专题06 全称量词与存在量词（题型专练）高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 围绕全称量词与存在量词，构建“概念识别-符号转换-逻辑判断-参数应用”的递进式方法体系，通过典例变式强化抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念与命题改写|2题型，2典例+6变式|量词词汇/符号识别，文字-符号互转三步骤|从显性/隐性量词识别到命题符号化表达| |真假判断与否定|2题型，2典例+6变式|∀/∃命题真假判定规则，否定"量词互换+结论否定"两步法|基于命题逻辑的真假推理与否定规则构建| |参数问题与综合应用|3题型，3典例+9变式|恒成立/存在性问题转化，综合应用逻辑准则|从命题真假到参数范围的数学语言表达与问题转化|

专题06 全称量词与存在量词 （题型突破·举一反三） ▌题型01 区分全称量词命题与存在量词命题 【典例1】B 【分析】由全称量词的定义逐项判断即可． 【详解】选项A，含有存在量词“存在一个”，该命题是存在量词命题，所以A错误； 选项B，含有全称量词“每个”，该命题是全称量词命题，所以B正确； 选项C，含有存在量词“至少有一个”，该命题是存在量词命题，所以C错误； 选项D，含有存在量词“有些”，该命题是存在量词命题，所以D错误． 故选：B． 【变式1-1】D 【分析】结合存在量词命题的定义检验各选项即可求解． 【详解】解：结合选项及存在量词命题的定义可知，中有一个为全称量词， 故该命题为存在量词命题，正确． 故选：． 【变式1-2】C 【分析】利用全称量词命题的概念及命题真假判断，即可作出选择． 【详解】解：当时，无实数根，错误， 由不等式性质知，是真命题； ，是存在量词命题，应排除． 故选：． 【变式1-3】（1）存在量词命题，是真命题； （2）全称量词命题，是假命题； （3）全称量词命题，是真命题； （4）是存在量词命题，是真命题． 【分析】先判断所给的命题是全称量词命题还是存在量词命题，再判断它们的真假性． 【详解】解：（1）命题：“存在，使得”是存在量词命题，如时，成立，它是真命题； （2）命题：“矩形的对角线互相垂直平分”是全称量词命题， 因为邻边不相等的矩形对角线不互相垂直，所以它是假命题； （3）命题：“三角形的两边之和大于第三边”是全称量词命题， 因为任意三角形中都有两边之和大于第三边，所以它是真命题； （4）命题：“有些质数是奇数”是存在量词命题， 因为3是质数，是也是奇数，所以它是真命题． ▌题型02 文字命题与量词符号命题相互改写 【典例2】B 【分析】利用文字命题转符号命题的规则，先识别量词和取值范围，再判断选项。 【详解】“任意”对应全称量词，“实数”对应，因此改写为； A、D使用了存在量词，不符合题意； C的取值范围是（自然数），与题目中的“实数”不符，排除。 故选：B。 【变式2-1】B 【分析】利用符号命题转文字命题的规则，先翻译量词和取值范围，再判断选项。 【详解】表示“存在”，表示“有理数”，表示“平方等于2”； 因此文字命题为“存在一个有理数，它的平方等于2”； A、D使用了全称量词“所有”，不符合题意； C的取值范围是“实数”，与题目中的不符，排除。 故选：B。 【变式2-2】 【分析】“有些”对应存在量词，取值范围是“三角形”集合； 【详解】结论是“是等腰三角形”，因此改写为。 【变式2-3】（1）∀x∈{x|x＞﹣1}，3x+4＞0成立； （2）∀a∈R，b∈R，方程ax+b＝0恰有一个解； （3）∃整数既能被2整除，又能被3整除； （4）∃四边形不是平行四边形． 【分析】结合“∀”或“∃”的含义分别表示各命题即可． 【详解】解：（1）∀x∈{x|x＞﹣1}，3x+4＞0成立； （2）∀a∈R，b∈R，方程ax+b＝0恰有一个解； （3）∃整数既能被2整除，又能被3整除； （4）∃四边形不是平行四边形． ▌题型03 全称量词命题与存在量词命题真假判断 【典例3】C 【分析】根据一元二次不等式恒成立、绝对值、数集及一元二次方程根的判别式逐项分析判断即可． 【详解】解：选项A：x2+2x+3＝（x+1）2+2≥2＞0，即x2+2x+3＞0恒成立，故不存在实数x使原式小于0，为假命题，A错误； 选项B：当x＝0时，|x|＝0，不满足|x|＞0，p2为假命题，B错误； 选项C：Z是整数集，自然数集N是非负整数集，故p3为真命题，C正确； 选项D：Δ＝（﹣5）2﹣4×1×10＝﹣15＜0，方程无实数根，不存在实数x使方程成立，p4为假命题，D错误． 故选：C． 【变式3-1】C 【分析】结合全称及存在量词命题真假关系及复合命题的真假即可求解． 【详解】解：因为x2﹣x+1＞0恒成立，故命题p：∃x∈R，x2﹣x+1≤0为假命题，￢p为真命题； 因为|x|+x≥0恒成立，则命题q：∀x∈R，|x|+x≥0为真命题，￢q为假命题． 故选：C． 【变式3-2】A 【分析】由题意可知B⫋A，再结合元素与集合的关系求解． 【详解】解：因为集合A＝{x|x≥1}，B＝{x|x＞2}， 所以B⫋A， 所以∃x∈A，x∈B，故A正确，C错误； 所以∀x∈B，x∈A，故B错误； 所以∃x∈A，x∉B，故D错误． 故选：A． 【变式3-3】D 【分析】举出反例，结合素数、偶数的定义，即可求解． 【详解】解：所有可以被5整除的整数，末尾数字不都是0，例如整数15可以被5整除，但末尾数字是5，不是0，故A错误； 2是偶数，同时也是素数（质数），故B错误； 因为n2+n＝n（n+1），这是两个连续整数的乘积，必然是一奇一偶，乘积为偶数，所以不可能是奇数，故C错误； 若n是偶数，设n＝2k，则n2+1＝4k2+1，除以4余1； 若n是奇数，设n＝2k+1，则n2+1＝4k2+4k+2，除以4余2，两种情况都不能被4整除， 综上所述，任意一个整数n，n2+1都不是4的倍数，故D正确． 故选：D． ▌题型04 全称量词命题、存在量词命题的规范否定书写 【典例4】B 【分析】结合命题否定的定义，即可求解． 【详解】解：由命题否定的定义可知，命题“∃x∈R，x2﹣2x+1≥0”的否定是“∀x∈R，x2﹣2x+1＜0”． 故选：B． 【变式4-1】B 【分析】利用含有一个量词的命题的否定即可得到答案． 【详解】解：因为命题p：∀x＞0，ln（x+3）≥0， 所以￢p：∃x＞0，ln（x+3）＜0． 故选：B． 【变式4-2】B 【分析】先判断命题p的真假，再根据全称命题的否定规则写出命题p的否定，最后根据判断结果选择正确选项． 【详解】解：sin（α）＝sin[（α）]＝cos（α），所以命题p为真命题． 它的否定为：． 故选：B． 【变式4-3】D 【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可． 【详解】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题p的否定为：∀x∈（0，4），1≤x≤3． 故选：D． ▌题型05 全称量词命题真假性与恒成立型参数问题 【典例5】 【分析】先求出命题为真命题时的取值范围，进而即可得到命题为假命题时的取值范围． 【详解】解：若命题：“，，”为真命题， 由，则， 所以命题为假命题时，． 故选：． 【变式5-1】C 【分析】结合全称量词命题真假关系及二次函数行政即可求解． 【详解】解：若命题“∀x0∈R使得为真命题， 则Δ＝a2﹣4（a+3）≤0， 解得﹣2≤a≤6． 故选：C． 【变式5-2】A 【分析】由已知结合存在量词及全称量词命题的真假关系即可求解． 【详解】解：因为集合A＝{x|5≥x≥﹣2}，集合B＝{x|2m﹣1≥x≥m+1，m∈R}， 若命题“∃x∈A，使得x∈B”为真命题，命题“∀x∈B，都有x∈A”为假命题， 则B∩A≠∅，B⊈A， 若B＝∅，则2m﹣1＜m+1，解这个不等式：2m﹣m＜1+1，即m＜2，此时A∩B＝∅，不满足A∩B≠∅，舍去； 若B≠∅，则2m﹣1≥m+1，即m≥2，因为A∩B≠∅，所以或， 解可得3＜m≤4， 综上，实数m的取值范围是（3，4]． 故选：A． 【变式5-3】[0，20）． 【分析】结合全称量词命题真假关系即可求解． 【详解】解：当m＝0时，不等式化为5＞0恒成立，符合题意； 当m≠0时，mx2+mx+5＞0对任意x∈R恒成立，需满足： ，解得0＜m＜20， 综上可得m∈[0，20）． 故答案为：[0，20）． ▌题型06 存在量词命题真假性与存在型参数问题 【典例6】A 【分析】结合存在量词命题的真假关系即可求解． 【详解】解：若“∃a∈[5，7]，x2﹣ax+6≥0”为假命题， 由题意可得“∀a∈[5，7]，x2﹣ax+6＜0''为真命题，则 解得2＜x＜3． 故选：A． 【变式6-1】（﹣∞，0）∪（5，+∞）． 【分析】结合存在量词命题真假及二次函数性质即可求解． 【详解】解：命题“∃x0∈R，使得”为真命题， 所以， 解得m＜0或m＞5， 即实数m的取值范围为（﹣∞，0）∪（5，+∞）． 故答案为：（﹣∞，0）∪（5，+∞）． 【变式6-2】（﹣∞，1]． 【分析】先将原命题的假命题转化为其否命题为真命题，再把式子视为关于b的方程，利用判别式得到关于a的不等式，最后分1﹣λ≥0和1﹣λ＜0两种情况分析，确定λ的取值范围． 【详解】解：原命题的否命题：“∀c∈R，∃a，b∈R，使得λa2+b2﹣2ab+2b+c＝0”是真命题． 所以对任意实数c，方程b2﹣2（a﹣1）b+λa2+c＝0都有实数解（a，b）． 故而对任意实数c都有解． 即关于a的不等式（1﹣λ）a2﹣2a+1﹣c≥0对任意固定的实数c都有解， ①若1﹣λ≥0，即λ≤1， 当λ＝1时，﹣2a+1﹣c≥0，对任意c显然有解． 当λ＜1时，f（a）＝（1﹣λ）a2﹣2a+1﹣c开口向上， 其值域包含正数，故对任意c，总存在a使得f（a）≥0．所以λ≤1符合题意． ②若1﹣λ＜0，即λ＞1．关于a的二次函数g（a）＝（1﹣λ）a2﹣2a+1﹣c开口向下， 其最大值为． 要使不等式g（a）≥0对任意c都有解，则需要其最大值对任意c都非负， 即对任意c恒成立，显然不可能，故λ＞1不符合题意． 因此，λ的取值范围是（﹣∞，1]． 故答案为：（﹣∞，1]． 【变式6-3】（1）{m|2＜m＜5}．（2）． 【分析】（1）若“命题p：∃x∈A，x∈B”是真命题，根据集合间的关系转换不等式组进行判断即可； （2）若s：x∈B是t：x∈A的充分不必要条件，利用充要条件转换不等式组可求实数m的取值范围． 【详解】解：集合A＝{x|x2﹣5x﹣6＜0}＝{x|﹣1＜x＜6}， （1）∵B≠∅， ∴2m﹣1＞m+1⇒m＞2， 命题p：∃x∈A，x∈B是真命题，可知A∩B≠∅， ∴A＝{x|﹣1＜x＜6}，B＝{x|m+1＜x＜2m﹣1}， ，∴2＜m＜5，故m的取值范围是{m|2＜m＜5}． （2）若s：x∈B是t：x∈A的充分不必要条件，得B是A的真子集，B≠∅， ，解得，故m的取值范围是． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/7/15 20:20:58；用户：小旭比；邮箱：2578410592@qq.com；学号：2812273 ▌题型07 命题真假、命题否定与不等式综合应用 【典例7】AD 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题判断A；根据绝对值的性质判断B；由集合的表示即可判断C；分类讨论求出参数的值，即可判断D． 【详解】解：对于A：∃x∈R，使得x2+x+1＜0的否定是“∀x∈R，都有x2+x+1≥0”，故A正确； 对于B：因为|x|≥0，则|x|+1≥1，所以对∀x∈R，|x|+1≠0，即命题“∃x∈R，|x|+1＝0”是假命题，故B错误； 对于C：集合{（x，y）|y＝x2}表示点集，集合{y|y＝x2}表示数集， 所以集合{（x，y）|y＝x2}与集合{y|y＝x2}不表示同一集合，故C错误； 对于D：若，解得，则集合，符合题意， 若，此时m无解，因此若3∈A，则m的值为，故D正确． 故选：AD． 【变式7-1】ACD 【分析】由全称量词命题的定义及真假判断A，B选项，由存在量词命题及真假判断C，D选项． 【详解】解：对于A，B，“每个整数的平方都是整数”是真命题，是全称量词命题，故A正确，B错误； 对于C，D，因为x＝42.2＞15，所以“∃x∈[1，15]，＝41.1”是假命题， 其否定是“∀x∈[1，15]，”，故C，D正确． 故选：ACD． 【变式7-2】（1）[4，+∞）； （2）（﹣∞，1）∪（2，4）． 【分析】（1）由题设可得在x∈[﹣1，1]上，x2﹣2x﹣3≥﹣m恒成立，应用二次函数的性质求左侧最小值，即可得范围； （2）先求出q为真对应参数范围，结合（1）讨论p、q的真假求参数范围． 【详解】解：（1）由p为假命题，可知对∀x∈[﹣1，1]，x2﹣2x﹣3+m≥0恒成立， 所以对∀x∈[﹣1，1]，x2﹣2x﹣3≥﹣m恒成立， 由y＝（x﹣1）2﹣4在x∈[﹣1，1]上单调递减，故ymin＝﹣4， 所以﹣m≤﹣4，解得m≥4， 即实数m的取值范围是[4，+∞）； （2）由（1）知，p为真时m＜4， 若q为真，则对∀x∈[0，1]，2x﹣2≥m2﹣3m恒成立， 所以， 即m2﹣3m+2≤0，解得1≤m≤2， 若p真q假，则有，故m＜1或2＜m＜4； 若p假q真，则，显然无解； 综上，实数m的取值范围是（﹣∞，1）∪（2，4）． 【变式7-3】（1）m∈（﹣∞，0）； （2）①∀m∈[0，1]，不等式x2﹣3x＞2m﹣2成立；②x∈（﹣∞，0）∪（3，+∞）． 【分析】（1）将问题转换为x∈[﹣1，1]，m＜（﹣x2+2x+3）min即可． （2）①由命题的否定的定义即可得解；②将问题转换为∀m∈[0，1]，x2﹣3x＞（2m﹣2）max即可． 【解答】解：（1）若p为真命题，则对x∈[﹣1，1]，m＜（﹣x2+2x+3）min， 由于函数y＝﹣x2+2x+3在区间x∈[﹣1，1]上单调递增， 所以x∈[﹣1，1]时，（﹣x2+2x+3）min＝0，所以m∈（﹣∞，0）； （2）①q的否定为：∀m∈[0，1]，不等式x2﹣3x＞2m﹣2成立； ②若q为假命题，则“∀m∈[0，1]，不等式x2﹣3x＞2m﹣2成立”为真命题， 那么对于∀m∈[0，1]，x2﹣3x＞（2m﹣2）max即可． 因为m∈[0，1]，2m﹣2∈[﹣2，0]， 所以x2﹣3x＞0，解得x∈（﹣∞，0）∪（3，+∞）． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 全称量词与存在量词 （题型突破·举一反三） 题型01 区分全称量词命题与存在量词命题 1 题型02 文字命题与量词符号命题相互改写 2 题型03 全称量词命题与存在量词命题真假判断 4 题型04全称量词命题、存在量词命题的规范否定书写 5 题型05 全称量词命题真假性与恒成立型参数问题 6 题型06 存在量词命题真假性与存在型参数问题 7 题型07 命题真假、命题否定与不等式综合应用 8 ▌题型01 区分全称量词命题与存在量词命题 1.全称量词：词汇：所有、任意、一切、每一个、任给；符号：。含有全称量词的命题称为全称量词命题；标准形式：。 2.存在量词：词汇：存在一个、至少有一个、有些、某个；符号：。含有存在量词的命题称为存在量词命题；标准形式：。 3.隐藏量词辨析：部分命题没有显性量词，需要结合语句含义自行还原量词，再判断命题类型。 示例：平行四边形对角线互相平分 ⇨ 还原：所有平行四边形对角线互相平分（全称量词命题） 【典例1】（2026高一·全国·专题练习）下列命题是全称量词命题的是（    ） A．存在一个实数的平方是负数 B．每个四边形的内角和都是 C．至少有一个整数是质数 D．有些实数满足 【答案】B 【分析】由全称量词的定义逐项判断即可． 【详解】选项A，含有存在量词“存在一个”，该命题是存在量词命题，所以A错误； 选项B，含有全称量词“每个”，该命题是全称量词命题，所以B正确； 选项C，含有存在量词“至少有一个”，该命题是存在量词命题，所以C错误； 选项D，含有存在量词“有些”，该命题是存在量词命题，所以D错误． 故选：B． 【变式1-1】（25-26高一上•江苏常州•阶段检测）下列命题是存在量词命题的是（　　） A．对任意实数， B．不存在实数， C．矩形对角线相等 D．有一个数不能做除数 【变式1-2】（25-26高一上·湖南岳阳·期中）下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（　　） A．，方程有实数根 B．存在一条直线与已知直线不平行 C．对任意实数若，则 D．存在一个实数x，使等式成立 【变式1-3】（25-26高一全国•寒假作业）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断真假． （1）存在，使得； （2）矩形的对角线互相垂直平分； （3）三角形的两边之和大于第三边； （4）有些质数是奇数． ▌题型02 文字命题与量词符号命题相互改写 1.文字转符号：先识别量词（），确定变量范围集合，最后写出结论； 全称句式模板：对集合中任意一个，有结论，写作； 存在句式模板：集合中存在一个，使得结论成立，写作。 2.符号转文字：按照“量词、变量范围、结论”顺序通顺翻译，不能丢失限定条件。 3.注意：改写不能改变命题原本含义，变量取值范围不能省略。 【典例2】（25-26高一上·湖南长沙·期中）将文字命题“任意一个实数的平方都大于等于0”改写为符号命题，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】利用文字命题转符号命题的规则，先识别量词和取值范围，再判断选项。 【详解】“任意”对应全称量词，“实数”对应，因此改写为； A、D使用了存在量词，不符合题意； C的取值范围是（自然数），与题目中的“实数”不符，排除。 故选：B。 【变式2-1】（25-26高一上·湖北武汉·期中）将符号命题改写为文字命题，正确的是（ ） A. 所有有理数的平方都等于2 B. 存在一个有理数，它的平方等于2 C. 存在一个实数，它的平方等于2 D. 所有实数的平方都等于2 【变式2-2】（25-26高一上·江西南昌·期中）将文字命题“有些三角形是等腰三角形”改写为符号命题：__________。 【变式2-3】（25-26高一上·吉林白城·阶段检测 ）用量词符号“∀”或“∃”表述下列命题． （1）对任意x∈{x|x＞﹣1}，3x+4＞0成立； （2）对所有实数a，b，方程ax+b＝0恰有一个解； （3）有些整数既能被2整除，又能被3整除； （4）某个四边形不是平行四边形． ▌题型03 全称量词命题与存在量词命题真假判断 1. 为真：集合内所有元素都满足条件，需要全部证明； 2. 为假：只需在集合中找出1个反例，存在某个使不成立即可； 3. 为真：在集合中找到至少1个满足，举例即可证明； 为假：集合内全部元素都不满足，需要证明所有都使结论不成立。 易错提醒：不能依靠少数几个例子判定全称命题为真。 【典例3】（2026春•襄城县期中）下列命题中为真命题的是（　　） A．p1：∃x∈R，x2+2x+3＜0 B．p2：∀x∈R，|x|＞0 C．p3：∀x∈Z，|x|∈N D．p4：∃x∈R，x2﹣5x+10＝0 【答案】C 【分析】根据一元二次不等式恒成立、绝对值、数集及一元二次方程根的判别式逐项分析判断即可． 【详解】解：选项A：x2+2x+3＝（x+1）2+2≥2＞0，即x2+2x+3＞0恒成立，故不存在实数x使原式小于0，为假命题，A错误； 选项B：当x＝0时，|x|＝0，不满足|x|＞0，p2为假命题，B错误； 选项C：Z是整数集，自然数集N是非负整数集，故p3为真命题，C正确； 选项D：Δ＝（﹣5）2﹣4×1×10＝﹣15＜0，方程无实数根，不存在实数x使方程成立，p4为假命题，D错误． 故选：C． 【变式3-1】（2026春•慈溪市期末）已知命题p：∃x∈R，x2﹣x+1≤0；命题q：∀x∈R，|x|+x≥0，则（　　） A．p和q都是真命题 B．p和￢q都是真命题 C．￢p和q都是真命题 D．￢p和￢q都是真命题 【变式3-2】（2026高一•全国•专题练习）已知集合A＝{x|x≥1}，B＝{x|x＞2}，则（　　） A．∃x∈A，x∈B B．∃x∈B，x∉A C．∀x∈A，x∉B D．∀x∈A，x∈B 【变式3-3】（25-26高三上·山东青岛·期末 )下列命题正确的是（　　） A．所有可以被5整除的整数，末尾数字都是0 B．任意一个偶数都不是素数 C．至少有一个整数n，使得n2+n是奇数 D．任意一个整数n，n2+1都不是4的倍数 ▌题型04 全称量词命题、存在量词命题的规范否定书写 命题否定的两个步骤：①量词互换；②否定结论 1.全称量词命题 否定 （全称 改为存在，再否定后面结论） 2.存在量词命题 否定 （存在 改为全称，再否定后面结论） 3.常用词语否定对照表 正面词语 等于 大于 小于 是 都是 任意 至多一个 至少一个 否定词语 ≠ ≤ ≥ 不是 不都是 某个 至少两个 一个也没有 4.关键易错点：命题否定既要更换量词，又要否定结论；只否定结论会直接出错！ 5.逻辑关系：原命题和它的否定一定一真一假。 【典例4】（2026•广州模拟）命题“∃x∈R，x2﹣2x+1≥0”的否定是（　　） A．∀x∈R，x2﹣2x+1≤0 B．∀x∈R，x2﹣2x+1＜0 C．∃x∈R，x2﹣2x+1＞0 D．∃x∈R，x2﹣2x+1≥0 【答案】B 【分析】结合命题否定的定义，即可求解． 【详解】解：由命题否定的定义可知，命题“∃x∈R，x2﹣2x+1≥0”的否定是“∀x∈R，x2﹣2x+1＜0”． 故选：B． 【变式4-1】（2026•北碚区校级模拟）已知命题p：∀x＞0，ln（x+3）≥0，则￢p为（　　） A．∃x≤0，ln（x+3）＜0 B．∃x＞0，ln（x+3）＜0 C．∃x＞0，ln（x+3）≤0 D．∃x≤0，ln（x+3）≤0 【变式4-2】（2026•汕头二模）已知命题p：∀α∈R，，则下列结论正确的是（　　） A．p为真命题，且命题p的否定为：∀α∈R， B．p为真命题，且命题p的否定为：∃α∈R， C．p为假命题，且命题p的否定为：∀α∈R， D．p为假命题，且命题p的否定为：∃α∈R， 【变式4-3】（2026•福建模拟）已知命题p：∃x∈（0，4），x＜1或x＞3，则命题的否定是（　　） A．∃x∈（0，4），x≥1或x≤3 B．∃x∈（0，4），1≤x≤3 C．∀x∈（0，4），x≥1或x≤3 D．∀x∈（0，4），1≤x≤3 ▌题型05 全称量词命题真假性与恒成立型参数问题 1. 为真 ⇨ 恒成立问题 2. 为假 它的否定 为真，转化为存在性问题求解； 3.解题思路：先翻译命题真假，转化为函数最值、不等式恒成立模型；常结合一次、二次函数图像性质。 【典例5】（2026•广州模拟）若命题：“，，”为假命题，实数的取值范围（　　） A．， B．， C． D．， 【答案】 【分析】先求出命题为真命题时的取值范围，进而即可得到命题为假命题时的取值范围． 【详解】解：若命题：“，，”为真命题， 由，则， 所以命题为假命题时，． 故选：． 【变式5-1】（2026•未央区校级模拟）若命题“使得为真命题，则实数的取值范围是（　　） A．， B．， C．， D． 【变式5-2】（2026春•沙坪坝区校级期末）已知集合A＝{x|5≥x≥﹣2}，集合B＝{x|2m﹣1≥x≥m+1，m∈R}，若命题“∃x∈A，使得x∈B”为真命题，命题“∀x∈B，都有x∈A”为假命题，则实数m的取值范围是（　　） A．（3，4] B．（3，4） C．（2，4] D．（2，4） 【变式5-3】（2026春•朝阳区校级月考）已知命题“∀x∈R，mx2+mx+5＞0”为真命题，则实数m的取值范围是　　 ． ▌题型06 存在量词命题真假性与存在型参数问题 1. 为真 ⇨ 能成立（存在性）问题 2. 为假 它的否定 为真，转化为恒成立问题求解； 3.解题思想：等价转化；利用“原命题与其否定真假相反”切换恒成立、存在性模型。 【典例6】（2026春•南昌期末）若“∃a∈[5，7]，x2﹣ax+6≥0”为假命题，则x的取值范围为（　　） A．（2，3） B．（1，6） C．（2，6） D．（1，3） 【答案】A 【分析】结合存在量词命题的真假关系即可求解． 【详解】解：若“∃a∈[5，7]，x2﹣ax+6≥0”为假命题， 由题意可得“∀a∈[5，7]，x2﹣ax+6＜0''为真命题，则 解得2＜x＜3． 故选：A． 【变式6-1】（2026春•沧州月考）已知命题“∃x0∈R，使得mx0m＜0”为真命题，则实数m的取值范围为　　 ． 【变式6-2】（2026•福建一模）若实数λ使得命题：“∃c∈R，使得∀a，b∈R，均有λa2+b2﹣2ab+2b+c≠0”是假命题，则λ的取值范围是　　 ． 【变式6-3】（2026春•吕梁期末）已知集合A＝{x|x2﹣5x﹣6＜0}，B＝{x|m+1＜x＜2m﹣1}且B≠∅． （1）若“命题p：∃x∈A，x∈B”是真命题，求实数m的取值范围； （2）若s：x∈B是t：x∈A的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/7/15 20:20:58；用户：小旭比；邮箱：2578410592@qq.com；学号：2812273 ▌题型07 命题真假、命题否定与不等式综合应用 1.综合基础：熟练掌握两类量词命题真假判定、命题否定写法； 2.核心转化思想：遇到命题为假的条件，优先写出命题的否定，转化为熟悉的恒成立或存在性基础题型； 3.综合载体：一元二次不等式、二次函数值域、集合运算； 4.逻辑准则： ① 分清条件是“原命题真假”还是“命题否定的真假”； ② 区分恒成立（全称）、存在能成立（存在量词）两种最值模型，不要混淆最大值、最小值。 【典例7】（多选）（25-26高一上·安徽合肥·期末 ）在下列四个命题中，正确的是（　　） A．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是“∀x∈R，都有x2+x+1≥0” B．命题“∃x∈R，|x|+1＝0”是真命题 C．集合{（x，y）|y＝x2}与集合{y|y＝x2}表示同一集合 D．已知集合A＝{m+2，2m2+m}，若3∈A，则m的值为 【答案】AD 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题判断A；根据绝对值的性质判断B；由集合的表示即可判断C；分类讨论求出参数的值，即可判断D． 【详解】解：对于A：∃x∈R，使得x2+x+1＜0的否定是“∀x∈R，都有x2+x+1≥0”，故A正确； 对于B：因为|x|≥0，则|x|+1≥1，所以对∀x∈R，|x|+1≠0，即命题“∃x∈R，|x|+1＝0”是假命题，故B错误； 对于C：集合{（x，y）|y＝x2}表示点集，集合{y|y＝x2}表示数集， 所以集合{（x，y）|y＝x2}与集合{y|y＝x2}不表示同一集合，故C错误； 对于D：若，解得，则集合，符合题意， 若，此时m无解，因此若3∈A，则m的值为，故D正确． 故选：AD． 【变式7-1】（25-26高一上·辽宁葫芦岛·阶段检测）下列结论正确的是（　　） A．“每个整数的平方都是整数”是真命题 B．“每个整数的平方都是整数”是存在量词命题 C．“∃x∈[1，15]，”是假命题 D．“∃x∈[1，15]，”的否定是“∀x∈[1，15]，” 【变式7-2】（25-26高一上·山东青岛·期中 ）设命题p：∃x∈[﹣1，1]，不等式x2﹣2x﹣3+m＜0成立；命题q：∀x∈[0，1]，使得不等式2x﹣2≥m2﹣3m恒成立． （1）若p为假命题，求实数m的取值范围； （2）若命题p、q有且只有一个是真命题，求实数m的取值范围． 【变式7-3】（2026•运城期末）设命题p：∀x∈[﹣1，1]，使得不等式x2﹣2x﹣3+m＜0恒成立；命题g：∃m∈[0，1]使得不等式x2﹣3x≤2m﹣2成立． （1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围； （2）①写出命题q的否定； ②若命题q为假命题，求实数x的取值范围． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 全称量词与存在量词 （题型突破·举一反三） 题型01 区分全称量词命题与存在量词命题 1 题型02 文字命题与量词符号命题相互改写 2 题型03 全称量词命题与存在量词命题真假判断 4 题型04全称量词命题、存在量词命题的规范否定书写 6 题型05 全称量词命题真假性与恒成立型参数问题 8 题型06 存在量词命题真假性与存在型参数问题 10 题型07 命题真假、命题否定与不等式综合应用 11 ▌题型01 区分全称量词命题与存在量词命题 1.全称量词：词汇：所有、任意、一切、每一个、任给；符号：。含有全称量词的命题称为全称量词命题；标准形式：。 2.存在量词：词汇：存在一个、至少有一个、有些、某个；符号：。含有存在量词的命题称为存在量词命题；标准形式：。 3.隐藏量词辨析：部分命题没有显性量词，需要结合语句含义自行还原量词，再判断命题类型。 示例：平行四边形对角线互相平分 ⇨ 还原：所有平行四边形对角线互相平分（全称量词命题） 【典例1】（2026高一·全国·专题练习）下列命题是全称量词命题的是（    ） A．存在一个实数的平方是负数 B．每个四边形的内角和都是 C．至少有一个整数是质数 D．有些实数满足 【答案】B 【分析】由全称量词的定义逐项判断即可． 【详解】选项A，含有存在量词“存在一个”，该命题是存在量词命题，所以A错误； 选项B，含有全称量词“每个”，该命题是全称量词命题，所以B正确； 选项C，含有存在量词“至少有一个”，该命题是存在量词命题，所以C错误； 选项D，含有存在量词“有些”，该命题是存在量词命题，所以D错误． 故选：B． 【变式1-1】（25-26高一上•江苏常州•阶段检测）下列命题是存在量词命题的是（　　） A．对任意实数， B．不存在实数， C．矩形对角线相等 D．有一个数不能做除数 【答案】D 【分析】结合存在量词命题的定义检验各选项即可求解． 【详解】解：结合选项及存在量词命题的定义可知，中有一个为全称量词， 故该命题为存在量词命题，正确． 故选：． 【变式1-2】（25-26高一上·湖南岳阳·期中）下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（　　） A．，方程有实数根 B．存在一条直线与已知直线不平行 C．对任意实数若，则 D．存在一个实数x，使等式成立 【答案】C 【分析】利用全称量词命题的概念及命题真假判断，即可作出选择． 【详解】解：当时，无实数根，错误， 由不等式性质知，是真命题； ，是存在量词命题，应排除． 故选：． 【变式1-3】（25-26高一全国•寒假作业）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断真假． （1）存在，使得； （2）矩形的对角线互相垂直平分； （3）三角形的两边之和大于第三边； （4）有些质数是奇数． 【答案】（1）存在量词命题，是真命题； （2）全称量词命题，是假命题； （3）全称量词命题，是真命题； （4）是存在量词命题，是真命题． 【分析】先判断所给的命题是全称量词命题还是存在量词命题，再判断它们的真假性． 【详解】解：（1）命题：“存在，使得”是存在量词命题，如时，成立，它是真命题； （2）命题：“矩形的对角线互相垂直平分”是全称量词命题， 因为邻边不相等的矩形对角线不互相垂直，所以它是假命题； （3）命题：“三角形的两边之和大于第三边”是全称量词命题， 因为任意三角形中都有两边之和大于第三边，所以它是真命题； （4）命题：“有些质数是奇数”是存在量词命题， 因为3是质数，是也是奇数，所以它是真命题． ▌题型02 文字命题与量词符号命题相互改写 1.文字转符号：先识别量词（），确定变量范围集合，最后写出结论； 全称句式模板：对集合中任意一个，有结论，写作； 存在句式模板：集合中存在一个，使得结论成立，写作。 2.符号转文字：按照“量词、变量范围、结论”顺序通顺翻译，不能丢失限定条件。 3.注意：改写不能改变命题原本含义，变量取值范围不能省略。 【典例2】（25-26高一上·湖南长沙·期中）将文字命题“任意一个实数的平方都大于等于0”改写为符号命题，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】利用文字命题转符号命题的规则，先识别量词和取值范围，再判断选项。 【详解】“任意”对应全称量词，“实数”对应，因此改写为； A、D使用了存在量词，不符合题意； C的取值范围是（自然数），与题目中的“实数”不符，排除。 故选：B。 【变式2-1】（25-26高一上·湖北武汉·期中）将符号命题改写为文字命题，正确的是（ ） A. 所有有理数的平方都等于2 B. 存在一个有理数，它的平方等于2 C. 存在一个实数，它的平方等于2 D. 所有实数的平方都等于2 【答案】B 【分析】利用符号命题转文字命题的规则，先翻译量词和取值范围，再判断选项。 【详解】表示“存在”，表示“有理数”，表示“平方等于2”； 因此文字命题为“存在一个有理数，它的平方等于2”； A、D使用了全称量词“所有”，不符合题意； C的取值范围是“实数”，与题目中的不符，排除。 故选：B。 【变式2-2】（25-26高一上·江西南昌·期中）将文字命题“有些三角形是等腰三角形”改写为符号命题：__________。 【答案】 【分析】“有些”对应存在量词，取值范围是“三角形”集合； 结论是“是等腰三角形”，因此改写为。 【变式2-3】（25-26高一上·吉林白城·阶段检测 ）用量词符号“∀”或“∃”表述下列命题． （1）对任意x∈{x|x＞﹣1}，3x+4＞0成立； （2）对所有实数a，b，方程ax+b＝0恰有一个解； （3）有些整数既能被2整除，又能被3整除； （4）某个四边形不是平行四边形． 【答案】（1）∀x∈{x|x＞﹣1}，3x+4＞0成立； （2）∀a∈R，b∈R，方程ax+b＝0恰有一个解； （3）∃整数既能被2整除，又能被3整除； （4）∃四边形不是平行四边形． 【分析】结合“∀”或“∃”的含义分别表示各命题即可． 【详解】解：（1）∀x∈{x|x＞﹣1}，3x+4＞0成立； （2）∀a∈R，b∈R，方程ax+b＝0恰有一个解； （3）∃整数既能被2整除，又能被3整除； （4）∃四边形不是平行四边形． ▌题型03 全称量词命题与存在量词命题真假判断 1. 为真：集合内所有元素都满足条件，需要全部证明； 2. 为假：只需在集合中找出1个反例，存在某个使不成立即可； 3. 为真：在集合中找到至少1个满足，举例即可证明； 为假：集合内全部元素都不满足，需要证明所有都使结论不成立。 易错提醒：不能依靠少数几个例子判定全称命题为真。 【典例3】（2026春•襄城县期中）下列命题中为真命题的是（　　） A．p1：∃x∈R，x2+2x+3＜0 B．p2：∀x∈R，|x|＞0 C．p3：∀x∈Z，|x|∈N D．p4：∃x∈R，x2﹣5x+10＝0 【答案】C 【分析】根据一元二次不等式恒成立、绝对值、数集及一元二次方程根的判别式逐项分析判断即可． 【详解】解：选项A：x2+2x+3＝（x+1）2+2≥2＞0，即x2+2x+3＞0恒成立，故不存在实数x使原式小于0，为假命题，A错误； 选项B：当x＝0时，|x|＝0，不满足|x|＞0，p2为假命题，B错误； 选项C：Z是整数集，自然数集N是非负整数集，故p3为真命题，C正确； 选项D：Δ＝（﹣5）2﹣4×1×10＝﹣15＜0，方程无实数根，不存在实数x使方程成立，p4为假命题，D错误． 故选：C． 【变式3-1】（2026春•慈溪市期末）已知命题p：∃x∈R，x2﹣x+1≤0；命题q：∀x∈R，|x|+x≥0，则（　　） A．p和q都是真命题 B．p和￢q都是真命题 C．￢p和q都是真命题 D．￢p和￢q都是真命题 【答案】C 【分析】结合全称及存在量词命题真假关系及复合命题的真假即可求解． 【详解】解：因为x2﹣x+1＞0恒成立，故命题p：∃x∈R，x2﹣x+1≤0为假命题，￢p为真命题； 因为|x|+x≥0恒成立，则命题q：∀x∈R，|x|+x≥0为真命题，￢q为假命题． 故选：C． 【变式3-2】（2026高一•全国•专题练习）已知集合A＝{x|x≥1}，B＝{x|x＞2}，则（　　） A．∃x∈A，x∈B B．∃x∈B，x∉A C．∀x∈A，x∉B D．∀x∈A，x∈B 【答案】A 【分析】由题意可知B⫋A，再结合元素与集合的关系求解． 【详解】解：因为集合A＝{x|x≥1}，B＝{x|x＞2}， 所以B⫋A， 所以∃x∈A，x∈B，故A正确，C错误； 所以∀x∈B，x∈A，故B错误； 所以∃x∈A，x∉B，故D错误． 故选：A． 【变式3-3】（25-26高三上·山东青岛·期末 )下列命题正确的是（　　） A．所有可以被5整除的整数，末尾数字都是0 B．任意一个偶数都不是素数 C．至少有一个整数n，使得n2+n是奇数 D．任意一个整数n，n2+1都不是4的倍数 【答案】D 【分析】举出反例，结合素数、偶数的定义，即可求解． 【详解】解：所有可以被5整除的整数，末尾数字不都是0，例如整数15可以被5整除，但末尾数字是5，不是0，故A错误； 2是偶数，同时也是素数（质数），故B错误； 因为n2+n＝n（n+1），这是两个连续整数的乘积，必然是一奇一偶，乘积为偶数，所以不可能是奇数，故C错误； 若n是偶数，设n＝2k，则n2+1＝4k2+1，除以4余1； 若n是奇数，设n＝2k+1，则n2+1＝4k2+4k+2，除以4余2，两种情况都不能被4整除， 综上所述，任意一个整数n，n2+1都不是4的倍数，故D正确． 故选：D． ▌题型04 全称量词命题、存在量词命题的规范否定书写 命题否定的两个步骤：①量词互换；②否定结论 1.全称量词命题 否定 （全称 改为存在，再否定后面结论） 2.存在量词命题 否定 （存在 改为全称，再否定后面结论） 3.常用词语否定对照表 正面词语 等于 大于 小于 是 都是 任意 至多一个 至少一个 否定词语 ≠ ≤ ≥ 不是 不都是 某个 至少两个 一个也没有 4.关键易错点：命题否定既要更换量词，又要否定结论；只否定结论会直接出错！ 5.逻辑关系：原命题和它的否定一定一真一假。 【典例4】（2026•广州模拟）命题“∃x∈R，x2﹣2x+1≥0”的否定是（　　） A．∀x∈R，x2﹣2x+1≤0 B．∀x∈R，x2﹣2x+1＜0 C．∃x∈R，x2﹣2x+1＞0 D．∃x∈R，x2﹣2x+1≥0 【答案】B 【分析】结合命题否定的定义，即可求解． 【详解】解：由命题否定的定义可知，命题“∃x∈R，x2﹣2x+1≥0”的否定是“∀x∈R，x2﹣2x+1＜0”． 故选：B． 【变式4-1】（2026•北碚区校级模拟）已知命题p：∀x＞0，ln（x+3）≥0，则￢p为（　　） A．∃x≤0，ln（x+3）＜0 B．∃x＞0，ln（x+3）＜0 C．∃x＞0，ln（x+3）≤0 D．∃x≤0，ln（x+3）≤0 【答案】B 【分析】利用含有一个量词的命题的否定即可得到答案． 【详解】解：因为命题p：∀x＞0，ln（x+3）≥0， 所以￢p：∃x＞0，ln（x+3）＜0． 故选：B． 【变式4-2】（2026•汕头二模）已知命题p：∀α∈R，，则下列结论正确的是（　　） A．p为真命题，且命题p的否定为：∀α∈R， B．p为真命题，且命题p的否定为：∃α∈R， C．p为假命题，且命题p的否定为：∀α∈R， D．p为假命题，且命题p的否定为：∃α∈R， 【答案】B 【分析】先判断命题p的真假，再根据全称命题的否定规则写出命题p的否定，最后根据判断结果选择正确选项． 【详解】解：sin（α）＝sin[（α）]＝cos（α），所以命题p为真命题． 它的否定为：． 故选：B． 【变式4-3】（2026•福建模拟）已知命题p：∃x∈（0，4），x＜1或x＞3，则命题的否定是（　　） A．∃x∈（0，4），x≥1或x≤3 B．∃x∈（0，4），1≤x≤3 C．∀x∈（0，4），x≥1或x≤3 D．∀x∈（0，4），1≤x≤3 【答案】D 【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可． 【详解】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题p的否定为：∀x∈（0，4），1≤x≤3． 故选：D． ▌题型05 全称量词命题真假性与恒成立型参数问题 1. 为真 ⇨ 恒成立问题 2. 为假 它的否定 为真，转化为存在性问题求解； 3.解题思路：先翻译命题真假，转化为函数最值、不等式恒成立模型；常结合一次、二次函数图像性质。 【典例5】（2026•广州模拟）若命题：“，，”为假命题，实数的取值范围（　　） A．， B．， C． D．， 【答案】 【分析】先求出命题为真命题时的取值范围，进而即可得到命题为假命题时的取值范围． 【详解】解：若命题：“，，”为真命题， 由，则， 所以命题为假命题时，． 故选：． 【变式5-1】（2026•未央区校级模拟）若命题“使得为真命题，则实数的取值范围是（　　） A．， B．， C．， D． 【答案】C 【分析】结合全称量词命题真假关系及二次函数行政即可求解． 【详解】解：若命题“∀x0∈R使得为真命题， 则Δ＝a2﹣4（a+3）≤0， 解得﹣2≤a≤6． 故选：C． 【变式5-2】（2026春•沙坪坝区校级期末）已知集合A＝{x|5≥x≥﹣2}，集合B＝{x|2m﹣1≥x≥m+1，m∈R}，若命题“∃x∈A，使得x∈B”为真命题，命题“∀x∈B，都有x∈A”为假命题，则实数m的取值范围是（　　） A．（3，4] B．（3，4） C．（2，4] D．（2，4） 【答案】A 【分析】由已知结合存在量词及全称量词命题的真假关系即可求解． 【详解】解：因为集合A＝{x|5≥x≥﹣2}，集合B＝{x|2m﹣1≥x≥m+1，m∈R}， 若命题“∃x∈A，使得x∈B”为真命题，命题“∀x∈B，都有x∈A”为假命题， 则B∩A≠∅，B⊈A， 若B＝∅，则2m﹣1＜m+1，解这个不等式：2m﹣m＜1+1，即m＜2，此时A∩B＝∅，不满足A∩B≠∅，舍去； 若B≠∅，则2m﹣1≥m+1，即m≥2，因为A∩B≠∅，所以或， 解可得3＜m≤4， 综上，实数m的取值范围是（3，4]． 故选：A． 【变式5-3】（2026春•朝阳区校级月考）已知命题“∀x∈R，mx2+mx+5＞0”为真命题，则实数m的取值范围是　　 ． 【答案】[0，20）． 【分析】结合全称量词命题真假关系即可求解． 【详解】解：当m＝0时，不等式化为5＞0恒成立，符合题意； 当m≠0时，mx2+mx+5＞0对任意x∈R恒成立，需满足： ，解得0＜m＜20， 综上可得m∈[0，20）． 故答案为：[0，20）． ▌题型06 存在量词命题真假性与存在型参数问题 1. 为真 ⇨ 能成立（存在性）问题 2. 为假 它的否定 为真，转化为恒成立问题求解； 3.解题思想：等价转化；利用“原命题与其否定真假相反”切换恒成立、存在性模型。 【典例6】（2026春•南昌期末）若“∃a∈[5，7]，x2﹣ax+6≥0”为假命题，则x的取值范围为（　　） A．（2，3） B．（1，6） C．（2，6） D．（1，3） 【答案】A 【分析】结合存在量词命题的真假关系即可求解． 【详解】解：若“∃a∈[5，7]，x2﹣ax+6≥0”为假命题， 由题意可得“∀a∈[5，7]，x2﹣ax+6＜0''为真命题，则 解得2＜x＜3． 故选：A． 【变式6-1】（2026春•沧州月考）已知命题“∃x0∈R，使得mx0m＜0”为真命题，则实数m的取值范围为　　 ． 【答案】（﹣∞，0）∪（5，+∞）． 【分析】结合存在量词命题真假及二次函数性质即可求解． 【详解】解：命题“∃x0∈R，使得”为真命题， 所以， 解得m＜0或m＞5， 即实数m的取值范围为（﹣∞，0）∪（5，+∞）． 故答案为：（﹣∞，0）∪（5，+∞）． 【变式6-2】（2026•福建一模）若实数λ使得命题：“∃c∈R，使得∀a，b∈R，均有λa2+b2﹣2ab+2b+c≠0”是假命题，则λ的取值范围是　　 ． 【答案】（﹣∞，1]． 【分析】先将原命题的假命题转化为其否命题为真命题，再把式子视为关于b的方程，利用判别式得到关于a的不等式，最后分1﹣λ≥0和1﹣λ＜0两种情况分析，确定λ的取值范围． 【详解】解：原命题的否命题：“∀c∈R，∃a，b∈R，使得λa2+b2﹣2ab+2b+c＝0”是真命题． 所以对任意实数c，方程b2﹣2（a﹣1）b+λa2+c＝0都有实数解（a，b）． 故而对任意实数c都有解． 即关于a的不等式（1﹣λ）a2﹣2a+1﹣c≥0对任意固定的实数c都有解， ①若1﹣λ≥0，即λ≤1， 当λ＝1时，﹣2a+1﹣c≥0，对任意c显然有解． 当λ＜1时，f（a）＝（1﹣λ）a2﹣2a+1﹣c开口向上， 其值域包含正数，故对任意c，总存在a使得f（a）≥0．所以λ≤1符合题意． ②若1﹣λ＜0，即λ＞1．关于a的二次函数g（a）＝（1﹣λ）a2﹣2a+1﹣c开口向下， 其最大值为． 要使不等式g（a）≥0对任意c都有解，则需要其最大值对任意c都非负， 即对任意c恒成立，显然不可能，故λ＞1不符合题意． 因此，λ的取值范围是（﹣∞，1]． 故答案为：（﹣∞，1]． 【变式6-3】（2026春•吕梁期末）已知集合A＝{x|x2﹣5x﹣6＜0}，B＝{x|m+1＜x＜2m﹣1}且B≠∅． （1）若“命题p：∃x∈A，x∈B”是真命题，求实数m的取值范围； （2）若s：x∈B是t：x∈A的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）若“命题p：∃x∈A，x∈B”是真命题，根据集合间的关系转换不等式组进行判断即可； （2）若s：x∈B是t：x∈A的充分不必要条件，利用充要条件转换不等式组可求实数m的取值范围． 【详解】解：集合A＝{x|x2﹣5x﹣6＜0}＝{x|﹣1＜x＜6}， （1）∵B≠∅， ∴2m﹣1＞m+1⇒m＞2， 命题p：∃x∈A，x∈B是真命题，可知A∩B≠∅， ∴A＝{x|﹣1＜x＜6}，B＝{x|m+1＜x＜2m﹣1}， ，∴2＜m＜5，故m的取值范围是{m|2＜m＜5}． （2）若s：x∈B是t：x∈A的充分不必要条件，得B是A的真子集，B≠∅， ，解得，故m的取值范围是． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/7/15 20:20:58；用户：小旭比；邮箱：2578410592@qq.com；学号：2812273 ▌题型07 命题真假、命题否定与不等式综合应用 1.综合基础：熟练掌握两类量词命题真假判定、命题否定写法； 2.核心转化思想：遇到命题为假的条件，优先写出命题的否定，转化为熟悉的恒成立或存在性基础题型； 3.综合载体：一元二次不等式、二次函数值域、集合运算； 4.逻辑准则： ① 分清条件是“原命题真假”还是“命题否定的真假”； ② 区分恒成立（全称）、存在能成立（存在量词）两种最值模型，不要混淆最大值、最小值。 【典例7】（多选）（25-26高一上·安徽合肥·期末 ）在下列四个命题中，正确的是（　　） A．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是“∀x∈R，都有x2+x+1≥0” B．命题“∃x∈R，|x|+1＝0”是真命题 C．集合{（x，y）|y＝x2}与集合{y|y＝x2}表示同一集合 D．已知集合A＝{m+2，2m2+m}，若3∈A，则m的值为 【答案】AD 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题判断A；根据绝对值的性质判断B；由集合的表示即可判断C；分类讨论求出参数的值，即可判断D． 【详解】解：对于A：∃x∈R，使得x2+x+1＜0的否定是“∀x∈R，都有x2+x+1≥0”，故A正确； 对于B：因为|x|≥0，则|x|+1≥1，所以对∀x∈R，|x|+1≠0，即命题“∃x∈R，|x|+1＝0”是假命题，故B错误； 对于C：集合{（x，y）|y＝x2}表示点集，集合{y|y＝x2}表示数集， 所以集合{（x，y）|y＝x2}与集合{y|y＝x2}不表示同一集合，故C错误； 对于D：若，解得，则集合，符合题意， 若，此时m无解，因此若3∈A，则m的值为，故D正确． 故选：AD． 【变式7-1】（25-26高一上·辽宁葫芦岛·阶段检测）下列结论正确的是（　　） A．“每个整数的平方都是整数”是真命题 B．“每个整数的平方都是整数”是存在量词命题 C．“∃x∈[1，15]，”是假命题 D．“∃x∈[1，15]，”的否定是“∀x∈[1，15]，” 【答案】ACD 【分析】由全称量词命题的定义及真假判断A，B选项，由存在量词命题及真假判断C，D选项． 【详解】解：对于A，B，“每个整数的平方都是整数”是真命题，是全称量词命题，故A正确，B错误； 对于C，D，因为x＝42.2＞15，所以“∃x∈[1，15]，＝41.1”是假命题， 其否定是“∀x∈[1，15]，”，故C，D正确． 故选：ACD． 【变式7-2】（25-26高一上·山东青岛·期中 ）设命题p：∃x∈[﹣1，1]，不等式x2﹣2x﹣3+m＜0成立；命题q：∀x∈[0，1]，使得不等式2x﹣2≥m2﹣3m恒成立． （1）若p为假命题，求实数m的取值范围； （2）若命题p、q有且只有一个是真命题，求实数m的取值范围． 【答案】（1）[4，+∞）； （2）（﹣∞，1）∪（2，4）． 【分析】（1）由题设可得在x∈[﹣1，1]上，x2﹣2x﹣3≥﹣m恒成立，应用二次函数的性质求左侧最小值，即可得范围； （2）先求出q为真对应参数范围，结合（1）讨论p、q的真假求参数范围． 【详解】解：（1）由p为假命题，可知对∀x∈[﹣1，1]，x2﹣2x﹣3+m≥0恒成立， 所以对∀x∈[﹣1，1]，x2﹣2x﹣3≥﹣m恒成立， 由y＝（x﹣1）2﹣4在x∈[﹣1，1]上单调递减，故ymin＝﹣4， 所以﹣m≤﹣4，解得m≥4， 即实数m的取值范围是[4，+∞）； （2）由（1）知，p为真时m＜4， 若q为真，则对∀x∈[0，1]，2x﹣2≥m2﹣3m恒成立， 所以， 即m2﹣3m+2≤0，解得1≤m≤2， 若p真q假，则有，故m＜1或2＜m＜4； 若p假q真，则，显然无解； 综上，实数m的取值范围是（﹣∞，1）∪（2，4）． 【变式7-3】（2026•运城期末）设命题p：∀x∈[﹣1，1]，使得不等式x2﹣2x﹣3+m＜0恒成立；命题g：∃m∈[0，1]使得不等式x2﹣3x≤2m﹣2成立． （1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围； （2）①写出命题q的否定； ②若命题q为假命题，求实数x的取值范围． 【答案】（1）m∈（﹣∞，0）； （2）①∀m∈[0，1]，不等式x2﹣3x＞2m﹣2成立；②x∈（﹣∞，0）∪（3，+∞）． 【分析】（1）将问题转换为x∈[﹣1，1]，m＜（﹣x2+2x+3）min即可． （2）①由命题的否定的定义即可得解；②将问题转换为∀m∈[0，1]，x2﹣3x＞（2m﹣2）max即可． 【解答】解：（1）若p为真命题，则对x∈[﹣1，1]，m＜（﹣x2+2x+3）min， 由于函数y＝﹣x2+2x+3在区间x∈[﹣1，1]上单调递增， 所以x∈[﹣1，1]时，（﹣x2+2x+3）min＝0，所以m∈（﹣∞，0）； （2）①q的否定为：∀m∈[0，1]，不等式x2﹣3x＞2m﹣2成立； ②若q为假命题，则“∀m∈[0，1]，不等式x2﹣3x＞2m﹣2成立”为真命题， 那么对于∀m∈[0，1]，x2﹣3x＞（2m﹣2）max即可． 因为m∈[0，1]，2m﹣2∈[﹣2，0]， 所以x2﹣3x＞0，解得x∈（﹣∞，0）∪（3，+∞）． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $