专题02一元二次方程根的判别式与根与系数关系的应用（专项训练）数学新教材湘教版九年级上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程根的判别式与根与系数关系，通过分级题型构建“概念应用-综合迁移-应试突破”的系统化训练体系，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |根的判别式应用|6题（含新定义辨析）|基础判断与参数求解|从根的存在性判断到参数范围推导，强化逻辑推理| |根与系数关系应用|12题（含代数式求值与构造新方程）|韦达定理多维度应用|从根与系数关系到代数式转化与方程构造，提升运算能力| |综合应用|21题（含跨知识综合与实际应用）|判别式与韦达定理融合及新定义探究|从单一知识应用到综合问题解决与创新思维培养，发展应用意识|

专题02 一元二次方程根的判别式与根与系数关系的应用 常考题型·精准突破 考点一 一元二次方程根的判别式 题型1 不解方程判断方程根的情况 题型2 根据根的情况求字母的值 考点二 一元二次方程根与系数关系 题型3 利用根与系数求方程的根 题型4 利用根与系数求字母的值 题型5 利用根与系数求代数式的值 题型6 由根与系数的关系构造新方程 题型7 根的判别式与根与系数的综合问题 综合攻坚·知能拔高 题型8 单选题 题型9 填空题 题型10 解答题 常考题型·精准突破 考点一 一元二次方程根的判别式 ◆题型1 不解方程判断方程根的情况 1．关于x的一元二次方程根的情况，下列说法正确的是（   ） A．有两个相等的实数根 B．无实数根 C．无法确定 D．有两个不相等的实数根 2．关于x的一元二次方程的根的情况是（     ） A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．无法确定 3．（25-26九年级上·湖南株洲·期末）实数a，b定义新运算“*”如下：，例如，则方程的根的情况是________．（填序号） ①有两个不相等的实数根          ②有两个相等的实数根        ③没有实数根 ◆题型2 根据根的情况求字母的值 4．（25-26九年级上·湖南长沙·期末）若关于的方程有两个相等的实数根，则代数式的值为（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 5．已知一元二次方程有两个相等的实数根，则_________． 6．（25-26九年级上·湖南衡阳·期中）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是_____． 考点二 一元二次方程根与系数关系 ◆题型3 利用根与系数求方程的根 7．已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，其中，则（    ） A． B．2 C． D．3 8．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）若是一元二次方程的一个根，则另一个根为______． 9．（25-26九年级上·湖南长沙·期末）已知关于的一元二次方程有一个根是，则另外一个根是_____． ◆题型4 利用根与系数求字母的值 10．（25-26九年级上·湖南衡阳·期中）若、是一元二次方程的两个根，则的值是（   ） A． B．6 C． D． 11．如果一元二次方程的两个根互为相反数，那么______________ 12．已知一元二次方程的两根分别为m，n，则的值为______． ◆题型5 利用根与系数求代数式的值 13．（25-26九年级上·湖南岳阳·期末）已知是方程的实数根，则_____． 14．（25-26九年级上·湖南长沙·期末）已知关于x的一元二次方程的两根分别为、，则的值为________． 15．（25-26九年级上·湖南长沙·期末）已知：，是方程的两根，则________． ◆题型6 由根与系数的关系构造新方程 16．（24-25九年级上·湖南株洲·开学考试）甲、乙两个同学分别解一道一元二次方程，甲因把一次项系数看错了，而解得方程两根为和5，乙把常数项看错了，解得两根为和，则原方程是（    ） A． B． C． D． 17．阅读材料：材料1：若关于x的一元二次方程的两个根为，，则，．材料2：已知一元二次方程 的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：一元二次方程 的两个实数根分别为m，n， ，，则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)材料理解：一元二次方程的两个根为，，则________，________． (2)类比应用：已知一元二次方程的两根分别为m、n，求的值． (3)思维拓展：已知实数s、t满足，，且 ，求的值． 18．（25-26九年级上·湖南湘潭·期末）阅读材料并解答相关问题． 材料1：规定：如果实数a，b，c满足，那么称一元二次方程为“和差”二次方程． 材料2：韦达定理：若一元二次方程的两根分别为，则 (1)【概念辨析】问题1：下列方程是“和差”二次方程的有__________（填写序号） ①；②；③；④． (2)【特例感知】①问题2：分别求出“问题1”中所有“和差”二次方程的根． ②问题3：若“和差”二次方程的一个根5，求这个方程的另一个根． (3)【结论归纳】问题4：设m，n是“和差”二次方程的两个根，请写出你发现的关于两根m，n的结论，并说明理由． ◆题型7 根的判别式与根与系数的综合问题 19．已知一元二次方程． (1)若方程有两个实数根，求m的范围； (2)若方程的两个实数根为a，b，且，求m的值． 20．（24-25九年级上·全国·期末）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； (2)当取满足（1）中条件的最小整数时，设方程的两根为和，求代数式的值． 21．（25-26八年级下·湖南长沙·阶段检测）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何实数，这个方程总有实数根； (2)已知，是该方程的两个实数根，且，求m的值． 综合攻坚·知能拔高 22．若，是方程的两个根，则的值是（   ） A． B． C． D． 23．关于的一元二次方程有两个不相等的同号实数根，则的取值范围是（  ） A．且 B． C．且 D． 24．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）关于的一元二次方程，有下列四个结论：①若是该方程的一个根，则一定有成立；②若，则方程有一根为；③若该方程的解为和，则方程的解是或；④当，，时，方程一定有实数根．其中，正确的有（     ） A．①②③④ B．②③④ C．②③ D．②④ 25．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）已知一元二次方程的两根为，，一元二次方程的两根为，，则值是（    ） A．1 B． C．5 D． 26．（25-26九年级上·湖南常德·期末）关于的一元二次方程的两实根满足，则__________． 27．（25-26九年级上·湖南娄底·期中）对于一元二次方程，下列说法：①若，则；②若方程，则没有实根；③若方程两根为，，则；④若是一元二次方程的根，则，其中正确的有______． 28．已知、是方程的两个实数根． (1)求的值； (2)求的值． 29．（24-25九年级上·湖南怀化·期末）一元二次方程的根分别满足以下条件，求出实数的对应范围． (1)两个根的平方和为12； (2)两个根均大于； (3)． 30．（25-26九年级上·湖南湘西·阶段检测）关于x的方程有两个不相等的实数根． (1)求k的取值范围； (2)若，求k的值． 31．已知，是一元二次方程的两实根. (1)如果，求的值； (2)如果等腰一边长为7，另两边为，，求的周长． 32．（24-25九年级上·福建南平·期末）已知关于x的一元二次方程有两个实数根和． (1)求实数的取值范围； (2)若两个实数根和满足，求k的整数值． 33．（25-26九年级上·湖南娄底·期中）（1）设k、t为常数，解关于x的方程； （2）在（1）的条件下，若（1）中的方程只有整数根，且关于y的一元二次方程有两个正整数根、，则t为何值时，有最小值？ 34．（25-26九年级上·湖南衡阳·阶段检测）已知平行四边形的两边长，是关于的一元二次方程的两个实数根． (1)若的长为，求的值； (2)当为何值时，平行四边形为菱形； (3)是否存在使得平行四边形为对角线长为的矩形？若存在，请求出的值以及矩形面积；若不存在，请说明理由． 35．（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）对于关于的代数式，若存在实数，使得当时，代数式的值等于，则称为这个代数式的“镜像值”．例如：对于代数式，当时，代数式的值等于；当时，代数式的值等于，我们就称和都是这个代数式的“镜像值”． (1)代数式的镜像值是________； (2)判断代数式是否有镜像值．若有，请求出此代数式的镜像值；若没有，则说明理由； (3)关于的代数式，若此代数式有两个镜像值，且两个镜像值的差为整数，求正整数的值． 36．（25-26九年级上·湖南永州·期中）阅读材料 材料1：（韦达定理）一元二次方程的两根，有如下的关系：，； 材料2：（同构思想）如果实数m、n满足、，且，则可将m、n看作是一元二次方程．两个不相等实数根．请根据材料解决下面问题： (1)若实数a，b满足：，，则______，______； (2)已知实数m、n满足，，且，求的值； (3)已知实数s、t分别满足，，且．求的值． 37．（25-26八年级下·湖南长沙·阶段检测）新定义：关于x的一元二次方程与互为“师梅方程”． (1)根据上述定义，判断以下三组方程是否互为“师梅方程”（在题后相应的括号中，是打“√”，不是打“×”）； ①与（     ） ②与（     ） ③与（     ） (2)若关于x的一元二次方程的两实数根． ①求a的值； ②记方程的“师梅方程”为方程，q是方程的一个实数根，求的值． (3)若关于x的一元二次方程与它的“师梅方程”有且只有一个公共实数根，求k的值． 38．（24-25九年级上·湖南衡阳·阶段检测）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻近根方程”，例如，一元二次方程的两个根是，，，则方程是“邻近根方程”． (1)判断方程是否是“邻近根方程”； (2)已知关于x的方程（m是常数）是“邻近根方程”，求的值； (3)若关于x的方程（a，b是常数，且）是“邻近根方程”，令，试求t的最大值． 39．（25-26九年级上·湖南郴州·期中）阅读材料： 法国数学家韦达在探究二次项系数为1的一元二次方程根的特征时发现，此时“根与系数的关系”可表述为：，，借此结论，小明进行了对“倍根方程”和“方根方程”根的特征探究．定义： ①倍根方程：如果关于x的一元二次方程有两个实数根（都不为0），且其中一个根等于另外一个根的3倍，则称这样的方程为“倍根方程”． ②方根方程：如果关于x的一元二次方程有两个实数根（都不为0），且其中一个根的平方等于另外一个根，则称这样的方程为“方根方程”． 根据上述材料，解答下列问题： (1)判断方程是______（填“①倍根方程”或“②方根方程”）． (2)若关于x的一元二次方程是“倍根方程”，求c的值． (3)若关于x的一元二次方程既是“倍根方程”又是“方根方程”，求的值． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元二次方程根的判别式与根与系数关系的应用 常考题型·精准突破 考点一 一元二次方程根的判别式 题型1 不解方程判断方程根的情况 题型2 根据根的情况求字母的值 考点二 一元二次方程根与系数关系 题型3 利用根与系数求方程的根 题型4 利用根与系数求字母的值 题型5 利用根与系数求代数式的值 题型6 由根与系数的关系构造新方程 题型7 根的判别式与根与系数的综合问题 综合攻坚·知能拔高 题型8 单选题 题型9 填空题 题型10 解答题 常考题型·精准突破 考点一 一元二次方程根的判别式 ◆题型1 不解方程判断方程根的情况 1．关于x的一元二次方程根的情况，下列说法正确的是（   ） A．有两个相等的实数根 B．无实数根 C．无法确定 D．有两个不相等的实数根 【答案】D 【详解】解：对于一元二次方程 ，可得 ，， ∵ 又∵ 无论取何值，都有 ∴ ∴ 方程有两个不相等的实数根． 2．关于x的一元二次方程的根的情况是（     ） A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．无法确定 【答案】B 【详解】解：∵， 移项整理得，其中 , , ∴， ∴方程有两个不相等的实数根. 3．（25-26九年级上·湖南株洲·期末）实数a，b定义新运算“*”如下：，例如，则方程的根的情况是________．（填序号） ①有两个不相等的实数根          ②有两个相等的实数根        ③没有实数根 【答案】③ 【分析】根据题意列出一元二次方程，根据根的判别式进行判断即可． 【详解】解：由题意可得，， 即， ∵， ∴方程的根的情况是没有实数根． ◆题型2 根据根的情况求字母的值 4．（25-26九年级上·湖南长沙·期末）若关于的方程有两个相等的实数根，则代数式的值为（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，利用方程有两个相等实数根得到的关系式，再整体代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴根的判别式， 整理得， 两边同除以得， ∴． 5．已知一元二次方程有两个相等的实数根，则_________． 【答案】 【分析】当时，方程有两个相等的实数根，据此列方程求解即可． 【详解】解：一元二次方程有两个相等的实数根， ， 整理得， 解得． 6．（25-26九年级上·湖南衡阳·期中）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是_____． 【答案】且 【分析】根据一元二次方程的定义，二次项系数不为，再结合一元二次方程有实数根时根的判别式大于等于，列不等式求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴，且， 解得：且． 考点二 一元二次方程根与系数关系 ◆题型3 利用根与系数求方程的根 7．已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，其中，则（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【详解】解：∵一元二次方程中，二次项系数，一次项系数，，是方程的两个实数根， ∴根据一元二次方程根与系数的关系得， ∵， ∴， 解得． 8．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）若是一元二次方程的一个根，则另一个根为______． 【答案】 【分析】已知一元二次方程的一个根，利用根与系数的关系中两根乘积等于6，即可求出另一个根． 【详解】解：设方程的另一个根为，对于一元二次方程，根据根与系数的关系可得两根乘积为， ∵ 其中一个根为， ∴ ，解得 ，即另一个根为． 9．（25-26九年级上·湖南长沙·期末）已知关于的一元二次方程有一个根是，则另外一个根是_____． 【答案】2 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． 利用一元二次方程根与系数的关系，根据已知根求另一个根即可． 【详解】解：设的两个实数根为，，其中， ∴，即， 解得：， 故答案为：． ◆题型4 利用根与系数求字母的值 10．（25-26九年级上·湖南衡阳·期中）若、是一元二次方程的两个根，则的值是（   ） A． B．6 C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到，由此代入计算即可． 【详解】解：若、是一元二次方程的两个根， ∴， ∴， 故选：B ． 11．如果一元二次方程的两个根互为相反数，那么______________ 【答案】 【分析】利用相反数的性质得到两根之和为0，结合一元二次方程根与系数的关系列式求解即可． 【详解】解：设一元二次方程的两根为，， ∵两根互为相反数， ∴， 该方程中，，根据根与系数的关系可得， 因此得， 解得． 当时，，方程有两个实数根， ∴． 12．已知一元二次方程的两根分别为m，n，则的值为______． 【答案】 【详解】解：∵一元二次方程的两根分别为，， ∴． ◆题型5 利用根与系数求代数式的值 13．（25-26九年级上·湖南岳阳·期末）已知是方程的实数根，则_____． 【答案】1 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系．利用一元二次方程根与系数的关系即可求解． 【详解】解：由题可知， ∴， 故答案为：1． 14．（25-26九年级上·湖南长沙·期末）已知关于x的一元二次方程的两根分别为、，则的值为________． 【答案】 【分析】此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系．根据一元二次方程根与系数的关系可得，，将变形后代入数值计算即可． 【详解】解：关于的一元二次方程的两实数根分别为，， ，， ， 故答案为：． 15．（25-26九年级上·湖南长沙·期末）已知：，是方程的两根，则________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解决本题的关键是求解出的值． 利用根与系数的关系求出的值，并将用方程关系代入表达式求解即可． 【详解】解：∵m是方程的根， ∴，即． 代入得： ． 根据根与系数的关系，， ∴原式． 故答案为：． ◆题型6 由根与系数的关系构造新方程 16．（24-25九年级上·湖南株洲·开学考试）甲、乙两个同学分别解一道一元二次方程，甲因把一次项系数看错了，而解得方程两根为和5，乙把常数项看错了，解得两根为和，则原方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据得到的解，求出正确的一次项系数和常数项即可解答，熟练运用一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 【详解】解：根据题意得，， 令，则，， ∴关于x的一元二次方程是． 故选：D． 17．阅读材料：材料1：若关于x的一元二次方程的两个根为，，则，．材料2：已知一元二次方程 的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：一元二次方程 的两个实数根分别为m，n， ，，则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)材料理解：一元二次方程的两个根为，，则________，________． (2)类比应用：已知一元二次方程的两根分别为m、n，求的值． (3)思维拓展：已知实数s、t满足，，且 ，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）直接利用一元二次方程根与系数的关系求解即可； （2）利用一元二次方程根与系数的关系可求出，再根据，最后代入求值即可； （3）由题意可将、可以看作方程的两个根，即得出，从而可求出，即或，最后分类讨论分别代入求值即可． 【详解】（1）解：∵一元二次方程的两个根为， ． （2）解：∵一元二次方程的两个根分别为， ， ． （3）解：∵实数满足， ∴可以看作方程的两个根， ， ， 或， 当时，， 当时，， 综上可知，的值为或． 18．（25-26九年级上·湖南湘潭·期末）阅读材料并解答相关问题． 材料1：规定：如果实数a，b，c满足，那么称一元二次方程为“和差”二次方程． 材料2：韦达定理：若一元二次方程的两根分别为，则 (1)【概念辨析】问题1：下列方程是“和差”二次方程的有__________（填写序号） ①；②；③；④． (2)【特例感知】①问题2：分别求出“问题1”中所有“和差”二次方程的根． ②问题3：若“和差”二次方程的一个根5，求这个方程的另一个根． (3)【结论归纳】问题4：设m，n是“和差”二次方程的两个根，请写出你发现的关于两根m，n的结论，并说明理由． 【答案】(1)②③ (2)①方程②的根为，  ；方程③的根为 ；② (3) 或， 理由： 是“和差”二次方程的两个根， ， 又， ， ， ， ， 或， 或． 【分析】本题考查了一元二次方程的新定义，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，理解“和差”二次方程的定义是解此题的关键． （1）根据“和差”的二次方程的定义判断即可； （2）①利用公式法和因式分解法求解即可； ②设方程的另一根是，利用韦达定理求解即可； （3）根据韦达定理以及“和差”的二次方程的定义列式计算即可求解． 【详解】（1）解：①中，不是“和差”的二次方程； ②中，是“和差”的二次方程； ③中，是“和差”的二次方程； ④中，不是“和差”的二次方程； 故答案为：②③； （2）解：①解方程， ， ， ， ； 解方程， ， ； ②设方程的另一根是， 由韦达定理可得，． ， ， 即， 解得：； （3）略 ◆题型7 根的判别式与根与系数的综合问题 19．已知一元二次方程． (1)若方程有两个实数根，求m的范围； (2)若方程的两个实数根为a，b，且，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式和根与系数的关系、一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系是解答的关键． （1）根据一元二次方程根的判别式，由列不等式求解即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得到，结合已知求得b值，再将b值代入方程中求解即可． 【详解】（1）解：∵方程有两个实数根， ∴， 解得； （2）解：∵方程的两个实数根为a，b， ∴，又， ∴，解得， 将代入中，得， 解得． 20．（24-25九年级上·全国·期末）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； (2)当取满足（1）中条件的最小整数时，设方程的两根为和，求代数式的值． 【答案】(1)且 (2) 【分析】本题考查一元二次方程的定义、根的判别式以及根与系数的关系， （1）根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求得两个不等式的公共部分即可； （2）确定，方程变为，利用根与系数的关系得到，，利用一元二次方程的定义得到，，则，，然后利用整体代入法计算的值； 解题的关键是掌握：①一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，；②式子是一元二次方程根的判别式，方程有两个不等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程无实数根． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴且， 解得：且， ∴的取值范围是且； （2）∵取满足（1）中条件的最小整数， ∴， 此时方程变为， ∴，，， ∴，， ∴， ∴ ， ∴代数式的值为． 21．（25-26八年级下·湖南长沙·阶段检测）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何实数，这个方程总有实数根； (2)已知，是该方程的两个实数根，且，求m的值． 【答案】(1)证明：∵， ∴无论m取何实数，这个方程总有实数根． (2)或． 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式，证明，从而说明方程总有实数根； （2）根据一元二次方程根与系数的关系可得，，再将变形得：，最后建立关于m的方程，解方程即可求得m的值． 【详解】（1）略 （2）解：∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴或． 综合攻坚·知能拔高 22．若，是方程的两个根，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再将所求代数式因式分解，代入数值计算即可得到结果. 【详解】解：∵是方程的两个根， ∴由一元二次方程根与系数的关系可得： ，， 原式． 23．关于的一元二次方程有两个不相等的同号实数根，则的取值范围是（  ） A．且 B． C．且 D． 【答案】D 【分析】本题需要结合一元二次方程定义，二次根式有意义的条件，根的判别式和根同号的要求，列出不等式组求解即可． 【详解】解：原方程是关于的一元二次方程，且含二次根式， 且， 解得：且， 方程有两个不相等的实数根， 判别式， 解得：， 两个根同号，同号两数乘积为正，两根乘积为， ，即， 综上所述，可得：． 24．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）关于的一元二次方程，有下列四个结论：①若是该方程的一个根，则一定有成立；②若，则方程有一根为；③若该方程的解为和，则方程的解是或；④当，，时，方程一定有实数根．其中，正确的有（     ） A．①②③④ B．②③④ C．②③ D．②④ 【答案】D 【分析】根据根的判别式、一元二次方程的解，逐个验证结论，结合条件推导判别式的符号，最终确定正确选项． 【详解】解：① 将代入方程，得， 提取公因式得， 当时等式恒成立，不一定满足，故①错误； ② 将代入方程，得，由条件，可得， 因此是方程的根，故②正确； ③原方程的解为和，则原方程可写为， 展开得，即，， 代入新方程得：，， 整理得， 解得或，故③错误； ④ 由条件，，， 可得， 若，则， 可推出，与矛盾， 因此， 方程判别式， 因为，，所以， ，方程一定有实数根，故④正确. 综上，正确结论为②④． 25．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）已知一元二次方程的两根为，，一元二次方程的两根为，，则值是（    ） A．1 B． C．5 D． 【答案】D 【分析】先利用一元二次方程根与系数的关系，从第一个方程得到两根和与两根积，再对第二个方程利用根与系数的关系得到的表达式，代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为，， ∴根据根与系数的关系可得，， ∵一元二次方程的两根为，， ∴两根之积满足， ∴． 26．（25-26九年级上·湖南常德·期末）关于的一元二次方程的两实根满足，则__________． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，利用根与系数的关系表示两根和与积，代入给定条件得到关于m的方程，解方程并检验判别式确保实根． 【详解】解：关于的一元二次方程的两实根满足，． ∵， ∴， ∴， 解得或． 又∵原方程有实根， ∴判别式， 解得． ∴， 故答案为． 27．（25-26九年级上·湖南娄底·期中）对于一元二次方程，下列说法：①若，则；②若方程，则没有实根；③若方程两根为，，则；④若是一元二次方程的根，则，其中正确的有______． 【答案】①③④ 【分析】本题考查一元二次方程的解，一元二次方程的判别式与根的个数的关系，熟练掌握一元二次方程的判别式与根的个数的关系是解题的关键．对于每个说法，利用一元二次方程根的定义、判别式的性质以及根与系数的关系依次进行判断：说法①：将代入方程得求解即可；说法②：由题意可求得判别式，即可判断；说法③：根据根与系数的关系，，，可求得；说法④：将变形得，可求出． 【详解】解：说法①：若是方程的根，则代入方程得，即，故正确； 说法②：若，则判别式中，，且，故，方程有两个不相等的实根，因此说法错误； 说法③：设方程两根为、，根据根与系数的关系，，，则，故正确； 说法④：若是方程的根，则，变形得，两边平方得，故正确； 故答案为：①③④． 28．已知、是方程的两个实数根． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)65 (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式，解题的关键是掌握以上公式． （1）根据根与系数的关系求出，然后利用完全平方公式对原式进行整理，最后代数求值即可； （2）对分式进行整理，然后利用（1）的值求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得，， ∴， 将代入上式得， 原式； （2）解： 由（1）得． 29．（24-25九年级上·湖南怀化·期末）一元二次方程的根分别满足以下条件，求出实数的对应范围． (1)两个根的平方和为12； (2)两个根均大于； (3)． 【答案】(1)或2 (2) (3) 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，完全平方公式，一元二次方程的判别式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先得出，再代入，进行解方程，即可作答． （2）先得出，再结合一元二次方程两个根均大于2，则，即可作答． （3）先得出，再因为，解得：， ，解得，即可作答． 【详解】（1）解：∵一元二次方程的根的平方和为12， ∴， ∴， 解得或2， （2）解：∵一元二次方程， ∴ ∴方程总有两个不相等的实数根， ∵一元二次方程两个根均大于2， ∴且 即 而 且 解得： 综上 （3）解：， 则 解得： 整理得： ∴． 30．（25-26九年级上·湖南湘西·阶段检测）关于x的方程有两个不相等的实数根． (1)求k的取值范围； (2)若，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据所给一元二次方程有两个不相等的实数根，得出关于k的不等式，据此可解决问题． （2）利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． 【详解】（1）解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 整理，得， 解得． （2）解：是方程的两个根， 则，， ∵， ∴， 整理，得， 解得，（不满足，舍去）， 故． 31．已知，是一元二次方程的两实根. (1)如果，求的值； (2)如果等腰一边长为7，另两边为，，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． （2）根据根与系数的关系定理，得，，结合等腰三角形，三角形三边关系定理解答即可． 【详解】（1）解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∵是方程的两个实数根， ∴， 解得． ∵， ∴， ∴， 整理，得， 解得或（舍去）， 故的值为6． （2）解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∵等腰三角形的一边长为7， 当时， ∴，， ∴， 整理，得， 解得， 当时，， 此时三角形的三边长为7，7，3，三角形存在， 故三角形的周长为； 当时，， 此时三角形的三边长为7，7，15，三角形不存在； 同理，当时，三角形的周长为17； ∵等腰三角形的一边长为7， 当时， ∴， 解得， ∴， 此时三角形的三边长为7，3，3，三角形不存在； 综上所述，三角形周长为17． 32．（24-25九年级上·福建南平·期末）已知关于x的一元二次方程有两个实数根和． (1)求实数的取值范围； (2)若两个实数根和满足，求k的整数值． 【答案】(1) (2)整数k的值为或0 【分析】此题考查了一元二次方程根的求出求参数，根与系数的关系， （1）由一元二次方程的根的情况列得，由此求出k的取值范围； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得到，代入得到不等式，求解即可． 【详解】（1）解：，， 由已知得， 所以； （2）由根与系数得关系可知，， 因为， 所以， 解得， 由（1）知， 所以，， 所以，整数k的值为或0． 33．（25-26九年级上·湖南娄底·期中）（1）设k、t为常数，解关于x的方程； （2）在（1）的条件下，若（1）中的方程只有整数根，且关于y的一元二次方程有两个正整数根、，则t为何值时，有最小值？ 【答案】（1）当时，；当时，，；（2）t为18时，有最小值 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，灵活运用以上知识点是解题的关键． （1）根据题意分两种情况讨论，分别解方程即可； （2）首先得到，求出，然后由根与系数的关系得，，求出，2，12，，然后由（1）中的方程只有整数根，得到，求出，，进而求解即可． 【详解】解：（1）①当时，方程为， 解得； ②当时，方程可化为， 解得，； （2）∵关于y的一元二次方程有两个正整数根、， ∴， 解得， 由根与系数的关系得，， ∵是正整数， ∴是正整数， ∴，2，12，， ∵（1）中的方程只有整数根， ∴为整数或， ∴， ∴，， ∴或， ∴或， ∴时，； 时，． 故t为18时，有最小值． 34．（25-26九年级上·湖南衡阳·阶段检测）已知平行四边形的两边长，是关于的一元二次方程的两个实数根． (1)若的长为，求的值； (2)当为何值时，平行四边形为菱形； (3)是否存在使得平行四边形为对角线长为的矩形？若存在，请求出的值以及矩形面积；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，，矩形的面积为 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，菱形的判定与性质，矩形的判定与性质，熟练掌握根的判别式和菱形的判定与性质是解题的关键． （1）将代入原方程，即可求出的值； （2）根据菱形的性质可得出，即方程有两个相等的实数根，结合根的判别式，得出关于的一元二次方程，解方程即可得出的值； （3）根据平行四边形为对角线长为的矩形，则有，即，由根与系数关系得：，，将等式进行变形，可得关于的一元二次方程，解方程结合实际意义可确定的值，进而可求得矩形的面积． 【详解】（1）解：将代入方程得：， 解得； （2）解：菱形的邻边相等， ，即方程有两个相等的实数根， ， 即， ， ； （3）解：存在，理由如下： 设方程两根为，，则，， 由根与系数的关系得：，， 若平行四边形为对角线长为的矩形，则有， 即， ， ， 整理得：， 解得或， 当时，，不符合题意，舍去， ， 矩形的面积为． 35．（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）对于关于的代数式，若存在实数，使得当时，代数式的值等于，则称为这个代数式的“镜像值”．例如：对于代数式，当时，代数式的值等于；当时，代数式的值等于，我们就称和都是这个代数式的“镜像值”． (1)代数式的镜像值是________； (2)判断代数式是否有镜像值．若有，请求出此代数式的镜像值；若没有，则说明理由； (3)关于的代数式，若此代数式有两个镜像值，且两个镜像值的差为整数，求正整数的值． 【答案】(1)和 (2)代数式没有镜像值， 理由：设代数式的镜像值为， 根据定义得， 整理得， ， 计算根的判别式， 方程没有实数根， 代数式没有镜像值． (3)正整数的值为 【分析】（1）根据定义列一元二次方程求解即可得到镜像值； （2）根据定义列一元二次方程，通过判别式判断方程是否有实根，即可得到结论； （3）根据定义整理方程，推导出两个镜像值差的表达式，结合差为整数，a为正整数的条件求解即可． 【详解】（1）解：设代数式的镜像值为，根据定义得， 整理得， 解得， 即代数式的镜像值是和． （2）略 （3）解：设代数式的镜像值为， 根据定义得， 整理得， 为正整数，代数式有两个镜像值， ，方程是一元二次方程，且， 方程的两个根为， 则两个根差的绝对值为， 两个镜像值的差为整数，是正整数， 是正整数， 为正整数， ， 即， 满足条件的整数平方只有，即， 得，符合要求 正整数的值为． 36．（25-26九年级上·湖南永州·期中）阅读材料 材料1：（韦达定理）一元二次方程的两根，有如下的关系：，； 材料2：（同构思想）如果实数m、n满足、，且，则可将m、n看作是一元二次方程．两个不相等实数根．请根据材料解决下面问题： (1)若实数a，b满足：，，则______，______； (2)已知实数m、n满足，，且，求的值； (3)已知实数s、t分别满足，，且．求的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键． （1）将、看作是一元二次方程两个不相等的实数根，进而求解； （2）对条件变形可推出、是方程的两个不相等的实数根，进而求解； （3）对条件变形可推出和可看作方程的两个不相等的实数根，进而求解． 【详解】（1）解：由材料知，可将、看作是一元二次方程两个不相等的实数根， ∴，； 故答案为：，； （2）解：∵，，且， ∴、可看作方程的两个不相等的实数根， ∴，， ∴； （3）解：将两边同时除以， 变形为， ∴实数和可看作方程的两个不相等的实数根， ∴，， ∴． 37．（25-26八年级下·湖南长沙·阶段检测）新定义：关于x的一元二次方程与互为“师梅方程”． (1)根据上述定义，判断以下三组方程是否互为“师梅方程”（在题后相应的括号中，是打“√”，不是打“×”）； ①与（     ） ②与（     ） ③与（     ） (2)若关于x的一元二次方程的两实数根． ①求a的值； ②记方程的“师梅方程”为方程，q是方程的一个实数根，求的值． (3)若关于x的一元二次方程与它的“师梅方程”有且只有一个公共实数根，求k的值． 【答案】(1)①√；②×；③√ (2)①；②0 (3) 【分析】（1）由“师梅方程”的定义，逐一判断即可； （2）①根据题意可知该一元二次方程有两个相等实数根，结合根的判别式可知，从而求出a的值，注意一元二次方程二次项系数，要舍去的情况；②将方程的“师梅方程”，即方程 变形为：，由此可知当方程的时，方程的，且方程与的根互为相反数，从而求得； （3）先将方程化简为，写出其“师梅方程”为：，设两个方程的公共根为，将公共根代入两个方程并相减，可得，随后分析和 两种情况，最后求出k的值． 【详解】（1）解：①两组方程二次项系数均为1，一次项系数为2和，常数项均为0，符合定义，标记为√； ②两组方程常数项分别为4和，不相等，不符合定义，标记为×； ③两组方程二次项系数均为1，一次项系数为3和，常数项均为，符合定义，标记为√． （2）解：①∵关于x的一元二次方程有两个相等实数根， ∴ ， 解得或， ∵一元二次方程二次项系数， ∴， ∴； ②∵，方程的“师梅方程”为方程， ∴，即， ∴当方程的时， 师梅方程的， 且方程与的根互为相反数， ∴． （3）解：∵， ∴该方程化为：， 该方程的“师梅方程”为：， 设两个方程的公共根为， 则有及， 两式相减得：， ∴或． 若， 则两个方程均为， 此时两个方程有两个公共根，不符题意， 故； 若，将其代入方程中， 解得：， 经验证，符合题意， ∴． 38．（24-25九年级上·湖南衡阳·阶段检测）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻近根方程”，例如，一元二次方程的两个根是，，，则方程是“邻近根方程”． (1)判断方程是否是“邻近根方程”； (2)已知关于x的方程（m是常数）是“邻近根方程”，求的值； (3)若关于x的方程（a，b是常数，且）是“邻近根方程”，令，试求t的最大值． 【答案】(1)方程是“邻近根方程”，理由见详解 (2)0或 (3)t的最大值为 【分析】（1）根据解一元二次方程的方法求出已知方程的两个根，再计算两根的差是否为1，从而确定方程是否为“邻近根方程”； （2）先解方程求得其根，再根据新定义列出关于m的方程，注意有两种情况； （3）根据新定义得方程得大根与小根的差为1，列出a与b的关系式，再由，得t与a的关系，化简即可． 【详解】（1）解：方程是“邻近根方程”， 理由：在方程中， ， ∴，， ∴， ∴方程是“邻近根方程”． （2）解：， ， ，， ，， ∵关于x的方程（m是常数）是“邻近根方程”， ，即， ∴， 解得：或． （3）解：∵关于x的方程（a，b是常数，且）是“邻近根方程”，设两个根为、， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当时，， 即t的最大值为． 【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解“邻近根方程”的定义． 39．（25-26九年级上·湖南郴州·期中）阅读材料： 法国数学家韦达在探究二次项系数为1的一元二次方程根的特征时发现，此时“根与系数的关系”可表述为：，，借此结论，小明进行了对“倍根方程”和“方根方程”根的特征探究．定义： ①倍根方程：如果关于x的一元二次方程有两个实数根（都不为0），且其中一个根等于另外一个根的3倍，则称这样的方程为“倍根方程”． ②方根方程：如果关于x的一元二次方程有两个实数根（都不为0），且其中一个根的平方等于另外一个根，则称这样的方程为“方根方程”． 根据上述材料，解答下列问题： (1)判断方程是______（填“①倍根方程”或“②方根方程”）． (2)若关于x的一元二次方程是“倍根方程”，求c的值． (3)若关于x的一元二次方程既是“倍根方程”又是“方根方程”，求的值． 【答案】(1)①倍根方程 (2) (3)3或 【分析】本题考查了一元二次方程的根的求解、根与系数的关系（韦达定理）以及“倍根方程”“方根方程”的新定义应用，解题的关键是紧扣新定义，结合韦达定理建立方程，同时注意根不为0的限制条件． （1） 求解方程 的两个根，验证其中一个根是否为另一个根的3倍，以此判断方程类型； （2） 设倍根方程的两根为 ，根据韦达定理 求出两根的值，再代入 计算 ； （3） 由方程既是倍根方程又是方根方程，得到两组等量关系 且 、 且 ，分别代入求解非零根，再根据韦达定理求出 、 的值，最后计算 【详解】（1）解：解方程 因式分解得 ， ∴ ，． ∵ ，且两根均不为0， ∴ 方程是①倍根方程． （2）解：∵ 方程 是倍根方程 ∴ 设两根为 （） 由韦达定理得 ， ∴ ，解得 ，． 又∵ ， ∴ ． （3）解：∵ 方程 既是倍根方程又是方根方程， ∴ 有两种情况． 情况1：且 （）， 代入得 ，解得 ，则 ． 由韦达定理：，， ∴ ，． ∴ ． 情况2： 且 （）， 代入得 ，即 ，解得 ，则 ． 由韦达定理：，． ∴ ． 综上，的值为或． 答：的值为或． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $