专题01一元二次方程的定义与解法（专项训练）数学新教材湘教版九年级上册

**基本信息** 以“定义识别-解法突破-特殊转化”为主线，系统整合12类题型，通过分层训练培养抽象能力与运算能力，构建“概念-方法-应用”三阶逻辑链。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |定义及应用|4题型（含参数求解、根的判断）|定义三要素辨析法、代入求值法|从概念本质（未知数次数、系数）到参数关系推导，培养推理意识| |基本解法|6题型（开平/配方/公式/因式分解等）|配方法步骤规范、因式分解避免漏根、方法选择策略|解法原理层层递进，从直接运算到转化降次，提升运算能力| |特殊解法|2题型（换元法、分式方程转化）|整体代换思想、分式方程整式化技巧|通过换元实现复杂问题简化，体现数学抽象与模型意识|

专题01 一元二次方程的定义与解法 常考题型·精准突破 考点一 一元二次方程的定义及应用 题型1 一元二次方程的识别与判断 题型2 由定义求参数 题型3 程的解判断 题型4 已知方程的解（根）求参数 考点二 一元二次方程的解法 题型5接开平方法解方程 题型6 配方法解一元二次方程 题型7 配方法的应用 题型8 用公式法解一元二次方程 题型9 因式分解法解一元二次方程 题型10 选择适当方法解一元二次方程 考点三 一元二次方程特殊解法 题型11 换元法解一元二次方程 题型12 可化为一元二次方程的分式方程 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 一元二次方程的定义及应用 ◆题型1 一元二次方程的识别与判断 1．（25-26九年级上·湖南永州·期末）下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．下列方程中是关于x的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 3．下列方程，是一元二次方程的有_________________________ ①，②，③，④． ◆题型2 由定义求参数 4．（25-26九年级上·湖南岳阳·期中）关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．为任意数 5．（25-26九年级上·湖南怀化·阶段检测）若关于x的方程是一元二次方程，则______． 6．（25-26九年级上·湖南邵阳·阶段检测）方程，m为何值时，方程是一元二次方程． ◆题型3方程的解判断 7．若关于x的一元二次方程一个根为，则下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级下·山东威海·期末）关于的方程中，若满足和，则该方程的根是（    ） A． B． C． D．无法确定 9．（25-26九年级上·湖南邵阳·期中）下表是代数式的值的情况，根据表格中的数据，可知方程的根是______． ◆题型4已知方程的解（根）求参数 10．（25-26九年级下·湖南长沙·期中）已知是方程的一个根，则代数式的值为__________． 11．已知是关于的一元二次方程的解，则________． 12．已知方程的一个根是，则_____． 考点二 一元二次方程的解法 ◆题型5接开平方法解方程 13．若方程的两根为a和b，且，则下列结论中正确的是（     ） A．a与b相等 B．a与b互为相反数 C．是17的算术平方根 D．是17的算术平方根 14．（25-26八年级·全国·暑假作业）若方程的根为整数，则m的值可以是_________．（只填符合条件的一个即可） 15．（25-26九年级上·湖南常德·期中）解方程： ◆题型6配方法解一元二次方程 16．（24-25九年级上·湖南长沙·期末）方程左边配成完全平方后所得的方程为（    ） A． B． C． D． 17．（25-26九年级上·湖南郴州·期末）将一元二次方程化成的形式，则的值为_____． 18．（24-25九年级上·湖南岳阳·阶段检测）（过程纠错改错）下面是小君同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：二次项系数化为，得，第一步 配方，得，……第二步 变形，得，……………… 第三步 开方，得，………………… 第四步 解得，．…………… 第五步 (1)上面小君同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，体现了转化思想，其中“配方法”依据的一个数学公式是___________； (2)上面小君同学的解题过程中，从第___________步开始出现错误，写出正确的解答过程． ◆题型7配方法的应用 19．（25-26九年级上·湖南娄底·期中）对于多项式，由于，所以有最小值3，则代数式的最小值是__________ ． 20．（25-26九年级上·湖南郴州·阶段检测）把代数式通过配方等手段得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等方面都有广泛的应用． 如利用配方法，求的最小值． 解：，因为不论取何值，， 所以，所以当时，有最小值， 根据上述材料，解答下列问题： (1)用配方法求的最小值； (2)已知，，请比较A与B的大小； (3)已知，求代数式的最大值． 21．（25-26九年级上·湖南益阳·阶段检测）试证明无论取何实数时，代数式的值一定是正数． ◆题型8用公式法解一元二次方程 22．（24-25九年级上·湖南株洲·期末）在用求根公式求一元二次方程的根时，小慧同学正确地代入了，得到，则她求解的一元二次方程是（  ） A． B． C． D． 23．利用公式法解得一元二次方程的两个根为，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 24．（25-26九年级上·湖南常德·期中）解方程 (1)(用配方法解) (2)(用公式法解) ◆题型9因式分解法解一元二次方程 25．（25-26九年级上·湖南株洲·期末）一元二次方程的解是_________． 26．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）解方程：． 27．（25-26九年级上·湖南娄底·期末）在解方程：时，小睿的解题过程如下： 解：两边同时约去，得．（第一步） 移项，合并同类项，得．（第二步） 两边同时除以2，得．（第三步） (1)小睿的解题方法是从第_____步开始出现错误的； (2)请你写出正确的解答过程． ◆题型10选择适当方法解一元二次方程 28．（25-26九年级上·湖南长沙·期末）用适当方法解下列方程． (1)； (2)． 29．（25-26九年级上·湖南永州·阶段检测）选择适当方法解下列方程： (1)； (2)． 30．（25-26九年级上·贵州黔东南·期末）选择适当的方法解下列方程： (1) (2) 考点三 一元二次方程特殊解法 ◆题型11换元法解一元二次方程 31．（25-26八年级上·湖南岳阳·阶段检测）已知，且，则的值是________． 32．若关于x的一元二次方程的一个根是，则一元二次方程必有一根为（    ）． A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 33．（25-26九年级上·湖南长沙·期末）解方程：． ◆题型12可化为一元二次方程的分式方程 34．解方程，如果设，那么得到关于的整式方程是______． 35．（24-25八年级下·上海·阶段检测）解方程：． 36．（25-26八年级上·贵州铜仁·阶段检测）阅读材料，解答问题 解方程：． 解：设，则原方程化为：，方程两边同时乘得：， 解得：， 经检验：都是方程的解， ∴当时，，解得：， 当时，，解得：， 经检验：或都是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为或． 上述这种解分式方程的方法称为换元法． 【解决问题】 (1)若方程，设，则原方程可化为____________． (2)模仿上述换元法解方程： (3)已知满足方程，结合换元法的思路，求的值． 综合攻坚·知能拔高 37．（2025·山东烟台·一模）若是关于的方程的一个根，则关于的方程必有一个根为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2027 38．关于x的方程，下列解法完全正确的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 39．（25-26九年级上·湖南怀化·阶段检测）已知m是方程的一个根，则值为______． 40．（24-25九年级下·湖南怀化·阶段检测）若，且是方程的根，则_________ 41．（25-26九年级上·湖南怀化·阶段检测）在实数范围内定义一种新运算：，如果，则x的值是______． 42．（25-26九年级上·湖南常德·阶段检测）代数式的最大值______． 43．（25-26九年级上·北京·阶段检测）对于实数，用符号表示，两数中较小的数，例，若，则_____． 44．若，其中为实数且，，则____________． 45．（25-26九年级上·湖南邵阳·期中）新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”，如与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么_____． 46．（25-26九年级上·湖南株洲·期末）已知a为方程的一个根，求代数式的值． 47．（25-26九年级上·湖南·期末）解方程 (1)（配方法） (2)．（分解因式） 48．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）我们把形如（a，b不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”． 例如：为“十字分式方程”，可化为，，． 再如：为“十字分式方程”，可化为， ， 应用上面的结论解答下列问题： (1)若为“十字分式方程”，则________，________； (2)若“十字分式方程”的两个解分别为，，求代数式的值； (3)若关于x的“十字分式方程”的两个解分别为，，其中，求的值． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 一元二次方程的定义与解法 常考题型·精准突破 考点一 一元二次方程的定义及应用 题型1 一元二次方程的识别与判断 题型2 由定义求参数 题型3 方程的解判断 题型4 已知方程的解（根）求参数 考点二 一元二次方程的解法 题型5 直接开平方法解方程 题型6 配方法解一元二次方程 题型7 配方法的应用 题型8 用公式法解一元二次方程 题型9 因式分解法解一元二次方程 题型10 选择适当方法解一元二次方程 考点三 一元二次方程特殊解法 题型11 换元法解一元二次方程 题型12 可化为一元二次方程的分式方程 综合攻坚·知能拔高 题型13 单选题 题型14 填空题 题型15 解答题 常考题型·精准突破 考点一 一元二次方程的定义及应用 ◆题型1 一元二次方程的识别与判断 1．（25-26九年级上·湖南永州·期末）下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的定义．一元二次方程的一般形式是，判断一个方程是否为一元二次方程，需要看方程是否只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2，同时二次项系数不为0．根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程，二次项系数不为0），逐一分析各选项即可得出答案． 【详解】解：A、当时，方程变为，不是一元二次方程，故A不符合题意； B、方程只含一个未知数，未知数最高次数为2，是整式方程，二次项系数，故B符合题意； C、整理方程，得，未知数最高次数为1，是一元一次方程，故C不符合题意； D、方程分母含未知数，是分式方程，不是整式方程，故D不符合题意； 故选：B． 2．下列方程中是关于x的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程），逐一判断各选项． 【详解】解：∵ 一元二次方程是只含一个未知数且最高次数为2的整式方程， 选项A: 中含有分式，不是整式方程，∴ 不符合； 选项B: 中，a可能为0，当时不是二次方程，∴ 不一定是一元二次方程； 选项C: 可化为，是整式方程，只含x且最高次数为2，∴ 符合； 选项D: 中含有两个未知数x和y，∴ 不是一元二次方程． 故选：C． 3．下列方程，是一元二次方程的有_________________________ ①，②，③，④． 【答案】①④/④① 【详解】解：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为的整式方程是一元二次方程． ①，只含有一个未知数，未知数最高次数为，且是整式方程，符合一元二次方程的定义； ②，含有和两个未知数，不符合一元二次方程的定义； ③，分母中含有未知数，不符合一元二次方程的定义； ④，只含有一个未知数，未知数最高次数为，且是整式方程，符合一元二次方程的定义； 综上所述，是一元二次方程的有①④． ◆题型2 由定义求参数 4．（25-26九年级上·湖南岳阳·期中）关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．为任意数 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的定义，解题关键是掌握二次项系数不为零的条件． 根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为零，由此列出不等式求解即可． 【详解】解：∵方程 是一元二次方程， ∴二次项系数， ∴． 故选：C． 5．（25-26九年级上·湖南怀化·阶段检测）若关于x的方程是一元二次方程，则______． 【答案】4 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义，未知数的最高次数为2，则 解得n即可． 【详解】解：∵关于 的方程 是一元二次方程， ∴，解得 ． 此时，二次项系数为1，不为0，满足一元二次方程的条件， 故答案为：4． 6．（25-26九年级上·湖南邵阳·阶段检测）方程，m为何值时，方程是一元二次方程． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程未知数的最高次数为2且二次项系数不为零是解题的关键． 根据一元二次方程的定义列关于m的方程求解即可． 【详解】解：根据一元二次方程的定义可得： ，解得：． 所以当时，该方程是一元二次方程． ◆题型3方程的解判断 7．若关于x的一元二次方程一个根为，则下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查一元二次方程的根，将方程的根代入即可得到等式，正确理解一元二次方程的根的定义是解题的关键 【详解】解：∵关于x的一元二次方程一个根为， ∴将代入方程得 故选：B 8．（25-26八年级下·山东威海·期末）关于的方程中，若满足和，则该方程的根是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】根据方程根的定义，能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根，将题目给出的等式与一元二次方程的一般形式对比，即可得到对应满足方程的x的值． 【详解】解：∵ 方程为 当时，代入方程左边得， 由题可知， ∴ 是方程的根， 当时，代入方程左边得， 由题可知， ∴ 是方程的根 ∴方程的根为． 9．（25-26九年级上·湖南邵阳·期中）下表是代数式的值的情况，根据表格中的数据，可知方程的根是______． 【答案】， 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，解题关键是熟练掌握一元二次方程根的定义． 观察表格，找出使方程左右两边相等的的值，根据方程解的定义进行解答即可． 【详解】解：通过观察表格可知：当和2时，， ∴方程的根是：，. 故答案为：，． ◆题型4已知方程的解（根）求参数 10．（25-26九年级下·湖南长沙·期中）已知是方程的一个根，则代数式的值为__________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的解的定义得到的值，再整体代入所求代数式计算即可． 【详解】解：是方程的一个根， ，即， ． 11．已知是关于的一元二次方程的解，则________． 【答案】 【分析】将方程的解代入原一元二次方程，求出的值，再对所求代数式变形计算即可． 【详解】解：把代入方程得， 整理得， ． 12．已知方程的一个根是，则_____． 【答案】/ 【分析】已知一元二次方程的一个根，可将该根代入原方程，得到关于参数的一元一次方程，求解即可得到的值； 【详解】解：是方程的根， 将代入原方程得：， 化简得：， 移项得：． 考点二 一元二次方程的解法 ◆题型5接开平方法解方程 13．若方程的两根为a和b，且，则下列结论中正确的是（     ） A．a与b相等 B．a与b互为相反数 C．是17的算术平方根 D．是17的算术平方根 【答案】C 【分析】先直接用开平方法求出一元二次方程的两根，根据确定a、b的值，再判断各选项的说法是否正确． 【详解】解：解方程， 解得，， ，， A、，A选项错误； B、a与b不是互为相反数，B选项错误； C、，是17的算术平方根，C选项正确； D、，不是17的算术平方根，D选项错误． 14．（25-26八年级·全国·暑假作业）若方程的根为整数，则m的值可以是_________．（只填符合条件的一个即可） 【答案】4（答案不唯一） 【分析】将原方程变形可得，根据平方根的性质，若方程的根为整数，则为非负完全平方数，任取一个满足条件的值即可． 【详解】解：原方程移项得， 开平方得， 因为方程的根为整数， 因此为整数， 即为完全平方数， 取，此时方程的根为，均为整数，符合要求． 15．（25-26九年级上·湖南常德·期中）解方程： 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． 利用直接开平方法解一元二次方程即可． 【详解】解： 解得，． ◆题型6配方法解一元二次方程 16．（24-25九年级上·湖南长沙·期末）方程左边配成完全平方后所得的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】移项，配方，即可得出选项． 【详解】解：， ， ， ． 17．（25-26九年级上·湖南郴州·期末）将一元二次方程化成的形式，则的值为_____． 【答案】9 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，通过配方将方程化为完全平方形式，再求p和q的值，代入求和解答即可． 【详解】解：， 所以，， 则， 故答案为：9． 18．（24-25九年级上·湖南岳阳·阶段检测）（过程纠错改错）下面是小君同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：二次项系数化为，得，第一步 配方，得，……第二步 变形，得，……………… 第三步 开方，得，………………… 第四步 解得，．…………… 第五步 (1)上面小君同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，体现了转化思想，其中“配方法”依据的一个数学公式是___________； (2)上面小君同学的解题过程中，从第___________步开始出现错误，写出正确的解答过程． 【答案】(1)完全平方公式 (2)二，过程见解析 【分析】本题考查配方法解一元二次方程， （1）根据解答过程得出依据即可； （2）根据配方法判断即可； 掌握利用配方法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：上面小君同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，体现了转化思想，其中“配方法”依据的一个数学公式是完全平方公式； 故答案为：完全平方公式； （2）上面小君同学的解题过程中，从第二步开始出现错误，写出正确的解答过程如下： 正确过程如下： ， 解：移项，得：， 二次项系数化为，得：， 配方，得：， 变形，得：， 开方，得∶， 解得∶，． ◆题型7配方法的应用 19．（25-26九年级上·湖南娄底·期中）对于多项式，由于，所以有最小值3，则代数式的最小值是__________ ． 【答案】 【分析】此题考查了配方法的应用，通过配方法将二次代数式转化为完全平方式与常数项的和，利用完全平方式的非负性求最小值． 【详解】解：∵ ∵ ∴ ∴代数式的最小值是． 故答案为：． 20．（25-26九年级上·湖南郴州·阶段检测）把代数式通过配方等手段得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等方面都有广泛的应用． 如利用配方法，求的最小值． 解：，因为不论取何值，， 所以，所以当时，有最小值， 根据上述材料，解答下列问题： (1)用配方法求的最小值； (2)已知，，请比较A与B的大小； (3)已知，求代数式的最大值． 【答案】(1)的最小值为 (2) (3)当时，有最大值17 【分析】本题考查了配方法的应用，正确进行配方是解此题的关键． （1）利用配方法将所求式子配方得出，再结合，即可得解； （2）计算出，再利用配方法将所求式子配方，最后结合非负数的性质判断即可得解； （3）由得出，代入所求式子，再利用配方法将所求式子配方，最后结合非负数的性质判断即可得解． 【详解】（1）解： ， ∵， ∴， ∴的最小值为； （2）解：∵，， ∴ ， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴当时，有最大值． 21．（25-26九年级上·湖南益阳·阶段检测）试证明无论取何实数时，代数式的值一定是正数． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了配方法和非负数的性质（平方的非负性），熟练掌握配方法的技巧是解题的关键． 通过完成平方将代数式配方变形，利用平方的非负性证明其值恒为正． 【详解】证明： 又 对于所有实数， ， ， 因此，无论取何实数，代数式的值一定是正数． ◆题型8用公式法解一元二次方程 22．（24-25九年级上·湖南株洲·期末）在用求根公式求一元二次方程的根时，小慧同学正确地代入了，得到，则她求解的一元二次方程是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解和公式法求解一元二次方程，解题的关键是掌握求根公式中字母所表示的意义． 根据求根公式，可找出a，b，c的值，从而可求解． 【详解】解：∵小慧利用求根公式求出方程的解为， ∴， ∴该一元二次方程为， 故选：B． 23．利用公式法解得一元二次方程的两个根为，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元二次方程--公式法，能熟练运用公式法解答方程是解此题的关键． 利用公式法即可求解． 【详解】解：， ， ， ， 一元二次方程的两个根为，且， 的值为， 故选：D． 24．（25-26九年级上·湖南常德·期中）解方程 (1)(用配方法解) (2)(用公式法解) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握用配方法和用公式法解一元二次方程是解题的关键． （1）用配方法求解即可； （2）用公式法求解即可． 【详解】（1）解：配方得，， 即， 所以，， 所以，，； （2）解：，，， ， ， 解得：， ◆题型9 因式分解法解一元二次方程 25．（25-26九年级上·湖南株洲·期末）一元二次方程的解是_________． 【答案】， 【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解： ∴或 解得， 26．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）解方程：． 【答案】， 【详解】， ， 或， 解得：，． 27．（25-26九年级上·湖南娄底·期末）在解方程：时，小睿的解题过程如下： 解：两边同时约去，得．（第一步） 移项，合并同类项，得．（第二步） 两边同时除以2，得．（第三步） (1)小睿的解题方法是从第_____步开始出现错误的； (2)请你写出正确的解答过程． 【答案】(1)一 (2)， 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法、等式的基本性质、完全平方公式等知识点，灵活应用因式分解法解一元二次方程是解本题的关键． （1）根据等式的基本性质即可解答； （2）先移项、然后提取公因式,将原方程化为两个一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：当时，不能两边同时约去，小睿没有考虑这个情况 小睿的解题方法是从第一步开始出现错误的． 故答案为：一． （2）解：， 移项得：， 提取公因式得：， 或， ，． ◆题型10选择适当方法解一元二次方程 28．（25-26九年级上·湖南长沙·期末）用适当方法解下列方程． (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键； （1）利用配方法解方程即可； （2）利用因式分解法求出方程的解即可． 【详解】（1）解：， ，即， ， ，； （2）解：， ， 或， ，． 29．（25-26九年级上·湖南永州·阶段检测）选择适当方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查的是解一元二次方程，选择合适的方法解方程是关键． （1）运用公式法解方程即可； （2）运用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ，； （2）解： ， ， 或， ，． 30．（25-26九年级上·贵州黔东南·期末）选择适当的方法解下列方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． （1）直接利用十字相乘法进行因式分解，从而求得方程的解； （2）先移项，再提取公因式进行因式分解，从而求得方程的解． 【详解】（1）解：， ， 或， 即，． （2）解：， ， ， ， 或， 即，． 考点三 一元二次方程特殊解法 ◆题型11换元法解一元二次方程 31．（25-26八年级上·湖南岳阳·阶段检测）已知，且，则的值是________． 【答案】2或3 【分析】本题考查了利用换元法和因式分解法解一元二次方程．将已知等式两边同除以进行变形，再利用换元法和因式分解法解一元二次方程即可得． 【详解】解：， 将两边同除以得：， 令， 则， 因式分解得：， 解得或， 即的值是2或3， 故答案为：2或3． 32．若关于x的一元二次方程的一个根是，则一元二次方程必有一根为（    ）． A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 【答案】A 【分析】对一元二次方程变形，设得到，利用的一个根是可得，从而求出x即可． 【详解】解：对于一元二次方程即， 设，则可得， 而关于x的一元二次方程的一个根是， 所以有一个根为， 所以， 解得， 所以一元二次方程必有一根为． 33．（25-26九年级上·湖南长沙·期末）解方程：． 【答案】，，， 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，由题意可得，从而得出或，再分别求解即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 解可得，， 解可得，， ∴原方程的解为，，，． ◆题型12可化为一元二次方程的分式方程 34．解方程，如果设，那么得到关于的整式方程是______． 【答案】 【分析】将代入原方程，把原方程转化为含的分式方程，再去分母整理即可得到关于的整式方程． 【详解】解：设，则，， 原方程可化为， 两边同时乘以得， 整理得， 得到关于的整式方程是． 35．（24-25八年级下·上海·阶段检测）解方程：． 【答案】 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 经检验，是原方程的增根，舍去， ∴原方程的解为． 36．（25-26八年级上·贵州铜仁·阶段检测）阅读材料，解答问题 解方程：． 解：设，则原方程化为：，方程两边同时乘得：， 解得：， 经检验：都是方程的解， ∴当时，，解得：， 当时，，解得：， 经检验：或都是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为或． 上述这种解分式方程的方法称为换元法． 【解决问题】 (1)若方程，设，则原方程可化为____________． (2)模仿上述换元法解方程： (3)已知满足方程，结合换元法的思路，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3)14或 【分析】本题考查换元法解一元二次方程，换元法解分式方程，公式法因式分解，将原式进行正确的换元是解题的关键． （1）设则原方程化为即可． （2）设，则原方程化为，解方程检验即可； （3），从而得到关于a的一元二次方程，解方程并代入求值即可． 【详解】（1）解：若方程，设，则原方程可化为， 故答案为：； （2），设， 则原方程可化为， 方程两边同时乘得：， 解得：， 经检验：都是方程的解， ∴当时，，解得：， 当时，，解得：， 经检验：或都是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为或． （3）设， 则原方程为， ， ， ， 当时，， 当时， 综合攻坚·知能拔高 37．（2025·山东烟台·一模）若是关于的方程的一个根，则关于的方程必有一个根为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2027 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解，由关于x的一元二次方程有一个根为，可得出关于的一元二次方程有一个根为，解之可得出x的值，此题得解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有一个根为， ∴关于的一元二次方程即有一个根为， 即， 解得：， 故选：A． 38．关于x的方程，下列解法完全正确的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的解法，需要判断每种解法的正确性；甲解法漏解，乙解法计算判别式时c值错误，丙解法配方错误，丁解法正确使用因式分解法. 【详解】解：∵ 方程 可移项得 ， ∴ 因式分解得 ， ∴ 或 ， ∴ , ； 甲解法两边除以 可能漏解 ，错误； 乙解法整理后方程应为 （即 )，但误认为 ，导致判别式的值错误； 丙解法配方应为 即 ，但误写为 ，导致根错误； 丁解法正确. 故选：D 39．（25-26九年级上·湖南怀化·阶段检测）已知m是方程的一个根，则值为______． 【答案】40 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根，利用一元二次方程根的定义，得出，然后将代数式变形后代入求值即可． 【详解】解：m是方程的一个根， ∴，即， 则， 故答案为：40 40．（24-25九年级下·湖南怀化·阶段检测）若，且是方程的根，则_________ 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解．将代入方程，得到关于m和n的等式，化简后讨论n的取值情况，最终确定的值． 【详解】解：∵n是方程的根， ∴将代入方程，得， 即， ∴或， ∵， ∴时，即； 综上所述，． 故答案为：1． 41．（25-26九年级上·湖南怀化·阶段检测）在实数范围内定义一种新运算：，如果，则x的值是______． 【答案】或 【分析】本题主要考查了新定义，解一元二次方程，根据新定义可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 解得或， 故答案为：或． 42．（25-26九年级上·湖南常德·阶段检测）代数式的最大值______． 【答案】 【分析】本题考查了配方法的应用，对原式进行配方，再根据非负数的性质即可求解，掌握配方法是解题的关键． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴代数式的最大值为， 故答案为：． 43．（25-26九年级上·北京·阶段检测）对于实数，用符号表示，两数中较小的数，例，若，则_____． 【答案】或 【分析】本题考查了新定义运算及一元二次方程的解法，关键是明确题目意思，掌握一元二次方程的解法．由题意知，当时，，计算求出满足要求的解即可；当时，，计算求出满足要求的解即可． 【详解】解：由题意知，当时，， 解得，或， ∵时，， ∴，不符合要求，舍去； ∵时，， ∴符合要求； 当时，， 解得，或， ∵时，， ∴符合要求； ∵时，， ∴，不符合要求，舍去； 综上所述， 或， 故答案为：或2． 44．若，其中为实数且，，则____________． 【答案】 【分析】先对第二个方程变形，整理得到关于的一元二次方程，该方程与已知关于的方程形式相同，结合条件可知和是该一元二次方程的两个不同根，计算可得两者的和． 【详解】解：已知，，且，． 由可得，若，等式左边为，不成立． 将两边同时除以， 得：， 移项整理得：， 因此和都是一元二次方程的根． 对因式分解， 得， 解得方程的两个根为，． ∵，因此和为方程两个不同的根． ． 45．（25-26九年级上·湖南邵阳·期中）新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”，如与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么_____． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据“同族二次方程”的定义，两个方程具有相同的和，因此将第二个方程化为与第一个方程相同的形式，通过比较系数求解和的值即可． 【详解】解：由第一个方程得，． 第二个方程应等价于． 展开右边：． 比较系数：一次项系数：，常数项：． 由常数项得，代入一次项系数得，解得． 因此． 故答案为：． 46．（25-26九年级上·湖南株洲·期末）已知a为方程的一个根，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，一元二次方程解的定义，灵活运用所学知识是解题的关键． 先根据一元二次方程解的定义得到，再把所求式子化简为，由此求解即可． 【详解】解：是方程的一个根， ， ， ． 47．（25-26九年级上·湖南·期末）解方程 (1)（配方法） (2)．（分解因式） 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查用配方法和因式分解法解一元二次方程； （1）利用配方法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解： 移项得，， 配方得，，即， ∴， ∴， ． （2）解：． ， ． ， ∴或， ∴，． 48．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）我们把形如（a，b不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”． 例如：为“十字分式方程”，可化为，，． 再如：为“十字分式方程”，可化为， ， 应用上面的结论解答下列问题： (1)若为“十字分式方程”，则________，________； (2)若“十字分式方程”的两个解分别为，，求代数式的值； (3)若关于x的“十字分式方程”的两个解分别为，，其中，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查解分式方程、分式的化简求值，正确理解“十字分式方程”的定义是解题的关键． （1）根据“十字分式方程”的定义进行求解即可； （2）根据题意得，，，通过提公因式和完全平方公式进行化简计算即可； （3）关于x的“十字分式方程”转换为关于的 “十字分式方程”，再进行化简求值即可． 【详解】（1）解：可化为， 则， 故答案为：，； （2）解：根据题意得，的两个解分别为，， 则，，， 代入数值计算得： ； （3）解：可化为， 设，则原方程可化为， 即 令的解为，， 由于，，可得，， 且，， ， 因此，． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $