：，即证， ， 令，则，， 所以在上单调递增，又，， 故，使得，即， 所以，有，单调递减， ，，单调递增， 所以，， ，， 所以存在，使得，即， 且满足，，单调递减； ，，单调递增； 所以； 令，则，故单调递减， 又，所以， 则只需证明， 又，可先证明，又，，则， 所以，而，所以，证毕！ 注：关于的证明下面再给出一种证法： 由对数均值不等式（需要证明）得，即， 又，所以，证毕！ 方法2 凹凸反转 ∵，∴要证原式 只需要 稍作变形恒成立 构造， 由单调性可知 构造， 由单调性可知 因此 因此 3.已知函数． （1）求曲线在点（0，-1）处的切线方程； （2）证明：当时，． 解：（1）略 （2）方法1：（常规构造函数） 当时，． 令，则，． 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以． 因此． 方法1：（凹凸反转） 当时，． 故只需证：． 分离为熟悉的函数，即证：． 可以看出，左右同时加x，不等式左右两边即为常见的基本凹凸函数模型． 接下来，检验左右两侧最值即可． 即证 令，易得． 令，易得．（这里卷面书写得求导说明下函数单调性，再得出最值）． 即，时取“=” 综上：当时，． 4.已知函数． （1）设是的极值点．求a，并求的单调区间； （2）证明：当时，． 答案： （1）略 （2）证明：当时，． 故只需证：．即证：． 令，，则． 当，，单调递减； 当，，单调递增； 即．令，则． 当，，单调递增；当，，单调递减； 即．即，当时取“=” 所以，当时，． 考点06 “1 的代换” 题型 ①配凑技巧：拆项（如 ）、添项（如 ）、乘“1”法（ 等）。 ②“1”的代换：已知 ，求 的最小值，乘以 后展开用基本不等式。 ③验证取等条件： 求得最值后，必须验证等号能否成立（即变量是否在定义域内且满足等式）。 若多次使用基本不等式，需保证每次取等条件能同时满足。 口诀：一正二定三相等，配凑乘“1”是核心；和定积大积定和小，取等条件要记牢。 【典例6】 【跟踪训练】 考点07 基本不等式综合应用 重要不等式： 即调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值（注意等号成立的条件）． 常见求最值模型 模型一：，当且仅当时等号成立. 模型二：，当且仅当时等号成立． 模型三：，当且仅当时等号成立. 模型四：，当且仅当时等号成立. 【典例7】 【跟踪训练】 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $