1.2 空间向量基本定理 （导学案）数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦空间向量基本定理，涵盖基底、单位正交基底概念及应用。通过类比平面向量基本定理，从特殊两两垂直向量到任意不共面向量，引导学生自主归纳，搭建从共线、平面到空间向量定理的学习支架。 突出自主探究与逻辑推理，设置“研究”“探究”活动培养数学思维，对比三维定理规律发展数学眼光。结合几何体实例与期中期末真题，强化基底法解决长度、垂直等问题，提升数学语言表达能力，助力学生系统掌握空间向量知识。

1.2空间向量基本定理（导学案） 1. 通过类比平面向量基本定理，自主归纳空间向量基本定理，准确说出基底、基向量的定义，能判断向量组能否构成空间基底。 1. 区分普通基底与单位正交基底，理解向量正交分解的几何意义，能在长方体、四面体中完成向量正交拆分。 1. 会自主选取几何体基底，利用向量线性运算将线段、对角线向量表示为基向量线性组合。 1. 熟练借助基底+数量积，求解线段长度、证明线线垂直、计算异面直线夹角，规范书写解题步骤。 1. 对比共线定理、平面向量基本定理、空间向量基本定理，梳理一维、二维、三维向量分解规律。 重点：空间向量基本定理内容；基底、单位正交基底概念；基底表示空间向量；基底法解决立体几何计算与证明。 难点：理解定理中分解的唯一性；不规则几何体中合理选取基底；基底判定、基底结合数量积综合运算。 阅读教材，完成以下问题： 知识点一　空间向量基本定理 (1)定理 条件 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p 结论 存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc (2)基底与基向量 ①如果三个向量a，b，c不共面，那么所有空间向量组成的集合就是{p|p＝xa＋yb＋zc，x，y，z∈R}，这个集合可看作由向量a，b，c生成的，我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量． ②空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底． [想一想]　对于基底{a，b，c}，三个基向量a，b，c中能否有一个为0? 提示：因为0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，因此三个基向量均不为0. 知识点二　空间向量的正交分解 (1)单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示． (2)正交分解 把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 回顾：由平面向量基本定理可知：平面内的任意一个向量 a 都可以用两个不共线的向量e1，e2来表示. 思考：那么任意一个空间向量量能否用任意三个不共面的向量来表示吗？ 研究1：对于任意三个不共面的向量能否表示空间中任意向量，我们先从空间中三个不共面的向量两两垂直这一特殊情况开始讨论. 如图：设是空间中三个两两垂直的向量，对于任意一个空间向量, 能否用这三个向量来表示，如何表示? 师生：学生作图观察、独立思考后，交流发言，教师帮助小结. 根据向量的自由性，如图1.2-1，设，，是空间中三个两两垂直的向量，且表示它们的有向线段有公共起点．对于任意一个空间向量，设为在，所确定的平面上的投影向量，则．又向量，共线，因此存在唯一的实数，使得，从而，而在，所确定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对，使得，从而 因此，如果，，是空间三个两两垂直的向量，那么对任意一个空间向量，存在有序实数组，使得．我们称，，分别为向量在，，上的分向量． 思考：如果用任意三个不共面的向量，，代替两两垂直的向量，，你能得出类似结论吗? 师生:学生思考、分组交流，教师引导整理. 探究2：在空间中，如果用任意三个不共面的向量a，b，c代替两两垂直的向量i，j，k，用不共面向量a，b，c表示任一空间向量. 预设： 要求：请类比平面向量基本定理，写出空间向量基本定理. 学生：类比平面向量的基本定理，得出结论 预设： 平面向量的基本定理 空间向量的基本定理 如果 e1，e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2． 如果三个向量，，不共面，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得． 思考：请你结合以上内容的探究过程，给出空间向量基本定理的证明. 由此可知，如果三个向量，，不共面，那么所有空间向量组成的集合就是．这个集合可看作由向量，，生成的，我们把叫做空间的一个基底(base)，，，都叫做基向量(base vectors)．空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底． 特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用表示．由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量，均可以分解为三个向量，，，使．像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 探究：由向量共线定理、平面向量基本定理及空间向量基本定理的一致性和连贯性，我们对比共线定理、平面向量基本定理和空间向量基本定理共同完成下表. 分类 定理 向量共线定理 平面向量基本定理 空间向量基本定理 表述形式 基向量个数 1 2 3 基向量要求 ，不共线 ，，不共面 对于实数（对、组） 设计意图：通过填写表格，促进学生建立空间基本元素向量表示的知识体系.对于基底除向量，，不共面外，还应明确：空间中任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底， 一个基底指一个向量组.从正交基底到一般基底，再从一般基底到单位正交基底，是一个从特殊到一般再到特殊的过 程.一方面，学生已经具备了一定的数学抽象素养，对于“任意性”“唯一性”等数学逻辑用语已能够熟练使用；另一方面，还需要借助于相应的问题链，分解学生推理论证中的困难，引导学生达成对定理的深刻认识. 例1：如图1.2-2，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且，，用向量，，表示． 预设： 分析：，，是三个不共面的向量，它们构成空间的一个基底，可以用基底表示出来． 【解析】 ． 方法总结：用基底表示向量 (1)若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及数乘向量的运算律； (2)若没给定基底，首先选择基底，选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角是否已知或易求. 例2：如图1.2-3，在平行六面体中，，，，，，，，分别为，的中点． 求证： ． 分析：要证，只需证明．由已知，可构成空间的一个基底．把和分别用基底表示，然后计算即可． 证明：设，，这三个向量不共面， 构成空间的一个基底，我们用它们表示，，则 ， 所以 所以． 例3 如图1.2-4，正方体的棱长为1，分别为，，的中点． （1）求证：； （2）求与所成角的余弦值． 分析：（1）要证明，只需证明与共线．设，则构成空间的一个单位正交基底，把和分别用基向量表示，作相应的运算证明它们共线即可． （2）要求与所成角的余弦值，只需求所成角的余弦值即可． （1）证明：设，则构成空间的一个单位正交基底．所以 ， ． 所以．所以． （2）解：因为，， 所以 所以与所成角的余弦值为． 1.知识框架梳理 1. 空间向量基本定理：三不共面向量可唯一表示任意空间向量； 1. 基底与基向量：零向量、共面向量组不能作基底； 1. 单位正交基底：两两垂直模为1，对应长方体正交分解； 1. 基底判定：假设线性相关，方程组无解则为基底； 1. 应用：向量分解、求线段长、证线线垂直、求异面直线夹角。 2.数学思想 类比迁移（平面二维→空间三维）、数形结合、转化与化归（几何问题向量代数化）。 3.高频易错题总结 1. 误认为两两垂直三向量一定不共面（实际成立，但两两垂直只是充分非必要）； 1. 中点等分点系数计算错误； 1. 混淆“共面向量”与“空间基底”互斥关系； 1. 综合数量积展开漏项、符号出错。 1.（25-26高二下·广西南宁·期中）在三棱柱中，是的中点，，则用向量，，表示向量应为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用空间基底表示向量 【解析】在三棱柱中，由，得，由点是的中点，得， 所以 . 2.（25-26高二上·湖南永州·期中）若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的是（   ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【答案】D 【知识点】空间向量基底概念及辨析 【分析】利用空间向量基底的概念逐项判断即可. 【解析】因为是空间的一个基底， 对于A选项，因为，则、、共面，A不符合要求； 对于B选项，因为，则、、共面，B不符合要求； 对于C选项，设， 因为是空间的一个基底，所以，解得，， 即，即、、共面，C不符合要求； 对于D选项，设， 因为是空间的一个基底，所以，该方程组无解， 故、、不共面，所以、、能作为空间向量的一个基底，D符合要求. 故选：D. 3.（25-26高二下·四川泸州·期末）如图，在空间四边形OABC中，设，，，且 ，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用空间基底表示向量 【解析】由题意可知：，， 所以 . 4.（25-26高二上·湖南永州·期中）若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的是（   ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【答案】D 【知识点】空间向量基底概念及辨析 【分析】利用空间向量基底的概念逐项判断即可. 【解析】因为是空间的一个基底， 对于A选项，因为，则、、共面，A不符合要求； 对于B选项，因为，则、、共面，B不符合要求； 对于C选项，设， 因为是空间的一个基底，所以，解得，， 即，即、、共面，C不符合要求； 对于D选项，设， 因为是空间的一个基底，所以，该方程组无解， 故、、不共面，所以、、能作为空间向量的一个基底，D符合要求. 故选：D. 5.（25-26高二上·山东临沂·期末）在四面体中，为线段靠近的三等分点，为的中点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】空间向量基本定理及其应用 【分析】利用空间向量的基本定理可求出、、的值，即可得出的值. 【解析】如下图所示： 因为为的中点，所以，由题意可知， 所以， 在三棱锥中，、、不共面，且， 所以，，故. 1．本节课核心知识（结合课堂知识总结）：_________________________________________________ 2．今日错题 / 不懂的内容：_______________________________________________________________ 3．出错 / 听不懂的原因：□概念不会 □审题马虎 □思路没掌握 4．我的改进小计划： _________________________________________________________________________________________ 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2空间向量基本定理（导学案） 1. 通过类比平面向量基本定理，自主归纳空间向量基本定理，准确说出基底、基向量的定义，能判断向量组能否构成空间基底。 1. 区分普通基底与单位正交基底，理解向量正交分解的几何意义，能在长方体、四面体中完成向量正交拆分。 1. 会自主选取几何体基底，利用向量线性运算将线段、对角线向量表示为基向量线性组合。 1. 熟练借助基底+数量积，求解线段长度、证明线线垂直、计算异面直线夹角，规范书写解题步骤。 1. 对比共线定理、平面向量基本定理、空间向量基本定理，梳理一维、二维、三维向量分解规律。 重点：空间向量基本定理内容；基底、单位正交基底概念；基底表示空间向量；基底法解决立体几何计算与证明。 难点：理解定理中分解的唯一性；不规则几何体中合理选取基底；基底判定、基底结合数量积综合运算。 阅读教材，完成以下问题： 知识点一　空间向量基本定理 (1)定理 条件 如果三个向量a，b，c ，那么对任意一个空间向量p 结论 存在 ，使得p＝xa＋yb＋zc (2)基底与基向量 ①如果三个向量a，b，c不共面，那么所有空间向量组成的集合就是 ，这个集合可看作由向量a，b，c生成的，我们把 叫做空间的一个基底， 都叫做基向量． ②空间任意三个 的向量都可以构成空间的一个基底． [想一想]　对于基底{a，b，c}，三个基向量a，b，c中能否有一个为0? 提示：因为0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，因此三个基向量均不为0. 知识点二　空间向量的正交分解 (1)单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量 ，那么这个基底叫做单位正交基底，常用 表示． (2)正交分解 把一个空间向量分解为 ，叫做把空间向量进行正交分解． 回顾：由平面向量基本定理可知：平面内的任意一个向量 a 都可以用两个不共线的向量e1，e2来表示. 思考：那么任意一个空间向量量能否用任意三个不共面的向量来表示吗？ 研究1：对于任意三个不共面的向量能否表示空间中任意向量，我们先从空间中三个不共面的向量两两垂直这一特殊情况开始讨论. 如图：设是空间中三个两两垂直的向量，对于任意一个空间向量, 能否用这三个向量来表示，如何表示? 师生：学生作图观察、独立思考后，交流发言，教师帮助小结. 根据向量的自由性，如图1.2-1，设，，是空间中三个两两垂直的向量，且表示它们的有向线段有公共起点．对于任意一个空间向量，设为在，所确定的平面上的投影向量，则．又向量，共线，因此存在唯一的实数，使得，从而，而在，所确定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对，使得，从而 因此，如果，，是空间三个两两垂直的向量，那么对任意一个空间向量，存在有序实数组，使得．我们称，，分别为向量在，，上的分向量． 思考：如果用任意三个不共面的向量，，代替两两垂直的向量，，你能得出类似结论吗? 师生:学生思考、分组交流，教师引导整理. 探究2：在空间中，如果用任意三个不共面的向量a，b，c代替两两垂直的向量i，j，k，用不共面向量a，b，c表示任一空间向量. 预设： 要求：请类比平面向量基本定理，写出空间向量基本定理. 学生：类比平面向量的基本定理，得出结论 预设： 平面向量的基本定理 空间向量的基本定理 如果 e1，e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2． 如果三个向量，，不共面，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得． 思考：请你结合以上内容的探究过程，给出空间向量基本定理的证明. 由此可知，如果三个向量，，不共面，那么所有空间向量组成的集合就是．这个集合可看作由向量，，生成的，我们把叫做空间的一个基底(base)，，，都叫做基向量(base vectors)．空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底． 特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用表示．由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量，均可以分解为三个向量，，，使．像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 探究：由向量共线定理、平面向量基本定理及空间向量基本定理的一致性和连贯性，我们对比共线定理、平面向量基本定理和空间向量基本定理共同完成下表. 分类 定理 向量共线定理 平面向量基本定理 空间向量基本定理 表述形式 基向量个数 1 2 3 基向量要求 ，不共线 ，，不共面 对于实数（对、组） 例1：如图1.2-2，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且，，用向量，，表示． 例2：如图1.2-3，在平行六面体中，，，，，，，，分别为，的中点． 求证： ． 例3 如图1.2-4，正方体的棱长为1，分别为，，的中点． （1）求证：； （2）求与所成角的余弦值． 1.知识框架梳理 1. 空间向量基本定理：三不共面向量可唯一表示任意空间向量； 1. 基底与基向量：零向量、共面向量组不能作基底； 1. 单位正交基底：两两垂直模为1，对应长方体正交分解； 1. 基底判定：假设线性相关，方程组无解则为基底； 1. 应用：向量分解、求线段长、证线线垂直、求异面直线夹角。 2.数学思想 类比迁移（平面二维→空间三维）、数形结合、转化与化归（几何问题向量代数化）。 3.高频易错题总结 1. 误认为两两垂直三向量一定不共面（实际成立，但两两垂直只是充分非必要）； 1. 中点等分点系数计算错误； 1. 混淆“共面向量”与“空间基底”互斥关系； 1. 综合数量积展开漏项、符号出错。 1.（25-26高二下·广西南宁·期中）在三棱柱中，是的中点，，则用向量，，表示向量应为（    ） A． B． C． D． 2.（25-26高二上·湖南永州·期中）若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的是（   ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 3.（25-26高二下·四川泸州·期末）如图，在空间四边形OABC中，设，，，且 ，，则（   ） A． B． C． D． 4.（25-26高二上·湖南永州·期中）若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的是（   ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 5.（25-26高二上·山东临沂·期末）在四面体中，为线段靠近的三等分点，为的中点，若，则（   ） A． B． C． D． 1．本节课核心知识（结合课堂知识总结）：_________________________________________________ 2．今日错题 / 不懂的内容：_______________________________________________________________ 3．出错 / 听不懂的原因：□概念不会 □审题马虎 □思路没掌握 4．我的改进小计划： _________________________________________________________________________________________ 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $