第2章一元二次方程（单元培优卷）数学新教材苏科版九年级上册

**基本信息** 九年级上第二章一元二次方程单元卷，覆盖2.1-2.4核心知识，基础题巩固概念与运算，综合题融合《九章算术》文化及数字传播、围栏设计等现实情境，适配单元复习，培养抽象能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|定义、解法、判别式、根与系数关系|第8题引用《九章算术》古题，渗透文化传承| |填空题|8/24|参数取值、方程根、配方、实际应用|第14题奶茶销售利润问题，强化应用意识| |解答题|11/72|解方程、综合证明、几何与方程结合|第19题数字传播游戏建模，第27题梯形动态问题，发展空间观念与运算能力|

2026-2027学年九年级上学期单元测试卷 第二章 一元二次方程 数学·全解全析 （考试时间：90分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：第二章 一元二次方程（2.1-2.4）。 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列各式中，属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．是不等式，不是方程，故A不符合要求． B．分母含有未知数，是分式方程，不是整式方程，故B不符合要求． C．整理后为，未知数最高次数为2，是一元二次方程，故C符合要求． D．含有两个未知数，是二元一次方程，故D不符合要求． 2．方程的根为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵ ， ∴， ∴． 3．将一元二次方程化为一般形式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵原方程为 ， 先去括号，可得 ， 将所有项移到等号左侧，移项变号得 ， 合并同类项得 ． 4．若关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有实数根，则实数m的取值范围为（　　） A．m＜1 B．m≤1 C．m＞1 D．m≥1 【答案】B 【解答】解：根据题意得Δ＝22﹣4m≥0， 解得m≤1， 故选：B． 5．一元二次方程x2﹣2x+1＝0的两根为x1、x2，则x1+x2的值是（　　） A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1 【答案】A 【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x+1＝0的两根为x1、x2， ∴x1+x2＝2， 故选：A． 6．将代数式配方后，发现它的最小值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】A 【详解】解：∵ ， 又∵ 对任意实数都有， ∴ 当 时，代数式取得最小值，最小值为． 7．如图，小红想用长为60m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）．当羊圈的面积为600m2时，AB的长为多少米？设矩形ABCD的边AB＝xm，根据题意所列的方程是（　　） A．x（62﹣2x）＝600 B．x（60﹣2x）＝600 C．x（58﹣2x）＝600 D．x（60﹣x）＝600 【答案】A 【解答】解：由题意得，BC＝60+2﹣2x＝（62﹣2x）m， 根据羊圈的面积为600m2，得x（62﹣2x）＝600， 故选：A． 8．《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率五，乙行率二．乙东行，甲南行八步而斜东北与乙会．问甲乙行各几何．”大意是说：甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为5，乙的速度为2．乙一直往东走，甲先向南走8步（步是古代的长度单位），后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲乙各走了多少步？设甲乙二人从出发到相遇所用的时间是x，下列方程正确的（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设相遇时间为x，则乙向东行步，甲向南行步后斜向东北行步与乙相遇． ∵ 甲向南行步（直角边），乙向东行步（直角边），甲斜向行步（斜边）， ∴ 由勾股定理，得． 故选：A． 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 9．若方程是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是________． 【答案】 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 故答案为：． 10．方程的根是__________． 【答案】， 【详解】解：∵， ∴或， 解得，． 11．将一元二次方程化为一般式为______． 【答案】 【详解】解： ， ， 移项，得 ． 12．已知﹣1是方程x2+bx﹣3＝0的一个根，则b＝　 　 ，另一个根是　 　 ． 【答案】﹣2，3． 【解答】解：由题知， 因为﹣1是方程x2+bx﹣3＝0的一个根， 所以（﹣1）2﹣b﹣3＝0， 解得b＝﹣2． 因为方程x2+bx﹣3＝0的两根之积为﹣3，且一个根为﹣1， 所以方程的另一个根为3． 故答案为：﹣2，3． 13．将方程化成（为常数）的形式，则___________． 【答案】1 【详解】解：原方程为， 移项得， 配方，给方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 即 ，整理为 的形式得， ，， 则， 因此． 14．某奶茶店销售一款招牌奶茶，每杯成本为5元．当售价为15元/杯时，平均每天能售出300杯．市场调查发现，售价每降价1元，平均每天就能多售出50杯．店主希望扩大销量，提高知名度，且使每天的销售利润仍保持在3000元，则每杯奶茶应降价____________元． 【答案】 【详解】解：设每杯奶茶应降价元， 由题意得：， 解得，； ∵店主希望扩大销量，降价越多销量越高， ∴舍去，取， 答：每杯奶茶应降价元. 15．如果关于的一元二次方程没有实数根，那么的最小整数是________． 【答案】3 【详解】解：∵关于的一元二次方程没有实数根， ∴， 化简得， 解得， ∴的最小整数值为． 16．关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2﹣k＝0的两个实数根分别是x1、x2，且，则k的值是　 　 ． 【答案】1． 【解答】解：由根与系数的关系得x1+x2＝2k，， ∵， ∴， ∴（2k）2﹣2（k2﹣k）＝4， 整理可得k2+k﹣2＝0， 解得k＝﹣2或k＝1， ∵一元二次方程有两个实数根， ∴根的判别式Δ＝（﹣2k）2﹣4×1×（k2﹣k）＝4k≥0， ∴k≥0， ∴k＝1． 故答案为：1． 三、解答题（本大题共11小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分）解方程：3（x﹣1）2＝x（x﹣1） 【答案】 【解答】解：3（x﹣1）2﹣x（x﹣1）＝0 （x﹣1）[3（x﹣1）﹣x]＝0 （x﹣1）（2x﹣3）＝0 x﹣1＝0或2x﹣3＝0 18．（6分）已知x1，x2是关于x的方程2x2+3x﹣1＝0的两个根，求下列各式的值． （1）； （2）． 【答案】（1）3；（2）． 【解答】解：由题知， 因为x1，x2是关于x的方程2x2+3x﹣1＝0的两个根， 所以． （1） ＝3； （2） ． 19．（6分）数学活动课上，同学们与智能体进行数字传播闯关游戏．智能体给出规则：游戏开始时有6名同学拥有通关密码，在每一轮传播中，每名拥有密码的同学都会传给相同数量的新同学，但每一轮传播结束后，都会随机有6名同学失去密码，不再参与下一轮传播．经过两轮完整传播后，场上共有114名同学持有通关密码．求每一轮传播中，1名同学传给多少名新同学． 【答案】4名 【详解】解：设每一轮传播中，1名同学传给x名新同学， 根据题意，得． 解得，（不合题意，舍去）． 答：每一轮传播中，1名同学传给4名新同学． 20．（6分）数学课上，老师在黑板上书写了两个整式；，． (1)比较的大小； (2)若，证明：不可能小于0． 【答案】(1)；(2)见解析 【详解】（1）解：， ∴ ， ∴； （2）证明：∵， ∴ ， ∵， ∴， 即， ∴不可能小于0． 21．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+2m＝0． （1）求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根； （2）若方程的一个根是1，求m的值及方程的另一个根． 【答案】（1）见解析；（2）m＝1；2 【解答】（1）证明：∵Δ＝（m+2）2﹣4×2m ＝（m﹣2）2≥0， ∴不论m为何值，该方程总有两个实数根； （2）解：设方程的另一个根为t， 根据根与系数的关系得1+t＝m+2①，1×t＝2m②， ②﹣①得﹣1＝m﹣2， 解得m＝1， 把m＝1代入②得t＝2， 所以m的值为1，方程的另一个根为2． 22．（6分）已知关于x的方程x2﹣（3k+1）x+2k2+2k＝0 （1）当k＝1时，请判断此方程根的情况． （2）求证：无论k取何实数值，方程总有实数根． （3）若等腰△ABC的一边长为a＝6，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求此三角形的周长． 【答案】（1）方程有两个相等的实数根；（2）见解析；（3）三角形的周长为16或22． 【解答】（1）解：∵Δ＝[﹣（3k+1）]2﹣4×1×（2k2+2k） ＝（k﹣1）2， 当k＝1时，Δ＝0，则方程有两个相等的实数根； （2）证明：Δ＝[﹣（3k+1）]2﹣4×1×（2k2+2k） ＝k2﹣2k+1 ＝（k﹣1）2， ∵（k﹣1）2≥0， ∴Δ≥0， 所以无论k取什么实数值，方程总有实数根； （3）解：原方程因式分解得：（x﹣2k）（x﹣k﹣1）＝0， 解得：x1＝2k，x2＝k+1， ∵b，c恰好是这个方程的两个实数根，设b＝2k，c＝k+1， 当a、b为腰，则a＝b＝6，而a+b＞c，a﹣b＜c，所以三角形的周长为：6+6+4＝16； 当b、c为腰，则k+1＝2k，解得k＝1， ∴b＝c＝2，这种情况不成立； 当a、c为腰k+1＝6则k＝5， ∴b＝10， ∴三角形的周长为：6+6+10＝22． 综上，三角形的周长为16或22． 23．（6分）在一元二次方程x2﹣2ax+b＝0中，若a2﹣b＞0，则称a是该方程的中点值． （1）方程x2﹣8x+3＝0的中点值是 　　 ． （2）已知x2﹣mx+n＝0的中点值是3，其中一个根是2，求mn的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵（）2﹣3＝13， ∴方程x2﹣8x+3＝0的中点值为4； 故答案为4； （2）∵3， ∴m＝6， 把x＝2代入x2﹣mx+n＝0得4﹣6×2+n＝0，解得n＝8， ∴mn＝6×8＝48． 24．（6分）已知关于x的方程x2﹣（3k+3）x+2k2+4k+2＝0 （1）求证：无论k为何值，原方程都有实数根； （2）若该方程的两实数根x1、x2为一菱形的两条对角线之长，且x1x2+2x1+2x2＝36，求k值及该菱形的面积． 【答案】（1）见解析；（2）9 【解答】（1）证明：根据题意得：Δ＝[﹣（3k+3）]2﹣4（2k2+4k+2）＝（k+1）2． ∵无论k为何值，总有（k+1）2≥0， ∴无论k为何值，原方程都有实数根； （2）∵关于x的方程x2﹣（3k+3）x+2k2+4k+2＝0的两实数根是x1、x2， ∴x1+x2＝3k+3，x1x2＝2k2+4k+2， ∴由x1x2+2x1+2x2＝36，得2k2+4k+2+2（3k+3）＝36， 整理，得（k+7）（k﹣2）＝0． 解得k1＝﹣7（舍去），k2＝2． ∴x1x22（k+1）2＝（2+1）2＝9． 即菱形的面积是9． 25．（7分）一辆汽车以30米/秒的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹车后汽车又滑行30米后停车． (1)则在这段时间内的平均车速为多少？从刹车到停车用了多长时间？ (2)从刹车到停车平均每秒车速减少多少？ (3)汽车滑行20米时用了多长时间？ 【答案】(1)15米/秒；2秒；(2)15米/秒；(3)秒 【详解】（1）解：根据题意，该辆汽车以30米/秒的速度行驶，从刹车到停车所滑行了30米， 则在这段时间内的平均车速为米/秒； 从刹车到停车所用的时间是秒； （2）从刹车到停车车速的减少值是， 从刹车到停车每秒平均车速减少值是米/秒； （3）设刹车后汽车滑行到20米时约用了秒，这时车速为米/秒， 则这段路程内的平均车速为米/秒， 所以， 整理，得， 解得，（不合题意，舍去）， 答：刹车后汽车行驶到20米时用了秒． 26．（8分）配方法是数学中重要的一种思想方法．常被用到代数式的变形中，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值．最小值等，例如：求代数式的最小值，解法如下： 解： ∵，∴．∴的最小值是3． 根据材料中的方法，解答下列问题： (1)若，求的值． (2)求代数式的最小值． (3)用配方法说明：不论x为何值；代数式的值总是正数． 【答案】(1)；(2)最小值为3；(3)见解析 【详解】（1）解： ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； （2）解： ∵ ∴ ∴的最小值为3； （3）解： ， ∵， ∴， ∴ ∴不论x为何值；代数式的值总是正数． 27．（9分）如图，在直角梯形中，，，，．点P从点A出发，以每秒的速度沿折线方向运动，点Q从点D出发，以每秒2cm的速度沿线段方向向点C运动．已知动点P、Q同时出发，当点P运动到点C时，P、Q运动停止，设运动时间为t． (1)求的长； (2)当四边形为平行四边形时，求四边形的周长； (3)在点P、点Q的运动过程中，是否存在某一时刻，使得的面积为？若存在，请求出所有满足条件的t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)16；(2)；(3)存在，满足条件的的值为秒或秒 【详解】（1）解：如图，过点作于， ∴， ∵， 四边形是平行四边形， ， 在中，， ∴根据勾股定理得，， ； （2）解：当四边形是平行四边形， 则点在上，点在上， 如图， 由运动知，，， ， ， 此时，，，根据勾股定理得，； 四边形的周长为； （3）解：①当点在线段上时，即：时， 如图， ； ②当点在线段上时，即：时， 如图， ， 或（舍）， 即：满足条件的的值为秒或秒． 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级上学期单元测试卷 第二章一元二次方程 数学 (考试时间：90分钟试卷满分：120分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.测试范围：第二章一元二次方程（2.1-2.4)。 第一部分（选择题共24分) 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题 目要求的) 1.下列各式中，属于一元二次方程的是() A.2+X≤4 B.3=1-2X C.3x2+1=4xD.5x-2y=1 2.方程x-22=0的根为（） A.X=0 B.X=±2 C.X1=X2=-2 D.X1=X2=2 3.将-元二次方程x-31x+5=23x-2化为一般形式是（） A.x2-3X+5=6x-4 B.x2-9x-11=0 c.x2-9x+11=0 D.x2-9x+9=0 4.若关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有实数根，则实数m的取值范围为(） A.<1 B.≤1 C.>1 D.m≥1 5.一元二次方程x2-2x+1=0的两根为x1、x2,则x1+x2的值是（) 1/5 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.2 B.-2 C.1 D.-1 6.将代数式x2-10x+5配方后，发现它的最小值为() A.-20 B.-10 c.-5 D.0 7.如图，小红想用长为60的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD,并在边 BC上留一个2宽的门（建在EF处，另用其他材料），当羊圈的面积为600时，AB的长为多少米？ 设矩形ABCD的边AB=xm,根据题意所列的方程是() A.x(62-2x)=600 B.x(60-2x)=600 C.x(58-2x)=600 D.x(60-x)=600 8.《九章算术》中有一题：“今有二人同所立.甲行率五，乙行率二.乙东行，甲南行八步而斜东北与 乙会，问甲乙行各几何.”大意是说：甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为5，乙的速度为2.乙 一直往东走，甲先向南走8步（步是古代的长度单位），后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇.那么 相遇时甲乙各走了多少步？设甲乙二人从出发到相遇所用的时间是x,下列方程正确的() A.2x+82=5x-82 B.2x+82=5x2 C.5x2+82=2x-82 D.2x=5x-82+8 第二部分（非选择题共96分) 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分) 9.若方程(a-1)X+2x+1=0是关于x的一元二次方程，则α的取值范围是 10.方程x-3=16的根是 11.将一元二次方程xx+2=1化为一般式为 12.己知-1是方程x+bx-3=0的一个根，则b=一，另一个根是 13.将方程X-2x-1=0化成x+a=ba,b为常数)的形式，则a+b26- 14.某奶茶店销售一款招牌奶茶，每杯成本为5元.当售价为15元/杯时，平均每天能售出300杯.市场 2/5 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 调查发现，售价每降价1元，平均每天就能多售出50杯.店主希望扩大销量，提高知名度，且使每天的销 售利润仍保持在3000元，则每杯奶茶应降价 元 15.如果关于x的一元二次方程X-2x+=0没有实数根，那么k的最小整数是 16.关于x的一元二次方程x-26+R-k=0的两个实数根分别是、，且X+X=4则k的值是一 三、解答题（本大题共11小题，满分72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.(6分)解方程：3(x-1)2=x(x-1) 18.(6分)己知x1,x2是关于x的方程2x2+3x-1=0的两个根，求下列各式的值. 1+1 (1) X1 X2 (2)X,口2+x2☐2. 19.(6分)数学活动课上，同学们与AI智能体进行数字传播闯关游戏.AI智能体给出规则：游戏开始时 有6名同学拥有通关密码，在每一轮传播中，每名拥有密码的同学都会传给相同数量的新同学，但每一轮 传播结束后，都会随机有6名同学失去密码，不再参与下一轮传播.经过两轮完整传播后，场上共有114 名同学持有通关密码.求每一轮传播中，1名同学传给多少名新同学. 20.(6分)数学课上，老师在黑板上书写了M,N两个整式：M=-2ad+4aN=-2a2-2a+2 (1)比较M,N的大小： (2)若P+2N=M-5,证明：P不可能小于0. 21.(6分)己知关于x的一元二次方程x2-(叶2)x+2m=0. (1)求证：不论为何值，该方程总有两个实数根： (2)若方程的一个根是1，求m的值及方程的另一个根. 22.(6分)已知关于x的方程x2-(3k+1)x+2k2+2k=0 (1)当k=1时，请判断此方程根的情况. (2)求证：无论k取何实数值，方程总有实数根 (3)若等腰△ABC的一边长为a=6,另两边长b,c恰好是这个方程的两个根，求此三角形的周长. 23.(6分)在一元二次方程x2-2+b=0中，若心-b>0,则称a是该方程的中点值、 (1)方程x2-8x+3=0的中点值是一· 3/5 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)己知x2-x+n=0的中点值是3，其中一个根是2，求m的值. 24.（6分)已知关于x的方程x2-(3k+3)x+2k2+4+2=0 (1)求证：无论k为何值，原方程都有实数根： (2)若该方程的两实数根x1、x2为一菱形的两条对角线之长，且x1x2+2x1+2x2=36,求k值及该菱形的 面积. 25.(7分)一辆汽车以30米/秒的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹车后汽车又滑行30米后 停车 (1)则在这段时间内的平均车速为多少？从刹车到停车用了多长时间？ (2)从刹车到停车平均每秒车速减少多少？ (3)汽车滑行20米时用了多长时间？ 26.(8分)配方法是数学中重要的一种思想方法.常被用到代数式的变形中，还能解决一些与非负数有 关的问题或求代数式最大值.最小值等，例如：求代数式2x2-4x+5的最小值，解法如下： 解：2X2.4x+5=2x2-2x+5=2x2-2x+1-1+5 =2x-12-2+5=2x-12+3 2x-1≥02x-1+3≥32X2.4x+5的最小值是3. 根据材料中的方法，解答下列问题： 1)若d.6a+9+b+1=0求。的值. (2)求代数式x-6x+12的最小值. (3)用配方法说明：不论x为何值；代数式3x2+6x+10的值总是正数. 27.(9分)如图，在直角梯形ABCD中，AB‖CD,∠BCD=90°，AB=AD=10cm,BC=8am. 点P从点A出发，以每秒3cm的速度沿折线ABC方向运动，点Q从点D出发，以每秒2cm的速度沿线段 DC方向向点C运动.已知动点P、Q同时出发，当点P运动到点C时，P、Q运动停止，设运动时间为 t. A 4/5 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求CD的长： (2)当四边形PBQD为平行四边形时，求四边形PBQD的周长： (3)在点P、点Q的运动过程中，是否存在某一时刻，使得△BPQ的面积为15cm2？若存在，请求出所有 满足条件的t的值；若不存在，请说明理由. 5/5