第3章 不等式（高效培优单元测试·提升卷）高一数学苏教版必修第一册

**基本信息** 高中数学第三章不等式单元复习卷，通过基础判断、实际应用与创新探究的梯度设计，考查不等式性质、最值求解及数学建模，适配单元知识巩固与核心素养提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|充分必要条件、不等式性质|结合集合游戏（题5）考查逻辑推理| |多选|3/18|高斯函数应用|融入数学文化（题11高斯函数）| |填空|3/15|销售定价问题|联系实际（题13销售总收入）| |解答|5/77|中欧班列应用|以保管员室建造（题18）考查数学建模，创新解法迁移（题19）|

第三章 不等式（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知，，，，则下列不等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 3．已知，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．已知，，且，则的最小值为（     ） A． B．5 C．4 D．3 5．两人共同参加一个游戏，游戏规则如下：其中一人在集合（，且）中任取2个元素并求和，剩下2个元素给另一个人并求和，和大者为胜.则先取者取下列哪2个元素能够保证先取者必胜（    ） A．， B．， C．， D．， 6．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．你认为顾客购得的黄金是（   ） A．大于 B．等于 C．小于 D．无法确定 8．已知关于x的不等式恰有一个整数解，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。） 9．下列说法正确的为（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．已知关于的不等式的解集为，则（    ） A． B． C．不等式的解集是 D．不等式的解集为 11．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，如：，高斯函数在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等均按“高斯函数”进行计费，以下关于“高斯函数”的描述，正确的是（    ） A．不等式的解集为 B．若恒成立，则实数 C．不等式的解集为 D．若不等式的解集为，则 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12．关于的不等式的解集是，则实数__________. 13．某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为元，年销售万件．据市场调查，若价格每提高元，销售量将相应减少件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为______元. 14．对于实数x、y、z，记是x、y、z中的最大者，例如：，，．若非负实数a、b满足，则的最小值是______． 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（13分）（1）已知，，试判断的大小关系，并给出证明 （2）已知，，求的取值范围. 16．（15分）已知、均为正实数，. (1)若，求的最小值： (2)若，求的最小值. 17．（15分）设． (1)若不等式对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围； (2)解关于x的不等式． 18．（17分）中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为3m，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保管员室背面靠墙，无需建造费．因此，甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元，设屋子的左右两面墙的长度均为x m（）． (1)当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？ (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求a的取值范围． 19．（17分）正数满足，求的最小值.其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号. 学习上述解法并解决下列问题： (1)若正实数满足，求的最小值，并指出等号成立的条件； (2)设的最小值为，且正数满足，求的最小值； (3)若实数满足，试比较和的大小；利用该结论求代数式的最小值，并指出等号成立时m的值. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第三章不等式（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟试卷满分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的. 1 2 3 4 5 6 7 8 B C C 0 D A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9 10 11 AD ACD ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.1 13.40 14.9 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 【详解】(1)M>N 证明：因为M-N=(x+2x+3)-(x+1x+4)=2>0. 所以M>N: (2)因为1≤x+y≤1，所以1s-(x+)1 由1≤x+2y≤3→2≤2(x+2y)s6 所以1+2≤-(6+月+2(x+2y)s1+6 即1≤x+3y≤7 所以x+3y 的取值范围为 116 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 16.(15分) 21 【详解】（少当1=0时，b=4+26:则后+方1， 因为a、b均为正实数， 2+=3+“+2b23+2,.2b=3+25 二+ 所以 +b=(a+b) a b) b a Nb a 0-2b b a 21 当且仅当 台+方1时，即当 时取等号， a>0,b>0 a=2+V2b=V2+1 所以a+ +22 的最小值为 (2)当1=6时，b=a+2b+6,可得b-a-2b+2=8,则（a-2b-)=8 所以b=a+6 a-2,因为b>0,a>0,所以a>2,进而得b>1 所以。20,6兰>0 1 4 1 [14 a-2b-1 当且仅当(a-2)b-)=8时，即当 时取等号， a>2,b>1 a=2+√2 b=4√2+1 1 4 所以a-2+6-1的最小值为√2： 17.(15分) 【详解】④)由题设m+0-m)x+m-2之-2，即mr+0-m)r+m≥0 一切实数x恒成立， 当m=0时， mx2+(1-m)x+m=x≥0 不恒成立： 216 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 m>0 1 当m≠0时，只需△=(-m-4m2≤0，可得m之3： 家 (2)当m=0时.mr+0-m)x+m-2<m-1,即x-2<-,可符<1，解集为，)， 当m≠0时，r+0-m）小k-1=m(x+x-1）<0, m 若m<0:期x+Xx-少>0， m 品>1，即1cm<0时，可得>或<1小解集为国U(司： 若m了 m 1 若 =1,即m=-1时，可得x≠1解集为(，uL+w m 品<1，即m<-1时，可得x>1政<后，解集为启UL+): m 若m0则+x-小0，可得<x<1,解来为日》 m 18.(17分) 【详解】(1)设甲工程队的总造价为'元，依题意，左右两面墙的长度均为m(2≤x≤4)， 12 则屋子前面新建墙体长为 m =3 所以 150x2x+400x12） +7200 即=900x+16 +720≥900x26+7200=140 16 当且仅当x=,即x=4时，等号成立， 故当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为14400元： 16 900x+ +7200> 900a(1+x) (2)由题意可知，当（x x 对任意的x∈[2,4]恒成立， 316 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (x+4)2 x x+1 t=16≥2+0+6= 因为x+1 x+1 当且仅当+1=9 (x+4)2 1=x+i,x∈[2,4]，即x=2时，x+1的最小值为12， 即0<a<12,所以“的取值范围是 0,12) 19.(17分) 14-1 【详解】(1)若正实数x,y满足xy, x+y=(x+y) +4）=5++425+4=9 y=41+4=1 x y x y 当且仅当xy且xy即x=3,y=6时取等号， 所以x+y的最小值9，当且仅当x=3,y=6时取等号 [-2x+3,x≤1 (2)函数'=-+-2=1,1<x≤2 2x-3,x>2，作出图象， y 函数y=k-+r-2的最小值为1，则a+b=3, +7+Q+Q2+2_6-a,3-b+7 a b a b aa b 416 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 d-6a+9b-6bt+=a-6++b-6+6+2=a+b)+16+912 b a a a b 3g+9-049-. 7b9 当且仅当86且a+6-3:即a= 16b_-9a =时，等号成立： 22 所以，所求最小值为3· x2 y2 (3)若正实数a,6xy满足云厅1，且a>b, b2x2 a2y2 2=2,且仅当-时取等号。 ---后)g)r-2阿 ≤+少-20=(-，所以-≤(x-ヅ M=V4m+5-√m+1 代数式 令x=4m+5,y=Vm+,则r2-4y2=la2=1,b2=} 4 M=14m+5-/m+i=x-y2vab= 所 2， 1 当且仅当4=4少，即x=4y时取等号 又四为-4护-，解狗25夏 X= 6 516 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 即v4m+5=2 11 3,所以m= 12 3 所以M=V4m+5-Vm+1的最小值为2，此时 616 第三章 不等式（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】解不等式后由充分必要条件的概念即可求解. 【详解】解得， 可以推出，但不能推出， 所以“”是“”的充分不必要条件. 2．已知，，，，则下列不等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用举反例判断ACD，分和判断B. 【详解】对于A，当时，，A错误； 对于B，当时，由于，则， 当时，由于，则，B正确； 对于C，当时，，C错误； 对于D，当时，，D错误. 3．已知，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的性质求解计算即可. 【详解】，， ，， . 故选：C. 4．已知，，且，则的最小值为（     ） A． B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】利用常值代换法和基本不等式即可求得. 【详解】已知，，且， ， 当且仅当，结合得时等号成立， 的最小值为． 5．两人共同参加一个游戏，游戏规则如下：其中一人在集合（，且）中任取2个元素并求和，剩下2个元素给另一个人并求和，和大者为胜.则先取者取下列哪2个元素能够保证先取者必胜（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】利用作差法逐项判断. 【详解】若先取者取和， 则， 根据，且，不能确定大小关系，A错误； 若先取者取和， 则， 根据，且，不能确定大小关系，B错误； 若先取者取和， 则 ， 根据，且，所以上式大于0，C正确，D错误. 故选：C 6．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用基本不等式求出的最小值，即可得到，从而得到，解得即可. 【详解】因为，，且， 则 ， 当且仅当，即，时取等号， 可得， 因为恒成立，即恒成立， 可得，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D. 7．一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．你认为顾客购得的黄金是（   ） A．大于 B．等于 C．小于 D．无法确定 【答案】D 【详解】由于天平两臂不等长，可设天平左臂长为，右臂长为，则， 再设先称得黄金为，后称得黄金为，则，，所以，. 所以，令，且. 则， 当或时，，即； 当时，，即； 当时，，即； 综上所述：顾客购得的黄金是无法确定的. 8．已知关于x的不等式恰有一个整数解，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】对二次不等式左边进行因式分解，先讨论二次项系数，分析得到不符合题意；再讨论二次项系数得到解集，进而得到解集中的一个整数元素，从而得到不等式，解得的取值范围. 【详解】∵ 当，即，不等式解集为或， 存在无数个整数解，不符合题意，故舍去； 当，即，不等式解集为， 存在无数个整数解，不符合题意，故舍去； 当，即， 当时，， 不等式解集为， ∴原不等式没有整数解，不符合题意，故舍去； 当时，，即， 不等式解集为空集，∴不符合题意，故舍去； 当时，， 不等式解集为， ∴原不等式的个整数解为：， ∴，则； 综上所述：. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。） 9．下列说法正确的为（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AD 【详解】若 ，则，即，A选项正确； 当，，满足 ，但，B选项错误； 当，，满足 ，但，C选项错误； 若 ，有，则，即，D选项正确. 10．已知关于的不等式的解集为，则（    ） A． B． C．不等式的解集是 D．不等式的解集为 【答案】ACD 【分析】根据一元二次方程与不等式的关系得，，再结合一元一次不等式和一元二次不等式的解法，依次讨论各选项即可得答案. 【详解】∵关于的不等式的解集为， ∴，和3是关于的方程的两根，A选项正确； 由根与系数的关系得，则， ∴，B选项错误； ∴不等式可化为，即，解得，C选项正确； 不等式可化为，即，解得或， D选项正确． 11．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，如：，高斯函数在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等均按“高斯函数”进行计费，以下关于“高斯函数”的描述，正确的是（    ） A．不等式的解集为 B．若恒成立，则实数 C．不等式的解集为 D．若不等式的解集为，则 【答案】ACD 【分析】根据“高斯函数”的定义和性质，解不等式判断选项A；求出的取值，结合不等式恒成立求的取值范围，判断选项B；解不等式判断选项C；解不等式，利用解集求的取值范围，判断选项D． 【详解】满足不等式的整数为， 对应，对应，对应， 满足不等式的区间为，故A正确； 当时，的取值为，令，不等式对恒成立， 时：； 时：； 时：； 时：； 综上可得，，故B错误； ，解得， 是整数，故无满足条件的整数解， 解集为，故C正确； 不等式的解集为，则， 令，不等式化为， 当时，，，则， ， 当时，需满足，解得， 综上可得，故D正确 故选：ACD． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12．关于的不等式的解集是，则实数__________. 【答案】1 【分析】根据一元二次不等式与一元二次方程的关系结合韦达定理即可求解． 【详解】因为关于的不等式的解集是， 所以是方程的两个根，且， 所以，解得， 所以． 13．某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为元，年销售万件．据市场调查，若价格每提高元，销售量将相应减少件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为______元. 【答案】 【详解】设每件定价为元，依题意得， 整理得，解得：． 所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为元． 14．对于实数x、y、z，记是x、y、z中的最大者，例如：，，．若非负实数a、b满足，则的最小值是______． 【答案】9 【分析】令，根据的定义，通过配凑系数法，结合条件，求得的最小值； 【详解】令，则． 为非负实数，且， ，． 且当时， 的最小值为9. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（13分）（1）已知，，试判断的大小关系，并给出证明 （2）已知，，求的取值范围. 【答案】（1），证明见解析；（2） 【分析】（1）利用作差法比较的大小. （2）利用不等式的基本性质求的取值范围. 【详解】（1） 证明：因为， 所以； （2）因为，所以； 由. 所以， 即. 所以的取值范围为. 16．（15分）已知、均为正实数，. (1)若，求的最小值： (2)若，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，由已知等式变形得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值； （2）当时，由已知等式变形得出，再利用基本不等式的最小值. 【详解】（1）当时，，则. 因为、均为正实数， 所以， 当且仅当时，即当，时取等号， 所以的最小值为. （2）当时，，可得，则， 所以，因为，，所以，进而得， 所以，. 所以， 当且仅当时，即当，时取等号， 所以的最小值为. 17．（15分）设． (1)若不等式对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围； (2)解关于x的不等式． 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【分析】（1）由题设对一切实数x恒成立，讨论参数m，结合一元二次不等式在实数集上恒成立列不等式组求范围即可. （2）讨论、，结合一元二次不等式的解法求解集. 【详解】（1）由题设，即对一切实数x恒成立， 当时，不恒成立； 当时，只需，可得； 综上，. （2）当时，，即，可得；解集为； 当时，， 若，则， 若，即时，可得或，解集为； 若，即时，可得，解集为； 若，即时，可得或，解集为； 若，则，可得，解集为. 18．（17分）中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为3m，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保管员室背面靠墙，无需建造费．因此，甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元，设屋子的左右两面墙的长度均为x m（）． (1)当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？ (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求a的取值范围． 【答案】(1)当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低 (2) 【分析】（1）首先由题意抽象出甲工程队的总造价的函数，再利用基本不等式求最值，结合等号成立的条件，即可求解； （2）由题意，转化为不等式恒成立，参变分离后，根据基本不等式，即可得答案. 【详解】（1）设甲工程队的总造价为元，依题意，左右两面墙的长度均为（）， 则屋子前面新建墙体长为， 所以 即， 当且仅当，即时，等号成立， 故当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为元； （2）由题意可知，当对任意的恒成立， 即，所以，即， 因为， 当且仅当，，即时，的最小值为12， 即，所以的取值范围是. 19．（17分）正数满足，求的最小值.其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号. 学习上述解法并解决下列问题： (1)若正实数满足，求的最小值，并指出等号成立的条件； (2)设的最小值为，且正数满足，求的最小值； (3)若实数满足，试比较和的大小；利用该结论求代数式的最小值，并指出等号成立时m的值. 【答案】(1) (2) (3)；的最小值为，此时 【分析】（1）根据题意，由，结合基本不等式，即可求解； （2）先求得函数的最小值为1，再化简，即可利用题干中方法求最值； （3）由，结合，即可判断；令，得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】（1）若正实数满足， ,当且仅当且,即时取等号， 所以的最小值，当且仅当时取等号. （2）函数，作出图象，    函数的最小值为1，则， ， 当且仅当且，即时，等号成立； 所以，所求最小值为. （3）若正实数满足,且， 由 因为，且仅当时取等号， 所以 ，所以. 代数式, 令,则, 所以, 当且仅当，即时取等号, 又因为，解得， 即，所以. 所以的最小值为，此时. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $