26.2.1二次函数y=ax²的概念（第1课时）（教学课件）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数y=ax²的图象和性质，通过回顾一次函数、反比例函数“画图象、看特征、归性质”的探究方法，引导学生沿用通用流程学习新知，搭建知识迁移的学习支架。 其亮点在于结合动态演示，通过动手列表、描点、连线绘制图象，培养几何直观，从特殊y=x²到一般y=ax²的对比归纳，渗透从特殊到一般的推理意识。典例与真题结合提升应用意识，帮助学生掌握数形结合思想，教师可利用系统流程高效教学。

26.2二次函数的图象和性质 第1课时 二次函数y =a的图象和性质 第二十六章 二次函数 人教版2026·九年级上册 学 习 目 标 1 2 3 会用描点法规范绘制y =a的图象；认识抛物线的基本要素，熟练掌握y =a的图象特征与性质；精准掌握系数a对抛物线开口方向、开口宽窄的影响，能利用性质解决基础习题. 经历画图、观察、对比、归纳的完整探究过程，掌握函数图象的通用探究方法，提升几何直观、归纳概括和数形结合解题能力. 感受函数图象的对称美、规律美，体会数形结合思想的价值，培养严谨的作图习惯和主动探究的数学思维，增强学习二次函数的信心. 列 表 描 点 连 线 如何画函数的图象？ 一次函数的图象是什么？ 一次函数y＝kx＋b(k≠0)其图象是一条经过(0，b)、（-,0）的直线 x y o b<0 b>0 b=0 x y o b<0 b>0 b=0 知识回顾 导入新课 还记得二次函数解析式的一般形式是什么？最简形式是什么？ 二次函数的图象会是什么样的图形呢？ 本节课我们沿用函数通用探究方法，来学习最简单的二次函数y=ax2的图象和性质 探究一次函数、反比例函数方法是什么？ 最简形式是：y=ax²，a≠0 画图象、看特征、归性质 一般形式是： （ a≠0 ） 当， 新知探究 探究点1 动手作图，探究y=x²的图象 活动1. （2）计算函数值，填表 选取对称自变量-3、-2、-1、0、1、2、3，计算对应函数值 x ··· -3 -2 -1 0 1 2 3 ··· y = x2 ··· 9 4 1 0 1 4 9 ··· 动手画函数y=x²的图象 （1）定自变量取值范围 在y = x2中，自变量x可以是任意实数.所以从0开始左右对称取x的值 步骤1.列表： 新知探究 探究点1 动手作图，探究y=x²的图象 活动1. x ··· -3 -2 -1 0 1 2 3 ··· y = x2 ··· 9 4 1 0 1 4 9 ··· 步骤2.描点： 用光滑曲线从左至右顺次连接各点，得到完整曲线. y =x2 用平滑曲线，自左向右顺次连接，向两端无限延伸. 动手画函数y=x²的图象 在平面直角坐标系中精准描出对应坐标点. 步骤3.连线： 能用直线连接吗？ 思考 新知探究 探究点1 动手作图，探究y=x²的图象 议一议 （1）二次函数y = x2的图象像什么？ 抛物线y = x2 二次函数的图象是一条曲线，它的形状类似投篮或掷铅球时球在空中经过的路线，只是这条曲线开口向上，所以函数图像称为抛物线 议一议 （1）二次函数y = x2的图象像什么？ 新知探究 探究点1 动手作图，探究y=x²的图象 曲线开口向上 抛物线定义： 二次函数（ a≠0 ）的图象叫作抛物线. 二次函数的图象都是类似的曲线，它们的开口或者向上或者向下 曲线开口向下 二次函数y=x2的图象形如物体抛射时所经过的路线，我们把它叫作抛物线. 抛物线y = x2 新知探究 3 6 9 y O -3 3 x 函数y = x2的图象开口______. 向上 抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点。 这条抛物线关于y轴对称，y轴就是它的对称轴. 顶点坐标是________. 顶点是图象的最____点. （0，0） 低 活动2 探究函数y=x²图象的性质 探究点2 探究y=x²图象的性质 （1）抛物线是对称图形吗？ (2)图象 与对称轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么? 结论： 每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点. 顶点是抛物线的最低点或最高点． x ··· -3 -2 -1 0 1 2 3 ··· y = x2 ··· 9 4 1 0 1 4 9 ··· x y 0 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 10 8 6 4 2 -2 1 (3)你能从坐标关系中说明抛物线y=x²的对称性. 当x=-3时，y=9 当x=+3时，y=9 当x=+1时，y=1 当x=-1时，y=1 新知探究 活动2 探究函数y=x²图象的性质 探究点2 探究y=x²图象的性质 理由： 在抛物线y = x2上任取一点（m，m2）， ∵它关于y轴的对称 点（-m，m2）也在抛物线y = x2上， ∴抛物线y = x2关于y轴对称 新知探究 探究点2 探究y=x²图象的性质 从二次函数y=x2的图象可以看出： 当x<0 (在对称轴的左侧)时，y随着x的增大而减小. 当x>0 (在对称轴的右侧)时，y随着x的增大而增大. （4）想一想二次函数y=x2的图象，y随x的如何变化? y =x2 活动2 探究函数y=x²图象的性质 新知探究 探究点2 探究y=x²图象的性质 归一归 y =x2 说说二次函数y=x2的图象有哪些性质，并与同伴交流. 1.y＝x2的图象是一条抛物线； 2.图象开口向上； 3.图象关于y轴对称； 4.顶点（0，0）； 5.图象有最低点． 6.当x<0时， y随着x的增大而减小； 当x>0时，y随着x的增大而增大. 二次函数y=x2的图象动态演示 新知探究 探究点3 探究y=ax²图象的性质 活动3. 在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象. 1.列表：选取对称自变量，计算对应函数值 x ··· -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ··· ··· 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 ··· x ··· -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 ··· y=2x2 ··· 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 ··· 2.描点：在平面直角坐标系中精准描出对应坐标点. 3.连线：用光滑曲线从左至右顺次连接各点，得到完整曲线. y=2x2 y =x2 新知探究 探究点3 探究y=ax²图象的性质 议一议 在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象. y=2x2 y =x2 (1)函数的图象与函数y=x²的图象相比，有什么共同点和不同点？ 共同点 ①二次项系数a＞0,图象开口向上； ②顶点（0，0）； ③图象关于y轴对称； ④顶点是抛物线的最低点； ⑤当x<0时， y随着x的增大而减小； 当x>0时，y随着x的增大而增大. 不同点 抛物线开口大小不一样 新知探究 探究点3 探究y=ax²图象的性质 议一议 利用信息技术工具画二次函数y=ax²(a>0)的图象, 随着a的变化，二次函数y=ax²的图象有什么变化? a越大，抛物线的开口越小 新知探究 探究点3 探究y=ax²图象的性质 活动4 在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象. 你能用类似的方法研究二次函数y=ax²(а<0)的图象和性质吗? ①列表； x ··· -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ··· ··· -8 -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 -4.5 -8 ··· x ··· -3 -2 -1 0 1 2 3 ··· y=-x2 ··· -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 ··· x ··· -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 ··· y=-2x2 ··· -8 -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 -4.5 -8 ··· ②描点. ③连线. y =－x2 y=-2x2 新知探究 探究点3 探究y=ax²图象的性质 议一议 利用信息技术工具画二次函数y=ax²(a＜0)的图象,随着a的变化，二次函数y=ax²的图象有什么变化? a越小，抛物线的开口越小 新知探究 探究点3 探究y=ax²图象的性质 归一归 当a<0时，二次函数y=x²的图象有什么特点？. 1.y＝x2的图象是一条抛物线； 2.图象开口向下； 3.图象关于y轴对称； 4.顶点（0，0）； 5.图象有最高点． 6.当x<0时， y随着x的增大而增大； 当x>0时，y随着x的增大而减小. y =－x2 y=-2x2 结 小 纳 归 新知探究 探究点3 探究y=ax²图象的性质 1.二次函数的图象都是抛物线. 2.抛物线y=ax2的图象性质: （2）当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点; 当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点; （1）抛物线y=ax2的对称轴是y轴，顶点是原点. y=-2x2 y=-x2 2 6 8 y 4 y=2x2 -8 -4 -2 -6 O -2 2 x 4 -4 |a|越大，抛物线的开口越小. 新知探究 探究点3 探究y=ax²图象的性质 活动5 y=ax2 a>0 a<0 图象 位置开口方向 开口向上，在x轴上方 开口向下，在x轴下方 对称性 关于y轴对称，对称轴是直线x=0 顶点 最值 顶点坐标是原点（0，0） 当x=0时，y最小值=0 当x=0时，y最大值=0 增减性 当x<0时, y随着x的增大而减小; 当x>0时, y随着x的增大而增大. 当x<0时, y随着x的增大而增大; 当x>0时, y随着x的增大而减小. 探究y=ax²图象的性质 典例分析 例1 .已知二次函数y=-3x²，下列说法正确的有哪些？ ① 图象开口向上； ② 对称轴是y轴； ③ 顶点坐标为(0,0)； ④ 当x>0时，y随x增大而减小； ⑤ 函数最小值为0. 解：已知a=-3<0，根据y=ax²性质分析： 1.a=-3<0，图象开口向下，①错误； 2. 所有y=ax²的对称轴均为y轴，②正确； 3. 所有y=ax²的顶点均为原点(0,0)，③正确； 4.a=-3<0时，x>0，y随x增大而减小，④正确； a=-3<0抛物线开口向下，顶点为最高点，函数有最大值0，无最小值，⑤错误. 所以正确的是②③④. 典例分析 例2.已知点A(-2,)、B(1,)、C(3,)都在抛物线上，比较、、的大小. 解：方法一:利用图象性质判断: 抛物线对称轴为y轴， a>0，开口向上； 计算各点到y轴的距离： A(-2)距离：2； B(1)距离：1； C(3)距离：3； 距离越远，函数值越大，因此<<. 方法二:代入法： ， ， ， 得 <<. 典例分析 例3 .抛物线y=4x²、、y=-2x²中，开口最宽和最窄的分别是哪一个？ 解： 分别计算绝对值： |4|=4，； 大小比较：； 根据规律：|a|最小，开口最宽； |a|最大，开口最窄； ∴ 开口最宽：； 开口最窄：y=4x². 新知巩固 1.在同一平面直角坐标系中，画出下列二次函数的图象： （1）y = 3x2； （2）y = -3x2 . 教材第35页 新知巩固 2.说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点，以及随着x的增大，y的变化情况： （1）y = 4x2； （2）y = -4x2 ； （3）y = x2； （4）y = - x2. 开口向上，对称轴是y轴，顶点是(0, 0)，当x<0时，y随x的增大而减小；当x>0时，y随x的增大而增大. 开口向下，对称轴是y轴，顶点是(0, 0)，当x<0时，y随x的增大而增大；当x>0时，y随x的增大而减小. 开口向上，对称轴是y轴，顶点是(0, 0)，当x<0时，y随x的增大而减小；当x>0时，y随x的增大而增大. 开口向下，对称轴是y轴，顶点是(0, 0)，当x<0时，y随x的增大而增大；当x>0时，y随x的增大而减小. 教材第36页 拓展提升 1.已知二次函数，解答下列问题： (1)根据已知的图像部分画出这个函数图象的另一部分（直接在网格中作图即可）． (2)判断点是否在这个函数图象上，说明理由． (3)求当时对应的函数图象上的点的坐标． （1）如图所示， （2）当时， ， ∴点不在这个函数图象上； （3）当时， ， ∴， ∴时，对应的函数图象上的点的坐标为： 和． 真题感知 1．（2026.临沂校考）抛物线共有的性质是（    ） A．开口向下 B．对称轴是轴 C．都有最高点 D．随的增大而增大 解：抛物线开口向上，对称轴为轴，有最低点，顶点为原点； 抛物线开口向下，对称轴为轴，有最高点，顶点为原点； 抛物线开口向上，对称轴为轴，有最低点，顶点为原点； ∴ 抛物线，，共有的性质为对称轴是y轴，而所有抛物线在没有限定自变量的取值范围时，增减性都不一致，故D不正确． B 真题感知 2．（2026.·海南统考）已知点，，三点都在抛物线的图象上，则、、的大小关系是（　　） A． B． C． D． 解：∵二次函数的解析式为， ∴抛物线的对称轴为y轴， ，，， ∴点C离y轴最远，点B离y轴最近， ∵抛物线开口向上， ． B 真题感知 3．（2025.恩施统考）二次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 解：的图象是一条过原点，开口向下的抛物线， D 4．（2025·松原校联考）已知二次函数的图象经过点，求该函数的解析式及对称轴． 解：把代入得， 解得: ， ∴ 抛物线解析式为，对称轴为y轴． 知识与技能 (1)作图方法： 用列表、描点、光滑曲线连线三步法画y=ax²的抛物线图象 （2）图象要素： 抛物线y=ax²恒过原点，对称轴为y轴，顶点为(0,0)； （3）核心性质： a>0：开口向上，顶点最低，x<0减、x>0增，有最小值0； a<0：开口向下，顶点最高，x<0增、x>0减，有最大值0； （4）a的作用： 正负定开口方向，|a|大小定开口宽窄. 课堂小结 思想方法 课堂小结 （1）数形结合思想：由图象得性质，用性质解代数题，数与形相互转化； （2）分类讨论思想：分a>0、<0两类探究函数性质，保证思维严谨； （3）从特殊到一般思想：从具体函数图象归纳通用规律，掌握函数探究通法。 易 错 提 醒 课堂小结 （1）作图易错：抛物线必须用光滑曲线连接，不能画折线、直线；取值务必对称，保证图象对称； （2）性质易错：二次函数增减性必须分对称轴左右两侧讨论，不能笼统描述； （3）规律易错：开口宽窄只看|a|，与a的正负无关； （4）最值易错：a>0有最小值、a<0有最大值，最值均为0，切勿记反. 课后练习 1.在同一平面直角坐标系中，画出下列二次函数的图象，并写出其开口方向、对称轴和顶点，以及随着x的增大，y的变化情况: （1）y = 5x2；（2） y = － x2. 习题 26.2 教材p44页 2 6 8 y 4 y=5x2 -8 -4 -2 -6 O -2 2 x 4 -4 开口方向 对称轴 顶点 增减性 y = 5x2 y = － x2 向上 向下 y轴 y轴 （0，0） （0，0） 当x<0时, y随着x的增大而减小; 当x>0时, y随着x的增大而增大 当x<0时, y随着x的增大而增大; 当x>0时, y随着x的增大而减小. 谢谢聆听 $