2.3.1 乘方（分层作业练题型）数学新教材人教版七年级上册

**基本信息** 初中数学乘方同步练，通过A/B/C组+拓展分层设计，构建从概念理解到中考衔接的知识巩固路径，培养运算能力、推理意识与创新意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组|基础概念与运算|含幂的概念辨析、乘方运算及符号规律，如题型一概念理解题| |B组|能力进阶与规律探究|涉及程序流程图、算“24”点及规律归纳，如“F”运算问题| |C组|思维拔高与新定义|包含劳格数、除方等核心素养问题，培养创新意识| |拓展|中考衔接与综合应用|选用“快乐数”“半衰期”等中考真题，强化应用意识|

分层作业 2.3.1 乘方 说明：ABC三组为必做内容，拓展部分为选做。 ★温馨提示：将鼠标拖动至题型文字上方，按住Ctrl并单击鼠标左键可直接跳转至对应题型哟~★ 目 录 A组 巩固过关 1 题型一、有理数幂的概念理解 1 题型二、有理数的乘方运算 3 题型三、有理数乘方逆运算 5 题型四、乘方运算的符号规律 7 题型五、乘方的应用 9 题型六、程序流程图与有理数计算 13 题型七、算“24”点 15 题型八、含乘方的有理数混合运算 18 题型九、计算器——有理数 20 B组 能力进阶 21 C组 思维拔高 25 拓展 衔接中考 28 A组 巩固过关 题型一、有理数幂的概念理解 1．（25-26七年级上·甘肃天水·期中）在中，底数是______． 【答案】7 【分析】此题考查了乘方的定义，根据乘方运算的定义，负号不属于底数部分，因此底数为7． 【详解】中，底数是7． 故答案为：7． 2．（25-26七年级上·河南郑州·期末）计算（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解： 3．（25-26七年级上·河北邯郸·期末）在学习了乘方运算后，对于聪聪和明明有如下讨论： 聪聪：表示有2个k相乘     明明：表示有2个k相加 你认为他们的说法（    ） A．只有聪聪是对的 B．只有明明是对的 C．他们两人都不对 D．他们都有道理 【答案】C 【分析】本题考查乘方的定义，表示n个a相乘（n为正整数），据此可得答案． 【详解】解：根据乘方的定义可知表示k个2相乘， ∴两个人的说法都不正确， 故选：C． 4．（25-26七年级上·山西临汾·期末）计算的算式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数的乘方和乘法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 根据乘方和乘法的意义列式即可． 【详解】解：原式表示10个2相加，10个3相乘，再将结果相加， 10个2相加即为，10个3相乘即为， 那么原式， 故选：A． 5．（25-26七年级上·河北保定·期末）为了简便，可以将记为_____． 【答案】 【分析】n个相同因数相乘可以写成该数的n次方形式，据此进行解答． 【详解】解：根据乘方的定义， n个相同的因数5相乘，记为5的n次方，即． 题型二、有理数的乘方运算 1．（25-26七年级上·河北石家庄·期末）下列各组数中，数值相等的是（     ） A． B．和 C．和 D．和 【答案】A 【分析】注意乘方运算中括号对底数的影响，准确计算各选项数值． 【详解】解：A选项：，，数值相等，符合题意； B选项：，，数值不等，不符合题意； C选项：，，数值不等，不符合题意； D选项：，，数值不相等，不符合题意． 2．（25-26七年级上·江西上饶·期末）计算：_______． 【答案】 【分析】本题考查有理数的乘方运算与多重符号的化简，关键是遵循“从内到外”的运算顺序，先化简内层括号的符号，再计算乘方，最后处理外层的符号． 【详解】解：； 故答案为：． 3．（25-26七年级上·河南周口·期末）若，则的值为____． 【答案】 【分析】根据绝对值与偶次方的非负性，当两个非负数的和为0时，这两个非负数均为0，据此求出x、y的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴且， 解得：，， 则． 4．（25-26七年级上·河南信阳·期末）若与互为相反数，则_____．(为正整数) 【答案】0 【分析】本题考查了相反数的定义，有理数的乘方运算．根据互为相反数的定义，得到，即，代入代数式，利用奇数次幂的性质化简． 【详解】解：因为a与b互为相反数，所以，即， ∴ 故答案为：． 5．（25-26七年级上·广东梅州·期末）已知互为相反数，互为倒数，且，则_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了相反数和倒数的定义，有理数的乘方，解题的关键是掌握以上定义和运算法则． 利用相反数和倒数的性质，求出和的值，代入原式计算． 【详解】解：∵互为相反数， ∴； ∵互为倒数，． ∴； ∴， 故答案为：． 6．计算 (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)49 (2)－216 (3) (4)－9 (5) (6) 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的乘方运算法则求解即可； （2）根据有理数的乘方运算法则求解即可； （3）根据有理数的乘方运算法则求解即可； （4）根据有理数的乘方运算法则求解即可； （5）根据有理数的乘方运算法则求解即可； （6）根据有理数的乘方运算法则求解即可． 【详解】（1）解：； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； 题型三、有理数乘方逆运算 1．一个数的平方是9，则这个数是______． 【答案】/3或-3/-3或3 【分析】根据求出这个数即可． 【详解】解：∵， ∴这个数是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数的乘方运算的逆运算，理解乘方运算与逆运算的含义是解本题的关键． 2．（25-26七年级上·福建宁德·期末）已知某个有理数乘方的结果是16，则该乘方运算是_____．（写出一个即可，用的形式表示） 【答案】（或或或） 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，解题的关键是找出满足乘方结果为16的有理数底数与指数组合． 根据乘方的定义，寻找有理数和整数，使得，写出其中一组即可． 【详解】解：因为， 所以该乘方运算可以是（或、等，任选其一即可）． 故答案为：（或或或）． 3．若，，且，则的值为______． 【答案】或 【分析】本题考查了乘方，绝对值，有理数的大小比较，有理数的减法运算，解题的关键是熟练掌握以上知识点．根据乘方，绝对值和有理数的大小比较分别求出x，y，再根据有理数的减法运算求解即可． 【详解】解：∵， ∴ 或 ， ∵ ， ∴ 或 ， 又∵ ， ，或，， 当，时，， 当，时，， 故答案为：或． 4．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）定义之间一种运算，记作：如果，那么．则__________． 【答案】3 【分析】本题考查了新定义运算． 根据题目给出的新定义计算即可． 【详解】解：根据新定义，若，则． ∵， ∴， 即． 故答案为：3． 题型四、乘方运算的符号规律 1．（25-26七年级上·安徽宣城·期中）计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是乘方的含义，乘法分配律的应用，通过提取 简化表达式，利用负数的奇数次幂为负的性质进一步求解即可． 【详解】解：∵ ， 又∵ （指数2025为奇数）， ∴ 原式． 故选：C 2．（25-26七年级上·广东江门·期中）下列各对数值相等的是（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题需依据乘方运算的符号规则与运算顺序，分别计算每个选项中两个式子的结果，再对比是否相等． 【详解】解：∵，，， ∴A选项数值不相等，不符合题意； ∵，，， ∴B选项数值相等，符合题意； ∵，， ∴C选项数值不相等，不符合题意； ∵，， ∴D选项数值不相等，不符合题意， 故选：B 3．（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）已知是一个正整数，那么__________． 【答案】 【分析】本题考查了乘方运算，先结合是一个正整数，得出是一个奇数，根据负数的奇数次幂是负数，则，即可作答． 【详解】解：∵是一个正整数， ∴是一个偶数，是一个奇数， ∵负数的奇数次幂是负数， 即， 故答案为： 4．如果n是正整数，则_____ ． 【答案】0 【分析】本题考查了有理数的乘方，乘方运算的符号规律，解题关键是掌握有理数的乘方法则． 直接利用有理数的乘方法则计算． 【详解】解： ． 5．（24-25七年级上·四川南充·期中）已知的最大值为______． 【答案】 【分析】本题考查乘方的非负性．熟练乘方的非负性是解题的关键． 根据乘方的非负性，确定最大值即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∴的最大值为：； 故答案为：． 6．（25-26七年级上·云南文山·期末）比较大小：_____98（填“＞”“＝”或“＜”）． 【答案】＜ 【分析】本题考查了有理数的乘方，有理数大小比较．注意：正数大于0，负数小于0；负数的绝对值越大，这个数越小．根据正数大于负数进行大小比较． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：＜． 题型五、乘方的应用 1．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）把足够大的一张厚度为的纸连续对折，要使对折后的整叠纸总厚度超过，至少要对折（     ） A．次 B．次 C．次 D．次 【答案】C 【分析】根据题意明确第n次对折后的厚度为，根据，求出n的最小整数值即可． 【详解】解：设对折次后整叠纸总厚度为． 由题意得， ． ，，， ， 至少要对折8次． 2．（25-26七年级上·河北衡水·期末）人教版生物教材提到，细菌是靠分裂进行生殖的，分裂完的细菌长大以后又能进行分裂．某种细菌在培养过程中每半小时分裂一次（由1个分裂为2个），经过4小时，1个这种细菌可分裂成的细菌个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的乘方，根据题意得到细菌每分裂一次后所得细菌，列出关系式，是解答此题的关键． 由题意可知细菌分裂一次时有个细菌，分裂2次时变为个细菌，分裂3次时变为个细菌，故当分裂次时变为个细菌，据此即可解答． 【详解】解：细菌分裂一次时有个细菌， 分裂2次时变为个细菌， 分裂3次时变为个细菌， 当分裂次时变为个细菌， 细菌每半小时分裂一次， 经过4小时，细菌分裂8次． 故1个这种细菌可分裂成的细菌个数为个． 故选：D． 3．（25-26七年级上·河北衡水·期中）在一次综合实践活动课上，同学们将一个边长为1的正方形纸片进行分割，如图所示，第①部分是边长为1的正方形纸片面积的一半，第②部分是第①部分面积的一半，第③部分是第②部分面积的一半，依次类推，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，利用乘方的意义解答． 根据图形的规律和乘方的意义，可以得到阴影部分的面积． 【详解】解：部分①的面积是原正方形纸片面积的一半，即为； 部分②的面积是部分①面积的一半，即为； 部分③的面积是部分②面积的一半，即为； …… 依次类推，阴影部分的面积为． 故选：B． 4．（25-26七年级上·黑龙江大庆·期末）我们常用的十进制数，如，我国古代易经一书记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，如图，一位母亲在如下排列的绳子上打结，并采用七进制（如），用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是（   ）天． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先数出每根绳子上的结数，然后将从左向右的每一位数字分别乘，，，，再将计算结果相加． 【详解】解：据图可知，从左向右，四根绳子的结数分别是、、、， 则孩子出生的天数为． 5．（25-26七年级上·河南濮阳·期末）如图是第十四届国际数学教育大会（）会徽，在其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数．该八进制数转换成十进制数的计算方式为：，请将十进制数20转换成八进制数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据十进制换算成八进制的方法计算即可． 【详解】解：∵， ∴十进制数20换算成八进制数是24． 6．（25-26七年级上·山东青岛·期末）若，，，，则a，b，c，d的大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了乘方的应用，有理数的大小比较，解题的关键是熟练掌握有理数的大小比较方法． 先根据有理数的乘方运算法则化简各数，再根据有理数的大小比较方法判断即可． 【详解】解：，，，， 因为， 所以，即； 因为， 所以， 所以，即， 所以， 故选：D． 题型六、程序流程图与有理数计算 1．（24-25七年级上·四川达州·阶段检测）如图是一个计算程序，若输入a的值为，则输出的结果b应为（    ） A．7 B． C．1 D．5 【答案】B 【分析】根据流程图，列式计算即可． 【详解】解：． 2．（25-26七年级上·湖南娄底·期末）如图，是一个数值运算程序框图，若开始输入，则最后输出的结果是（  ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的混合运算，关键是根据输入值的类型(整数或分数)选择对应的运算，再判断运算结果是否为奇数，若不是则循环执行，直到结果为奇数时输出． 【详解】解：输入，是整数，执行运算， 是分数，不满足“结果为奇数”的条件，继续执行运算； 是分数，执行运算， 是整数，不满足“结果为奇数”的条件，继续执行运算； ∵是整数，执行运算， 是整数，不满足“结果为奇数”的条件，继续执行运算； 是整数，执行运算， 是奇数，满足“结果为奇数”的条件，输出结果； 故选：A． 3．（25-26七年级上·四川达州·期末）在如图所示的运算程序中，若开始输入x的值是8，第1次输出的结果是5，依次继续下去，……，第2028次输出的结果是________． 【答案】4 【分析】本题主要考查了有理数的运算、数字规律的探究以及周期问题的求解，熟练掌握运算程序的规则并能找出循环周期是解题的关键． 先根据运算程序依次计算前几次的输出结果，找出循环规律，再用总次数除以循环周期，根据余数确定第2028次输出的结果． 【详解】解：第1次输出：； 第2次输出：； 第3次输出：； 第4次输出：； 第5次输出：； 第6次输出：； 第7次输出：； 第8次输出：； 第9次输出：； ．．． 从第4次开始，输出结果按，，循环，周期为3； ，余数为0，对应循环中的第3个数； 故答案为：4． 4．（25-26七年级上·广西崇左·期末）如图，是一个有理数混合运算程序的流程图，请根据这个程序回答问题：当输入的为时，最后输出的结果是多少？（写出计算过程） 【答案】 【分析】本题考查了程序流程图与有理数计算，先根据流程图求出运算结果，再把代入计算即可求解，看懂流程图是解题的关键． 【详解】解：由流程图得，， 当输入时，， ∵， ∴第二次输入， 当时，，输出， ∴输出的结果是． 题型七、算“24”点 1．（25-26七年级上·云南保山·期中）有一种算“24点”的游戏，其游戏规则如下：取四个数，将这四个数（每个数必须且只能用一次）进行加减乘除运算，使其结果等于24．现有四个有理数：3，4，，10．运用上述规则，下列算式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合计算，通过计算每个算式的值，判断是否等于24即可得到答案． 【详解】解：A、，原式不正确，符合题意； B、，原式正确，不符合题意； C、，原式正确，不符合题意； D、，原式正确，不符合题意； 故选：A． 2．（25-26七年级上·浙江丽水·期末）有一种“24点”的扑克牌游戏的规则是：任意抽四张牌，将各张牌上的数用加、减、乘、除、乘方中的几种运算（可用括号，且各数只能用一次）列一个算式，先计算结果为“24”者获胜．现已抽出如图所示的四张牌（A表示1），则可算“24”点的算式是________（写出一个即可）　                  　 ． 【答案】 【分析】根据题意和题目中的数字，可以写出一个结果为24的算式，注意本题答案不唯一． 【详解】解： 3．（25-26六年级上·山东烟台·期中）利用下面张图上的点数，凑成的算式是_______． 【答案】(答案不唯一) 【分析】本题考查有理数的混合运算；根据题目中的数据和题意，可以写出一个结果为24的算式即可． 【详解】解： ， 故答案为：(答案不唯一)． 4．（25-26七年级上·河南安阳·期中）有一种游戏叫“24点游戏”，规则是：随机抽取4个整数，使用学过的运算符号把它们组成一个算式，使结果为24（每个数字只能用一次）．有一次小明在做“24点游戏”时抽到的4个数分别是，4，5，11，请你写出一个算式使其结果为24：______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是灵活组合数字与运算符号，构造出结果为24的算式． 通过对数字、、、11进行减法、乘法运算的组合，得到结果为24的算式． 【详解】解：计算过程：先，得到， 再将与相乘，得到6， 最后将6与4相乘，得到24， 则． 故答案为： 5．（25-26七年级上·河北邢台·期末）小明有5张写着不同的数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是________； (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是________； (3)从中取出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24．写出运算式子：________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查有理数的运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． （1）根据有理数乘法的法则和乘积最大，计算即可求解； （2）根据有理数除法的法则和商最小，计算即可求解； （3）根据有理数的混合运算法则，计算即可求解． 【详解】（1）解：这2张卡片上数字乘积最大， 取出的2张卡片上的数字分别为，时，乘积最大， 即， 故答案为：； （2）这2张卡片上数字相除的商最小， 取出的2张卡片上的数字分别为，时，商最小， 即， 故答案为：； （3）结果为24， 取出的4张卡片上的数字分别为，，，，不可能为0， 则． 故答案为：． 题型八、含乘方的有理数混合运算 1．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）计算：． 【答案】 【分析】先算乘方、绝对值，再算除法，最后从左到右依次进行加减运算即可． 【详解】解： ． 2．（25-26六年级上·上海·阶段检测）计算：． 【答案】 【分析】利用有理数的乘方运算进行运算，负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数． 【详解】解： 3．（25-26七年级上·内蒙古乌兰察布·期中）计算：． 【答案】 【分析】先计算乘方，再计算乘除法，最后计算减法即可． 【详解】解： ． 4．（25-26七年级上·宁夏吴忠·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 5．（25-26七年级上·福建莆田·阶段检测）规定一种新运算：，，请计算下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】根据定义列式计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 题型九、计算器——有理数 1．（24-25六年级上·山东烟台·期中）如图，利用课本上的计算器计算时，按键顺序为 ，则计算器显示的结果为（    ） A．12 B．6 C．4 D．2 【答案】A 【分析】本题考查利用计数器进行计算，根据计算器的按键顺序，列出算式进行计算即可． 【详解】解：由按键顺序可得：； 故选A． 2．用计算器计算时，按键的顺序为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了利用计算器进行数的乘方运算，解决本题的关键是掌握计算器求幂时指数和底数的按键顺序，用计算器进行数的乘方运算时，应该先按底数，再按键“”，最后按指数，即可求得结果，据此求解即可． 【详解】解：用计算器计算时， 按键的顺序为． 故选：C． 3．用计算器计算，按键顺序正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了用计算器计算有理数的乘方，熟知计算器的按键步骤是解题的关键． 【详解】解：根据计算器计算乘方的步骤得出，只有D选项符合题意． 故选D． 4．（24-25六年级上·山东烟台·期中）如图，利用课本上的计算器进行计算，其按键顺序如下： 则显示器显示的结果为______． 【答案】 【分析】本题考查的是计算器的使用，有理数的混合运算，根据计算器的按键代表的运算可得答案． 【详解】解： 故答案为：． B组 能力进阶 1．（25-26七年级上·山东滨州·期末）在古代，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”．如图，有位父亲为了准确记录孩子的出生天数，把绳子从右到左由细变粗且满进进行记录，那么从中可以判定孩子已经出生了（    ） A．天 B．天 C．天 D．天 【答案】B 【分析】本题主要考查了八进制与十进制的转换，解题的关键是理解“满进”的计数规则．先确定八进制位权，从右到左分别为、、，提取各数位的结数，最后按八进制转十进制公式计算即可解答． 【详解】解：孩子的出生天数是（天）， 故选：． 2．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期末）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为；②当n为偶数时，结果为，其中k取使为奇数的正整数，并且运算一直重复进行，例如，取时，则有：，将进行2025次“F运算”的结果是（　　） A．19 B．31 C．62 D．98 【答案】C 【分析】根据题意，依次求出每次“F运算”的结果，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知， 因为， 所以第1次“F运算”的结果是， 第2次“F运算”的结果， 第3次“F运算”的结果， 第4次“F运算”的结果， 第5次“F运算”的结果， 第6次“F运算”的结果， 第7次“F运算”的结果， …， 由此可见，从第1次“F运算”的结果开始按152，19，62，31，98，49循环． 因为， 所以第2025次“F运算”的结果62． 3．（25-26七年级上·全国·阶段检测）观察下列各式： ； ； 计算：________． 【答案】 【分析】本题主要考查了数字的变化规律以及裂项相消法的应用，熟练掌握通过观察式子找到规律并运用裂项相消法计算是解题的关键． 先根据所给式子的规律，将每一项进行变形，然后通过裂项相消的方法进行计算． 【详解】解：由题意得，原式 ． 4．（25-26七年级上·河南南阳·期末）阅读以下内容： 根据这一规律，计算：________． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的乘方，对于任意正整数，有，令，，即可求得答案． 【详解】根据题意可知，对于任意正整数，有． 令，，可得 ． 即 ． 故答案为： 5．（25-26七年级上·湖南常德·期末）定义一种新运算“”，规则为：，例如：，解答下列问题： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题结合新定义运算考查了有理数的混合运算，关键是准确把握新运算的运算规则，严格按照有理数的运算顺序和运算法则进行计算． （1）直接将、代入新运算的表达式中，按照“先乘方，再乘法，最后加减”的有理数运算顺序依次计算，即可求出结果； （2）需遵循“先算括号内，后算括号外”的运算顺序，先将、代入新运算表达式求出的结果，再将此结果作为新的值，保持不变，再次代入新运算表达式进行计算，即可得到最终结果． 【详解】（1）解：根据新运算规则， 将，代入得： ； （2）解：先计算括号内的， 将，代入得：， 再计算，将，代入得：． 6．（25-26七年级上·全国·寒假作业）记， ， ，…， (1)填空： ______，是一个______（填“正数”或“负数”）． (2)计算的值． (3)当时，求的值． 【答案】(1)；正数 (2) (3) 【分析】此题考查数字的变化规律，掌握乘方的意义，判定负数乘方的计算结果是解决问题的关键． （1）根据有理数的乘法法则得出答案即可； （2）先根据乘法法则计算，再根据有理数的加法计算，可得答案； （3）由题意可得，，然后代入计算即可求解． 【详解】（1）解：， 由1000个相乘，则是一个正数， 故答案为：；正数； （2）解：， ， 所以； （3）解：，则n为奇数， ，， ． C组 思维拔高 1．定义：如果，那么称b为n的劳格数，记为． (1)根据劳格数的定义，可知：，，那么 ． (2)劳格数有如下运算性质：若m，n为正数，则；，如．根据运算性质，填空： ． (3)在（1）（2）的条件下，若，求和的值． 【答案】(1)3 (2)5 (3)， 【分析】（1）根据劳格数的定义求解即可； （2）根据劳格数的性质得到，据此求解即可； （3）根据劳格数的性质可得，、，据此求解即可． 【详解】（1）解：根据劳格数的定义可得，； （2）解：由劳格数的性质可得，， 所以； （3）解：由劳格数的性质可得，， 则． 2．（25-26七年级上·四川自贡·阶段检测）【概念学习】规定：求n个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的3次商”；写作，读作“的4次商”，一般地，把这样n个a相除，写作，读作“a的n次商”． 【初步探究】 （1）请直接写出计算结果：______，______； （2）下列关于除方说法中，错误的是（   ）（单选）． A．当时， B．当时， C．正数的n次商结果是正数，负数的n次商结果是负数 D．n次商等于它本身的数是1 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 除方→→乘方（幂）的形式； （3）归纳：请把有理数a的n次商（，），写成乘方（幂）的形式为：______； （4）计算：． 【答案】（1）， （2） （3） （4） 【分析】本题主要考查了有理数的除法运算，有理数的乘方运算，含乘方的有理数混合运算等知识点，读懂题意，深刻理解题中所给除方的定义是解题的关键． （1）根据除方的定义进行计算即可； （2）根据除方的定义逐项分析判断即可； （3）根据题中所给示例进行计算即可得出答案； （4）先根据（3）的结论把除方转化为乘方，再按有理数运算法则计算． 【详解】解：（1）由题知：， ， 故答案为：，； （2）由题知： A．当时，， 该说法正确，故选项不符合题意； B．当时，， 该说法正确，故选项不符合题意； C．当为正数时，的次商表示个相除，结果是正数， 当为负数时，奇数个负数相除结果为负，偶数个负数相除结果为正， 该说法错误，故选项符合题意； D．由除方的定义可知，次商等于它本身的数是， 该说法正确，故选项不符合题意； 故选：； （3）由题知： ， 故答案为：； （4） ． 拓展 衔接中考 1．（2026·四川攀枝花·中考真题）“快乐数”是指将正整数的每一位数字平方后相加，得到的新数再重复这一过程，最后结果为1的数．以“快乐数”70为例：，则下列数中不是“快乐数”的是（     ） A．3 B．7 C．13 D．31 【答案】A 【分析】根据“快乐数”的定义，对各选项依次重复计算每一位数字的平方和，最终结果为1就是快乐数，否则不是． 【详解】解：A、∵，，，，，，，，，，，，， ∴计算进入循环，无法得到1，故3不是快乐数； B、∵， ∴最终结果为1，故7是快乐数； C、∵，， ∴最终结果为1，故13是快乐数； D、∵，， ∴最终结果为1，故31是快乐数． 2．（2025·江苏镇江·中考真题）2024年全市共接待国内游客约55510800人次，其中数据55510800可表示为（   ） A．55510.8万 B．5551.08万 C．555.108万 D．55.5108万 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的乘方，根据，1万解答即可得． 【详解】解：万， 故选：B． 3．（2025·四川巴中·中考真题）所有放射性物质都有自己的半衰期．半衰期是放射性物质的质量缩减为原来的一半所用的时间，是一个不变的量．质量为的放射性物质，经历了个半衰期后的质量为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数乘方的应用． 根据题意可知每经历一个半衰期，质量变为原来的，由此可得经历个半衰期后的质量． 【详解】解：， ∴经历了个半衰期后的质量为． 故选：D． 4．（2025·山东威海·中考真题）2025年5月，基于“三进制”逻辑的芯片研制成功．与传统的“二进制”芯片相比，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率． 二进制数的组成数字为0，1．十进制数22化为二进制数： ． 传统三进制数的组成数字为0，1，2．十进制数22化为三进制数： ． 将二进制数化为三进制数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，理解例题的计算方法，按照例题代入计算即可． 将二进制数转换为三进制数，需先将二进制数转换为十进制数，再将十进制数转换为三进制数． 【详解】∵二进制数的各位权值从右到左依次为， 对应数值为： ∴二进制数对应的十进制数为 11． 将十进制数 11 转换为三进制数，采用“除3取余法”： ，余数为2； ，余数为0； ，余数为1． 将余数倒序排列，得到三进制数为． 故选：A． 试卷第1页，共3页 1 / 29 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 A组巩固过关 题型一、有理数幂的概念理解 1.7 2.D 3.C 4.A 5.5" 题型二、有理数的乘方运算 1.A 2.-8 3.-1 4.0 5.-1 8 827 6.(1①)49(2)-2163)27(4)-95)5（⑥64 (1)解：72=7×7=49： （2)（-6'=（-6)×(-0x(-6)=-216 a,-))). (4)-32=-3×3=-9: 232×2×28 5)5-5=-5: 1/7 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.3.1乘方 参考答案 函学科网·上好课 WW o(-引器 题型三、有理数乘方逆运算 1.±3/3或-31-3或3 2.2(或-2)或4或4) 3.-5或-1 4.3 题型四、乘方运算的符号规律 1.C 2.B 3.-1 4.0 5.2024 6.< 题型五、乘方的应用 1.C 2.D 3.B 4.c 5.A 6.D 题型六、程序流程图与有理数计算 1.B 2.A 3.4 4.-10 题型七、算“24”点 217 zxxk.com 上好每一堂课 可学科网·上好课 1.A 2.(5÷1-2)x8 8×9÷(0-7)(答案不唯一） 3 4.(5-1)x(-1)x4 5.(0152-33)-[(-3)÷3+(-5)]×4=24 题型八、含乘方的有理数混合运算 1.-4 解： -1225+(-3}2÷3--1-5 =-1+9÷3-6 =-1+3-6 =-4. 2.8 解，引 =8 解，5写-(3(6) 25-(-27)÷(-6) =-25x -1-2 -11 2· 4.(1)9(2)-16 37 www.zxxk.com 上好每一堂课 函学科网·上好课 www.zxxk.com (1)解：（)×5+(-2÷4 =1×5+16÷4 =5+4 =9 (2)解： -3-5)+32×1-3) =2+9×(-2) =2-18 =-16 5.(1)-16(2)-12 (1)解：2☆5=2×5-2-52+1=10-2-25+1=-16 (2)解：（2)☆(5)-(-2)×(-5)-(-2)-(-5+1=10+2-25+1=-12 题型九、计算器—有理数 1.A 2.C 3.D 4.20 B组能力进阶 1.B 2.C 3.2024、1 2026 解：由题意得， ---g-传- 1 =2025×1- 1 11,11 1 1 22334 20252026 =2025-1+ 2026 4/7 上好每一堂课 1)7 2026 可学科网·上好课 www.zxxk.com 1 =2024 20261 4.22027-1 根据题意可知，对于任意正整数”，有x-+2++x+1)= 令x=2,n=2027,可得 (2-1）×(22026+22025+…+2+1）=22027-1 即 1+2+22+23+24+…+22026=22027-1. 故答案为：22027-1 5.(1)17(2)9 (1)解：根据新运算规则a⑧b=a°-ab+b, 将a=-3,b=2代入得： (-3)⑧2=(-3)2-（-3)×2+2=9+6+2=17 (②)解：先计算括号内的)®2， 将0=，b=2代入得：（1)®2=-2-（-1)x2+2=1+2+2=5 再计算-)®5.将a=-1,b=5代入得.1)®5=-(1x5+5 6.(1)-32；正数(2)-64(3)0 (1)解：M=（-2)x(-2)×(-2)x(-2)x(-2)=-32 M由10o0个2相乘，则Mm是一个正数， 故答案为：-32；正数： (2解：M。-(-2)x(-2)x(-2)x(-2)x(-2)x(-2)=64 M=(（-2)×(-2)×(-2)×(-2)×(-2)x(-2)×(-2)=-128 5/7 上好每一堂课 -1 -1+5+5=9 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 所以M。+4)=64-128=-64 (3)解： 'Ma<0 ,则n为奇数， Mm=(-2)×(-2)×…×(-2)=-2” M(ai)=2a 2014M0+1007M4=2014×(-2”）+1007×2m1=-1007×2+1+1007×21=0 C组思维拔高 1.(1)3(2)5(3)d(9)=0.954 =-0.523 2..2c日 3 (4)5 5②=5÷5=1 解：(1)由题知： ((), 故答案为：1,4： (2)由题知： A.当m0时 m②=m÷m=1 时， 该说法正确，故选项A不符合题意： B.当m≠0时， (（ 该说法正确，故选项B不符合题意； C.当x为正数时，x的n次商表示n个x相除，结果是正数， 当x为负数时，奇数个负数相除结果为负，偶数个负数相除结果为正， 该说法错误，故选项C符合题意； D.由除方的定义可知，n次商等于它本身的数是1， 617 可学科网·上好课 该说法正确，故选项D不符合题意： 故选：C: (3)由题知： a0=a÷a÷a÷÷g n个 111 1 aaaa (n-2)个 8 故答案为： 42×(-48)0 9×(-2y-(4)*4用 =专x16-(48)G =2-（-3) =2+3 =5. 拓展衔接中考 1.A 2.B 3.D 4.A www.zxxk.com 上好每一堂课 7/7 分层作业 2.3.1 乘方 说明：ABC三组为必做内容，拓展部分为选做。 ★温馨提示：将鼠标拖动至题型文字上方，按住Ctrl并单击鼠标左键可直接跳转至对应题型哟~★ 目 录 A组 巩固过关 1 题型一、有理数幂的概念理解 1 题型二、有理数的乘方运算 3 题型三、有理数乘方逆运算 5 题型四、乘方运算的符号规律 7 题型五、乘方的应用 9 题型六、程序流程图与有理数计算 13 题型七、算“24”点 15 题型八、含乘方的有理数混合运算 18 题型九、计算器——有理数 20 B组 能力进阶 21 C组 思维拔高 25 拓展 衔接中考 28 A组 巩固过关 题型一、有理数幂的概念理解 1．（25-26七年级上·甘肃天水·期中）在中，底数是______． 2．（25-26七年级上·河南郑州·期末）计算（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·河北邯郸·期末）在学习了乘方运算后，对于聪聪和明明有如下讨论： 聪聪：表示有2个k相乘     明明：表示有2个k相加 你认为他们的说法（    ） A．只有聪聪是对的 B．只有明明是对的 C．他们两人都不对 D．他们都有道理 4．（25-26七年级上·山西临汾·期末）计算的算式是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级上·河北保定·期末）为了简便，可以将记为_____． 题型二、有理数的乘方运算 1．（25-26七年级上·河北石家庄·期末）下列各组数中，数值相等的是（     ） A． B．和 C．和 D．和 2．（25-26七年级上·江西上饶·期末）计算：_______． 3．（25-26七年级上·河南周口·期末）若，则的值为____． 4．（25-26七年级上·河南信阳·期末）若与互为相反数，则_____．(为正整数) 5．（25-26七年级上·广东梅州·期末）已知互为相反数，互为倒数，且，则_____． 6．计算 (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 题型三、有理数乘方逆运算 1．一个数的平方是9，则这个数是______． 2．（25-26七年级上·福建宁德·期末）已知某个有理数乘方的结果是16，则该乘方运算是_____．（写出一个即可，用的形式表示） 3．若，，且，则的值为______． 4．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）定义之间一种运算，记作：如果，那么．则__________． 题型四、乘方运算的符号规律 1．（25-26七年级上·安徽宣城·期中）计算的结果为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·广东江门·期中）下列各对数值相等的是（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 3．（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）已知是一个正整数，那么__________． 4．如果n是正整数，则_____ ． 5．（24-25七年级上·四川南充·期中）已知的最大值为______． 6．（25-26七年级上·云南文山·期末）比较大小：_____98（填“＞”“＝”或“＜”）． 题型五、乘方的应用 1．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）把足够大的一张厚度为的纸连续对折，要使对折后的整叠纸总厚度超过，至少要对折（     ） A．次 B．次 C．次 D．次 2．（25-26七年级上·河北衡水·期末）人教版生物教材提到，细菌是靠分裂进行生殖的，分裂完的细菌长大以后又能进行分裂．某种细菌在培养过程中每半小时分裂一次（由1个分裂为2个），经过4小时，1个这种细菌可分裂成的细菌个数为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·河北衡水·期中）在一次综合实践活动课上，同学们将一个边长为1的正方形纸片进行分割，如图所示，第①部分是边长为1的正方形纸片面积的一半，第②部分是第①部分面积的一半，第③部分是第②部分面积的一半，依次类推，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·黑龙江大庆·期末）我们常用的十进制数，如，我国古代易经一书记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，如图，一位母亲在如下排列的绳子上打结，并采用七进制（如），用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是（   ）天． A． B． C． D． 5．（25-26七年级上·河南濮阳·期末）如图是第十四届国际数学教育大会（）会徽，在其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数．该八进制数转换成十进制数的计算方式为：，请将十进制数20转换成八进制数是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级上·山东青岛·期末）若，，，，则a，b，c，d的大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 题型六、程序流程图与有理数计算 1．（24-25七年级上·四川达州·阶段检测）如图是一个计算程序，若输入a的值为，则输出的结果b应为（    ） A．7 B． C．1 D．5 2．（25-26七年级上·湖南娄底·期末）如图，是一个数值运算程序框图，若开始输入，则最后输出的结果是（  ） A．1 B．2 C．3 D．5 3．（25-26七年级上·四川达州·期末）在如图所示的运算程序中，若开始输入x的值是8，第1次输出的结果是5，依次继续下去，……，第2028次输出的结果是________． 4．（25-26七年级上·广西崇左·期末）如图，是一个有理数混合运算程序的流程图，请根据这个程序回答问题：当输入的为时，最后输出的结果是多少？（写出计算过程） 题型七、算“24”点 1．（25-26七年级上·云南保山·期中）有一种算“24点”的游戏，其游戏规则如下：取四个数，将这四个数（每个数必须且只能用一次）进行加减乘除运算，使其结果等于24．现有四个有理数：3，4，，10．运用上述规则，下列算式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·浙江丽水·期末）有一种“24点”的扑克牌游戏的规则是：任意抽四张牌，将各张牌上的数用加、减、乘、除、乘方中的几种运算（可用括号，且各数只能用一次）列一个算式，先计算结果为“24”者获胜．现已抽出如图所示的四张牌（A表示1），则可算“24”点的算式是________（写出一个即可）　                  　 ． 3．（25-26六年级上·山东烟台·期中）利用下面张图上的点数，凑成的算式是_______． 4．（25-26七年级上·河南安阳·期中）有一种游戏叫“24点游戏”，规则是：随机抽取4个整数，使用学过的运算符号把它们组成一个算式，使结果为24（每个数字只能用一次）．有一次小明在做“24点游戏”时抽到的4个数分别是，4，5，11，请你写出一个算式使其结果为24：______． 5．（25-26七年级上·河北邢台·期末）小明有5张写着不同的数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是________； (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是________； (3)从中取出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24．写出运算式子：________． 题型八、含乘方的有理数混合运算 1．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）计算：． 2．（25-26六年级上·上海·阶段检测）计算：． 3．（25-26七年级上·内蒙古乌兰察布·期中）计算：． 4．（25-26七年级上·宁夏吴忠·期末）计算： (1)； (2)． 5．（25-26七年级上·福建莆田·阶段检测）规定一种新运算：，，请计算下列各式的值： (1)； (2)． 题型九、计算器——有理数 1．（24-25六年级上·山东烟台·期中）如图，利用课本上的计算器计算时，按键顺序为 ，则计算器显示的结果为（    ） A．12 B．6 C．4 D．2 2．用计算器计算时，按键的顺序为（   ） A． B． C． D． 3．用计算器计算，按键顺序正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25六年级上·山东烟台·期中）如图，利用课本上的计算器进行计算，其按键顺序如下： 则显示器显示的结果为______． B组 能力进阶 1．（25-26七年级上·山东滨州·期末）在古代，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”．如图，有位父亲为了准确记录孩子的出生天数，把绳子从右到左由细变粗且满进进行记录，那么从中可以判定孩子已经出生了（    ） A．天 B．天 C．天 D．天 2．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期末）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为；②当n为偶数时，结果为，其中k取使为奇数的正整数，并且运算一直重复进行，例如，取时，则有：，将进行2025次“F运算”的结果是（　　） A．19 B．31 C．62 D．98 3．（25-26七年级上·全国·阶段检测）观察下列各式： ； ； 计算：________． 4．（25-26七年级上·河南南阳·期末）阅读以下内容： 根据这一规律，计算：________． 5．（25-26七年级上·湖南常德·期末）定义一种新运算“”，规则为：，例如：，解答下列问题： (1)； (2)． 6．（25-26七年级上·全国·寒假作业）记， ， ，…， (1)填空： ______，是一个______（填“正数”或“负数”）． (2)计算的值． (3)当时，求的值． C组 思维拔高 1．定义：如果，那么称b为n的劳格数，记为． (1)根据劳格数的定义，可知：，，那么 ． (2)劳格数有如下运算性质：若m，n为正数，则；，如．根据运算性质，填空： ． (3)在（1）（2）的条件下，若，求和的值． 2．（25-26七年级上·四川自贡·阶段检测）【概念学习】规定：求n个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的3次商”；写作，读作“的4次商”，一般地，把这样n个a相除，写作，读作“a的n次商”． 【初步探究】 （1）请直接写出计算结果：______，______； （2）下列关于除方说法中，错误的是（   ）（单选）． A．当时， B．当时， C．正数的n次商结果是正数，负数的n次商结果是负数 D．n次商等于它本身的数是1 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 除方→→乘方（幂）的形式； （3）归纳：请把有理数a的n次商（，），写成乘方（幂）的形式为：______； （4）计算：． 拓展 衔接中考 1．（2026·四川攀枝花·中考真题）“快乐数”是指将正整数的每一位数字平方后相加，得到的新数再重复这一过程，最后结果为1的数．以“快乐数”70为例：，则下列数中不是“快乐数”的是（     ） A．3 B．7 C．13 D．31 2．（2025·江苏镇江·中考真题）2024年全市共接待国内游客约55510800人次，其中数据55510800可表示为（   ） A．55510.8万 B．5551.08万 C．555.108万 D．55.5108万 3．（2025·四川巴中·中考真题）所有放射性物质都有自己的半衰期．半衰期是放射性物质的质量缩减为原来的一半所用的时间，是一个不变的量．质量为的放射性物质，经历了个半衰期后的质量为（   ）． A． B． C． D． 4．（2025·山东威海·中考真题）2025年5月，基于“三进制”逻辑的芯片研制成功．与传统的“二进制”芯片相比，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率． 二进制数的组成数字为0，1．十进制数22化为二进制数： ． 传统三进制数的组成数字为0，1，2．十进制数22化为三进制数： ． 将二进制数化为三进制数为（　　） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 1 / 29 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