精品解析：湖南省长沙市周南中学2025-2026学年高一上学期第一次月考数学试题

2025-2026-1—长沙周南高一第一次月考 数学 时量：120分钟 满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据交集定义直接得结果. 【详解】， 故选：D. 【点睛】本题考查集合交集概念，考查基本分析求解能力，属基础题. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】首先求解二次不等式，然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立即可. 【详解】求解二次不等式可得：或， 据此可知：是的充分不必要条件. 故选：A. 【点睛】本题主要考查二次不等式的解法，充分性和必要性的判定，属于基础题. 3. 下列图形能表示函数的图象的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数的定义判断即可. 【详解】由函数的定义：对于集合中任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为A→B从集合到集合的一个函数可知，只有B选项能表示函数的图象. 故选：B 4. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分母不为零和偶次方根的被开方数非负得到不等式组，解得即可. 【详解】由题可得，解得且，所以函数的定义域为； 故选：B 5. 若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过反例，，可排除ABC；利用不等式的性质可证得D正确. 【详解】若，，则，，则A、B错误； 若，，则，则C错误； ，，又，，则D正确. 故选：D. 6. 若命题“存在”是真命题，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题可知方程有实数解，即求. 【详解】由题知方程有实数解， ∴， 解得， 故选：B. 7. 某城市数、理、化竞赛时，高一某班有26名学生参加数学竞赛，25名学生参加物理竞赛，23名学生参加化学竞赛，其中参加数、理、化三科竞赛的有7名，只参加数、物两科的有6名，只参加物、化两科的有8名，只参加数、化两科的有5名．若该班学生共有51名，则没有参加任何竞赛的学生共有（ ）名 A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】画出图，由题意求出分别单独参加物理、数学和化学的人数，即可求出参赛人数，进而求出没有参加任何竞赛的学生. 【详解】画三个圆分别代表数学、物理、化学的人， 因为有26名学生参加数学竞赛，25名学生参加物理竞赛，23名学生参加化学竞赛， 参加数、理、化三科竞赛的有7名，只参加数、化两科的有5名， 只参加数、物两科的有6名，只参加物、化两科的有8名， 所以单独参加数学的有人， 单独参加物理的有人，单独参加化学的有， 故参赛人数共有人， 没有参加任何竞赛的学生共有人. 故选：D. 8. 已知对一切，，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】令，分析可得原题意等价于对一切，恒成立，根据恒成立问题结合二次函数的性质分析运算. 【详解】∵，，则， ∴， 又∵，且， 可得， 令，则原题意等价于对一切，恒成立， ∵的开口向下，对称轴， 则当时，取到最大值， 故实数的取值范围是. 故选：C. 【点睛】结论点睛： 对，恒成立，等价于； 对，恒成立，等价于. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列命题中假命题有（ ） A. “”是“”的必要条件 B. “”是“不等式在R上恒成立”的充要 C. 若，则 D. 的最小值为5 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质，可判定A错误；根据一元二次不等式的性质，以及充要条件的判定，可判定B正确；根据特例法，可判定C错误；根据时，，可判定D错误. 【详解】对于A中，根据不等式基本性质的可乘性得，当时，若，不一定有，所以A错误. 对于B中，当时，不等式恒成立， 反之，若不等式在R上恒成立，则，解得，所以B正确. 对于C中，若，满足但不满足，所以C错误. 对于D中，函数，当时，，所以函数无最小值，所以D错误. 故选：ACD. 10. 若实数m，，满足，以下选项中正确的有（ ） A. mn的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 最小值为 【答案】AD 【解析】 【分析】利用基本不等式解决条件的最值问题求解和为定值或乘积为定值. 【详解】解：对于A，由m，，得，又， 所以，解得，当且仅当， 即，时等号成立， 所以mn最大值为，选项A正确； 对于B，， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为，选项B错误； 对于C，由，得， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立，又m，， 所以，选项C错误； 对于D，由m，，，得， 则，当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为，选项D正确． 故选：AD． 11. ，表示不超过的最大整数，我们把，称为取整函数，以下选项关于“取整函数”正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ，，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】可取特殊值判断AC，利用不等式性质及取整数的意义推理可判断选项BD. 【详解】对于A，当时，，故A正确； 对于B，设 则 所以或， 当时，， 此时，即； 当时， 此时即； 综上，，故B正确； 对于C ，当时，， 所以，故C正确； 对于D，若，设,则， 所以从而，故D错误； 故选：ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的定义域是_____. 【答案】. 【解析】 【分析】由题意得到关于x的不等式，解不等式可得函数的定义域. 【详解】由已知得, 即 解得， 故函数的定义域为. 【点睛】求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可． 13. 已知集合，若集合有8个子集，则实数的取值范围为________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，可知集合中包含3个元素，结合，即可得出实数的取值范围. 【详解】解：因为集合有8个子集，所以集合中包含3个元素， 所以，所以， 则实数的取值范围为. 故答案为：. 14. 已知，若的值域是，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定的分段函数值域，结合反比例函数及二次函数值域分段求出值域，进而求出c的范围. 【详解】函数的值域是，由当时，，得， 则，于是， 当时，，而，且， 因此，解得，则， 所以实数c的取值范围是. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，集合，. （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先确定集合的元素，然后按集合运算法则计算； （2）则有，然后分和讨论。 【详解】解：（1）若，则， 则； 则； （2）若， 则， ①若，即，得，此时满足条件， ②当，则满足，得， 综上． 【点睛】本题考查集合的运算，考查集合间的包含关系。在集合包含关系中要注意空集是任何集合的 子集，因此要分类讨论。 16. 给定两个命题：命题p：对于任意的实数x，都有恒成立：命题q：关于x的方程有实数根． （1）若p为真，求实数a的取值范围； （2）如果p、q中有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由一元二次不等式恒成立可得的范围； （2）由一元二次方程的判别式得为真时的范围，有且只有一个为真，即为一真一假，由此可得结论． 【小问1详解】 由题意，解得，故所范围是； 【小问2详解】 命题为真时，，解得． 如果p与q中有且仅有一个为真命题， ①如果p真q假，则由且，得． ②如果p假q真，则由或且，得， 综上，a的取值范围为． 17. 为了增强生物实验课的趣味性，丰富生物实验教学内容，某校计划沿着围墙（足够长）划出一块面积为100平方米的矩形区域修建一个羊驼养殖场，规定的每条边长均不超过20米.如图所示，矩形为羊驼养殖区，且点，，，四点共线，阴影部分为1米宽的鹅卵石小径.设（单位：米），养殖区域的面积为（单位：平方米）. （1）将表示为的函数，并写出的取值范围； （2）当为多长时，取得最大值？并求出最大值. 【答案】（1）， （2）当为时，取得最大值，最大值为 【解析】 【分析】（1）根据题意表示出的面积，并根据的每条边长均不超过20米确定好的取值范围. （2）对（1）中的结果，利用基本不等式求最大值. 【小问1详解】 因为，所以，， 因为，，所以. 【小问2详解】 当且仅当，即时，等号成立， 所以当为时，取得最大值，最大值为. 18. 已知函数，其中. （1）若不等式的解集为，求不等式的解集； （2）当时，求不等式的解集. 【答案】（1）或 （2） 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）由题意可以先求出的值，然后直接解一元二次不等式即可. （2）当时，不等式变为了，首先讨论当时的情形，然后再分别讨论时的情形，在讨论时，还要继续对进行分层讨论，由此即可得解. 【小问1详解】 由题意若不等式的解集为， 则当且仅当， 即，解得， 此时不等式变为了， 即，解得或， 所以不等式的解集为或. 【小问2详解】 当时，不等式变为了， 当时，不等式变为了， 解不等式得，此时不等式的解集为； 当时， 分以下两种情形来讨论： 情形一： 令，得，此时有， 此时方程有两个不相等的实数根， 而此时二次函数开口向上， 又， 所以当时，不等式的解集为. 情形二： 令，得，此时只需即可， 此时方程有两个相等的实数根或者无解， 而此时二次函数开口向上， 即不等式恒成立， 所以此时不等式无解，即此时不等式的解集为. 当时， 分以下两种情形来讨论： 情形一： 令，得，此时只需即可， 此时方程有两个不相等的实数根， 而此时二次函数开口向下， 又，所以此时不等式的解集为. 情形二： 令，得，又，故产生矛盾,即此种情形不可能成立. 综上所述：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【点睛】关键点点睛：本题第一问的关键是求出参数的值，至于第二问的关键是在对时的讨论中，还需对继续进行分层讨论. 19. 我们知道，当时，如果把按照从大到小的顺序排成一列的话，一个美丽、大方、优雅的均值不等式链便款款的、含情脉脉的降临在我们面前.这个均值不等式链神通巨大，可以解决很多很多的由定值求最值问题. （1）填空写出补充完整的该均值不等式链； （2）如果定义：当时，为间的“缝隙”.记与间的“缝隙”为，与间的缝隙为，请问、谁大？给出你的结论并证明. 【答案】（1）（2），见解析 【解析】 【分析】（1）由题得；（2）（当且仅当时取等号），再利用作差比较法证明即可. 【详解】（1） （2）（当且仅当时取等号） 证明：∵ 又∵ （当且仅当时取=号）. ∴，∴ ∴（当且仅当时取=号）. 【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，考查作差比较法证明不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026-1—长沙周南高一第一次月考 数学 时量：120分钟 满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ）． A. B. C. D. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 下列图形能表示函数的图象的是（ ） A. B. C. D. 4. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 5. 若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 若命题“存在”是真命题，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 某城市数、理、化竞赛时，高一某班有26名学生参加数学竞赛，25名学生参加物理竞赛，23名学生参加化学竞赛，其中参加数、理、化三科竞赛的有7名，只参加数、物两科的有6名，只参加物、化两科的有8名，只参加数、化两科的有5名．若该班学生共有51名，则没有参加任何竞赛的学生共有（ ）名 A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 8. 已知对一切，，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列命题中假命题有（ ） A. “”是“”的必要条件 B. “”是“不等式在R上恒成立”的充要 C. 若，则 D. 的最小值为5 10. 若实数m，，满足，以下选项中正确的有（ ） A. mn的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 最小值为 11. ，表示不超过的最大整数，我们把，称为取整函数，以下选项关于“取整函数”正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ，，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的定义域是_____. 13. 已知集合，若集合有8个子集，则实数的取值范围为________________． 14. 已知，若的值域是，则实数的取值范围是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，集合，. （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围． 16. 给定两个命题：命题p：对于任意的实数x，都有恒成立：命题q：关于x的方程有实数根． （1）若p为真，求实数a的取值范围； （2）如果p、q中有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围． 17. 为了增强生物实验课的趣味性，丰富生物实验教学内容，某校计划沿着围墙（足够长）划出一块面积为100平方米的矩形区域修建一个羊驼养殖场，规定的每条边长均不超过20米.如图所示，矩形为羊驼养殖区，且点，，，四点共线，阴影部分为1米宽的鹅卵石小径.设（单位：米），养殖区域的面积为（单位：平方米）. （1）将表示为的函数，并写出的取值范围； （2）当为多长时，取得最大值？并求出最大值. 18. 已知函数，其中. （1）若不等式的解集为，求不等式的解集； （2）当时，求不等式的解集. 19. 我们知道，当时，如果把按照从大到小的顺序排成一列的话，一个美丽、大方、优雅的均值不等式链便款款的、含情脉脉的降临在我们面前.这个均值不等式链神通巨大，可以解决很多很多的由定值求最值问题. （1）填空写出补充完整的该均值不等式链； （2）如果定义：当时，为间的“缝隙”.记与间的“缝隙”为，与间的缝隙为，请问、谁大？给出你的结论并证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $