26.2.1 二次函数y=ax²的图象和性质-【中考123】2026-2027学年九年级上册数学全程导练（人教版·新教材）

全程导练·九年级数学（上册） 26.2二次函数的图象和性质 26.2.1二次函数y=x2的图象和性质 [答案P8] 知识要点分类练典 行与 的形状相同，且关于 色知识点●二次函数y=ax2的图象和性质 轴对称； 1.如图，函数y=3x2的图象大致为 ②当1a1相同时，抛物线的开口大小 ;当1a|变大时，抛物线的开口 共平兴 ；当Ia1变小时，抛物线的开 口 8.已知函数y=(m+2)xm+m-4是关于x的二次 D 函数. 2.如果抛物线y=(m-1)x2的开口向上，那么m的 (1)求满足条件的m的值； 取值范围是 ( (2)当m为何值时，抛物线有最低点？求出这个 A.m>1 B.m≥1 C.m<1 D.m≤1 最低点的坐标，这时x为何值时y随x的增大 3.抛物线y=-x2的顶点坐标是 而增大？ A.(-1,0) B.(0,-1) (3)当m为何值时，抛物线有最大值？最大值是多 C.(0,0) D.(-1,2) 少？这时x为何值时，y随x的增大而减小？ 4.抛物线y=2x2的对称轴是直线 ( A.y=0 B.y=1 C.x=0 D.x=2 5.若二次函数y=ax2的图象经过点P(-2,4),则 该图象必经过点 A.(2,4) B.(-2,-4) C.(-4,2) D.(4,-2) 6.已知M(3,y1),N(5,y2)都是抛物线y=-x2上的 点，则y1,y2的大小关系是 ·(用“>” 连接)》 7.(1)在同一平面直角坐标系中画出函数y}, 能力提升综合练典： y=-了，y=3y=3x的图象 9.当ab>0时，y=ax2与y=ax+b的图象大致是 y 平头泸义， 543211012345x 2 10.如图是四个二次函数的图象，则a,b,c,d的大小 3 关系为 ( w-he 4 A.d<c<a<b 7题图 B.d<c<b<a (2)①由图象可知抛物线y=3x2与 的形 C.c<d<a<b 状相同，且关于 轴对称；抛物线y D.c<d<b<a 10题图 32 见此图标器微信扫码进人初中智慧学园自 第二十六章二次函数又 (2)当四边形CDFE为正方形时，求正方形 11.定义运算“※”为a※b= 「ab2(b>0)， 1-ab2(b≤0). 如： CDFE的周长. 1※(-2)=-1×(-2)2=-4，则函数y=2※x 的图象大致是 16题图 A B C D 12.如图，图中圆的半径为2，C1是函数y=x2的图 象，C2是函数y=-x2的图象，则阴影部分的面 积是 素养探究创新练中： 17.如图，点A,B在函数y=的图象上.已知点 12题图 13题图 A,B的横坐标分别为-2,4，直线AB与y轴交于 13.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶 点C,连接OA,OB. 点A,B,C的坐标分别为(1,1)，（1,4)，（4,4) (1)求直线AB的函数解析式； 若抛物线y=ax2的图象与正方形ABCD有公共 (2)求△AOB的面积； 点，则a的取值范围是 14.对于二次函数y=ax2和y=bx2,其自变量与函 (3)若函数y=的图象上存在点P,使得 数值的两组对应值如表所示： △PAB的面积等于△AOB的面积的一半，则 -1 m(m≠-1) 这样的点P共有 个 y=ax2 c c y=bx2 c+3 根据表中相关数据可知，m的值为 d- c的值为 -2 0 15.关于抛物线y=-x2,给出下列说法： 17题图 ①抛物线开口向下，顶点是原点； ②当x>10时，y随x的增大而减小； ③当-1<x<2时，-4<y<-1; ④若(m,p),(n,p)是该抛物线上两个不同的 点，则m+n=0. 其中正确的有 ·(请填写序号) 16.如图，在平面直角坐标系中，点A(2,-4)在抛物 线y=ax2上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于 另一点B,点C,D在线段AB上，分别过点C,D 作x轴的垂线交抛物线于E,F两，点， (1)求a的值； 见此图标器微信扫码进人初中智慧学园 33全程导练·九年级数学（上册） 符合题意，舍去，点P运动的时间是3s 15.解：(1)设该市改造老旧小区投人资金的年平均增长率 为x, 根据题意，得1000(1+x)2=1440,解得x1=0.2=20%, x2=-2.2(不符合题意，舍去)， 故该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为20%， (2)设该市在2026年可以改造y个老旧小区，由题意，得 80×(1+15%)y≤140×(1+20%)，解得y≤182贤 ·y为正整数，.最多可以改造18个老旧小区， 即该市在2026年最多可以改造18个老旧小区， 16.解：(1)(30-x)(20+1.5x) (2)根据题意，得(30-x)(20+1.5x)=700, 解得1=10，为=3 20 :10>9,为让市民得到实惠，x应取10. 答：每盆应降价10元 第二十六章二次函数 26.1 二次函数的概念 【知识要点分类练】 1.A2.C3.(1)-4(2)1或-4 4.-0.92-3-20-7-110100 5.B6.B 7.y=x(x-1)(或y=x2-x)8.S=-x2+8x 9.解：(1)0=(x-30)(-2x+80)=-2x2+140x-2400. (2)二次项系数是-2，一次项系数是140，常数项是 -2400. 【能力提升综合练】 10.A 11.B[解析]如答图.设直线x=t交 y x=t OA于点C,交OB于点D.在 A C Rt△ABO中，AB⊥OB,且AB=OB =3,.∠A0B=∠A=45°.又CD ⊥OB,∴.∠OCD=90°-∠A0B= ODB 45°，∴.∠A0D=∠0CD,.0D= 11题答图 CD=,SAm=分0DxCD=2P(0<≤3)，即S 名(0<≤3).激选B 12J=-22+号：13.(10(2)m0且m1 9 14.(1)y=300+20x(2)W=-20x2+100x+6000 15.解：(1)：运动的时间为xs,点P的速度为2cm/s,点Q的 速度为4cm/s, .'PB=(12-2x)cm,BQ =4x cm, y=号×12x24-2(12-2)x4x=42-24x+14, rx>0, (2)由题意，得12-2x>0,解得0<x<6. 24-4x>0, (3)不能.理由如下： 令y=172,则4x2-24x+144=172 解得x1=7,x2=-1(不符合题意，舍去)： 又，0<x<6,x=7不符合题意， ∴.四边形APQC的面积不能等于172cm2. ·8… 【素养探究创新练】 16.解：(1)1361015(2)m=n(1+m2 2 26.2二次函数的图象和性质 26.2.1二次函数y=ax2的图象和性质 【知识要点分类练】 1.C2.A3.C4.C5.A6.y1>y2 7.解：(1)在同-平面直角坐标系中，画出函数y=}2,y= -子，y=3,y=-32的图象如答图所示 y↑y=3x2 -1-人--1 3 3- 5432江7校2345x ￥2 3 -4 5 7题答图 (2)①=-3gy=-写2 ②相同变小变大 8.解：(1)根据题意，得m+2≠0且m2+m-4=2, 解得m1=2,m2=-3,所以满足条件的m值为2或-3. (2)当m+2>0,即m>-2时，抛物线有最低点， 所以m=2,此时抛物线的函数解析式为y=4x2, 所以抛物线的最低点的坐标为(0,0)， 当x>0时，y随x的增大而增大. (3)当m=-3时，抛物线开口向下，函数有最大值； 此时抛物线的函数解析式为y=-x2, 所以二次函数的最大值是0， 当x>0时，y随x的增大而减小 【能力提升综合练】 9.B10.B11.D12.2m 13石<a≤4[解析]：正方形ABCD的顶点A,B,C的坐标 分别为(1,1)，(1,4)，(4,4)，∴.D(4,1).当抛物线经过点 B1,4)时，a=4;当抛物线经过D(4,1)时，a=6观察国 象可知，抛物线y=ax2与正方形ABCD有公共点时，a的 取值范国是6≤a≤4 14.1315.①②④ 16.解：(1)把A(2,-4)代入y=ax2中，得-4=a×22, 化简，得-4=4a,解得a=-1. (2)设点C的横坐标为m(m>0), ,:四边形CDFE为正方形，.CD=CE=2m. ·点E的坐标为(m,-4+2m). a=-1,.y=-x2,.-4+2m=-m2, 整理，得m2+2m-4=0, m=2±2-4x1x(-4.-2告25.-1±5， 2 2 解得m1=-1+5,m2=-1-√5（舍去）， ∴.CD=2m=25-2」 ∴.正方形CDFE的周长为4CD=85-8. 【素养探究创新练】 17.解：1)把x=-2代入y=42,得y=1, 把x=4代人y=子，得y=4, 即A(-2,1),B(4,4). 设直线AB的函数解析式为y=+b(k≠0)， 把A(-2,1),B(4,4)代人，得=-2k+6, 14=4k+b, 解得k=子， lb=2, 1 ·直线AB的函数解析式为y=2x+2. (2)由(1)知，直线AB的函数解析式为y= 2t+2, 令x=0,则y=2,∴，C(0,2), ∴S0e=SAMc+S6e=7×2x2+2×2x4=6i 1 (3)4[解析]由于△AOB和△PAB同底，△PAB的高为 △AOB的一半时，面积为其一半.过OC的中，点，作AB的 平行线交抛物线于点P1,P2,此时△P1AB的面积和 △P2AB的面积等于△AOB的面积的一半；作直线PP2关 于直线AB的对称直线，交抛物线于点P3,P4,此时 △P3AB的面积和△P4AB的面积等于△AOB的面积的一 半，故这样的点P有4个，如答图所示. 4 x 17题答图 26.2.2二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 第1课时二次函数y=ax2+k的图象和性质 【知识要点分类练】 1.A2.B3.D4.C 5.(1)(1,0)或(-1,0)(2)(0，-3) (3)增大减小(4)小0小-3 6.解：(1)：二次函数y=ax2-a的图象经过点(-2，-9)， .-9=4a-a,解得a=-3, 这个函数的解析式为y=-3x2+3, ∴.函数图象的顶点坐标为(0,3). (2)-3<0,.函数图象的开口向下， ∴.当x=0时，函数有最大值，最大值是3. 7.C8.下49.y=3x2+2 10.解：如答图.(1)抛物线y=-2x2的开口向下，对称轴为 参考答案及解析 y轴，顶点坐标为(0,0).抛物线y=-2x2+3的开口向下， 对称轴为y轴，顶点坐标为(0,3). (2)上3 351 14 5 y=-2x2 10题答图 【能力提升综合综】 11.D12.C13.c 14.11[解析]过点M作ME⊥x轴于点E,交抛物线y= 子2+1于点P,此时△PWMF的网长取得最小值：P0, 2),M(3,6),.ME=6,FM2=32+42=25,.FM=5, ∴.△PMF周长的最小值=ME+FM=6+5=11. 15.①②③[解析]当x=0时，y=-1,.抛物线顶点坐标为 A(0,-1),如答图，当k=0时，直线y=kx就是x轴，抛物 线y=x2-1与x轴相交于B,C两，点，△ABC为等腰直角 三角形，故①②③正确，④错误 A 15题答图 16.解：(1)y=-x2+4. (2)设平移后二次函数的解析式为y=-x2+4+k 将(1,8)代人，得-1+4+k=8,.k=5. 性质1：该函数图象的对称轴为y轴. 性质2：当x<0时，y随x的增大而增大； 当x>0时，y随x的增大而减小（答案不唯一）. 【素养探究创新练】 17.解：(1)F和H ↑y (2)由题意得，当m≥0时， 点M(m,2),则2=m+3, 解得m=-1(舍去)； 当m<0时， 点M(m,-2), 22 则-2=m+3, 0 解得m=-5,∴点M的坐 标为(-5，-2). (3)如答图为“变换点“函 数图象 17题答图 ·9…