4 1.1 1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教B版）

1.1.3　空间向量的坐标与空间直角坐标系 　 第一章　1.1　空间向量及其运算 知识层面 1.掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量的坐标．　 2.掌握空间向量的坐标运算． 3.掌握空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直的关系．　 4.理解空间直角坐标系的定义、建系方法，以及空间的点的坐标 确定方法并能简单运用. 素养层面 通过空间向量的直角坐标运算的学习，提升数学运算、逻辑推理素养；通过对空间直角坐标系的学习，提升数学抽象素养. 新知导学 1 课时测评 3 合作探究 2 内容索引 新知导学 返回 问题1.平面向量运算的坐标表示：设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则a±b＝(a1±b1，a2±b2)，λa＝(λa1，λa2)(λ∈R)，a·b＝a1b1＋a2b2. 你能由平面向量运算的坐标表示类比得到空间向量运算的坐标表示吗？它们是否成立？为什么？ 问题导思 提示：能．空间向量运算的坐标表示与平面向量的坐标表示完全一致．即设向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，λ∈R，那么a±b＝(a1±b1，a2±b2，a3±b3)，λa＝(λa1，λa2，λa3)(λ∈R)，a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3. 问题2.如何用平面向量的坐标运算刻画平面向量的平行和垂直？这个结论在空间向量还成立吗？ 提示：设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，当b≠0时，a∥b的充要条件是a＝λb(λ∈R)，即a1b2－a2b1＝0，a⊥b的充要条件是a·b＝a1b1＋a2b2＝0(a≠0，b≠0)．上述充要条件在空间中仍成立，设空间向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，当b≠0时，a∥b的充要条件是a＝λb，λ∈R，可以用坐标表 示为(a1，a2，a3)＝λ(b1，b2，b3)，得到方程组 (λ∈R)，这就是空 间向量平行的充要条件的坐标表示． a⊥b的充要条件是a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a，b均为非零向量)． 知识点一　空间中向量的坐标 一般地，如果空间向量的基底{e1，e2，e3}中，e1，e2，e3都是单位向量，而且这三个向量__________，就称这组基底为______________；在单位正交基底下向量的分解称为向量的单位正交分解，而且，如果p＝xe1＋ye2＋ze3，则称有序实数组(x，y，z)为向量p的坐标，记作：p＝___________．其中，x，y，z都称为p的坐标分量． 新知构建 两两垂直 单位正交基底 (x，y，z) 知识点二　空间向量的运算与坐标的关系 1．空间向量的坐标运算法则 设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)． 向量运算 坐标表示 加法 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2) 减法 a－b＝(x1－x2，y1－y2，z1－z2) 数乘 λa＝(λx1，λy1，λz1)(λ∈R) 数量积 a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2 如果u，v是两个实数，那么ua＋vb＝(ux1＋vx2，uy1＋vy2，uz1＋vz2) 知识点三　空间向量平行与垂直的坐标表示 设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)． 1．向量平行的坐标表示 a∥b(a≠0)⇔b＝λa⇔  当a与三个坐标平面都不平行时，a∥b⇔_______________． 2．向量垂直的坐标表示 a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＋z1z2＝0. λx1 λy1 λz1 知识点四　空间直角坐标系 1．空间直角坐标系的建立 在空间中任意选定一点O作为坐标______，选择合适的平面先建立平面直角坐标系xOy，然后过O作一条与xOy平面______的数轴z轴．这样建立的空间直角坐标系记作O-xyz. 在空间直角坐标系O-xyz中，x轴、y轴、z轴是两两互相垂直的，它们都称为________；通过每两个坐标轴的平面都称为__________，分别记为xOy平面、yOz平面、zOx平面．z轴的正方向一般按照如下方式确定：在z轴的正半轴看xOy平面，x轴的正半轴绕O点沿________方向旋转90°能与y轴的正半轴重合． 原点 垂直 坐标轴 坐标平面 逆时针 注意：在平面内画空间直角坐标系O-xyz时，一般把x轴、y轴画成水平放置，x轴正方向与y轴正方向夹角为135°(或45°)，z轴与y轴(或x轴)垂直，如图所示． 2．空间直角坐标系中点的坐标 如右图，过点M(x，y，z)作面xOy的垂线，垂足为M′，在面xOy中，过点M′分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为A，C，则|x|＝M′C，|y|＝AM′，|z|＝MM′，x，y，z的符号视点M的位置而定，在写点M的坐标时，三个数字之间的顺序不可颠倒． 这样一来，空间中的点与三个实数组成的有序实数组之间，有了一一对应关系，空间一点M的位置完全由有序实数组(x，y，z)确定，因此将(x，y，z)称为点M的坐标，记作M(x，y，z)，此时，x，y，z都称为点M的坐标分量，且x称为点M的横坐标(或x坐标)，y称为点M的纵坐标(或y坐标)，z称为点M的竖坐标(或z坐标)． 3．卦限 三个坐标平面将不在坐标平面内的点分成了八部分，习惯上，每一部分都称为一个卦限．按逆时针方向，在坐标平面xOy上方，分别是第Ⅰ卦限，第Ⅱ卦限、第Ⅲ卦限、第Ⅳ卦限；在xOy的下方，分别是第Ⅴ卦限、第Ⅵ卦限、第Ⅶ卦限、第Ⅷ卦限(如图)．在不同卦限内，点的坐标的各分量的符号是有所不同的，例如在第Ⅰ卦限，三个坐标分量x，y，z都为正数；在第Ⅱ卦限，x为负数，y，z都为正数…… 知识点五　空间向量坐标的应用 1．空间直角坐标系中两点之间的距离公式 设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)为空间直角坐标系中的两点，则 ＝__________________________， | |＝______________________________． 空间向量在空间直角坐标系中的坐标，等于__________________________ _________________________． 2．空间直角坐标系中的中点坐标公式 设线段AB的中点为M(x，y，z)，则M的坐标为______________________． (x2－x1，y2－y1，z2－z1) 表示这个空间向量的有向线 段的终点坐标减去始点坐标 1．已知i，j，k是空间直角坐标系Oxyz的坐标向量，并且 ＝－i＋j－k，则B点的坐标为 A．(－1，1，－1) B．(－i，j，－k) C．(1，－1，－1) D．不确定 向量确定时，终点坐标随着起点坐标的变化而变化，本题中起点没固定，所以终点的坐标也不确定． √ 自主检测 2．已知向量a＝(3，－2，1)，b＝(－2，4，0)，则4a＋2b等于 A．(16，0，4) B．(8，－16，4) C．(8，16，4) D．(8，0，4) 4a＝(12，－8，4)，2b＝(－4，8，0)， 所以4a＋2b＝(8，0，4)． √ 3．已知向量a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k＝ ka＋b＝(k－1，k，2)，2a－b＝(3，2，－2)， 且(ka＋b)(2a－b)＝3(k－1)＋2k－4＝0，解得k＝ . √ 4．若a＝(x，2，2)，b＝(2，－3，5)的夹角为钝角，则实数x的取值范围是____________． (－∞，－2) 合作探究 返回 例1 方法二：建系同方法一，则B(0，1，0)，A(1，0，0)，A1(1，0，2)，N(1，0，1)， 方法技巧 用坐标表示空间向量的步骤 题型二　空间向量的坐标运算 　　 (链教材P20例3)(1)已知a＝(－1，2，1)，b＝(2，0，1)，则(2a＋3b)·(a－b)＝________． 例2 易得2a＋3b＝(4，4，5)，a－b＝(－3，2，0)， 则(2a＋3b)·(a－b)＝4×(－3)＋4×2＋5×0＝－4. 思路点拨　根据相应的空间向量坐标运算法则进行计算即可． －4 设B(x，y，z)，C(x1，y1，z1)， 所以点B的坐标为(6，－4，5)． 所以点C的坐标为(9，－6，10)． 设P(x2，y2，z2)， 方法技巧 空间向量的坐标运算的解题思路及技巧 利用向量坐标运算解决问题的关键是熟记向量坐标运算的法则，同时掌握下列技巧： 1．在运算中注意相关公式的灵活运用，如(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2，(a＋b)·(a＋b)＝(a＋b)2等． 2．进行向量坐标运算时，可以先代入坐标再运算，也可先进行向量式的化简再代入坐标运算，如计算(a＋b)·(a－b)，既可以先求出a＋b，a－b，然后求数量积，也可以把(a＋b)·(a－b)写成a2－b2后计算． 方法技巧 3．向量的数量积运算一般有两种解题思路：一是先求坐标，再运算；二是先类比多项式进行化简，再代入坐标求解．解题时应恰当选择解题方法． 4．掌握空间向量坐标运算的法则是解这类题的关键，空间向量坐标运算的法则和平面向量类似，可类比记忆．　　 对点练2．(1)若向量a＝(1，1，x)，b＝(1，2，1)，c＝(1，1，1)满足条件(c－a)·2b＝－2，则x＝________． c－a＝(0，0，1－x)，2b＝(2，4，2)，由(c－a)·2b＝－2得2(1－x)＝－2，解得x＝2. 2 例3 解得λ＝±1. 所以c＝(－2，－1，2)或c＝(2，1，－2)． (2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k. 思路点拨　把ka＋b与ka－2b用坐标表示出来，再根据数量积为0求解． 所以ka＋b＝(k－1，k，2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4)． 因为(ka＋b)⊥(ka－2b)， 所以(ka＋b)·(ka－2b)＝0， 即(k－1，k，2)·(k＋2，k，－4)＝2k2＋k－10＝0， 方法技巧 判断空间向量垂直或平行的步骤 1．向量化：将空间中的垂直与平行转化为向量的垂直与平行； 2．向量关系代数化：写出向量的坐标； 对点练3．如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC，EF∥AC，AB＝ ，CE＝EF＝1.求证： (1)AF∥平面BDE； 证明：设AC与BD交于点G，连接EG. 因为EF∥AC，且EF＝1，AG＝ AC＝1， 所以四边形AGEF为平行四边形， 所以AF∥EG. 因为EG⊂平面BDE，AF⊄平面BDE， 所以AF∥平面BDE. (2)CF⊥平面BDE. 证明：因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面相互垂直，且CE⊥AC，所以CE⊥平面ABCD. 如图，以C为原点，建立空间直角坐标系C-xyz. 即CF⊥BE，CF⊥DE. 又BE∩DE＝E，且BE⊂平面BDE，DE⊂平面BDE， 所以CF⊥平面BDE. 题型四　空间向量的夹角与长度问题 　　 (链教材P25例7)如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别为A1B1，A1A的中点． (1)求BN的长； 例4 思路点拨 　建系C－xyz → 得各点的坐标 → 数量积运算 → 夹角、长度公式 → 几何结论 解：如图所示，建立空间直角坐标系C-xyz. 依题意得B(0，1，0)， N(1，0，1)， (2)求A1B与B1C所成角的余弦值； 解：依题意得A1(1，0，2)，C(0，0，0)，B1(0，1，2)， (3)求证：BN⊥平面C1MN. 证明：依题意得A1(1，0，2)，C1(0，0，2)，B(0，1，0)， 所以BN⊥C1M，BN⊥C1N， 又因为C1M∩C1N＝C1，C1M⊂平面C1MN，C1N⊂平面C1MN， 所以BN⊥平面C1MN. 方法技巧 1．利用向量数量积的坐标公式求异面直线所成角的步骤 (1)根据几何图形的特点建立适当的空间直角坐标系； (2)利用已知条件写出有关点的坐标，进而获得相关向量的坐标； (3)利用向量数量积的坐标公式求得异面直线上有关向量的夹角，并将它转化为异面直线所成的角． 2．利用向量坐标求空间中线段的长度的一般步骤 (1)建立适当的空间直角坐标系； (2)求出线段端点的坐标； (3)利用两点间的距离公式求出线段的长．　　 对点练4．在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是DD1，DB 的中点，G在棱CD上，CG＝ CD，H是C1G的中点． (1)求证：EF⊥B1C； 所以EF⊥B1C. (2)求EF与C1G所成角的余弦值； (3)求FH的长． 典例 因为a与b的夹角为钝角，所以a·b<0， 若a与b的夹角为180°， 则存在λ<0，使a＝λb(λ<0)， 易错精析 因为a与b的夹角为钝角，所以a·b<0， 错因　a，b的夹角为钝角与a·b<0并不等价，a·b<0中包含着〈a，b〉＝180°的情形，〈a，b〉＝180°的情形可利用a＝λb(λ<0)，也可利用a·b＝－|a|·|b|，即cos〈a，b〉＝－1求得，同样a·b>0也包含着〈a，b〉＝0°的情形，解题时应把这种情况剔除． 返回 课时测评 返回 1．(多选)下列各命题正确的是 A．点(1，－2，3)关于平面Oxz的对称点为(1，2，3) C．点(2，－1，3)到平面Oyz的距离为1 D．设{i，j，k}是空间向量的单位正交基底，若m＝3i－2j＋4k，则m＝(3，－2，4) “关于谁对称谁不变”，所以A正确，B正确，C中(2，－1，3)到平面Oyz的距离为2，所以C错误．根据空间向量的坐标定义，D正确． √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ A．(－1，1，－1) B．(－i，j，－k) C．(1，－1，－1) D．(1，－1，1) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3．向量a＝(－2，－3，1)，b＝(2，0，4)，c＝(－4，－6，2)，下列结论正确的是 A．a∥b，a⊥b B．a∥b，a⊥c C．a∥c，a⊥b D．以上都不对 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4．在空间直角坐标系中，已知A(1，－2，1)，B(2，2，2)，点P在z轴上，且满足|PA|＝|PB|，则P点坐标为 A．(3，0，0) B．(0，3，0) C．(0，0，3) D．(0，0，－3) 设P(0，0，z)， √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5．(多选)若向量a＝(1，2，0)，b＝(－2，0，1)，则下列结论正确的是 A．cos〈a，b〉＝－ B．a⊥b C．a∥b D．|a|＝|b| √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (－4，3，2) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 120° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 B(1，0，0)，D(0，1，0)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10．(10分)在长方体OABC－O1A1B1C1中，OA＝2，AB＝3，AA1＝2，E是BC的中点，以O为原点，建立空间直角坐标系，用向量方法解决下列 问题． (1)求异面直线AO1与B1E所成角的余弦值； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由题意得A(2，0，0)，O1(0，0，2)，B1(2，3，2)，E(1，3，0)， 因为异面直线所成的角为锐角或直角， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)过点O1作O1D⊥AC于点D，求点O1到点D的距离． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11．(5分)(多选)从点P(1，2，3)出发，沿着向量v＝(－4，－1，8)方向取点Q，使|PQ|＝18，则Q点的坐标为 A．(－1，－2，3) B．(9，4，－13) C．(－7，0，19) D．(1，－2，－3) √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13．(10分)棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是DD1，BD，BB1的中点． (1)求证：EF⊥CF； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (3)求CE的长． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14．(5分)(新角度)如图所示的正方体是一个三阶魔方(由27个全等的棱长为1的小正方体构成)，正方形ABCD是上底面正中间的一个正方形，正方形A1B1C1D1是下底面最大的正方形，已知点P是线段AC上的动点，点Q是线 段B1D上的动点，则线段PQ长度的最小值为________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 则有(－1，0，2)＝α(－1，1，0)＋β(0，－1，2)＝(－α，α－β，2β)， 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 谢 谢 观 看 ！ 第 一 章 空 间 向 量 与 立 体 几 何 返回 2．空间向量长度公式的坐标表示 若a＝(x1，y1，z1)，则|a|＝＝＝，即|a|＝. 3．空间向量夹角公式的坐标表示 若a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)则 cos〈a，b〉＝＝__________________________ . ＝＝ 题型一　空间直角坐标系及坐标表示 　　 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1的底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别为A1B1，A1A的中点，试建立恰当的坐标系求向量，，的坐标． 思路点拨　以点C为原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，然后，把BN，，分别用，，表示出来，再写出它们的坐标． 解：方法一：由题意知CC1⊥AC，CC1⊥BC，AC⊥BC，以C为原点，，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系C-xyz，如图所示． 对点练1．已知在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝4，M为BC1的中点，N为A1B1的中点，建立适当的空间直角坐标系，求向量，，的坐标． ③若点P在AC上，且＝，求点P的坐标． (2)已知O是坐标原点，且A，B，C三点的坐标分别是(2，－1，2)，(4，5，－1)，(－2，2，3)，求适合下列条件的点P的坐标． ①＝(－)； ＝(－)＝(6，3，－4)＝，则点P的坐标为 . 题型三　空间向量的平行与垂直 　　 (链教材P21例4)已知空间三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)．设a＝，b＝. (1)若|c|＝3，c∥，求c； 思路点拨　根据c∥，设c＝λ，则向量c的坐标可用λ表示，再利用|c|＝3求λ值； 3．对于a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，根据x1x2＋y1y2＋z1z2是否等于0，判断两向量是否垂直；根据x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2(λ∈R)或＝＝(x2，y2，z2都不为0)判断两向量是否平行． 则C(0，0，0)，A(，，0)，B(0，，0)， D(，0，0)，E(0，0，1)，F. N(1，0，1)，M ， 解：如图，以D为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系D-xyz， 则B1(1，1，1)，C(0，1，0)，E，F，G，C1(0，1，1)，H， 证明：＝，＝(－1，0，－1)， 解：如图，以D为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系D-xyz， 则B1(1，1，1)，C(0，1，0)，E，F，G，C1(0，1，1)，H， 因为＝， ||＝ ＝， ||＝ ＝， 解：如图，以D为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系D-xyz， 则B1(1，1，1)，C(0，1，0)，E，F， G，C1(0，1，1)，H， 易错点　对空间向量的夹角概念理解不清 　　 已知向量a＝(5，3，1)，b＝，若a 与b的夹角为钝角，求实数t的取值范围． 6．如图所示，以长方体ABCD-A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若 的坐标为(4，3，2)，则 的坐标为______________． 7．已知空间三点A(1，1，1)，B(－1，0，4)，C(2，－2，3)，则与的夹角的大小是________． 8．(一题两空)已知A(1，2，0)，B(0，1，－1)，P是x轴上的动点，当||＝ ||时，点P的坐标为_________；当·取最小值时，点P的坐标为________． 因为P在x轴上，设P(x，0，0)，由||＝||，则(x－1)2＋4＋0＝x2＋1＋1解得x＝.所以点P的坐标为，又＝(x－1，－2，0)，＝(x，－1，1).·＝x(x－1)＋2＝＋，所以当x＝时，·取最小值，此时点P的坐标为. 9．(10分)如图，在正四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，O是AC与BD的交点，PO＝1，M是PC的中点．设＝a，＝b，＝c. 解：因为＝＋，＝，＝，＝－，＝＋， 所以＝－a＋b＋c＝－(1，0，0)＋(0，1，0)＋＝ . 解：由题意得，以O为原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示， 由题意得⊥，∥，C(0，3，0)，设D(x，y，0)， 则＝(x，y，－2)，＝(x－2，y，0)， ＝(－2，3，0)，所以 解得所以D， 所以O1D＝||＝ ＝ ＝. 12．(5分)如图所示，正四面体ABCD的棱长为1，G是△BCD的中心，建立如图所示的空间直角坐标系，则的坐标为____________________，的坐标为_____________________． 由题意可知，BG＝BE＝×＝，所以AG＝＝＝，所以＝－k＝－(0，0，1)＝，＝－＝－j－k＝－(0，1，0)－(0，0，1)＝. 解：建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，则D(0，0，0)，E，C(0，1，0)，F，G. 所以＝，＝，＝，＝. 证明：因为·＝×＋×＋×0＝0，所以⊥，即EF⊥CF. (2)求与所成角的余弦值； 解：建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，则D(0，0，0)，E，C(0，1，0)，F，G. 所以＝，＝，＝，＝. 因为·＝×1＋×0＋×＝， ||＝ ＝， ||＝ ＝， ||＝ ＝. 解：建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，则D(0，0，0)，E，C(0，1，0)，F，G. 所以＝，＝，＝，＝. 所以||2＝(1＋μ－2λ)2＋(2－μ－2λ)2＋(3－3λ)2＝17λ2－30λ＋2μ2－2μ＋14＝172＋22＋.当λ＝且μ＝时，||2取得最小值，所以线段PQ长度的最小值为. 解得 即D(－1，1，2)． 解：设D(x，y，z)，则 ＝(－x，1－y，－z)， ＝(－1，0，2)， ＝(－x，－y，2－z)， ＝(－1，1，0)． 因为 ∥ ， ∥ ，所以存在实数m，n， 使 ＝m ， ＝n ， 即 (2)问是否存在实数α，β，使得 ＝α ＋β 成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，说明理由． 解：依题意 ＝(－1，1，0)， ＝(－1，0，2)， ＝(0，－1，2)． 假设存在实数α，β，使得 ＝α ＋β 成立． $