1.3 空间向量及其运算的坐标表示 学案-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第一章 空间向量与立体几何 第一章 空间向量与立体几何 §1.3 空间向量及其运算的坐标表示【导学】 导学目标 1.学会空间直角坐标系的建立方法，掌握空间向量的坐标表示．【难点】 2.会判断两向量平行或垂直.【重点】 3.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间的距离公式；【重点】 【知识要点】 空间直角坐标系 在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}，以O为原点，分别以i，j，k方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴，y轴，z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立空间直角坐标系，O叫做原点， i，j，k都叫做坐标向量. 对于空间任意一个向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xe1＋ye2＋ze3，则把x，y，z称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作（x，y，z）. 点A在空间直角坐标系中的坐标 A（x，y，z） x叫做A的横坐标，y叫做A的纵坐标，z叫做A的竖坐标. 向量=（x，y，z） 向量 若A（x1，y1，z1）、B（x2，y2，z2） 向量 空间向量的坐标运算 空间向量a，b，其坐标形式为a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3). 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 a＋b 减法 a－b 数乘 λa 数量积 a·b 空间向量的平行、 垂直及模、夹角 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 名称 满足条件 向量表示形式 坐标表示形式 a∥b a＝λb(λ∈R) a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R) a⊥b a·b＝0 模 |a|＝ 夹角 cos〈a，b〉＝ cos〈a，b〉= 【典型例题】 题型一　空间直角坐标系 【例1-1】已知PA垂直于矩形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点，并且PA＝2. AB＝1，AD＝2，建立适当坐标系，求向量，，的坐标． 【例1-2】 如图在边长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，取D点为原点建立空间直角坐标系，O，M分别是AC，DD1的中点，写出下列向量的坐标.＝________，＝________. 题型二　空间向量的坐标运算 【例2-1】（衔接教材P21L1）设a＝(-3，2，5)，b＝(1，5，-1) 求：（1）a＋b；（2）a－b；（3）a·b；（4）cos〈a，b〉 【例2-2】若向量a＝(3,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(-1,1,4)，且满足条件(c＋a)·(2b)＝4，则x＝________. 题型三　空间向量坐标运算的运用 【例3-1】设a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)． (1)若(ka＋b)∥(a－3b)，求k； (2)若(ka＋b)⊥(a－3b)，求k. 【例3-2】【多选】已知向量a＝(1,1,1),b＝(-1,0,2)，则下列正确的是（    ） A．a＋b=(0,1,3) B． C．a·b =2 D． 【例3-3】已知空间向量，，，若，则 ． 【例3-4】已知正三棱柱ABC－A1B1C1，底面边长AB＝2，AB1⊥BC1，点O，O1分别是棱AC，A1C1的中点.建立如图所示的空间直角坐标系. (1)求三棱柱的侧棱长； (2)求异面直线AB1与BC所成角的余弦值. 【例3-5】若△ABC的三个顶点坐标分别为A(1，－2,1)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)， 判断△ABC的形状. 学科网（北京）股份有限公司 $