26.2.2 第1课时二次函数y=ax²+ k的图象和性质-【中考123】2026-2027学年九年级上册数学全程导练（人教版·新教材）

全程导练·九年级数学（上册） 26.2.2 二次函数y=a( 第1课时 二次函数y 知识要点分类练单” 。知识点1二次函数y=ax2+k的图象和性质 1.抛物线y=x2-5的顶点坐标是 () A.(0,-5) B.(0,0) C.(0,5) D.(3,-5) 2.二次函数y=x2+1的图象大致是 3.关于二次函数y=3x2+6的图象，下列结论不正 确的是 A.开口向上 B.x<0时，y随x的增大而减小 C.对称轴是y轴 D.经过点(0，-6) 4.若二次函数y=2x2-3的图象经过点(2，y1),（5, y2),则y1与y2的大小关系为 A.y1>y2 B.y1=Y2 C.y1<y2 D.不能确定 5.已知二次函数y=3x2-3. （1)若点P(m,0)在该函数图象上，则点P的坐标 为 (2)该函数图象与y轴的交点坐标为 (3)当x>0时，y随x的增大而 :当x≤0 时，y随x的增大而 (4)因为a>0,所以y有最 值，当x= 时，y取最 值，是 6.已知二次函数y=ax2-a的图象经过点(-2，-9). (1)求这个函数的解析式，并写出函数图象的顶 点坐标； (2)当x为何值时，该函数有最大值或最小值？ 最大值或最小值是多少？ 34 见此图标爱微信扫码进人初中智慧学园自自 x-h)2+k的图象和性质 =ax2+k的图象和性质 [答案9] 色知识点2抛物线y=aax2+k与抛物线y=ax2的 关系 7.抛物线y=2x2向下平移3个单位长度后所得新 抛物线的顶点坐标为 () A.(-3,0)B.(3,0) C.(0,-3)D.(0,3) 8.将二次函数y=-3x2+4的图象向平移 个单位长度可以得到函数y=-3x2的 图象 9.抛物线y=ax2+c与函数y=-3x2的图象的形状 相同，开口方向相反，且其顶点坐标为(0,2)，则 该抛物线对应的函数解析式为 10.（教材母题变式)在如图所示的平面直角坐标系 中画出二次函数y=-2x2,y=-2x2+3的图象， 4 32023x 3 4 上5 =6 8 10题图 (1)分别指出它们的开口方向、对称轴以及顶点 坐标； (2)抛物线y=-2x2+3可由抛物线y=-2x2 向 平移 个单位长度得到. 能力提升综合练学， 1山.关于函数y=22-3,y=-的图象及性质， 下列说法不正确的是 A.它们的对称轴都是y轴 B对于函数y=-,当x>0时，y随x的增 大而减小 C抛物线y=2x2-3不能由抛物线)=-平 移得到 D.抛物线y=22-3的开口比抛物线y=-2 的开口大 12.一次函数y=x+a与二次函数y=ax2-a在同 一平面直角坐标系中的大致图象可能是( 13.对于二次函数y=a2+c,当x取x1,x2(x1≠x2) 时，函数值相等，则当x取，+x2时，函数值 为 14.如图，已知抛物线具有如下性 质：抛物线上任意一点到定点 F(0,2)的距离与到x轴的距 离相等，点M的坐标为(3,6)， 0 P是抛物线y=+1上一 14题图 动点，则△PMF周长的最小值是 15.已知抛物线y=x2-1与y轴交于点A,与直线 y=x(k为任意实数)相交于B,C两点，则下列 结论：①存在实数k,使得△ABC为等腰三角形； ②存在实数k,使得△ABC的内角中有两个角为 45°；③存在实数k,使得△ABC为直角三角形； ④存在实数k,使得△ABC为等边三角形.正确 的有」 ·(请填写序号) 16.如图，已知二次函数y=ax2+b的图象的顶点为 P(0,4),且与x轴交于点A,B,AB=4 (1)求该二次函数的解析式； 第二十六章二次函数又 (2)若该二次函数的图象沿y轴向上平移k个单 位长度后经过点(1,8)，求k的值，并写出该 函数的两条性质 16题图 素养探究创新练中： 7.在平面直角坐标系xO0y中，对于点P(x,y)和 Q(x,y).给出如下定义：若y= (x≥0)，则 -y(x<0), 称点Q为点P的“变换点” (1)在点E(4,0),F(2,5),G(-1,-1),H(-3, 5)中，点 的“变换点”在函数y= 2x+1的图象上； (2)如果一次函数y=x+3图象上点M的“变换 点”是N(m,2),求点M的坐标； (3)如果点P在函数y=-x2+4(-2≤x≤a)的 图象上，其“变换点”Q的纵坐标y的取值范 围是-4<y'≤4，结合图象写出实数a的取 值范围. 32 1 43-201234 2 17题图 见此图标器微信打码进人初中智慧学园昌自 35m=2±2-4x1x(-4.-2告25.-1±5， 2 2 解得m1=-1+5,m2=-1-√5（舍去）， ∴.CD=2m=25-2」 ∴.正方形CDFE的周长为4CD=85-8. 【素养探究创新练】 17.解：1)把x=-2代入y=42,得y=1, 把x=4代人y=子，得y=4, 即A(-2,1),B(4,4). 设直线AB的函数解析式为y=+b(k≠0)， 把A(-2,1),B(4,4)代人，得=-2k+6, 14=4k+b, 解得k=子， lb=2, 1 ·直线AB的函数解析式为y=2x+2. (2)由(1)知，直线AB的函数解析式为y= 2t+2, 令x=0,则y=2,∴，C(0,2), ∴S0e=SAMc+S6e=7×2x2+2×2x4=6i 1 (3)4[解析]由于△AOB和△PAB同底，△PAB的高为 △AOB的一半时，面积为其一半.过OC的中，点，作AB的 平行线交抛物线于点P1,P2,此时△P1AB的面积和 △P2AB的面积等于△AOB的面积的一半；作直线PP2关 于直线AB的对称直线，交抛物线于点P3,P4,此时 △P3AB的面积和△P4AB的面积等于△AOB的面积的一 半，故这样的点P有4个，如答图所示. 4 x 17题答图 26.2.2二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 第1课时二次函数y=ax2+k的图象和性质 【知识要点分类练】 1.A2.B3.D4.C 5.(1)(1,0)或(-1,0)(2)(0，-3) (3)增大减小(4)小0小-3 6.解：(1)：二次函数y=ax2-a的图象经过点(-2，-9)， .-9=4a-a,解得a=-3, 这个函数的解析式为y=-3x2+3, ∴.函数图象的顶点坐标为(0,3). (2)-3<0,.函数图象的开口向下， ∴.当x=0时，函数有最大值，最大值是3. 7.C8.下49.y=3x2+2 10.解：如答图.(1)抛物线y=-2x2的开口向下，对称轴为 参考答案及解析 y轴，顶点坐标为(0,0).抛物线y=-2x2+3的开口向下， 对称轴为y轴，顶点坐标为(0,3). (2)上3 351 14 5 y=-2x2 10题答图 【能力提升综合综】 11.D12.C13.c 14.11[解析]过点M作ME⊥x轴于点E,交抛物线y= 子2+1于点P,此时△PWMF的网长取得最小值：P0, 2),M(3,6),.ME=6,FM2=32+42=25,.FM=5, ∴.△PMF周长的最小值=ME+FM=6+5=11. 15.①②③[解析]当x=0时，y=-1,.抛物线顶点坐标为 A(0,-1),如答图，当k=0时，直线y=kx就是x轴，抛物 线y=x2-1与x轴相交于B,C两，点，△ABC为等腰直角 三角形，故①②③正确，④错误 A 15题答图 16.解：(1)y=-x2+4. (2)设平移后二次函数的解析式为y=-x2+4+k 将(1,8)代人，得-1+4+k=8,.k=5. 性质1：该函数图象的对称轴为y轴. 性质2：当x<0时，y随x的增大而增大； 当x>0时，y随x的增大而减小（答案不唯一）. 【素养探究创新练】 17.解：(1)F和H ↑y (2)由题意得，当m≥0时， 点M(m,2),则2=m+3, 解得m=-1(舍去)； 当m<0时， 点M(m,-2), 22 则-2=m+3, 0 解得m=-5,∴点M的坐 标为(-5，-2). (3)如答图为“变换点“函 数图象 17题答图 ·9… 全程导练·九年级数学（上册） 从函数图象看，“变换点”Q的纵坐标y的取值范围是-4 <y≤4，而-2<x≤a,函数图象只需要找到最大值（直线 y=4)与最小值（直线y=-4), 直线x=a从大于等于0开始运动，直到与y=-4有交点 结束，都符合要求， .-4=-a2+4,解得a=22(舍去负值)，观察图象可知 满足条件的a的取值范围为2≤a<22. 第2课时二次函数y=a(x-h)2的图象和性质 【知识要点分类练】 1.D2.C3.A 4.解：(1)：抛物线y=a(x-h)2的对称轴是直线x=-2, ∴.h=-2, ∴.抛物线的函数解析式为y=a(x+2)2. 抛物线y=a(x+2)2过点(1，-3)， -3=9a,解得a=-3, 1 1 抛物线的函数解析式为y=-3(x+2)2 (2)抛物线的顶点坐标为(-2,0) (3)ra=-3, 1 .抛物线开口向下，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小， .当x>-2时，y随x的增大而减小. 抛物线的顶点坐标为(-2,0)， .当x=-2时，函数有最大值，最大值为0. 5.A6.C7.y=-(x+4)2y=-x28.-2-3 【能力提升综合练】 9.C10.D 11.B[解析]：一次函数y=x+b(k≠0)的图象经过第一 第二、第四象限，.k<0,b>0,二次函数y=(x-b)2 的图象开口向下，顶点在x轴的正半轴上.故选B. 12.2或8 13.0或7[解析]二次函数y=-(x-h)2的图象开口向 下，对称轴为直线x=h,.当x<h时，y随x的增大而增 大；当x>h时，y随x的增大而减小，.若h<2,则当x=2 时，函数y取最大值，即-4=-(2-h)2,解得h=0或h= 4(舍去)；若2≤h≤5，则当x=h时，函数y取最大值0，不 符合题意；若h>5,则当x=5时，函数y取得最大值，即 -4=-(5-h)2,解得h=3(舍去)或h=7.综上，h的值 为0或7. 14.4[解析]抛物线的顶点坐标为M(1,0),点M到直线l 的距离为a,则y=(x-1)2=a,解得x=1±√a,即A(1- √a,0),B(1+√a,0)..AB=4,.1+√a-(1-/a)=4, 解得a=4. 15.解：(1)由题意，得A(-1,0),B(0,-1). 将(0，-1)代人y=a(x+1)2,得a=-1, .抛物线的函数解析式为 y=-(x+1)2. D (2)如答图，过点C作CD⊥x轴于 点D. 将(-3，b)代入y=-(x+1)2 得b=-4,∴.C(-3,-4), 六S△ABC=S梯形OBCD-S△ACD Saw=子x(4+1)x3-分× 15题答图 。10· 4x2-7×1x1=3. 16.解：(1)二次函数y=a(x+m)2图象的顶点坐标为 (-1,0), m=1,.二次函数的解析式为y=a(x+1)2. 把点A(-2,-2)的坐标代入， 得a(-2+1)2=-2, 1 解得a=-2, 1 这个二次函数的解折式为y=-之(x+1)只 (2)把=2代人y=-之(+1只， 得=号-2， ∴.点B(2,-2)不在这个函数图象上 (3)能.设平移后的图象对应的函数解析式为 y=-2(x+1+m2, 把点B(2,-2)的坐标代入，得-2=-之(2+1+m)2, 解得n=-1或n=-5, .将原函数图象向右平移1个单位长度或5个单位长度， 即可使它过点B. 【素养探究创新练】 17.解：(1)在y=(x+2)2中， 令y=0,得x=-2;令x=0,得y=4, ∴，点A,B的坐标分别为(-2,0)，(0,4). (2)由(1)知，点A,B的坐标分别为(-2,0)，(0,4)， ∴.0A=2,0B=4, ∴SaMw=20M·0B=号x2x4=4 (3)存在. 以OA,OB为邻边可作平行四边形PAOB,易得此时点P的 坐标为(-2,4)； 以AB,OB为邻边可作平行四边形PABO,易得此时点P的 坐标为(-2，-4). 综上，存在满足题意的点P,点P的坐标为(-2,4)或 (-2,-4). 第3课时二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 【知识要点分类练】 1.B2.D3.B 4.(0,2)5.y1>y2>y3 6.解：(1)：二次函数y=a(x+3)2+5的图象经过点(-1， -3), .-3=a(-1+3)2+5,解得a=-2. (2)由(1)得，二次函数的解析式为y=-2(x+3)2+5, ·.二次函数的图象开口向下，且对称轴为x=-3, ∴当x<-3时，y随x的增大而增大. (3)当x=-3时，y有最大值，最大值为5. 7.B8.D 9.解：(1)由题意，得a=-2,-h+2=3,k+3=1, .a=-2,h=-1,k=-2. (2)由(1)知y=-2(x+1)2-2,